wiskunde B pilot vwo 2017-I

Transcriptie

1 wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f ' ( e) g' ( e) g, dus) de grafieken van f en g raken elkaar Bewegen over een lijn maimumscore p OP p + PQ ( OP' ( p + ) ) p ( p ) p p OQ OP + PQ p + p Het stelsel geeft voor m de vergelijking y + y p+ De punten P (0, ) en P (, 0) liggen op k Dit geeft P' (, 0) en P' (0, ) Dit geeft Q (, ) en Q (, ) Hieruit volgt voor m de vergelijking y +

2 wiskunde B pilot vwo 07-I Een derde cirkel maimumscore In driehoek MM M geldt ( r+ ) 8 + ( r+ ) 8 ( r+ ) cos( MM M ) ( r+ ) 8 ( r+ ) cos( MM M) 8 ( r + ) De teller herleiden tot 8r 9 r + De rest van de herleiding tot cos( MM M) r + maimumscore r + + r ( r + + r r +, dus) nadert tot r + ( cos( MM M) nadert tot,) dus de limiet is 0 (de termen in teller en noemer zijn voor grote waarden van r r + verwaarloosbaar, dus) nadert tot r + ( cos( MM M) nadert tot,) dus de limiet is 0 Als r onbegrensd toeneemt, nadert c tot een gemeenschappelijke raaklijn aan c en c Een redenering berekening waaruit volgt dat deze raaklijn de -as in (,0) snijdt, dus cos( MM M ) ( cos( MM M ) ) ( cos( MM M) nadert tot,) dus de limiet is 0

3 wiskunde B pilot vwo 07-I maimumscore De stelling van Pythagoras in driehoek MPM geeft ( r+ ) r + ( a), met a de -coördinaat van M De stelling van Pythagoras in driehoek MPM geeft ( r+ ) r + ( a) Dit geeft r a + a en r a a Hieruit volgt ( a + a) a a Dus a + a 0, dus aa+ ( ) 0, dus a ( a 0 voldoet niet) Invullen in een eerder gevonden vergelijking met r en a geeft r PMM MMM cos( ) cos( ) MP r + r+ r+ Dit geeft M P r+ De stelling van Pythagoras in driehoek MPM geeft ( r+ ) + r ( r+ ) ( in driehoek M PM : ( r ) + r ( r+ ) ) Herleiden tot een kwadratische vergelijking zonder haakjes Hieruit volgt r ( r 0 voldoet niet) De stelling van Pythagoras in driehoek MPM geeft r + M P ( r+ ) MP r+ MMM PMM cos( ) cos( ) r+ r+, dus r+ r+ r+ r+ Herleiden tot een kwadratische vergelijking zonder haakjes Hieruit volgt r ( r 0 voldoet niet) De stelling van Pythagoras in driehoek MPM geeft ( r + ) r + PM Hieruit volgt PM r + Invullen in ( r + ) r + ( PM + 8) geeft ( r+ ) r + ( r+ + 8) Hieruit volgt r+ r+ 8+ r+ Herleiden tot een kwadratische vergelijking zonder haakjes Hieruit volgt r ( r 0 voldoet niet)

4 wiskunde B pilot vwo 07-I Een achtbaan maimumscore De afgeleide van sin( t ) is cos( t) ' ( t) sin( t) + cos( t) en y' () t sin() t Voor de snelheid v op tijdstip t geldt vt ( ) ( sin( t) + cos( t)) + ( sin( t)) Beschrijven hoe het maimum van v kan worden bepaald * De maimale snelheid is, (m/s) * * deze punten altijd toekennen 7 maimumscore cos( t) cos( t) + sin( t) geeft cos( t) cos( t) + sin( t)cos( t) cos( t) sin( t)cos( t) 0 cos( t)( sin( t)) 0, dus sin( t ) ( cos( t ) 0 voldoet niet, want dat geeft O) Dit geeft t π t π De beweging duurt π (s) cos( t) cos( t) + sin( t) geeft sin( t) cos( t), dus sin( t) sin( π t) t π t+ k π (met k geheel) t π( π t) + k π (met k geheel) t π+ k π (met k geheel) t π+ k π (met k geheel) Dit geeft t π t π (want t π en t π+ k π geven O) De beweging duurt π (s)

5 wiskunde B pilot vwo 07-I 8 maimumscore De helling van lijnstuk PQ op tijdstip t is gelijk aan cos( t+π) cos( t) cos( t+π ) + sin(( t+π)) (cos( t) + sin( t)) sin(( t+π )) sin(t+ π ) sin( t) De helling is gelijk aan cos( t+π) cos( t) cos( t+π) cos( t) cos( t+π ) + sin( t) cos( t) sin( t) cos( t+π) cos( t) Dit is (voor elke waarde van t met cos( t) 0 ) gelijk aan ( ) cos( t+π) cos( t) ( cos( t+π) cos( t) ) (en dus onafhankelijk van t) De helling van lijnstuk PQ op tijdstip t is gelijk aan cos( t+π) cos( t) cos( t+π ) + sin(( t+π)) (cos( t) + sin( t)) sin(( t+π )) sin(t+ π ) sin( t) cos( t+π ) cos( t), dus de helling is gelijk aan cos( t) cos( t) cos( t) cos( t) cos( t) + sin( t) cos( t) sin( t) cos( t) cos( t) cos( t) Dit is (voor elke waarde van t met cos( t) 0 ) gelijk aan ( ) cos( t) (en dus onafhankelijk van t)

6 wiskunde B pilot vwo 07-I Een gebroken functie 9 maimumscore De vergelijking moet worden opgelost Dit geeft geeft Herleiden tot ( )( ) De coördinaten van punt B zijn (, ) 0 maimumscore De inhoud van het linkerdeel is gelijk aan De inhoud van het rechterdeel is gelijk aan π ( ) Een primitieve van is ( ) Een primitieve van ( ) is ( ) 0 π d d De inhoud is ( π+ π ) 7 7 π De inhoud van het linkerdeel is gelijk aan 0 π d Een primitieve van is ( ) De inhoud van het rechterdeel is gelijk aan de inhoud van de kegel die ontstaat door lijn k van tot om de -as te wentelen De hoogte van de kegel is, de straal van het grondvlak G is ( ), de inhoud van de kegel is te berekenen met G h De inhoud is 7 ( π+ π ) 7 π

7 wiskunde B pilot vwo 07-I maimumscore Er geldt g ( ) + aen de grafiek van g heeft een verticale asymptoot met vergelijking De horizontale asymptoot van de grafiek van g heeft vergelijking y a De verticale asymptoot van de grafiek van de inverse functie van g (ontstaan door spiegeling in de lijn met vergelijking y ) is dus de lijn met vergelijking a ( a, dus) a a Er geldt g ( ) + aen de grafiek van g heeft een verticale asymptoot met vergelijking Voor de grafiek van de inverse functie van g geldt y ( a) + De verticale asymptoot van de grafiek van de inverse functie van g heeft vergelijking a ( a, dus) a a 7

8 wiskunde B pilot vwo 07-I Brandwerendheid van een deur maimumscore ln ( t) + ln( t) 9 ln( t) T' nat( t) 00 e + t t T' nat () 0geeft ln( t) + 0 t t Dit geeft ln( t ) De maimale temperatuur is e 070 (ºC) (ln( t) ) De herleiding tot e Dit is maimaal als (ln( t) ) maimaal is Dat is het geval als ln( t ) De maimale temperatuur is e 070 (ºC) T nat is maimaal als ln ( t) + ln( t) 9 maimaal is d ( ln( t) ln ( t) + ln( t) 9) + dt t t ln( t) + 0 geeft ln( t ) t t 0 De maimale temperatuur is e 070 (ºC) Opmerking Als in het eerste antwoordalternatief voor T' nat () t de uitdrukking ln ( ) + ln( ) 9 t t 00 e ln( t) + wordt gegeven, dan één van de twee t scorepunten voor de afgeleide functie toekennen. maimumscore De vergelijking 0 + log(8t + ) 00 moet worden opgelost log(8t + ) 80 ( 0,8) 80 8t + 0 (,80) Het antwoord: t 0,8 (minuten) 8

9 wiskunde B pilot vwo 07-I maimumscore 7 De oppervlakte van het grijze vlakdeel in figuur is 0 0,9 ( + t+ ) 0 log(8 ) 00 dt Deze oppervlakte is (ongeveer) 99 Beschrijven hoe de vergelijking Tnat ( t ) 00 kan worden opgelost Dit geeft t, ( nauwkeuriger) De oppervlakte bij de natuurlijke brand is 0 ln ( t) + ln( t) 9 ( e 00)dt, Deze oppervlakte is (ongeveer) ( > 99, dus) de deur houdt tijdens de natuurlijke brand niet minstens 0 minuten stand De oppervlakte van het grijze vlakdeel in figuur is 0 0,9 ( + t+ ) 0 log(8 ) 00 dt Deze oppervlakte is (ongeveer) 99 Beschrijven hoe de vergelijking Tnat ( t ) 00 kan worden opgelost Dit geeft t, ( nauwkeuriger) Beschrijven hoe de vergelijking ln ( t) + ln( t) 9 ( e 00)dt 99 kan worden opgelost, Dit geeft ( < 0, dus) de deur houdt tijdens de natuurlijke brand niet minstens 0 minuten stand Opmerkingen In plaats van de ondergrens 0,9 van de eerste integraal mag ook de nauwkeuriger waarde gebruikt worden die in de vorige vraag is berekend. Als in één beide integralen de term 00 is vergeten, voor deze vraag maimaal scorepunten toekennen. 9

10 wiskunde B pilot vwo 07-I Perforatie maimumscore ( + )( ) 0 geeft (want invullen in p + 0 heeft geen oplossing) + p + geeft p+ 8p+ ( p + ) p + 0 geeft p (dus voor p heeft de grafiek van f p een perforatie) ( )( ) f ( ) ( + )( ) ( ) f + (voor ) De coördinaten van de perforatie zijn ( ), (want lim f ( ) ) Herleiden van de teller tot ( )( p + p) + p + p + 0 geeft p (dus voor p heeft de grafiek van f p een perforatie) ( )( ) f ( ) ( + )( ) f ( ) + (voor ) De coördinaten van de perforatie zijn ( ) p + p + 0 geeft, (want lim f ( ) ) p± p p p ( + )( ) 0 geeft (want + 0 heeft geen oplossing) (dus er is een perforatie bij ), dus er moet gelden p± p p p Dit geeft p ( )( ) f ( ) ( + )( ) f ( ) + (voor ) De coördinaten van de perforatie zijn ( ), (want lim f ( ) ) 0