V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
|
|
- Jonas Gerritsen
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding
2 V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (, ) = heet een inhomogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Bij homogene kwadratische vormen komen de variabelen alleen in de macht voor, d.w.z. alleen, en kunnen in de vorm voorkomen. Bij inhomogene kwadratische vormen kunnen de variabelen ook in de macht aanwezig zijn, d.w.z. en kunnen voorkomen, en de variabelen kunnen in de macht 0 aanwezig zijn. Bij de tweede vorm komt bij het getal 0 50 de variabele voor in de macht 0 omdat = en =. 0 In deze en in de volgende paragraaf zijn we geïnteresseerd in de isolijnen van een homogene kwadratische vorm. Een isolijn is de kromme die in een assenstelsel (, ) ontstaat als een homogene kwadratische vorm in twee variabelen en constant is. Zo levert H (, ) = 36 bij het bovenstaande voorbeeld de vergelijking = 36 Het zal blijken dat dit de vergelijking is voor een ellips. De isolijnen van de inhomogene kwadratische vormen komen in V.3 aan bod. Bij het onderzoek naar homogene kwadratische vormen zullen we gebruiken dat dergelijke vormen kunnen worden gedefinieerd met behulp van smmetrische transformaties in R. Voorbeeld Gegeven: De homogene kwadratische vorm H (, ) = Gevraagd: Toon aan dat H (, ) kan worden uitgedrukt als het een inproduct, ( A ), waarbij = en A een smmetrische transformatie in Oplossing: smmetrische matri 5 A = = = (5 ) + ( + 8 ) 5 5 = i = i = ia =, A ( ) R met
3 Uit het voorbeeld blijkt dus dat een homogene kwadratische vorm in twee variabelen kan worden gedefinieerd met behulp van een smmetrische transformatiea in R. Definitie De met een smmetrische transformatie A in R geassocieerde homogene kwadratische vorm H in de variabele vector wordt gedefinieerd door H ( ) =, A ( ) dus door het inproduct van de vector met zijn A -beeld A ( ) Stelling p q Als A = de matri is bij de smmetrische transformatie A in q s is de geassocieerde homogene kwadratische vorm H ( ) = H (, ) = p + q + s R en = dan Bewijs p q p + q, A ( ) = ia = i = i q s q + s = ( p + q ) + ( q + s ) = p + q + s Het belang van het definiëren van een homogene kwadratische vorm via een smmetrische transformatie A in R ligt in de eigenwaarden en, en in de orthonormale eigenvectoren e en e van de smmetrische transformatie. In IV.3 is besproken, en met een voorbeeld toegelicht, dat deze eigenvectoren e en e een orthonormaal assenstelsel (, ) vastleggen die de zogenoemde haakse assen van de smmetrische transformatie vormen. Definitie De hoofdassen van de homogene kwadratische vorm H ( ) =, A ( ) in assen van de smmetrische transformatie A. R zijn de haakse Opmerking De ontbinding de variabele vector = in R naar de hoofdassen van de homogene kwadratische vorm H ( ) =, A ( ) in R wordt genoteerd als = e + e waarbij e en e de orthonormale eigenvectoren zijn van de smmetrische transformatie A bij resp. de eigenwaarden en. 3
4 Stelling Als de variabele vector in R van de homogene kwadratische vorm H ( ) =, A ( ) wordt ontbonden naar de hoofdassen van de smmetrische transformatie A dan geldt H ( ) = h(, ) waarbij h(, ) = + Bewijs Er geldt Gevolg A ( ) = A ( e + e ) = A ( e) + A ( e ) behoud optelling transformatie = A ( e) + A ( e ) behoud schaling transformatie = e + e eigenwaarden transformatie H ( ) =, A ( ) = e + e, e + e = e, e + e, e + e, e + e, e lineariteit inproduct = orthonormaliteit = + Hierbij is dus gebruikt dat e en e orthonormale eigenvectoren van A zijn. Opmerking De vergelijking van de isolijn H ( ) = c wordt ten opzichte van de hoofdassen, dus ten opzichte van de haakse assen van A h(, ) = c d.w.z. + = c Het is juist deze hoofdassengedaante van de vergelijking van een isolijn van een homogene kwadratische vorm die ons in staat stelt de algemene kenmerken ervan te analseren Voorbeeld Gegeven Gegeven de isolijn van een homogene kwadratische vorm in R = 36 Gevraagd a) De matri van de smmetrische transformatie A in R waarmee deze vergelijking is geassocieerd. b) De eigenwaarden en de orthonormale eigenvectoren van A c) De hoofdassengedaante van de kwadratische vergelijking. d) Teken in een figuur het standaard assenstelsel (, ), de hoofdassen (, ) en de kromme gegeven door de vergelijking in c). 4
5 Oplossing 5 a) A = 8 b) De eigenwaarden van deze smmetrische transformatie zijn = 4 en = 9, en bijbehorende orthonormale eigenvectoren: * e = en e = e = 5 5 (zie opgave V.. of het voorbeeld van IV.3.) c) Volgens de stelling levert de ontbinding = e + e naar de hoofdassen voor de kwadratische vergelijking = 36 waaruit de zogenoemde hoofdassenvorm volgt ( ) + ( ) = 3 d) De -hoofdas ligt in de richting van de eigenvector v = bij de eigenwaarde = 4. De -hoofdas is hierop loodrecht getekend. De hoofdassen en zijn van dezelfde schaal voorzien als het standaard assenstelsel. De -waarden variëren van -3 tot 3 en de -waarden van - tot, zoals ook uit de volgende tabel blijkt. (Zie ook opgave V..). Met behulp van deze tabel kan de kromme worden getekend ten opzichte van de hoofdassen en 0,,49,80,80,49, 0-3 -, , , -,49 -,80 - -,80 -,49, 0 Bij het tekenen van de kromme is verder gebruikt dat zijn maimum bereikt in = 3 en zijn minimum in = 3. De raaklijnen staan daar loodrecht op de -as. Verder is gebruikt dat zijn maimum bereikt in = en zijn minimum in =. De raaklijnen staan daar loodrecht op de -as. Opmerkingen ) De kromme blijkt een scheef staande ellips te zijn. De lijnen door het midden 0 bezitten snijpunten met de ellips waarvan de grootste afstand 6 is (langs de -as) en de kleinste afstand 4 (langs de -as). Men zegt dat de lange as van de ellips lengte 6 heeft 5
