Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Transcriptie

1 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t - -

2 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I De vergelijking van ntoine ls een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De grootte van de dampdruk hangt af van de soort vloeistof en van de temperatuur in de gesloten ruimte. Voor het verband tussen de dampdruk en de temperatuur geldt de volgende formule: m log k T n (met T n) Hierin is de dampdruk in bar en T de temperatuur in kelvin en zijn k, m en n constanten die afhangen van de soort vloeistof. Voor aceton, een zeer vluchtige vloeistof, geldt (bij benadering) k 4,46, m 44 en n 53,5, dus 44 log 4,46 T 53,5 (met T 53,5 ). Het kookpunt van een vloeistof is de temperatuur waarbij de dampdruk precies bar bedraagt. 4p ereken op algebraïsche wijze het kookpunt van aceton. Rond je antwoord af op een geheel aantal kelvin. In de figuur hieronder is voor aceton de grafiek getekend van de dampdruk als functie van de temperatuur T voor temperaturen tussen 50 en 300 kelvin. figuur (bar) 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0, T (kelvin) - -

3 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Uit de figuur krijgen we de indruk dat de functie stijgend is. 3p eredeneer aan de hand van de formule zonder te differentiëren dat de functie inderdaad stijgend is. Hoe de dampdruk bij een bepaalde temperatuur reageert op een verandering van die temperatuur, wordt weergegeven door de afgeleide waarde d (in bar/kelvin). dt 3p 3 ereken voor aceton de waarde van d bij een kamertemperatuur van dt 93 kelvin. Rond je antwoord af op drie decimalen. Voor andere stoffen dan aceton gelden soortgelijke formules; alleen de waarden van k, m en n zijn anders. De vorm van de formule is universeel en staat sinds 888 bekend als de vergelijking van ntoine. In de tijd dat ntoine de vergelijking opstelde, gebruikte men voor de dampdruk nog de eenheid mmhg (millimeter kwik) in plaats van bar. Voor de temperatuur gebruikte men de eenheid (graden elsius) in plaats van kelvin. Voor het verband tussen de dampdruk p in mmhg en de dampdruk in bar geldt: p 750 Voor het verband tussen de temperatuur t in en de temperatuur T in kelvin geldt: T t 73,5 De eerder genoemde formule voor de dampdruk van aceton kan men herschrijven tot een formule van de vorm: 44 log p a t b Hierin is p de dampdruk in mmhg, is t de temperatuur in en zijn a en b constanten. 4p 4 ereken a en b. Rond de waarde van a af op twee decimalen en rond de waarde van b af op een geheel getal

4 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Vierkanten In figuur zie je in een assenstelsel een vierkant D met zijde. Hoekpunt ligt op de positieve -as en hoekpunt D op de positieve -as. Vierkant EFGH heeft ook zijde. Dit vierkant ligt naast D zo dat zijde EF op de -as ligt en hoekpunt van vierkant D op zijde EH ligt. Om vierkant D is een derde vierkant OETS getekend met horizontale en verticale zijden. Voor de hoek α (in rad) die zijde met de -as maakt, geldt: 0 α π In figuur is aangegeven welke hoeken gelijk zijn aan α. figuur S T D H G O α E F De coördinaten van en G hangen als volgt van α af: ( cosα, sinα cosα ) en G( sinα cosα, ). 4p 5 ereken eact de oppervlakte van vierkant OETS voor α π. Schrijf je antwoord zonder haakjes

5 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I De lijn door G en snijdt de -as in. De loodrechte projectie van G op de -as noemen we Q en de loodrechte projectie van op de lijn GQ noemen we R. Zie figuur. figuur S T Q D R H G O α E F Er geldt (sin α cosα )(sin α cosα ) O. sinα 5p 6 Toon aan dat deze formule juist is. De lengte van O kan ook geschreven worden als sin(α) O sinα. 4p 7 Toon dit op algebraïsche wijze aan. De hoogte van punt is maimaal als α π. Maar de hoogte van punt is maimaal voor een andere waarde van α tussen 0 en π. 6p 8 ereken met behulp van differentiëren bij welke waarde van α de hoogte van punt maimaal is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig

6 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Halverwege De functie f is gegeven door ( ) e f. figuur ij elk punt van de grafiek van f wordt het punt ' bepaald dat het midden is van en de loodrechte projectie van op de -as. Zie figuur. De punten ' vormen de grafiek van een functie g die is gegeven door g ( ) a voor zekere waarde van a f 4p 9 ereken eact deze waarde van a O 3 ij elk punt van de grafiek van f wordt figuur het spiegelbeeld " in de lijn met vergelijking bepaald. Zie figuur. 8 De punten " vormen de grafiek van een functie h. Deze grafiek ontstaat uit die van f door een combinatie van een of meer translaties en een spiegeling in de lijn met vergelijking. Zo n spiegeling van een grafiek van een functie in de lijn met vergelijking geeft de grafiek van de inverse functie f h 5p 0 Stel een formule voor h op. - - O 3-6 -

7 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Rakende cirkel Gegeven is het vierkant D figuur met zijde. Zie figuur. D In dit vierkant zijn getekend: de kwartcirkel c met middelpunt en eindpunten en D; de kwartcirkel d met middelpunt en eindpunten en ; S het vierkant QRS met en Q op, R op c en S op d. c d R Er geldt: Q 6 5 5p Toon dit op algebraïsche wijze aan, bijvoorbeeld met behulp van driehoek QR. Q an de tekening in figuur is figuur een cirkel met middelpunt M en D straal r toegevoegd, die RS en de beide kwartcirkels raakt. Zie figuur. 6p ereken eact de straal r. S c M r d R Q - 7 -

8 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Een eivorm De functie f is gegeven door 6 3 f ( ) In de figuur is de grafiek van f getekend en ook het spiegelbeeld hiervan in de -as. De twee grafieken vormen samen een figuur die lijkt op een doorsnede van een ei. figuur breedte - - lengte Op de -as en de -as is de eenheid cm. In de figuur is aangegeven wat bedoeld wordt met de lengte en de breedte van het ei. De lengte van het ei is ongeveer 5,9 cm. 4p 3 ereken op algebraïsche wijze de lengte van het ei in cm. Rond je antwoord af op twee decimalen. 4p 4 ereken met behulp van primitiveren de inhoud van het ei. Geef je antwoord in een geheel aantal cm 3. Een ander model van een ei wordt gegeven door de volgende twee parametervoorstellingen: 4 sint cost met 0 t, en 4 4sint cost met t π Hierbij zijn en in cm. Dit model voor de eivorm bestaat uit een halve cirkel gecombineerd met een halve cirkel die horizontaal is uitgerekt. 4p 5 Toon dit aan en bereken hiermee de lengte en de breedte van het ei

9 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Driehoek bij een vierdegraadsfunctie Voor elke positieve waarde van p is de functie 4 f ( ) p. p f p gegeven door De grafiek van f p heeft de -as als smmetrieas. Verder heeft deze grafiek drie toppen: het punt O(0, 0) en de punten en. Zie de figuur. Deze drie punten zijn de hoekpunten van driehoek O, waarbij de coördinaten van de punten en afhankelijk zijn van de waarde van p. Driehoek O is in de figuur grijs gemaakt. figuur f O Er is één waarde van p waarbij de lengte van lijnstuk O gelijk is aan de lengte van lijnstuk. 8p 6 ereken eact deze waarde van p

10 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Zwaartepunt Gegeven is een veelhoek DEFGH. Deze veelhoek is ontstaan door uit vierkant D met zijde 4, het vierkant HGFE met zijde weg te laten. Hierbij liggen E en H beide op D met H DE. Zie de figuur. Om het zwaartepunt van deze veelhoek te vinden, kan de veelhoek bijvoorbeeld worden verdeeld in drie rechthoeken die vervolgens worden opgevat als drie puntmassa s. Het zwaartepunt van de drie puntmassa s valt dan samen met het zwaartepunt van de veelhoek. figuur D E F H G 5p 7 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage met behulp van vectoren de plaats van het zwaartepunt van de veelhoek. Licht je werkwijze toe

11 Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I uitwerkbijlage 7 D E F H G - -