1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie."

Erika de Lange
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste manier zijn de gebruikelijke cartesiaanse coördinaten (, y) De getallen en y zijn hier afstanden (met een teken), respectievelijk op de X-as en de Y -as Het andere koppel coördinaten (r,θ) zijn ook twee getallen die het punt p eenduidig bepalen r is de afstand van de oorsprong o tot p en θ is het maatgetal van de georiënteerde hoek tussen de X-as en het lijnstuk op, uitgedrukt in radialen (r, θ) wordt een koppel poolcoördinaten van p genoemd

respectievelijk op de X-as en de Y -as Het andere koppel coördinaten (r,θ) zijn ook twee getallen die het punt p eenduidig bepalen r is de afstand van de

2 2 Poolcoördinaten 2 Poolstelsel Y y p p e 2 X o e o e θ r X e fig 2 De cartesiaanse coördinaten van het punt p zijn bepaald ten opzichte van twee onderling loodrechte assen, die snijden in de oorsprong o, met eenheidspunt e op de X-as en eenheidspunt e 2 op de Y -as Om het punt p poolcoördinaten te kunnen geven hebben we enkel de oorsprong o, een halve rechte X met de oorsprong o als eindpunt en een eenheidspunt e op X nodig Als we een cirkel trekken met straal en o als centrum dan snijdt die de rechte op in een punt e Dit snijpunt e is het eenheidspunt op de rechte op Het punt o noemt men de pool en X de poolas (o, X) noemt men een poolstelsel 3 Poolcoördinaten Ten opzichte van een poolstelsel (o, X) ligt een punt p vast door het geven van een koppel getallen (r,θ) Het getal θ stelt de georiënteerde hoek voor tussen X en het lijnstuk op We spreken af dat θ het maatgetal van deze hoek is uitgedrukt in radialen Eenvoudigheidshalve zullen we vaak gewoon over de hoek θ spreken, terwijl we eigenlijk het maatgetal bedoelen Het getal r is de afstand tussen o en p r is dus een positief reëel getal taak Geef een koppel poolcoördinaten voor de punten a,b,c en d uit de onderstaande figuur Teken op onderstaande figuur de punten p tot en met p 9

eindpunt en een eenheidspunt e op X nodig Als we een cirkel trekken met straal en o als centrum dan snijdt die de rechte op in een punt e Dit snijpunt e is het eenheidspunt op de rechte op Het punt o

3 3 Poolcoördinaten 3 b c o a X d a (,) p 3 (2, 3π 6 ) b (,) p 4 (3, 27π) c (,) p 5 (, ) d (,) p 6 (2, π 6 ) p 7 (0, 0) p (2, π 6 ) p 8 (0, ) p 2 (2, 7π 6 ) p 9 (0, 0π) Commentaar In deze taak stelde je vast dat één punt verschillende koppels poolcoördinaten kan hebben Dit is niet het geval bij cartesiaanse coördinaten Bv elk koppel van de vorm (2, π 6 +2kπ) met k Z is een stel poolcoördinaten van het punt p Meer algemeen zijn de koppels (r, θ + 2kπ) met k Z verschillende stellen poolcoördinaten van hetzelfde punt Voor de pool o is er nog meer vrijheid Elk koppel (0,θ) met θ R is een stel poolcoördinaten van de pool o Dus als een koppel poolcoördinaten gegeven is kan je juist één punt tekenen met die coördinaten, maar als een punt in het vlak gegeven is, kan je verschillende koppels poolcoördinaten geven voor dat punt Indien θ [0, 2π[ en r R + 0, noemt men (r,θ) de poolcoördinaten van een punt p ten opzichte van een gegeven poolstelsel (0, X)

van het punt p Meer algemeen zijn de koppels (r, θ + 2kπ) met k Z verschillende stellen poolcoördinaten van hetzelfde punt Voor de pool o is er nog meer vrijheid Elk koppel (0,θ) met θ R is een stel