6 en de korte as lengte 4. De hoofdassen van de smmetrische transformatie vallen dus hier samen met de korte en lange as van de gevonden ellips. ) De algemene gedaante van de hoofdassenvorm van een ellips is + = a b Hierin zijn a en b positieve reële getallen. Als a > b is de lange as langs -as met lengte a en de korte as langs de -as met lengte b. Als a < b is de korte as langs -as met lengte a en de lange as langs de - as met lengte b. Als a = b is er sprake van een cirkel met straal a. 3) De ellips is niet de enige isolijn die kan ontstaan bij een homogene kwadratische vorm. In de volgende paragraaf worden de isolijnen van homogene kwadratische vormen in R geclassificeerd met behulp van de ontbinding van de variabele vector naar de hoofdassen en de laatste stelling. Opgaven V.. De homogene kwadratische vorm H (, ) = is geassocieerd met de smmetrische transformatie A in R vastgelegd door de matri 5 A = 8 a) Toon met behulp van de karakteristieke vergelijking aan dat voor de eigenwaarden van A geldt = 4 en = 9 * b) Toon aan dat de vectoren e = en e = e = 5 5 eigenvectoren van A zijn bij resp. = 4 en = 9 V.. Ga door berekening na of de tabel bij het laatste voorbeeld juist is V..3 Gegeven is de vergelijking voor de isolijn bij een homogene kwadratische vorm = 7 a) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A waarmee deze vergelijking is geassocieerd. b) Toon aan dat ten opzichte van de hoofdassen geldt, bij geschikte keuze van de variabelen en ( ) + ( ) = 3 c) Teken met behulp van deze hoofdassen de elliptische kromme gegeven door homogene kwadratische vergelijking d) Hoe groot is de lange as van de ellips en hoe groot de korte? V..4 Gegeven is de vergelijking voor de isolijn bij een homogene kwadratische vorm + 3 = 6 6
7 a) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A waarmee deze vergelijking is geassocieerd. b) Toon aan dat ten opzichte van de hoofdassen geldt, bij geschikte keuze van de variabelen en ( ) + ( ) = 4 c) Teken met behulp van deze hoofdassen de elliptische kromme gegeven door homogene kwadratische vergelijking d) Hoe groot is de lange as van de ellips en hoe groot de korte? V..5 Gegeven is de homogene kwadratische vorm H (, ) = a) Bepaal de matri A die de smmetrische transformatiea in R vastlegt waarmee deze homogene kwadratische vorm is geassocieerd b) Bereken de eigenwaarden van de smmetrische transformatiea c) Bereken twee eigenvectoren van lengte behorend bij deze twee eigenwaarden d) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A e) Toon aan dat voor H ( ) = h(, ) bij geschikte keuze van en geldt h(, ) = 0 f) Teken de isolijn gegeven door g) Teken de isolijn gegeven door h) Wat geldt voor isolijn geven door = = 40 V..6 Gegeven is de homogene kwadratische vorm H (, ) = = 0? a) Bepaal de matri A die de smmetrische transformatie A in R vastlegt waarmee deze homogene kwadratische vorm is geassocieerd b) Bereken de eigenwaarden van de smmetrische transformatie A c) Bereken twee eigenvectoren van lengte behorend bij deze twee eigenwaarden d) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A e) Toon aan dat voor H ( ) = h(, ) bij geschikte keuze van en geldt h(, ) = 8 7
8 V. Classificatie vergelijkingen in R voor isolijnen van homogene kwadratische vormen In de voorgaande paragraaf zijn als isolijnen bij een homogene kwadratische vorm in twee variabelen ellipsen getekend. Voordat we tot een classificatie van dergelijke isolijnen overgaan zullen we aan de hand van een voorbeeld laten zien dat er ook hperbolen mogelijk zijn. Uit de classificatie zal blijken dat de isolijn bij een homogene kwadratische vorm soms punt is en soms ook een paar van rechte lijnen, naast de mogelijkheden van ellips en hperbool. Voorbeeld Gegeven: De vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm = 0 Gevraagd: Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de homogene kwadratische vorm is geassocieerd. Oplossing: Voordat er kan worden getekend moeten er een aantal stappen worden uitgevoerd. Stap : De matri A die de smmetrische transformatie vastlegt A = 4 Stap : De eigenwaarden van de smmetrische transformatie A Er geldt A I = 4 Uit A I = 0 volgt (opgave V..) = 0 en = 5 Stap 3: Eigenvectoren en de hoofdassen. Stel v = is eigenvector bij = 0 v + v + v = 0 v = = 0 = 0 4 v v + 4v v + 4v = 0 v v = 4 Dus v = 3 is eigenvector bij = 0 en ook 4v = is zo n eigenvector. 4 3 De lijn : 3 = is hoofdas van A bij = 0 4 * 3 De vector 4v = is eigenvector bij = 5 4 De lijn : 4 = is hoofdas van A bij = 5 3 Stap 4: De vergelijking van de isolijn ten opzichte van de hoofdassen. Uit h(, ) = + en h(, ) = 0 volgt 0 5 =
