Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II

Transcriptie

1 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t - -

2 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Hoek onder de top Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ). De punten (0, 0) en A (9, 0) liggen op de grafiek van f. Het punt T is et oogste punt van deze grafiek. Zie. T f De coördinaten van T zijn,. 4 4 A 4p Bewijs dat de coördinaten van T inderdaad In is oek TA aangegeven., zijn. 4 4 T f A 4p Bereken de grootte van oek TA. Rond je antwoord af op een geeel aantal graden. - -

3 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Het uiteinde van een wip We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van et uiteinde van een wip. Lijnstuk PQ met midden M en lengte 4 draait om M. De oogte van M is. Zie. We kijken naar et verloop van de oogte van P. p tijdstip t 0 is de oogte van P gelijk aan 0. Van t 0 tot t beweegt P omoog. In is et lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op t 0, t en op t. op 4 t = 0 P M Q P t = M Q P M t = Q De oogte van P tijdens de omooggaande beweging wordt bescreven door et volgende model: fase : π π () t sin 0 t 6 voor 0 t π π () t sin t 5 5 voor t 5 π 6π π () t sin 0 t 5 t 0 voor 5 t de oogtes van P in de verscillende fasen. fase : fase : Hierin zijn, en - -

4 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II In is de grafiek van de oogte van P in de fasen, en getekend. 5 t De oogte van P aan et eind van fase is ( 5). Door t 5 in te vullen in de formule van kan worden bewezen dat de oogte van P aan et begin van fase gelijk is aan de oogte van P aan et eind van fase. p Bewijs dat deze oogtes gelijk zijn. De elling van de grafiek van cos p 4 Bewijs dat de elling van de grafiek van aan et eind van fase ieraan gelijk is. Voor elke waarde van a, met 0 a, geldt: ( a) ( a) 4p 5 Bewijs deze gelijkeid. aan et begin van fase is π π - 4 -

5 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Laagste punt De functie f is gegeven door f ( ). p de grafiek van f ligt rects van de -as een punt P ( p, p ). De middelloodlijn van P snijdt de -as in een punt S. Zie de. P S Als P over de grafiek van f naar de oorsprong toe beweegt, dan nadert de -coördinaat van S tot een bepaalde waarde. 5p 6 Bereken eact deze waarde

6 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Gespiegelde punten Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ) ln. De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over een afstand a naar links te verscuiven, waarbij a. De grafiek van g snijdt de -as in punt P en de -as in punt Q. Er is een waarde van a waarvoor et beeld van P bij spiegeling in de lijn samenvalt met Q. Zie de. = Q P g f 8p 7 Bereken deze waarde van a. Rond je antwoord af op twee decimalen

7 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Ankerketting Een scip ligt op zee voor anker. Door stroming en wind trekt et scip aan de ankerketting. Hierdoor en door et eigen gewict van de ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een kettinglijn. In de is deze situatie scematisc in een assenstelsel weergegeven. De -as valt samen met de orizontale zeebodem, waarop et anker ligt. De oorsprong van et assenstelsel is gekozen in et punt waar de ankerketting aan et anker is bevestigd. Aan et scip zit de ankerketting vast in punt A. We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct et water in gaat. Het punt A bevindt zic 96 meter rects van de -as. A Een kettinglijn waarvan et laagste punt door gaat, kan worden bescouwd als een deel van de grafiek van de functie f gegeven door: a a f( ) e e, met a 0 a Voor de functie f geldt: a a f' ( ) e e 6p 8 Bewijs deze gelijkeid

8 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Voor de ankerketting in de geldt a en Hierin zijn 40 en f ( ) in meters. Door golven en wind kan een scip flinke bewegingen maken. Bij een korte ankerketting kan dan et anker losraken. m dit te voorkomen geeft men bij et uitwerpen van een anker de ankerketting veel lengte. Hiervoor anteert men in de sceepvaart de vuistregel dat de lengte van de ankerketting tussen anker en scip ten minste driemaal de waterdiepte moet zijn. 5p 9 nderzoek of de ankerketting in de aan deze vuistregel voldoet. Bij vraag 9, kan de volgende informatie worden gebruikt: De lengte L van et deel van de grafiek van een functie f tussen de punten ( a, f(a)) en ( b, f(b)) kan worden berekend met de volgende formule: b L = + ( f '( ) ) d a - 8 -

9 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Een gebroken functie en zijn inverse 4 De functies f en g zijn gegeven door f( ) 4 en ( ) g. 4 In de zijn de grafieken van f en g weergegeven. f f g g De functie g is de inverse van f. 4p 0 Bewijs dit. De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten (0, 0) en (, ). De grafieken sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in de grijs gemaakt. 6p Bereken eact de oppervlakte van dit vlakdeel

10 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Tussen twee bewegende punten ver de eeneidscirkel bewegen twee punten A en B. Beide punten bevinden zic op tijdstip t 0 in et punt (, 0). Ze bewegen met constante sneleid, waarbij de sneleid van A drie keer zo groot is als de sneleid van B. De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn respectievelijk: A() t cos() t A() t sin() t en B() t cost B() t sint Voor t k, met k geeel, vallen de punten A en B niet samen en zijn ze de eindpunten van de koorde AB. In de is de situatie getekend voor t 5 π. Lijnstuk A'B' is de loodrecte projectie van koorde AB op de -as. De lengte van A'B' verandert voortdurend tijdens de beweging. 4p Bereken de maimale lengte van A'B'. Rond je antwoord af op twee decimalen. A B Tijdens de beweging verandert ook de rictingscoëfficiënt van koorde AB. Deze rictingscoëfficiënt noemen we a. Voor elk tijdstip t, waarbij t k π met k geeel, geldt: cos( t) () a sin( t) - A' - B' Deze formule kan bewezen worden met beulp van de volgende goniometrisce formules: () () p q p q p q p q sin p sin q sin cos (voor elke waarde van p en q) cos p cosq sin sin (voor elke waarde van p en q) 4p Bewijs formule () met beulp van formules () en (). Lijn l is de lijn met vergelijking. Er zijn vier waarden van t, met 0 t π, waarvoor koorde AB evenwijdig is met l. 5p 4 Bereken eact deze vier waarden

11 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Ingesloten cirkel Gegeven is de cirkel c met middelpunt (0, 0) en straal. Verder is gegeven et punt A ( a,0) met a. Er zijn twee lijnen door A die aan c raken. De raakpunten zijn B en C. De twee raaklijnen en cirkel c sluiten een cirkel d in. Cirkel d raakt de twee lijnen in D en E en cirkel c in (, 0). Cirkel d eeft middelpunt M. Zie de. c B d D M r A (a, 0) E C Drieoek AMD en drieoek AB zijn gelijkvormig. a Voor de straal r van cirkel d geldt: r a 5p 5 Bewijs dat r a a Er is een waarde van a waarvoor vieroek CAB een vierkant is. In dat geval kan de straal van cirkel d gescreven worden als r p q waarbij p en q geele getallen zijn. 5p 6 Bereken eact de waarden van p en q. - -