Gelijke oppervlakte. V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de x-as. In figuur 2 is V grijs gemaakt. 2,2 zijn.

Transcriptie

1 Gelijke oppervlakte Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ). e punten (0, 0) en (9, 0) liggen op de grafiek van f. Het punt T is et oogste punt van deze grafiek. Zie figuur. figuur T f e coördinaten van T zijn,. 4 4, zijn. 4p ewijs dat de coördinaten van T inderdaad 4 4 V is et vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de -as. In figuur is V grijs gemaakt. figuur T V f e lijn door en T snijdt de -as in et punt. In figuur is drieoek grijs gemaakt. figuur T f e oppervlakte van V en de oppervlakte van drieoek zijn gelijk. 6p ewijs dit.

2 Het uiteinde van een wip We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van et uiteinde van een wip. Lijnstuk PQ met midden en lengte 4 draait om. e oogte van is. Zie figuur. We kijken naar et verloop van de oogte van P. p tijdstip t 0 is de oogte van P gelijk aan 0. Van t 0 tot t beweegt P omoog. In figuur is et lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op t 0, t en op t. op 4 figuur t = 0 P Q P t = Q P t = Q e oogte van P tijdens de omooggaande beweging wordt bescreven door et volgende model: fase : π π () t sin 0 t 6 voor 0 t π π () t sin t voor t π 6π π () t sin 0 t 5 t 0 voor 5 t de oogtes van P in de verscillende fasen. fase : fase : Hierin zijn, en

3 In figuur is de grafiek van de oogte van P in de fasen, en getekend. figuur 5 t e oogte van P aan et eind van fase is 5 ( ). oor t 5 in te vullen in de formule van kan worden bewezen dat de oogte van P aan et begin van fase gelijk is aan de oogte van P aan et eind van fase. p ewijs dat deze oogtes gelijk zijn. e elling van de grafiek van cos p 4 ewijs dat de elling van de grafiek van aan et eind van fase ieraan gelijk is. Voor elke waarde van a, met 0 a, geldt: ( a) ( a) 4p 5 ewijs deze gelijkeid. aan et begin van fase is π π

4 irkel en lijnstuk Gegeven zijn een cirkel c met middelpunt en een lijnstuk buiten c. e lijn door en snijdt c niet. c Lijnstuk snijdt c in punt en lijnstuk snijdt c in punt. e bissectrice van oek en de bissectrice van oek snijden elkaar in punt E. Zie de figuur. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. E 5p 6 ewijs dat de lijnstukken E en E even lang zijn. Je kunt ierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

5 wiskunde VW 04- uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer 6 c E

6 Gespiegelde punten Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ) ln. e grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over een afstand a naar links te verscuiven, waarbij a. e grafiek van g snijdt de -as in punt P en de -as in punt Q. Er is een waarde van a waarvoor et beeld van P bij spiegeling in de lijn samenvalt met Q. Er geldt dan: Q P. Zie de figuur. figuur = Q P g f 7p 7 ereken deze waarde van a. Rond je antwoord af op twee decimalen.

7 nkerketting Een scip ligt op zee voor anker. oor stroming en wind trekt et scip aan de ankerketting. Hierdoor en door et eigen gewict van de ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een kettinglijn. In de figuur is deze situatie scematisc in een assenstelsel weergegeven. e -as valt samen met de orizontale zeebodem, waarop et anker ligt. e oorsprong van et assenstelsel is gekozen in et punt waar de ankerketting aan et anker is bevestigd. an et scip zit de ankerketting vast in punt. We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct et water in gaat. Het punt bevindt zic 96 meter rects van de -as. figuur Een kettinglijn waarvan et laagste punt door gaat, kan worden bescouwd als een deel van de grafiek van de functie f gegeven door: a a f( ) e e, met a 0 a Voor de functie f geldt: a a f' ( ) e e 6p 8 ewijs deze gelijkeid. Voor de ankerketting in de figuur geldt a en Hierin zijn 40 en f ( ) in meters. oor golven en wind kan een scip flinke bewegingen maken. ij een korte ankerketting kan dan et anker losraken. m dit te voorkomen geeft men bij et uitwerpen van een anker de ankerketting veel lengte. Hiervoor anteert men in de sceepvaart de vuistregel dat de lengte van de ankerketting tussen anker en scip ten minste driemaal de waterdiepte moet zijn. 5p 9 nderzoek of de ankerketting in de figuur aan deze vuistregel voldoet.

8 ct keer zo groot Voor p 0 is de functie f p gegeven door f p ( ) p. e grafiek van f p raakt de -as in et punt (0, 0) en snijdt deze in et punt ( p, 0). Verder eeft de grafiek van f een buigpunt ( p, p ). p V is et gebied dat wordt ingesloten door de figuur grafiek van f p en de -as. e verticale lijn door et buigpunt verdeelt V in twee delen. In figuur is deze situatie weergegeven. e 4 oppervlakte van et linkerdeel is 4 p. 5p 0 ewijs dat de oppervlakte van et recterdeel act keer zo groot is als de oppervlakte van et linkerdeel. f p Er is een waarde van p waarvoor geldt: de lijnstukken en zijn even lang. 4p ereken eact deze waarde van p. e buigraaklijn in snijdt de -as in punt. figuur In figuur is deze situatie weergegeven. 5p ewijs dat de lengte van voor elke waarde van p 0 act keer zo groot is als de lengte van. f p

9 Tussen twee bewegende punten ver de eeneidscirkel bewegen twee punten en. eide punten bevinden zic op tijdstip t 0 in et punt (, 0). Ze bewegen met constante sneleid, waarbij de sneleid van drie keer zo groot is als de sneleid van. e bewegingsvergelijkingen van en zijn respectievelijk: () t cos() t () t sin() t en () t cost () t sint Voor t k, met k geeel, vallen de punten en niet samen en zijn ze de eindpunten van de koorde. In de figuur is de situatie getekend voor t 5 π. Lijnstuk '' is de loodrecte projectie van koorde op de -as. e lengte van '' verandert voortdurend tijdens de beweging. 4p ereken de maimale lengte van ''. Rond je antwoord af op twee decimalen. figuur - ' ' - Tijdens de beweging verandert ook de rictingscoëfficiënt van koorde. eze rictingscoëfficiënt noemen we a. Voor elk tijdstip t, waarbij t k met k geeel, geldt: π cos( t) a sin( t) 4p 4 ewijs dit. Lijn l is de lijn met vergelijking. Er zijn vier waarden van t, met 0 t π, waarvoor koorde evenwijdig is met l. 5p 5 ereken eact deze vier waarden. Let op: de laatste vragen van dit eamen staan op de volgende pagina.

10 iagonalen en gelijke oeken Gegeven is een cirkel met een koordenvieroek met diagonalen en. iagonaal verdeelt oek in twee gelijke oeken. Zie figuur. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur Voor deze koordenvieroek geldt: en zijn even lang. 4p 6 ewijs dit. Je kunt ierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. In figuur, die ook op de uitwerkbijlage staat, is opnieuw een cirkel getekend met een koordenvieroek. Er geldt nu: diagonaal verdeelt oek in twee gelijke oeken; diagonaal verdeelt oek in twee gelijke oeken. e diagonalen snijden elkaar in et punt E. e lijn door en et middelpunt van de cirkel snijdt diagonaal in et punt F. e lijn door en snijdt diagonaal in et punt G. figuur E G F 6p 7 ewijs dat de punten E, F, en G op één cirkel liggen. Je kunt ierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

11 wiskunde VW 04- uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer 6 7 E F G