9 dus ( ) + = Dit is de hoofdassengedaante van een hperbool Stap 5: De asmptoten van de hperbool. De asmptoten (d.w.z. rechte lijnen waartoe een kromme steeds meer nadert naar mate men verder van de oorsprong O is verwijderd ) worden volgens de tweede hierna volgende stelling gegeven door + ( ) = 0 ( + )( + ) = 0 = of = = of = Stap 6: Tabel en grafiek Teken de hoofdassen (, ) met behulp van de 4 eigenvector 4v = en breng op deze assen 3 een schaal aan die dezelfde is als die van de standaard assen (, ). Teken de asmptoten en bereken enkele punten ,73 -,73-3, -, -,5 0,75-0, ,5 0,75-0,75 3, -, 4,73 -, Bij het tekenen is verder gebruikt dat de hperbool de -hoofdas op twee plaatsen loodrecht doorsnijdt. Uit de laatste stelling van de vorige paragraaf volgt direct Stelling Als de variabele vector in A = c R uit de homogene kwadratische vergelijking, ( ) wordt ontbonden naar de hoofdassen van de smmetrische transformatie A in ontstaat de vergelijking + = c waarbij en de eigenwaarden van de smmetrische transformatiea R dan Bewijs Direct gevolg van de laatste stelling uit de vorige paragraaf 9
10 Opmerkingen bij de tabel ) De volgende tabel geeft een overzicht van de mogelijke vergelijkingen en krommen die ten opzichte van de hoofdassen kunnen ontstaan bij isolijnen van homogene kwadratische vormen. In de hoofdasgedaante zijn a en b positieve getallen die worden gedefinieerd met behulp van, en c. ) Bijvoorbeeld als + = c met c 0 dan + = c c Als geldt dat 0 < en > 0 wordt a gedefinieerd door c = a = c c c a en b door = b = c b c 3) Verder is het de gewoonte om als één van de eigenwaarden van een smmetrische transformatie A in R gelijk 0 is dit te noteren als = 0 4) Ellips en hperbool zijn kegelsneden. De parabool is ook een kegelsnede. Uit het overzicht blijkt dat bij de isolijnen van homogene kwadratische vormen de parabool niet voorkomt. Een parabool kan alleen ontstaan als isolijn van een inhomogene kwadratische vorm. Deze isolijnen zijn het onderwerp van de volgende paragraaf c = 0 c 0 + = c Hoofdasgedaante Naam Bijzonderheden 0 = ± a 0 = ± b 0 = 0 0 = ± c a 0 = ± c b 0 = ± c a = 0 Alleen de oorsprong + = 0 Puntkegelsnede a b voldoet Twee snijdende = 0 Vergelijkingen ± = 0 a b lijnen a b Twee = 0 samenvallende Vergelijking = 0 lijnen Lengte halve lange assen + = Ellips a b a en b Snijdt de -as in ( ± a,0) = Hperbool a b Asmptoten ± = 0 a b Snijdt de -as in (0, ± b) a b Asmptoten ± = 0 a b a b Lege kegelsnede Geen oplossingen Twee = a evenwijdige Vergelijkingen = ± a lijnen = a Lege kegelsnede Geen oplossingen In de volgende figuren zijn een aantal kegelsneden gegeven. Hierbij is de -hoofdas horizontaal genomen en de -hoofdas verticaal 0
11 Ellips: a + = Hperbool: b a = Hperbool: b a + b = Bij de hperbolen is te zien dat er rechte lijnen zijn waartoe deze krommen steeds dichter naderen naar mate de punten op de krommen verder van de oorsprong O verwijderd zijn. Als dergelijke lijnen bij een kromme bestaan dan heten deze lijnen de asmptoten van een kromme. Voor de asmptoten van een hperbool geldt de volgende stelling Stelling De asmptoten van de hperbool met vergelijking vergelijking a b = 0 a b = worden gegeven door de Bewijs We geven het bewijs voor het eerste kwadrant. Laat ten opzichte van de hoofdassen het punt ( p, q ) op de hperbool = a b liggen en laat ( p, q + ε ) een punt zijn op = 0. De verticale afstand tussen a b deze punten is ε. Voor het punt ( p, q + ε ) geldt p ( q + ε ) = 0 a b p q q Gevolg ε ε = + a b b b Omdat ( p, q) op de hperbool ligt volgt hier weer uit met als gevolg qε ε + = (oplossing hierbijε = q + q + b > 0 ) b b b ε b 0 < ε = < q q q
12 b Als p dan q waardoor 0 q. Omdat ε ligt tussen 0 en b betekent dit ook q ε 0. Naar mate het punt ( p, q) op de hperbool verder is verwijderd van de oorsprong O wordt de verticale afstand ε tussen dit punt op de hperbool en de lijn = 0 dus steeds a b kleiner. Opgaven V.. De smmetrische transformatie A in R wordt vastgelegd door de matri A =. 4 Bereken de eigenwaarden van deze transformatie. V.. Gegeven de vergelijking = 0 van de isolijn van een homogene kwadratische vorm in R. Gebruik de resultaten uit het voorbeeld van deze paragraaf om deze isolijn te tekenen in een standaard assenstelsel (, ) V.. Bewijs dat uit a = volgt ± = 0 b a b 0 V..3 Formuleer een vergelijkbare stelling als boven voor de asmptoten van de hperbool a + b = V..4 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm = 5 Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd. V..5 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm = 4 Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd. V..6 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm 4 = 4 Teken de kromme in een assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd.
13 V..7 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm = 5 a) Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd. b) Gebruik = ( + 5 ) om de in a) gevonden lijnen direct in en uit te drukken. V..8 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm p p = 6 Ten opzichte van de hoofdassen (, ) wordt deze vergelijking ( p + ) + ( p ) = 6 a) Toon dit aan. Voor verschillende waarden van p ontstaan er andere soorten kegelsneden. b) Classificeer deze kegelsneden naar de waarden van p. V..9 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm p + q + p = c a) Bewijs dat ten opzichte van de hoofdassen (, ) geldt van de smmetrische transformatie in R waarmee de vergelijking is geassocieerd: ( p + q) + ( p q) = c b) Stel p = en c = 8. Bespreek welke soort krommen door de vergelijking worden gegeven bij verschillende waarden van q. V..0 Bij de homogene kwadratische vorm H (, ) = p + q + s heeft de bijbehorende smmetrische transformatie A in p > 0. Bewijs dat geldt ( ) R determinant 0 en geldt H (, ) = p + s als q > o ( ) H (, ) = p s als q < 0 Dit betekent dat de homogene kwadratische vorm waarvan de bijbehorende smmetrische transformatie determinant nul heeft het kwadraat is van een homogene lineaire vorm. V.. Gebruik het resultaat uit opgave V..0 om direct de lijnen te tekenen in een assenstelsel (, ) behorend bij de vergelijking = 9, dus niet met behulp van de hoofdassen (, ). 3
14 V.3 Isolijnen bij inhomogene kwadratische vormen In de vorige paragraaf is gebleken dat als isolijn van een homogene kwadratische vorm de kegelsneden ellips en hperbool kunnen ontstaan. Ook de parabool is een kegelsnede, maar die kan alleen ontstaan als de isolijn van een inhomogene kwadratische vorm en niet als isolijn van een homogene kwadratische vorm. Bij de analse van dergelijke vormen wordt gebruik gemaakt van het homogene deel ervan, terwijl er verder sprake is van een lineair deel en een scalair deel. Voorbeeld Gegeven: De inhomogene kwadratische vorm K (, ) = Gevraagd: Toon aan dat K(, ) = K( ) kan worden uitgedrukt als de som van een homogeen deel H ( ) =, A ( ), waarbij = en A een smmetrische transformatie in een lineair deel L( ) = b, en een scalair deel d Oplossing - Homogeen deel H (, ) = = = (6 + ) + ( + 9 ) = i = i A = ia =, ( ) 6 De matri van de smmetrische transformatiea is dus A = 9 - Lineair deel 50 L(, ) = = i = b, De bijbehorende vector is dus b = 00 - Scalair deel d = 00 R, een Het voorbeeld leidt tot de 4
15 Definitie In R wordt vanuit een smmetrische transformatie A, een vector b en een scalar d de met deze grootheden geassocieerde inhomogene kwadratische vorm K in de variabele vector gedefinieerd door K( ) =, A ( ) + b, + d dus door een som van het inproduct van de vector met zijn A -beeld A ( ), het inproduct van de vector b met de vector en de scalar d. H ( ) =, A ( ) heet het homogene deel van de kwadratische vorm K( ). L( ) = b, heet het lineaire deel van de kwadratische vorm K( ). Met behulp van het homogene deel H ( ) =, A ( ) stelt men de haakse assen (, ) op van de smmetrische transformatie A door eigenwaarden en van deze transformatie te bepalen en vervolgens de orthonormale eigenvectoren e en e. Dit gaat hetzelfde als in de vorige paragrafen. Echter nu moet ook het inproduct van het lineaire deel L( ) = b, worden uitgedrukt ten opzichte van deze haakse assen. Dit blijkt uit de volgende Stelling Als bij de inhomogene kwadratische vorm K( ) =, A ( ) + b, + d in R de variabele vector wordt ontbonden naar de haakse assen van de smmetrische transformatie A volgens = e + e, waarbij e en e de orthonormale eigenvectoren zijn van de smmetrische transformatie bij resp. de eigenwaarden en, dan geldt K( ) = k(, ) met k = + + b + b + d (, ) en met b = e, b en b = e, b Bewijs Het bewijs dat H ( ) =, A ( ) = + is reeds gegeven in V. b b Als b = en = geldt voor het lineaire deel L( ) = b, = i = b + b. b b Ten opzichte van de orthonormale haakse assen geldt b = be + be waarbij de kentallen worden berekend met de inproducten b = e, b en b = e, b. (Zie over het inproduct aanhangsel van IV.3 of meer uitgebreid I.5.) Het inproduct van b en is ten opzichte van de haakse assen L( ) = b, = b + b, wat ook wordt genoteerd als l(, ) = b + b. 5
16 Het volgende laat zien hoe met deze stelling kan worden gewerkt. Voorbeeld Gegeven: Een standaard assenstelsel, ) en de inhomogene kwadratische vorm ( K (, ) = Gevraagd a) Toon met behulp van de haakse assen van de met de vorm geassocieerde smmetrische lineaire transformatie in R aan dat de isolijn K(, ) = 50 van deze inhomogene kwadratische vorm een parabool is. b) Teken deze parabool in het assenstelsel (, ) met behulp van de haakse assen van de smmetrische lineaire transformatie. Oplossing a) Stap De geassocieerde smmetrische lineaire transformatie A in R. De matri die deze smmetrische transformatie vastlegt is 6 A = 9 Stap De eigenwaarden van de smmetrische lineaire transformatie Er geldt A I = = A I = 0 levert: (6 )(9 ) = 0 5 = 0 = 5 = 0 Stap 3 Orthonormale eigenvectoren van de smmetrische lineaire transformatie. v v 6 v v 6v + 5v A = = 5 = 9 v v + = 5v v = v + 9 = 5 v = Dus 3 4 v 4 = is een eigenvector bij = 5. Ook 3v = is zo n eigenvector. 3 4 e = 3v = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 5. 3v 5 3 * 3 e = e = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = Stap 4 Herschrijven van het homogene deel van de kwadratische vorm. H ( ) = = + = 5 Stap 5 Herschrijven van het lineaire deel van de kwadratische vorm. 50 L( ) = = i = b,
17 50 Dus b = 00 Voor de kentallen van deze vector ten opzichte van de orthonormale basis e, e geldt 4 50 b = e, b = i = ( 4 ( 50) + 3 ( 00) ) = b = e, b = i = (( 3) ( 50) + 4 ( 00) ) = Dit zijn dus ook de kentallen van de vector b ten opzichte van de haakse assen van de smmetrische lineaire transformatie A. Gevolg voor het lineaire deel L( ) = b, = b + b = Stap 6 De vergelijking van de isolijn van de inhomogene kwadratische vorm ten opzichte van de haakse assen (, ) van de smmetrische transformatiea. Voor de vergelijking van de gegeven isolijn geldt H ( ) + L( ) + 00 = 50 en dus volgens de stappen 4 en 5: = 50 = + 3 Dit is de vergelijking van een parabool. 4 b) Teken de -as in de richting van 3v = 3 * 3 en de -as in de richting van 3v = en 4 voorzie deze assen van dezelfde schaal als de standaard assen, ). ( Voor = + geldt de tabel 3-5,5 0 3,5 3, ,5 Opmerkingen ) In feite wordt het onderzoek naar een kwadratische vorm eerst verricht door een onderzoek van het homogene deel van de vorm zoals dat ook in de vorige paragrafen is gedaan. Als er ook een lineair deel is bij de kwadratische vorm wordt vervolgens dit lineaire deel herschreven naar haakse assen van de smmetrische transformatie die zijn gevonden bij het onderzoek van het homogene deel. 7
18 ) De parabool ontstaat dus bij de isolijn van een inhomogene kwadratische vorm in R K( ) =, A ( ) + b, + d als de smmetrische transformatie A een eigenwaarde 0 heeft, dus als 0 en = 0, en als verder geldt b = e, b 0. In dat geval levert de vergelijking van de isolijn K( ) = c ten opzichte van de haakse assen van de smmetrische transformatie b + b + b + d = c = a + b + c met a =, b = en c = c d b b 3) In het geval dat 0 en 0 levert de isolijn K( ) = c ten opzichte van de haakse assen (, ) de vergelijking + + b + b + d = c Door een nieuwe variabele vector = s en een geschikte keuze van de vector s kan hierbij deze vergelijking altijd herschreven worden naar de hoofdassengedaante + = c die in de vorige paragraaf is besproken. Doel van de rest van deze paragraaf is te onderzoeken wat de meetkundige betekenis is van deze nieuwe variabele vector is en hoe de geschikte keuze voor de vector s kan worden gemaakt. De variabele vector in de vergelijking van een isolijn in een plat vlak van een kwadratische vorm is in dat vlak een variabele positievector vanuit de oorsprong O van het standaard assenstelsel. Dus als in het vlak een punt P vastlegt geldt = OP. Door de keuze van een andere oorsprong O wordt hetzelfde punt P vastgelegd door een nieuwe positievector die we met aangeven en waarvoor geldt = O P. Stelling Als een positievector is van een punt P in het platte vlak vanuit de oorsprong O en is de positievector van hetzelfde punt P vanuit een tweede oorsprong O dan geldt = s waarbij s de positievector van O vanuit O, dus s = OO Bewijs Uit de figuur blijkt O P = OP OO dus = s We zijn geïnteresseerd in het verband tussen de kentallen van de vectoren, en s ten opzichte van de orthonormale eigenvectoren e en e van een smmetrische transformatie A in R. Ten opzichte van deze basis geldt Samen met = s = e + e = e + e s = se + se levert dit voor de kentallen ten opzichte van de haakse assen. = s en = s 8
19 Definitie In een plat vlak ontstaan de haakse assen (, ) van A door de oorsprong O, waarbij A een smmetrische transformatie is in R, uit een verschuiving volgens een vector s van O naar O van de haakse assen (, ) van A door de oorsprong O. Opmerkingen ) In de figuur zijn de staarten van de eigenvectoren e en e van een smmetrische transformatie A in R met de staarten getekend in de nieuwe oorsprong O. De haakse assen (, ) door O liggen langs deze vectoren. = e + e betekent dat deze positievector ten opzicht van de haakse assen (, ) ) de kentallen en heeft. Het is deze meetkundige eigenschap van de kentallen van de nieuwe variabele vector waar we mee zullen gaan werken nadat de vergelijking voor de isolijn van een inhomogene kwadratische vorm is herschreven naar de hoofdassenvorm. Voor we verder gaan met de hoofdassengedaante van ellips en hperbool geven we een voorbeeld van nieuwe haakse assen (, ) bij de zojuist geanalseerde parabool. Voorbeeld Gegeven Ten opzichte van de haakse assen (, ) door O behorend bij de orthonormale 4 * 3 eigenvectoren e = en e = e = van een smmetrische transformatie in R is de isovergelijking van een inhomogene kwadratische vorm = 0-0 5,5 3 = -3 - = 4,5 Er wordt een nieuwe variabele vector = e + e,5-0,5 gevormd door 0 0 = 3,5 0, = 5 5,5 3 4,5 In de tabel rechts zijn enkele waarden van de oude kentallen en gegeven en de bijbehorende waarden van de nieuwe kentallen en. De keuze van de nieuwe variabele vector is zodanig dat de top T van de parabool eerst werd gegeven door (, ) = (,) en nu door (, ) = (0,0) Gevraagd a) Er geldt = s. Geef de kentallen van de vector s ten opzichte van de basis e, e. Geef ook de kentallen van s ten opzichte van het standaard assenstelsel (, ) b) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de haakse assen (, ) door O van de smmetrische transformatie waarbij s = OO. T T T T 9
20 c) Teken met behulp van de tabel de isolijn van de kwadratische vorm ten opzichte van deze haakse assen (, ) d) Geef de formule voor het verband tussen en bij deze isolijn. Oplossing a) = en = s dus s =, = en = s dus s =. 4 3 Ook geldt s = se + se = + = b) De oorsprong O heeft als positievector s = 4 De -as is gericht volgens de vector v = 5e = en 3 * de -as volgens de nevenvector v. Op de assen (, ) is dezelfde schaal aangebracht als op de standaard assen (, ) c) De punten zijn getekend met de in de tabel gegeven waarden voor en. d) = = + = = + Invullen = 0 levert = ( ) 4( ) ( ) = 0 = 0 = Opmerkingen ) De vorm = a is de standaardgedaante voor een parabool. De bedoeling van het voorbeeld is om te laten zien dat door een geschikte keuze van de vector s in de overgang = s van de variabele vector naar een variabele vector de vergelijking voor een parabool in deze standaardgedaante kan worden gebracht. ) De keuze van de vector s is in het voorbeeld gemaakt op grond van de tabel in en door ervoor te zorgen dat de top van de parabool komt te liggen in de oorsprong O en vervolgens zijn = + s en = + s ingevuld in de isovergelijking met de variabelen en. De techniek van kwadraat afsplitsen (zie aanhangsel) levert een veel directere manier om tot deze standaardgedaante te komen. Bij dit voorbeeld = 0 ( ) = ( ) ( ) = 0 De keuze = en = levert dan de standaardgedaante = 0 = 3) Ook bij het in de hoofdassengedaante brengen van ellips en hperbool zullen we na de volgende stelling gebruik maken van deze techniek van kwadraat afsplitsen. 0
21 Stelling In R is gegeven de inhomogene kwadratische vorm K( ) =, A ( ) + b, + d waarina een smmetrische transformatie is. Hieruit wordt met = s een vorm K ( ) = K( + s) gedefinieerd. Voor deze laatste vorm geldt K ( ) =, A ( ) + b, + d met b = A ( s) + b en d = d + A ( s) + b, s. Als de eigenwaarden van A beide ongelijk 0 zijn bestaat er een vector s in b = A ( s) + b = 0 R zodanig dat Bewijs K ( ) = K( + s) = + s, A ( + s) + b, + s + d = + s, A ( ) + A ( s) + b, + s + d lineariteita =, A ( ) +, A ( s) + s, A ( ) + s, A ( s) + b, + b, s + d lineariteit inproduct =, A ( ) +, A ( s) + A ( s), ) + b, + d + s, A ( s) + b, s smmetrie A =, A ( ) + A ( s) + b, + d + A ( s) + b, s lineariteit inproduct Als e en e orthonormale eigenvectoren vana behorend bij de resp. eigenwaarden en, dan geldt s = se + se, b = b e + b e en b = A ( s) + b = A ( se + se ) + be + be = sa ( e ) + sa ( e ) + be + be lineariteit A = s e + s e + be + be eigenwaarden A = ( s + b ) e + (s + b ) e haakjes maken Als de eigenwaarden vana ongelijk nul zijn, dus als 0 en 0, dan is b = 0 b b s = se + se = e e als Opmerkingen ) Bij twee eigenwaarden ongelijk 0 is het dus volgens de stelling altijd mogelijk om door een geschikte keuze van de nieuwe positievector volgens = s het lineaire deel van een inhomogene kwadratische vorm in R weg te transformeren, omdat bij een geschikte keuze van s geldt L ( ) = b, = A ( s) + b, = 0, = 0 ) In de praktijk zullen we dit wegtransformeren altijd uitvoeren met behulp van kwadraat afsplitsen en niet met de formules in het bewijs. De betekenis van de stelling is echter dat nu is bewezen dat dit altijd mogelijk is als de bijbehorende smmetrische transformatie twee eigenwaarden ongelijk 0 heeft. 3) Als het lineaire deel is weggetransformeerd dan is er sprake van hoofdassen volgens
22 Definitie Als een in R gegeven de inhomogene kwadratische vorm K( ) =, A ( ) + b, + d, waarina een smmetrische transformatie is, door = s de gedaante aanneemt K ( ) =, A ( ) + d dan heet deze gedaante de homogene gedaante van de kwadratische vorm. De haakse assen van A door de oorsprong O, waarbij OO = s, heten dan de hoofdassen van de kwadratische vorm. Voorbeeld Gegeven: Een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = Gevraagd a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Herleid met behulp van kwadraatafsplitsing de kwadratische vorm naar zijn homogene gedaante. d) Geef de hoofdassenvorm van de vergelijking van de isolijn K ( ) = 43. e) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de hoofdassen van de kwadratische vorm en teken vervolgens de isolijn. Oplossing a) H (, ) = Stap De geassocieerde smmetrische lineaire transformatie A in R. De matri die deze smmetrische transformatie vastlegt is A 7 60 = 60 9 Stap De eigenwaarden van de smmetrische lineaire transformatie Er geldt A I = = A I = 0 levert: (7 )( 9 ) = 0 = 5 = 7 Stap 3 Orthonormale eigenvectoren van de smmetrische lineaire transformatie. Dus v v 7 60 v v 7v v A = = 5 = v 9 5 7v + 60 = 5v v = 60v 9 = 5 v = 5 5
23 5 v = is een eigenvector bij = 5. Ook 5v = is zo n eigenvector. 5 e = 5v = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 5. 5v 3 5 * 5 e = e = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 7. 3 Stap 4 Herschrijven van het homogene deel van de kwadratische vorm. H ( ) = = + = 5 7 b) Stap 5 Herschrijven van het lineaire deel van de kwadratische vorm. 858 L( ) = = i = b, Dus b = 04 Voor de kentallen van deze vector ten opzichte van de orthonormale basis e, e geldt 858 b = e, b = i = ( ( 858) + 5 ( 04) ) = b = e, b = i = (( 5)( 03) + ( 04) ) = Dit zijn dus ook de kentallen van de vector b ten opzichte van de haakse assen van de smmetrische lineaire transformatie A. Gevolg voor het lineaire deel L( ) = b, = b + b = c) K k ( ) = (. ) = Stap 6 Kwadraat afsplitsen van de kwadratische vorm t.o.v. de haakse assen k(. ) = 5( 6 ) 7( ) = + + 5( 8) 5 8 7( ) ( 8) 7( ) 6 = Noem = 8 = dan k (. ) = d) Stap 7 Hoofdassengedaante isolijn k (. ) = 43 betekent = = ( ) ( ) = 3 = 3
24 Dit is dus de hoofdassengedaante van een hperbool. e) Stap 8 Hoofdassen en isolijn tekenen - Voor de positievector van de oorsprong O geldt wegens stap 6 s = 8 en s =, en wegens stap OO = s = se + se = 8 + = De -hoofdas gaat door O en is gericht volgens de vector e = = De -hoofdas gaat ook door O en staat loodrecht op de -hoofdas. - De hperbool heeft asmptoten ( ) ( ) = 0 ( ) = ( ) = = ( ) ( ) = geeft de tabel 3-6 3,64-3,64-5,67 -,67-4,76 -,76-3,5,0 -, ,5,0 -,0 4,76 -,76 5,67 -,67 6 3,64-3,64 Opmerking De analse van een isolijn van een inhomogene kwadratische vorm in een plat vlak met standaard assen verloopt dus in een aantal stappen I Analse van het homogene deel Stap De geassocieerde smmetrische lineaire transformatie A in R. Stap De eigenwaarden van de smmetrische lineaire transformatie. Stap 3 Orthonormale eigenvectoren van de smmetrische lineaire transformatie. Stap 4 Herschrijven van het homogene deel van de kwadratische vorm. II Analse van het lineaire deel Stap 5 Herschrijven van het lineaire deel van de kwadratische vorm. III Hoofdassen en hoofdassengedaante Stap 6 Kwadraat afsplitsen van de kwadratische vorm t.o.v. de haakse assen Stap 7 Hoofdassengedaante isolijn IV Tekenen van de isolijn Stap 8 Hoofdassen en isolijn tekenen 4
25 Aanhangsel: Kwadraatafsplitsen De probleemstelling in dit aanhangsel is de volgende Gegeven: Een reële kwadratische vorm naar de variabele k( ) = + b + d Gevraagd: Een zodanige waarde van waarde van s in = s dat het lineaire deel wordt weggetransformeerd, d.w.z. zodanig dat voor k ( ) = k( + s ) geldt k ( ) = + d Oplossing: Dit kan met behulp van kwadraatafsplitsen. Hoe werkt dit? De essentie van kwadraatafsplitsen is: Voeg aan kwadraat ook af. Aldus p p + = + + ( ) ( ) p p = ( + ) ( ) p p p + p het kwadraat van toe en trek dit Voorbeeld Gegeven: Gevraagd: Oplossing: De reële kwadratische vorm naar de variabele k( ) = Een zodanige waarde van waarde van s in = s dat het lineaire deel wordt weggetransformeerd.. Haal bij 4 4 het getal 4 buiten haken en ga dan kwadraatafsplitsen tussen de haken = 4( 6 ) + 7 = + + 4( ) 7 ( ) = 4 ( 3) = Kies = 3, dus met s = 3, dan ( ) = 4 9 k 4( 3) 9 Opmerkingen ) De generalisatie naar k = + + b + b + d met twee variabelen spreekt (, ) voor zich. ) Kwadraatafsplitsen levert ook de oplossingen van de reële kwadratische vergelijking a + b + c = 0 zonder dat de a, b, c formule wordt gebruikt. Voorbeeld Gegeven: Gevraagd: Oplossing: De kwadratische vergelijking = 0 Los deze vergelijking op met behulp van kwadraatafsplitsen = 0 ( + 8 ) + 5 = = ( ) 5 0 5
26 ( ) ( + 4) = 0 + = ( 4) 7 0 ( + 4) = = + 4 = = = 4 34 Opgaven V.3. Gegeven een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Herleid met behulp van kwadraatafsplitsing de kwadratische vorm naar zijn homogene gedaante. d) Geef de hoofdassenvorm van de vergelijking van de isolijn K ( ) = 50. e) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de hoofdassen van de kwadratische vorm en teken vervolgens de isolijn. V.3. Gegeven een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Teken in een standaard assenstelsel, ) de isolijn K ( ) = 0. ( V.3. Gegeven een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Herleid met behulp van kwadraatafsplitsing de kwadratische vorm naar zijn homogene gedaante. d) Geef de hoofdassenvorm van de vergelijking van de isolijn K ( ) = 500. e) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de hoofdassen van de kwadratische vorm en teken vervolgens de isolijn. 6
7.1 Ongelijkheden [1]
7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatieextra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4
extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieProgramma. Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1?
Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over hfst 1? Voorkennis hfst 2 ontbinden in factoren (waarom ook al weer?) kwadratische functies 1 Opening Een laatste opmerking over hfst 1 vragen over
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatievwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
Nadere informatieIV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire
IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire Transformaties in R IV0 Meetundige inleiding: delijnen en eigenvectoren Bij veel toepassingen van de Gauss-Jordan methode gaat men uit van de delijnen van
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieDe hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry
De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde
Nadere informatie5.1 Lineaire formules [1]
5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatie1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieAnalytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)
Analytische meetkunde Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Kwadratische formules
Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.
Nadere informatieWiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht. Uitwerkingen hoofdstuk 9
Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 0, Sntax Media, Utrecht www.sntaxmedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 9 9.. = x = x 0 0 a. b. =, 0 0 = x + c. d. Uitwerkingen 9.. = x
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieDe n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieF3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3
F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieBogen op kegelsneden in Cabri
Bogen op kegelsneden in Cabri DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel april 2008 Het tekenen van een ellipsboog Zomaar een vraag van een Cabri-gebruiker
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieToepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieEindexamen wiskunde B pilot havo II
Mosselen Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij filteren het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatieKwadratische verbanden - Parabolen klas ms
Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 2015
IJkingstoets 4 september 05 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 05 Oefening De evolutie van een bepaalde radioactieve stof in de tijd volgt het wiskundig model N (t)
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine
EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatiea x 2 b x c a x p 2 q a x r x s
Kwadraat afsplitsen WISNET-HBO update juli 007 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. Inleiding In sommige gevallen kan het voordeel hebben om een kwadratische uitdrukking
Nadere informatievergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen
Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-0 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Inhoud 1. Sstematisch onderzoek van grafieken Conveiteit en uigpunten Asmptoten
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieMATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn
Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieFactor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen.
Samenvatting door een scholier 1569 woorden 23 juni 2017 5,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Wiskunde H1 t/m H5 Hoofdstuk 1 Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieWat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatieHoofdstuk 10 Kegelsneden uitwerkingen
Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Kern Kegeldoorsneden a Loodrecht op de as. b Ellips: hoek tussen vlak en as groter dan de halve tophoek en niet door de top. Parabool:
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatie9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden
9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatie7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte
1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 13 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 330 630 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen; het eamen bestaat uit 5 vragen Voor
Nadere informatie3 Pythagoras 90. 4 Statistiek 128
2BK1 2KGT1 Voorkennis 1 Meetkunde 6 1 Vlakke figuren 8 1.1 Namen van vlakke figuren 10 1.2 Driehoeken 15 1.3 Driehoeken tekenen 19 1.4 Vierhoeken 24 1.5 Hoeken berekenen in een vierhoek 30 1.6 Gemengde
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
Nadere informatie