4 4 Poolcoördinaten 4 Poolvergelijkingen taak 2 Teken in onderstaand cartesiaans assenstelsel de punten (, y) waarvoor y = en 2 + y 2 = 4 Geef de vergelijkingen van deze figuren in poolcoördinaten Y o X 4 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten Het nut van poolcoördinaten is onder andere dat sommige vergelijkingen eenvoudiger worden in poolcoördinaten dan in cartesiaanse coördinaten Een duidelijk voorbeeld hiervan is een cirkel met centrum in de oorsprong Dit is een tweedegraadsvergelijking in cartesiaanse coördinaten en een eerstegraadsvergelijking in poolcoördinaten Omgekeerd zijn er ook vergelijkingen die eenvoudiger zijn in cartesiaanse coördinaten Bv de rechte = 2, een rechte die niet door de oorsprong gaat We zullen later zien wat de vergelijking hiervan is in poolcoördinaten taak 3 In de figuur hieronder zijn de punten getekend die voldoen aan de ste graadsvergelijking 2r = θ met r 0 Deze kromme noemt men een Archimedische spiraal

duidelijk voorbeeld hiervan is een cirkel met centrum in de oorsprong Dit is een tweedegraadsvergelijking in cartesiaanse coördinaten en een eerstegraadsvergelijking in poolcoördinaten Omgekeerd zijn

5 5 Transformatie formules 5 Het punt met poolcoördinaten (5, 0) voldoet aan de vergelijking Duid het aan op de figuur Voldoet het koppel (5, 0 2π) aan de vergelijking? Ligt het punt met poolcoördinaten (5, 0 2π) op de kromme? 42 Poolvergelijking Een vergelijking van een kromme ten opzichte van een poolstelsel wordt een poolvergelijking van die kromme genoemd Een punt p behoort tot een kromme met gegeven poolvergelijking als en slechts als een stel poolcoördinaten van p voldoet aan de poolvergelijking Deze zijn niet noodzakelijk de poolcoördinaten van het punt p Merk op dat θ steeds uitgedrukt wordt in radialen! 5 Transformatie formules 5 Geassocieerd assenstelsel Als een cartesiaans assenstelsel gegeven is kunnen we hieraan een poolstelsel associëren door de positieve X-as als poolas te nemen Het punt e nemen we gewoon over Omgekeerd, als een poolstelsel gegeven is associëren we hiermee een cartesiaans assenstelsel door de poolas X te verlengen tot de rechte X en het punt e 2 met poolcoördinaten (, π 2 ) te nemen De rechte door 0 en e 2 is dan de Y -as

42 Poolvergelijking Een vergelijking van een kromme ten opzichte van een poolstelsel wordt een poolvergelijking van die kromme genoemd Een punt p behoort tot een kromme met gegeven poolvergelijking

6 6 Poolcoördinaten 52 Van poolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten Veronderstel dat p een punt is met poolcoördinaten (r,θ) (zie fig ) De cartesiaanse coördinaten (,y) worden dan gegeven door { = r cos θ y = r sin θ Merk op dat een ander stel poolcoördinaten van p hetzelfde koppel (, y) oplevert We kunnen dus besluiten dat indien een stel poolcoördinaten (r, θ) van een punt p gegeven is ten opzichte van een poolstelsel, dan worden de cartesiaanse coördinaten ten opzichte van het geassocieerde cartesiaanse assenstelsel gegeven door { = r cos θ () y = r sin θ 53 Van cartesiaanse coördinaten naar poolcoördinaten Stel nu dat de cartesiaanse coördinaten (,y) van een punt p gegeven zijn ten opzichte van een cartesiaans assenstelsel We zoeken nu een stel poolcoördinaten (r, θ) ten opzichte van het geassocieerde poolstelsel Uit (??) leiden we af dat 2 + y 2 = r 2, dus r = 2 + y 2 Substitueren we r = 2 + y 2 in (), dan krijgen we : cos θ = sin θ = Dit stelsel bepaalt ondubbelzinnig de hoek θ Voorbeeld 2 +y 2 y 2 +y 2 Geef de poolcoördinaten van het punt p met als cartesische coördinaten ( 2, 6): r = = 8 = 2 2 Uit cos θ = volgt θ = 2π of θ = 4π Uit sin θ = 3 volgt θ = π of θ = 2π Antwoord : (2 2, 2π) 3 taak 4 Stel met behulp van de transformatieformules een poolvergelijking op voor de rechte met vergelijking = 2

opzichte van een poolstelsel, dan worden de cartesiaanse coördinaten ten opzichte van het geassocieerde cartesiaanse assenstelsel gegeven door { = r cos θ () y = r sin θ 53 Van cartesiaanse

7 5 Transformatie formules 7 We geven nog een andere omschrijving van hoe we θ kunnen vinden, gegeven de cartesiaanse coördinaten en y Hiervoor herhalen we eerst de definitie van de functie boogtangens De tangensfunctie heeft geen inverse functie Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel waarden waarvoor tan = Om een inverse functie van de tangensfunctie te kunnen definiëren zullen we het definitiegebied beperken tot ] π 2, π 2 [ tangensfunctie op R bgtan 4 tan 4 atan We noteren de inverse functie van de tangensfunctie beperkt tot ] π, π [ met bgtan of 2 2 arctan Het bereik van deze functie is bijgevolg ] π, π[ 2 2 Voor θ ] π, π[ geldt dan: y = tanθ θ = arctany Bijvoorbeeld tan π = en arctan = π 4 taak 5: Bereken arctan(tan π 4 ) Vermits arctan niet de inverse is van de tangensfunctie op R geldt niet altijd dat arctan(tanθ) = θ Dit geldt enkel voor hoeken θ in het ste en het 4de kwadrant Voor hoeken in het 2de en 3de kwadrant kunnen we schrijven dat θ = arctan(tanθ) + π Keren we nu terug naar het zoeken van θ gegeven en y θ vinden we door het stelsel cos θ = sin θ = 2 +y 2 y 2 +y 2 op te lossen Dus als 0 is tanθ = y Als > 0 dan ligt θ in het ste of het 4de kwadrant, als < 0 dan ligt θ in het 2de of het 3de kwadrant We kunnen dus besluiten dat θ = arctan y > 0 = arctan y + π < 0 = π = 0,y > 0 2 = π = 0,y < 0 2

beperken tot ] π 2, π 2 [ tangensfunctie op R bgtan 4 tan 4 atan 3 3 2 2 0 0 2 2 3 3 4 4 3 2 0 2 3 4 4 4 3 2 0 2 3 4 We noteren de inverse functie van de tangensfunctie beperkt tot ] π, π [ met bgtan

8 8 Poolcoördinaten Voorbeeld We nemen weer het punt p met als cartesische coördinaten ( 2, 6) en zoeken de poolcoördinaten van dit punt: r = = 8 = 2 2 < 0 dus θ = arctan y + π = arctan π = arctan( 3) + π = π 3 + π = 2π 3 Antwoord : (2 2, 2π 3 ) 6 Oefeningen Geef alle koppels poolcoördinaten van het punt met gegeven poolcoördinaten (2, 2) 2 Geef van de volgende punten gegeven in poolcoördinaten het stel poolcoördinaten met θ [0, 2π[ : (a) p(5, 7π 2 ) (b) q(3, 5π 4 ) 3 Maak een tabel om bij enkele waarden van θ de bijhorende waarde van r te berekenen en maak een schets van de volgende krommen : (a) r = θ voor θ > 0 (b) r = cos 2θ (rozet) (c) r = θ sin θ voor 0 < θ < π (hyperbolische spiraal) 4 Geef de cartesiaanse coördinaten van de volgende punten met gegeven poolcoördinaten : (a) p(2, 7π 6 ) (b) q(5, 5π 4 ) 5 Geef een koppel poolcoördinaten van de volgende punten met gegeven cartesische coördinaten: (a) p(, ) (b) q( 2, 3 2 ) 6 Geef de cartesiaanse vergelijking van de kromme met poolvergelijking (a) r = 2 (b) r = cos θ 7 Stel de poolvergelijking op van een cirkel met straal a en centrum (0,a)

poolcoördinaten het stel poolcoördinaten met θ [0, 2π[ : (a) p(5, 7π 2 ) (b) q(3, 5π 4 ) 3 Maak een tabel om bij enkele waarden van θ de bijhorende waarde van r te berekenen en maak een schets van de

Vergelijkbare documenten

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten