1 Continuïteit en differentieerbaarheid.
|
|
- Gerda Vermeiren
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies van een variabele. 1.1 Continuïteit. Zij f : R R een functie. We noemen f continu in het punt p R als de waarde f(p) een goede benadering is voor de waardes q in alle punten die voldoende dicht bij p liggen. Zo is de functie f gegeven door f(x) = x 2 continu in 2 want In het gebied 1.9 < x < 2.1 wijkt de waarde minder dan 0.41 af van de waarde in x = 2. In het gebied 1.99 < x < 2.01 wijkt de waarde minder dan af van de waarde in x = 2. In het gebied < x < wijkt de waarde minder dan af van de waarde in x = 2. Enzovoorts. Bekijk nu de Heaviside functe H gededefinieerd door 1 als x > 0 H(x) = 1 2 als x = 0 0 als x < 0 Deze functie is wel continu in p voor p 0 maar hij is niet continu in 0. Immers de waarde in q 0 wijkt 0.5 af van de waarde in 0, hoe dicht q ook bij 0 ligt. Dit is trouwens niet te redden door H(0) een andere waarde te geven, want als het voor positieve q goed gaat dan gaat het fout voor negatieve q en omgekeerd. Voor functies van meerdere variabelen gebruiken we hetzelfde idee: We noemen f continu in het punt p R als de waarde f(p) een goede benadering is voor de waardes q in alle punten die voldoende dicht bij p liggen. Echter: Het punt p wordt gegeven door twee coördinaten (a, b). Het punt q wordt ook gegeven door twee coördinaten (s, t). We vinden dat q dicht bij p ligt als s a en t b allebei klein zijn. Zo is de functie f gegeven door x 3 y 2 continu in het punt p = (2, 1) want
2 2 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. Als 1.9 < x < 2.1 en 0.9 < y < 1.1 dan wijkt de waarde in q = (s, t) minder dan af van de waarde in p. Als 1.99 < x < 2.01 en 0.99 < y < 1.01 dan wijkt de waarde in q = (s, t) minder dan af van de waarde in p. Als < x < en < y < dan wijkt de waarde minder dan af van de waarde in p. Enzovoorts. Bekijk nu de functie g gedefinieerd door g(x, y) = { 2x 2 y 2 2x 2 +y 2 als (x, y) (0, 0) 0 als (x, y) = (0, 0) Als het punt q = (s, t) op de horizontale as ligt maar niet in de oorsprong (dat wil zeggen t = 0 en s 0) dan is g(q) = 1, wat sterk afwijkt van de waarde die g in de oorsprong heeft, ook als q vlak bij de oorsprong ligt. Als het punt q = (s, t) op de verticale as ligt maar niet in de oorsprong (dat wil zeggen s = 0 en t 0) dan is g(q) = 1, wat ook sterk afwijkt van de waarde die g in de oorsprong heeft, ook als q vlak bij de oorsprong ligt. Ook hier is het niet te repareren door g in de oorsprong een andere waarde te geven: als het op de horizontale as goed gaat dan gaat het op de verticale as fout, en andersom. De situatie is hier nog ernstiger dan bij de Heaviside functie, want voor punten q = (s, t) die op de diagonaal liggen (dat wil zeggen t = s) is de functie steeds 1/3, dus nog weer anders dan op de bovengenoemde assen. De formele definitie van continuïteit is als volgt. Zij f : R n R een functie van n variabelen en zij p = (a 1, a 2,..., a n ) een punt. Dan heet f continu in p als er voor elke ɛ > 0 een δ > 0 te verzinnen valt zó dat f(x 1, x 2,..., x n ) f(a 1, a 2,..., a n ) kleiner dan ɛ is zodra x 1 a 1,..., x n a n allemaal kleiner dan δ zijn. Het is natuurlijk noodzakelijk om het begrip continu een precieze definitie te geven. Bovenstaande definitie is echter vrij gecompliceerd, en dus willen we hem graag zo weinig mogelijk gebruiken. Gelukkig kunnen we al heel ver komen met behulp van de nu volgende feiten, welke men kan bewijzen uitgaande van bovenstaande definitie. De elementaire functies (x, y) x en (x, y) y zijn overal continu. Als f en g continu zijn dan is f + g dat ook. Als f en g continu zijn dan is f g dat ook.
3 1.1 Continuïteit. 3 Als f : R n R een continue functie is van n variabelen en g : R R een continue functie is van 1 variabele, dan is de samenstelling g f weer een continue functie. Dat geldt in het bijzonder als g een van de standaard functies sin, cos, exp... is. En ook voor log mits hij alleen op positieve dingen wordt toegepast. Als f en g continu zijn dan is f g de waarde 0 aanneemt. dat ook zolang de noemer g maar niet Met behulp van deze observaties zien we meteen dat de functie (x, y) (x 2 3x)e y 2y sin(x) 2 + cos(y) continu is in alle punten van het vlak R 2. Hij is namelijk op bovenstaande manier opgebouwd uit elementaire continue functies. Ook in meer pathologische situaties kunnen we vaak voor vele punten gebruiken maken van bovenstaande observaties, en moeten we slechts voor uitzonderlijke punten teruggrijpen naar de formele definities. Hier volgt een voorbeeld. Zij f de functie van twee variabelen gedefinieerd door { x 2 y als (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 4 0 als (x, y) = (0, 0) Dan is f continu in alle punten buiten de oorsprong omdat de noemer daar positief is en de functie dus op de goede manier is opgebouwd. Om te zien dat f ook in de oorsprong continu is merken we op dat uit x 2 x 2 + y 4 volgt dat f(x, y) y voor alle (x, y). Dus ligt f(x, y) dicht bij f(0, 0) als (x, y) dicht bij (0, 0) ligt, wat betekent dat f ook in de oorsprong continu is. In meer gecompliceerde gevallen vereist het nog meer oefening om een effectieve afschatting te vinden. De bedoeling van deze cursus, hier en in de volgende hoodstukken, is niet dat U leert alle situaties aan te kunnen, maar om te leren herkennen wanneer de situatie gunstig en U hem zelf aan kunt, of gecompliceerd en U specialistische hulp nodig heeft.
4 4 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. 1.2 Differentieerbaarheid. Een functie a van één variabele noemen we affien als er getallen b, c zijn zó dat a(x) = bx + c voor alle x. In dat geval is de grafiek van a een rechte lijn, en b is een maat voor de steilheid van die lijn. Zij nu f een willekeurige functie van één variabele. We noemen f differentieerbaar in het punt p R als er een affiene functie a bestaat zó dat a(q) een zeer goede benadering is van f(q) voor q dicht bij p. De grafiek van a is dan de raaklijn aan de grafiek van f in het punt p. Het steilte-getal b van de raaklijn heet de afgeleide van f in p, genoteerd f (p). Zo is de functie f gedefinieerd door f(x) = x 3 differentieerbaar in 2 met afgeleide 12. Voor de affiene functie a gegeven door a(x) = 12x 16 geldt namelijk 0 < f(x) a(x) < als 1.9 < x < < f(x) a(x) < als 1.99 < x < < f(x) a(x) < als < x < Enzovoorts. De absolute-waarde-functie is wel continu, maar niet differentieerbaar in 0: de affiene functie die hem voor positieve getallen zeer goed benadert doet het niet voor negatieve getallen, en omgekeerd. Ook de derde-machtswortel is wel continu, maar niet differentieerbaar in 0. De grafiek heeft wel een raaklijn in de oorsprong, maar die loopt verticaal, en wordt dus niet beschreven door een affiene functie a. Voor praktisch omgaan met differentieerbaarheid en afgeleides maken we gebruik van de volgende feiten: Als f en g differentieerbaar zijn in p dan is f + g het ook met afgeleide f (p) + g (p). Als f en g differentieerbaar zijn in p dan is f g het ook met afgeleide f (p)g(p) + f(p)g (p). Als f en g differentieerbaar zijn in p dan is f g f (p)g(p) f(p)g (p) g(p) 2. het ook met afgeleide Als f differentieerbaar is in p en g differenttieerbar is in f(p) dan is de samenstelling g f differentieerbaar in p met afgeleide g (f(p)) f (p). De elementaire functies sin, cos, exp... zijn differentieerbaar in elke punt.
5 1.2 Differentieerbaarheid. 5 Een functie a van twee variabelen noemen we affien als er getallen b 1, b 2 en c zijn zó dat a(x, y) = b 1 x + b 2 y + c voor alle x, y. In dat geval is de grafiek van a een recht vlak, en de getallen b 1 en b 2 zijn een maat voor de steilheid én de stand van dat vlak. Zij nu f een willekeurige functie van twee variabelen. We noemen f totaal differentieerbaar in het punt p als er een affiene functie a bestaat zó dat a(q) een zeer goede benadering is van f(q) voor q dicht bij p. De grafiek van a is dan een raakvlak aan de grafiek van f in het punt p. Zo is de functie f gedefinieerd door f(x, y) = x 2 + y 2 niet totaal differentieerbaar in het punt (0, 0). De grafiek van f is namelijk een kegel die op zijn punt staat, en dus niet zeer goed te benaderen door enig vlak. Hoewel bovenstaand begrip van differentieerbaarheid fundamenteel is, is het niet erg praktisch werkbaar. We gaan het daarom insluiten tussen twee andere netheids-eisen op f die wel werkbaar zijn. De ene eis is een beetje zwakker, en de andere juist een beetje sterker dan de eis van totale differentieerbaarheid. Zij f een functie van n variabelen, en p = (p 1, p 2,..., p n ) een punt in de buurt waarvan we de functie f willen bestuderen. Dan kunnen we daaruit een aantal hulpfuncties h 1,..., h n van één variabele destilleren als volgt h k (t) = f(p 1, p 2,..., p k 1, t, p k+1,..., p n ) In woorden: je houdt alle variabelen op één na vast op de waarden die ze in het punt p hebben, en je laat de ene overblijvende variabele varieren. Als voor elke k geldt dat deze functie h k differentieerbaar is in t = p k dan noemen we de functie f partieel differentieerbaar in het punt p. Je kijkt dus alleen hoe de functiewaarde verandert wanneer je vanuit p loopt in een richting evenwijdig aan een coordinaat-as, en niet wat die functiewaarde is in andere punten vlak bij p. We noteren voortaan f x k (p 1,..., p n ) of ook wel (D k f)(p 1, p 2,..., p n ) voor de waarde van die afgeleide h k (p k), en we noemen dat de k-de partiële afgeleide van f in het punt p. Dit wat betreft de notie partieel differentieerbaar in het punt p. Als het voor elk punt p goed gaat dan noemen we onze functie (zonder meer) partieel differentieerbaar. Het prettige aan deze definitie is dat we nuttig gebruik kunnen maken van al onze kennis over differentiatie van functies van één variabele, met name de rekenregels op pagina 4. We lezen uit die regels direct af dat een som of product van partieel differentieerbare functies er weer een is, en een quotiënt ook, zolang de noemer maar ongelijk nul blijft. Kortom we kunnen in vele gevallen direct aan de beschrijving van een functie aflezen dat hij de gewenste kwaliteiten bezit.
6 6 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. Bekijk als voorbeeld de zotte functie f gegeven door f(x, y) = sin(x) + log(1 + y2 ) e x + cos 2 (y) Deze functie is partieel differentieerbaar omdat hij is samengesteld vanuit elementaire differentieerbare functies (sinus, logaritme, e-macht) van één variabele, met gebruikmaking van onschuldige bewerkingen (optellen, vermenigvuldigen, delen). Er zijn hier twee gevaren waar we op moeten testen: De logaritme is alleen gedefinieerd (en dan ook differentieerbaar) voor positieve waarden van zijn input. Hier gaat het goed omdat die input 1 + y 2 bedraagt, wat 1 is. Deling gaat alleen goed wanneer de noemer ongelijk nul is. Hier is dat het geval omdat e x > 0 en cos 2 (y) 0. Niet alleen zien we aan de algemene opbouw van f meteen dat hij partieel differentieerbaar is in elk punt, we kunnen met behulp van de rekenregels voor differentiëren ook vlot bepalen wat de partiële afgeleides zijn in een willekeurig punt: (D 1 f)(x, y) = cos(x)(ex + cos 2 (y)) (sin(x) + log(1 + y 2 ))e x (e x + cos 2 (y)) 2 en (D 2 f)(x, y) = 2y 1+y 2 (e x + cos 2 (y)) (sin(x) + log(1 + y 2 ))( 2 cos(y) sin(y)) (e x + cos 2 (y)) 2 (reken dit na!). Zij f een functie van n variabelen die in elk punt p partieel differentieerbaar is. De waarde (D k f)(p) van de k-de partiële afgeleide in p is uiteraard afhankelijk van p en beschrijft op die manier zelf ook weer een functie van n variabelen. Als dit voor elke k een continue functie oplevert, dan noemen we de oorspronkelijke functie f continu differentieerbaar. Het belangrijke feit is nu: een functie die continu differentieerbaar is, is totaal differentieerbaar. Anders gezegd: als we de partiële afgeleides uitrekenen en ze blijken continu te zijn dan is onze functie zó fatsoenlijk dat zijn grafiek vloeiend verloopt: in elk punt van de grafiek bestaat een raakvlak. Over de steilte en stand van dat raakvlak straks meer. In bovenstaand voorbeeld zien we dat elk van beide partiële afgeleides niet alleen bestaat, maar zelf ook weer is opgebouwd uit elementaire goede functies door middel van onschuldige bewerkingen. We concluderen dat onze voorbeeld-functie f continu differentieerbaar is en dus een vloeiende grafiek heeft. In feite lees je uit de rekenregels voor differentiëren af dat een functie die is samengesteld uit de elementaire bouwstenen door middel van onschuldige
7 1.3 Richtingsafgeleide en gradiënt. 7 bewerkingen automatisch continu differentieerbaar is. Immers bijvoorbeeld de rekenregel voor de afgeleide van f/g zegt dat die afgeleide is opgebouwd uit f en g zelf en hun afgeleides, met gebruikmaking van vermenigvuldiging, aftrekking en deling, met een noemer die verondersteld wordt ongelijk nul te zijn. 1.3 Richtingsafgeleide en gradiënt. Zij f een continu differentieerbare functie van n variabelen. Zoals eerder opgemerkt is f dan zeker totaal differentieerbaar in een willekeurig punt p = (p 1,..., p n ). Dat betekent dat f zich zeer goed laat benaderen door een affiene functie a, die we kunnen schrijven als a(x 1,..., x n ) = b 1 (x 1 p 1 ) + b 2 (x 2 p 2 ) + + b n (x n p n ) + c en het is duidelijk dat c precies a(p 1,..., p n ) moet zijn. Elke vector (v 1,..., v n ) bepaalt een lijn l door het punt p en wel door de formule l(t) = p + tv = (p 1 + tv 1, p 2 + tv 2,..., p n + tv n ) We kunnen ons afvragen hoe de functie f langs die lijn verandert. Dat betekent dat we f(p + tv) als functie van de ene variabele t bestuderen en vragen naar de afgeleide naar t in 0. Dat heet de richtings-afgeleide van f in het punt p in de richting v. Notatie (D v f)(p). De aanname dat f totaal differentieerbaar is zorgt er voor dat deze afgeleide gelijk is aan de afgeleide van a(p + tv) = tb 1 v 1 + tb 2 v tb n v n naar t in 0, en die is gelijk aan b 1 v b n v n. Een probleempje is dat we nog niet weten wat de getallen b 1,..., b n zijn. Maar daar komen we achter door het speciale geval te bekijken dat v een basisvector e k = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) is. Enerzijds krijg je dan namelijk b 1 v b n v n = b k. En anderzijds is de richtings-afgeleide van f in p in de richting e k precies wat we eerder de k-de partiële afgeleide (D k f)(p) noemden van f in p. We vinden dus: (D v f)(p) = (D 1 f)(p)v 1 + (Df 2 f)(p)v (Df n )(p)v n Herinner je nu het volgende uit de vector-rekening. Het scalair product ofwel inproduct (w, v) tussen twee vectoren w en v is de som van producten van componenten: (w, v) = w 1 v 1 + w 2 v w n v n
8 8 1 CONTINUÏTEIT EN DIFFERENTIEERBAARHEID. De formule uit de vorige alinea zegt dus dat de richtings-afgeleide van f in het punt p in de richting v gelijk is aan het scalaire product van v en de vector bestaande uit het rijtje partiële afgeleiden: ((D 1 f)(p), (D 2 f)(p),..., (D n f)(p)) Deze vector speelt dus een bijzondere rol en heet de gradiënt van f in het punt p. Hij wordt vaak als ( f)(p) genoteerd. Het wordt tijd om een onnauwkeurigheid in bovenstaand verhaal te corrigeren, met name in de terminologie. Elke vector v bepaalt weliswaar een lijn l door het punt p als boven, maar als we die vector v met een factor α vermenigvuldigen dan wordt die lijn α maal zo snel doorlopen, en de grootheid (D v )(p) wordt ook α keer zo groot. Als we willen bestuderen in hoeverre de verandering in f van de richting vanuit p afhangt, dan doen we er goed aan om de snelheid waarmee l doorlopen wordt een vaste waarde 1 te geven. We noemen een vector v = (v 1,..., v n ) daarom voortaan een richtings-vector wanneer zijn lengte v = (v, v) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) (v n ) 2 gelijk is aan 1. En we reserveren de term richtingsafgeleide voortaan voor het geval v = 1. Nu hebben we nog een feit nodig uit de vector-rekening. Als de vector w vast is, dan is het scalair product (w, v) onder alle vectoren v van lengte 1 maximaal als v dezelfde richting heeft als w, dus als v = w w = (w 1,..., w n ) (w1 ) (w n ) 2 In het bijzonder is (D v f)(p) = (( f)(p), v) onder alle vectoren v van lengte 1 maximaal als v = ( f)(p) ( f)(p) In woorden: als we de van de gradiënt van f in p een richtings-vector maken door hem te delen door zijn lengte dan vinden we de richting waarin f het snelste toeneemt. Dit levert ons het basis-principe voor een algoritme om plaatselijke maxima van een functie f te vinden: doe telkens een klein stapje in de richting gegeven door de gradiënt: p j+1 = p j + ɛ j ( f)(p j ) Je moet dan nog een geschikte strategie bedenken om de stap-grootte ɛ j steeds aan te passen.
(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieOpgave a. We berekenen eerst een normaal v van V en een normaal w van W. v = (b a) (c a) = ((2)(1) ( 2)( 2), ( 2)( 1) ( 1)(1), ( 1)( 2) (2)( 1))
Calculus 3. Uitwerking opgav 1 april. Opgave a. We berek eerst e normaal v van V e normaal w van W. Dus b a = 2, 4, 1 3, 2, 1 = 1, 2, 2, c a = 2,, 2 3, 2, 1 = 1, 2, 1, v = b a c a = 21 2 2, 2 1 11, 1 2
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieAanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):
Deel I Voortgezette Analyse Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Robert C. Wrede, Murray Spiegel: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Advanced Calculus. McGraw-Hill
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatie(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},
Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieAlgemene informatie. Inhoudelijke informatie
Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieMinima en maxima van functies
Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieAnalyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
Nadere informatieDit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplicht en vrijwillig huiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan het eind.
Wiskunde 1A - groep 3 (Gabor Wiese) 16/09/2003 Wat informatie: Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplict en vrijwillig uiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan et eind.
Nadere informatieRelevante examenvragen , eerste examenperiode
Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieStandaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011
Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatieHints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden
Nadere informatieRekenregels voor het differentiëren. deel 1
Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er
Nadere informatieUitleg van de Hough transformatie
Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieLeeswijzer bij het college Functies en Reeksen
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieHints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17
Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9
Nadere informatieRelevante vragen , eerste examenperiode
Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (BKI 36) Bernd Souvignier najaar 6 Inhoud I Voortgezette Analyse Les Functies van meerdere variabelen.................. 3. Continuïteit..........................
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote
Nadere informatiex a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieIntegratietechnieken: substitutie en partiële integratie
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieVoorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieRekenregels voor het differentiëren
Rekenregels voor het differentiëren Wisnet-HBO update febr. 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er Maplets
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieFuncties en symmetrie
lesbrief Functies en symmetrie (even en oneven functies) 7N5p 013 gghm Symmetrie Bij grafieken van functies hebben we te maken met twee soorten symmetrie: lijnsymmetrie en puntsymmetrie. In deze lesbrief
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieToepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Nadere informatieParagraaf 5.1 : Machten en wortels
Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =
Nadere informatieWiskunde 1 Samenvatting deel /2018
Inleiding Dit is een preview van onze samenvatting voor het vak Wiskunde 1. Wij hopen met hiermee te laten zien dat onze samenvattingen volledig, gestructureerd en gemakkelijk te begrijpen zijn. In deze
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieTentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieintegreren is het omgekeerde van differentiëren
Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatiebegin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie
begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatieExtrema van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 005 Les 3 Extrema van functies van meerdere variabelen Bij gewone functies van één variabel hebben we in Wiskunde 1 de vraag behandeld hoe we minima en maxima van
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieDifferentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.
Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieVergelijkingen oplossen met categorieën
Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieWisnet-HBO. update maart. 2010
Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieCalculus I, 19/10/2015
Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie