8. Differentiaal- en integraalrekening

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "8. Differentiaal- en integraalrekening"

Transcriptie

1 Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie, index is de sommatie-index, laag is de ondergrens van index en hoog is de bovengrens van index. Voorbeeld 1: We berekenen de som van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 100. Voorbeeld 2: n k 3 We berekenen de som voor n = 1, 2, 10; k = 1 5 (dit is de de som van de eerste n termen van een meetkundige rij met reden r = 3/5). Het is handig om hier een lijst te gebruiken: Dit ziet er vanwege de breuken niet zo veelzeggend uit, daarom stappen we over op kommagetallen via CTRL-F U weet dat in dit geval de rij van de partiële sommen convergeert omdat r < 1. k 3 Laten we daarom proberen de som s = ( ) uit te rekenen met Maxima. 5 k= 1 1

2 Differentiaal- en integraalrekening Dit wilde we Maxima inderdaad laten uitrekenen. Met de toevoeging simpsum (simplify sum) lukt dit inderdaad: Sommen kunnen ook via de menuopdracht Calculus Calculate sum.. berekend worden: 2

3 Computeralgebra met Maxima Voorbeeld 3: Voor de berekening/benadering van sin(π/6) willen we gebruik maken van de Taylorreeks van sin(x): 3 5 2n+ 1 n sin( x) = x x + x = ( 1) x 3! 5! (2n + 1)! n= 0 n 2k+ 1 k x We bepalen nu een benadering door middel van de partiële sommen 1). k= 0( (2 k + 1)! In Maxima definiëren we daartoe een functie van twee variabelen sin ben( x, n ) als volgt: We berekenen nu de benaderingen sinben(π/6,n) van sin(π/6) voor n = 0, 1,, 5 U ziet dat deze rij van partiële sommen vrij snel convergeert naar de waarde sin(π/6) (= 0.5)van de standaardfunctie sin van Maxima: Opmerking: Maxima heeft overigens een eigen opdracht voor Taylorbenaderingen. Willen we bijvoorbeeld een derde orde Taylorbenadering van sin(x) berekenen dan kan dat via de opdracht : taylor(sin(x), x, 0, 3) : 3

4 Differentiaal- en integraalrekening Vervolgens kunnen we hierin de waarde x=%pi/6 substitueren: 8.2. Berekening van limieten Voor de berekening van limieten kent Maxima de volgende mogelijkheden Via de opdracht : limit (expr, var, waarde,<plus/minus>) Deze opdracht bepaalt dus de limiet van de expressie expr als de reële variabele var nadert tot de gegeven waarde van rechts (plus) of van links (minus). Als u de optie plus/minus niet gebruikt dan zal Maxima proberen een tweezijdige limiet te bepalen. Via de menuopdracht Calculus Find limit.. Voorbeeld 1: We bepalen het differentiaalqoutiënt van de funktie f x 3 ( ) x 1 = voor x = 2. f (2) = lim f + h f h 0 (2 ) (2) h In kleine stapjes verloopt deze berekening als volgt: 4

5 Computeralgebra met Maxima Maxima kan dit alles ook in één opdracht berekenen : Voorbeeld 2: n 1 Beschouw de rij u gedefinieerd door u( n) = 1+, voor n = 1, 2,. n We vragen ons af tot welke waarde u(n) nadert als n nadert tot oneindig? We berekenen nu de waarden van u(n) voor n = 1, 2,, 8 5

6 Differentiaal- en integraalrekening Hieruit valt nog moeilijk iets over een eventuele limietwaarde te zeggen; daarom kiezen we voor n een aantal grotere waarden: De rij lijkt te convergeren naar een waarde van ongeveer 2,71... De convergentie en limietwaarde kan Maxima berekenen via limit (u(n),n,inf): Het resultaat is het beroemde getal van Euler e. Opmerking: Oneindig wordt met inf aangegeven en minusoneindig met mininf. Een limietberekening kan bijzondere resultaten opleveren: und : ongedefinieerd ind : onbepaald maar begrensd infinity : complex oneindig Opgave 8.1 Bepaal de limiet van de rij u(n) = 2 n 3 voor n gaat naar oneindig 3n + 1 Opgave 8.2 Bereken de helling van de functie f(x) = abs(x 2-1) in het punt x = Differentiëren 6

7 Computeralgebra met Maxima Symbolisch differentiëren Voor het symbolisch differentiëren kent Maxima de volgende mogelijkheden Via de opdracht : diff (expr, var) resp. diff (expr, var, orde) voor hogere afgeleiden Via de menuopdracht Calculus Differentiate kan met behulp van een dialoogvenster in wxmaxima gewerkt worden. Voorbeeld 1: Bepaal de afgeleide van de functie 1, 3, 5 en f : x x + x 2x + 3 en bepaal de afgeleide in de punten Een andere handiger methode om de afgeleide in een punt direct te bepalen verloopt via de opdracht at als volgt: Hint: Als we de afgeleide in meerdere punten moeten berekenen is het handiger om de afgeleide functie als een zelfstandige functie bijvoorbeeld f1(x) expliciet te definiëren. 7

8 Differentiaal- en integraalrekening Opmerking: Een tweede mogelijkheid om een lijst van functiewaarden te produceren is via de opdracht map, bijvoorbeeld map(f1, [1,3,5,7]) Voorbeeld 2: Bepaal de buigpunten van de functie f x x x x 3 2 : Voor het bepalen van de buigpunten moeten we nagaan waar de tweede afgeleide 0 is en van teken verandert. Omdat f2 een lineaire functie is, zal er een tekenwisseling optreden in het nulpunt van f2. 8

9 Computeralgebra met Maxima Opgave Beschouw de functie: f : x x + 2x 5. Bepaal de nulpunten en extremen van f. Opgave Beschouw de schaar van functies : fa : x x + ax met a Plot de functieschaar voor a = -4,-3,.,2, 3, 4. Bepaal de nulpunten, extreme waarden en buigpunten in afhankelijkheid van de parameter a Toepassingen Bepalen raaklijn Uit de wiskunde van het VO weet u (misschien) nog dat de vergelijking van de raaklijn in het punt (a, f(a)) van de grafiek van de functie f te schrijven is als: y f ( a) = f ( a) ( x a) of als y = f ( a) + f ( a) ( x a) Bij gegeven functie f kunnen we in Maxima f ( a) bepalen via at(diff(f(x),x),x=a). De raaklijnfunctie behorend bij de functie f in het punt x=a kunnen we dan definiëren als: raakfunctie(f,a,x):= f(a)+ at(diff(f(x),x),x=a)*(x-a) Nemen we als voorbeeld de functie f(x) = sin(x), dan verloopt de berekening in Maxima als volgt: 9

10 Differentiaal- en integraalrekening De raaklijnfunctie in het punt x = %pi/3 wordt dan: De vergelijking van de raaklijn in x = a aan de grafiek van f kunnen we dan in Maxima definiëren door de volgende functie: 10

11 Computeralgebra met Maxima Extremen en buigpunten Bij het bepalen van extremen en buigpunten van een functie is het handig als we kunnen beschikken over het tekenverloop van de eerste en tweede afgeleide van die functie. In Maxima kunnen we beschikken over de functie signum (x), welke als volgt gedefinieerd is : + 1 x > 0 signum( x) = 0 x = 0 1 x < 0 Voorbeeld : Beschouw de functie 3 2 f : x 3x 9x + 6. De nulpunten van f vinden we door het oplossen van de vergelijking f(x)=0 : Het tekenoverzicht van de functie f wordt dan verkregen via de opdracht signum(f(x)) : 11

12 Differentiaal- en integraalrekening Uit de resultaten (%o2) en (%o4) mogen we dus concluderen: positief 1 3 < x < 1 en x > 1+ 3 f ( x) = nul x = 1+ 3, x = 1, x = 1+ 3 negatief x < 1 3 en 1< x < 1+ 3 Voor het bepalen van de extremen van f bepalen we eerst de eerste afgeleide f1 : Eventuele lokale extremen treden op in de nulpunten van f1: Het tekenoverzicht van f1 geeft ons nadere informatie over de aard van de extremen van f : Uit het tekenverloop van de eerste afgeleide f1 mogen we dus concluderen dat: f heeft een lokaal maximum voor x=0 f heeft een lokaal minimum voor x=2 De grootte van het maximum/minimum vinden we als volgt: 12

13 Computeralgebra met Maxima Deze resultaten zijn volledig in overeenstemming met het onderstaande plaatje : Opgave Beschouw de functie f : x 3x 9x + 6 Bepaal de buigpunten van f en bepaal de vergelijking(en) van de buigraaklijn(en). Teken de grafiek van f en de buigraaklijnen van f in één figuur Integreren Voor het symbolisch integreren kent Maxima de volgende mogelijkheden Via de menuopdracht Calculus Integrate kan met behulp van een dialoogvenster in wxmaxima gewerkt worden. Via de opdracht: integrate (expr, var) Opmerking: Maxima geeft bij het integreren geen integratieconstante aan! Onbepaalde integraal Bepaal een stamfunctie (onbepaalde integraal) van de volgende functies : 2 x, 1 x, sin(2 x ), 1 2x, 2 x + x 13

14 Differentiaal- en integraalrekening 1 Misschien dat u niet meteen zelf een stamfunctie van had gevonden, maar passen we 2 x + x eerst breuksplitsing toe dan wordt de zaak plots eenvoudiger: 14

15 Computeralgebra met Maxima Bepaalde integraal Bij een bepaalde integraal integrate (expr, x, a, b) moeten we als derde en vierde argument ook de ondergrens resp. de bovengrens van het integratieinterval aangeven. Als Maxima een bepaalde integraal niet exact berekenen kan, dan wordt de invoer weer geretourneerd in een nette wiskundige notatie. Voor een benadering moeten we dan een numerieke methode gebruiken, bijv. romberg (expr,var,a,b) Toepassing 3 2 Gegeven is de derdegraadsfunctie f : x 3x 9x + 6, waarvan de grafiek de x-as een aantal malen snijdt. De opdracht is nu om de oppervlakte te berekenen van het gedeelte van het vlak dat ingesloten wordt door de grafiek van de functie f en de x-as. We beginnen uiteraard met de functie in te voeren en de grafiek te tekenen. 15

16 Differentiaal- en integraalrekening We bepalen vervolgens de snijpunten van de grafiek van f met de x-as: De integraal van f op het interval [b, c] moet negatief genomen worden omdat de oppervlakte bepaald moet worden. De totale oppervlakte wordt dus b Opp_totaal = f ( x) dx f ( x) dx Vertaald naar Maxima: a c b Opgave 8.6 Bereken de oppervlakte van een cirkel via de integraal 4 r 2 2 r x dx. 0 16

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Computeralgebra met Maxima 6. Functies 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Een van de belangrijkste gereedschappen in een CAS betreft het gebruik van functies (definitie, berekening en grafiek).

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

x 2 dx = 1 3, een uitkomst ook al bekend in de Griekse oudheid, lang voor dat differentiaalrekening

x 2 dx = 1 3, een uitkomst ook al bekend in de Griekse oudheid, lang voor dat differentiaalrekening In dit college en een gedeelte van het vervolgcollege in het tweede jaar behandelen we de theorie achter de differentiaal- en integraalrekening voor functies van één reële variabele waarmee de student

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Recursie

Hoofdstuk 5 - Recursie Hoofdstuk 5 - Recursie Een banktegoed waarover je jaarlijks rente krijgt uitgekeerd is een voorbeeld van recursie. Je kunt steeds het nieuwe banktegoed berekenen op basis van het banktegoed van vorig jaar.

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

WISKUNDE 3 PERIODEN EUROPEES BACCALAUREAAT 2010. DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : TOEGESTANE HULPMIDDELEN : OPMERKINGEN : Geen

WISKUNDE 3 PERIODEN EUROPEES BACCALAUREAAT 2010. DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : TOEGESTANE HULPMIDDELEN : OPMERKINGEN : Geen EUROPEES BACCALAUREAAT 010 WISKUNDE 3 PERIODEN DATUM : 4 juni 010 DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

2. Het benaderen van nulpunten

2. Het benaderen van nulpunten Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:

Nadere informatie

Willem van Ravenstein 2007

Willem van Ravenstein 2007 Inhoud van ruimtelijke figuren Inhoud van omwentelingslichamen Lengte van een kromme Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden Standaardtypen differentiaalvergelijkingen Losse eindjes, tips & truuks

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

4. Vereenvoudigen expressies

4. Vereenvoudigen expressies Computeralgebra met Maxima 4. Vereenvoudigen expressies 4.1. Vereenvoudigen ratsimp De grote kracht van een Computer-Algebra-Systeem als Maxima ligt daarin, dat niet alleen numerieke expressies vereenvoudigd/berekend

Nadere informatie

10. Controleopdrachten

10. Controleopdrachten Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2008 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare,

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÒÁÒ ÓÖÑ Ø ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÇÒ ÖÛ Ò Ö ÒØ Ð¹ Ò ÒØ Ö ÐÖ Ò Ò È Ø Ö Ù Ò HZS-OE5-NW4 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie.4 4 maart 29 2 Differentiaal- en integraalrekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen.

In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen. Hoofdstuk Een DERIVE-tour In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen..1 Exact en benaderend rekenen Met de standaardinstelling

Nadere informatie

Nulpunten op een lijn?

Nulpunten op een lijn? Nulpunten op een lijn? Jan van de Craats leadtekst Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is één van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Aansluiting VWO WO en Wiskunde D

Aansluiting VWO WO en Wiskunde D Aansluiting VWO WO en Wiskunde D Steven Wepster Departement Wiskunde Universiteit Utrecht D-dag 2013 Wie ben ik? lang geleden: een jaartje wi aan onderbouw nu: UD (geschiedenis van de) wiskunde, Utrecht

Nadere informatie

Mijmeringen over met de TI-84+

Mijmeringen over met de TI-84+ Mijmeringen over met de TI-84+ Dr Didier Deses Samenvatting Het begrip oneindig komt in de lessen van het ASO regelmatig voor. Het duikt op in verschillende contexten: rijen, limieten, asymptoten, integralen,

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vakspecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006

Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006 Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 006 Opgave 1 a. 5 pt y 1 f x v t ; D y 1, t, v ^ D y 1, x, True y g x v t ; D y, t, v ^ D y, x, True Gewoon invullen in de golfvergelijking. Je moet dus weten

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO en VHBO. Wiskunde B

Correctievoorschrift HAVO en VHBO. Wiskunde B Wiskunde B Correctievoorschrift HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak VHBO Tijdvak 0 00 Inzenden scores Uiterlijk juni de scores van de alfabetisch

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

Uitwerkingen toets emv

Uitwerkingen toets emv Uitwerkingen toets emv 24 april 2012 1 (a) Bij aanwezigheid van een statische ladingsverdeling ρ(r) wordt het elektrische veld bepaald door E = 1 ρ(r ) 4π r 2 ˆrˆrˆr dτ, V waarin V het volume van de ladingsverdeling,

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016

Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016 Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016 Kwartiel 1, week 8.1 Op het college van dinsdag 20 oktober is het volgende behandeld: - opgaven van Oncourse over integralen

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie