Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-I

Transcriptie

1 Landing In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van een vliegtuig bij de landing. en vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 00 km van het vliegveld (horizontaal gemeten) wordt het landingsproces ingezet. We tekenen de baan van het vliegtuig in een assenstelsel: is de afstand (in km, horizontaal gemeten) vanaf het punt waar het landingsproces wordt ingezet en is de hoogte (in km). e piloot begint het landingsproces in het punt (0, 8) en het vliegtuig komt in het punt (00, 0) op de grond. Zie figuur. figuur 8 O 00 e baan die het vliegtuig tijdens het landingsproces beschrijft, wordt in het assenstelsel bij benadering gegeven door: = 8 2, , p Toon langs algebraïsche weg aan dat volgens bovenstaande formule het vliegtuig zowel in het punt (0, 8) als in het punt (00, 0) een horizontale bewegingsrichting heeft. e snelheid in horizontale richting is tijdens het gehele landingsproces 500 km/u. r geldt dus: = 500 t, waarbij t het aantal uren na het inzetten van de landing is en 0 t 0,2. Voor de hoogte geldt: = t t3. 3p 2 Toon dit aan. Om veiligheidsredenen mag de absolute waarde van de verticale versnelling ''( t ) tijdens het landingsproces niet groter zijn dan 200 km/u 2. 4p 3 Onderzoek of aan deze eis voldaan is. www

2 en parabool vouwen is een rechthoekig vel papier met daarop een punt. We vouwen de hoek bij zo om dat een punt van de rand op komt. at kan op allerlei manieren. In figuur 2 staan drie voorbeelden. figuur 2 e vouwlijn noemen we, met op en op. e plaats van na het vouwen noemen we '. In figuur 3 is op de rand een punt gekozen. eze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. 3p 4 Teken op de uitwerkbijlage zonder te vouwen het bijbehorende punt. Licht je werkwijze toe. figuur 3 figuur 4 e vouwlijnen zijn allemaal raaklijn aan één parabool. Zie figuur 4. eze parabool heeft brandpunt en richtlijn. In figuur 5 is een van de vouwlijnen getekend. eze vouwlijn raakt de parabool in een punt R. iguur 5 staat vergroot op de uitwerkbijlage. 4p 5 Teken punt R op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe. figuur 5 In figuur 6 is het midden van. eze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. 4p 6 ewijs dat ' = 90. figuur 6 www

3 uitwerkbijlage www

4 Heupoperaties atiënten lopen na een operatie in het ene ziekenhuis veel meer gevaar een infectie te krijgen dan in het andere. In het jaar 2003 werden in een bepaald ziekenhuis 20 heupoperaties uitgevoerd, waarna 6 patiënten een infectie kregen. e directie vond het percentage van 5% infectiegevallen te hoog en nam etra preventieve maatregelen. In 2004 werden 54 heupoperaties uitgevoerd, met nu 2 infectiegevallen. Men vroeg zich af of dit betere resultaat toeval was of door de etra preventieve maatregelen kwam. 3p 7 ereken de kans op hoogstens 2 infectiegevallen bij 54 operaties voor het geval dat de kans op infectie per operatie 0,05 is. Omdat de zojuist berekende kans klein is, neemt men aan dat na de etra preventieve maatregelen de kans op infectie na een operatie is afgenomen. e kans op infectie na een operatie na de etra preventieve maatregelen noemen we p. 4p 8 ereken voor welke waarde van p geldt: de kans op hoogstens 2 infectiegevallen bij 54 patiënten is 0,05. e afgelopen vijf jaar was de verpleegduur in Nederlandse ziekenhuizen voor heupoperaties ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 4,5 dagen en een standaardafwijking van,8 dagen. nkele chirurgen hebben de laatste tijd bij heupoperaties een infectieremmend medicijn toegediend. en zorgverzekeraar beweert dat door behandeling met dit medicijn de gemiddelde verpleegduur korter is dan 4,5 dagen. Men neemt een aselecte steekproef van 00 patiënten die behandeld zijn met het medicijn. Van deze 00 patiënten blijkt de gemiddelde verpleegduur 4, dagen te zijn. e standaardafwijking van de gemiddelde verpleegduur van n patiënten is, 8 n dagen. 6p 9 Onderzoek of door de uitkomst 4, dagen de zorgverzekeraar bij een significantieniveau van 5% gelijk krijgt. www

5 en achtkromme In figuur 7 is in een assenstelsel de kromme k getekend, gegeven door () t = 2cost () t = sin2t met 0 t 2π figuur 7 k -2-2 O - eze kromme is smmetrisch ten opzichte van de -as en de -as. e kromme k heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. eze vier punten zijn de hoekpunten van een rechthoek. 5p 0 ereken in één decimaal nauwkeurig de oppervlakte van deze rechthoek. Voor 0 t π geldt dat de coördinaten van de punten van k voldoen aan de 2 vergelijking = p Toon dit aan. www

6 Vier vragen over f() = ln e functie f is gegeven door f ( ) = ln. Het punt (e, ) ligt op de grafiek van f. Zie figuur 8. e raaklijn in aan de grafiek van f gaat door O. 3p 2 Toon dit aan. figuur O f -2 Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, het lijnstuk O en de -as is in figuur 9 grijs aangegeven. it gebied wordt gewenteld om de -as. 4p 3 ereken de inhoud van het zo verkregen omwentelingslichaam. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. Voor elke waarde van met 0< < ligt het punt (, ln ) op de grafiek van f. We bekijken rechthoeken waarvan twee zijden op de assen liggen en waarvan een hoekpunt is. Zie figuur 0. r is een waarde van waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maimaal is. 6p 4 ereken langs algebraïsche weg de eacte waarde van die maimale oppervlakte. In figuur zijn op de grafiek van f twee punten en getekend met de volgende eigenschappen: e -coördinaten van en zijn elkaars tegengestelde. e -coördinaat van is 5 keer zo groot als de -coördinaat van. 6p 5 ereken de eacte waarde van de -coördinaat van. figuur O f figuur O f -2 figuur -2 - O f -2 www

7 e quotiëntrij van de rij van ibonacci We beschouwen de rij van ibonacci:,, 2, 3, 5, 8, 3,. eze rij wordt beschreven door de formules u0 = u = un = un + un 2 voor n 2 We maken bij de rij van ibonacci een quotiëntrij door elke term (behalve de eerste) door zijn voorganger te delen: un qn = voor n un 3p 6 Toon aan dat voor n 2 geldt: q n = + qn e quotiëntrij wordt dus beschreven door de formules q = qn = + voor n 2 qn In de figuur op de uitwerkbijlage zijn de grafieken getekend van =. = + en Verder is op de -as de plaats van q aangegeven. 3p 7 Geef in deze figuur, met behulp van een webgrafiek, op de -as de plaats van de termen q 2, q 3 en q 4 van de quotiëntrij aan. e quotiëntrij heeft een limiet. 4p 8 ereken deze limiet eact. www

8 uitwerkbijlage q O www

9 Twee gelijkzijdige driehoeken In figuur 2 zijn twee gelijkzijdige driehoeken en getekend met gemeenschappelijk punt. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 4p 9 ewijs dat =. In figuur 3 zijn van de twee gelijkzijdige driehoeken en ook de omgeschreven cirkels getekend. eze omgeschreven cirkels hebben de punten en S gemeenschappelijk. Ook zijn de lijnstukken S en S getekend. eze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 3 S 5p 20 ewijs dat hoek S een gestrekte hoek is. www

10 uitwerkbijlage 9 20 S www