vergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "vergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen"

Sofie Pieters
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-0 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Inhoud 1. Sstematisch onderzoek van grafieken Conveiteit en uigpunten Asmptoten 2. Kegelsneden 3. oolcoördinaten en parametervergelijkingen oolcoördinaten en krommen Geparametriseerde krommen in R Sstematisch onderzoek Houd rekening met: Snijpunten met de coördinaatassen Kritieke punten Intervallen waar f stijgend of dalend is Etrema Gedrag als ± Gedrag als ± Asmptoten Conveiteit Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen Conveiteit en uigpunten Als f () 0 voor elke in een interval I dan noemen we f conve op I (of opwaarts geogen) Als f () 0 voor elke in een interval I dan noemen we f concaaf op I (of neerwaarts geogen) Als f conve is op een interval I en, I, dan ligt het lijnstuk door de twee punten (, f( )) en (, f( )) oven de grafiek van f. Als f concaaf is op een interval I en, I, dan ligt het lijnstuk door de twee punten (, f( )) en (, f( )) onder de grafiek van f. Conve (links) en concaaf (rechts). a c d De grafiek is conve: het lijnstuk ligt oven de grafiek.

1 Sstematisch onderzoek Houd rekening met: Snijpunten met de coördinaatassen Kritieke punten Intervallen waar f stijgend of dalend is Etrema Gedrag als ± Gedrag als ± Asmptoten Conveiteit Grafieken

2 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-4 en vergelijkingen Buigpunten Een uigpunt is een punt waar het verloop van de grafiek overgaat van conve naar concaaf, of omgekeerd van concaaf naar conve. Als de tweede afgeleide van f continu is, dan moet f () = 0 in een uigpunt. Tweede afgeleide test Neem aan dat f continu en afleidaar is in een open interval ]a, [. Stel c ]a, [ met f (c) = 0. Dan geldt Als f (c) > 0 dan ereikt f in c een lokaal minimum. Als f (c) < 0 dan ereikt f in c een lokaal maimum. Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-6 en vergelijkingen Asmptoten Een asmptoot van een kromme is een rechte met de eigenschap dat de afstand van een punt van de kromme tot de rechte de limiet nul heeft als het punt zich (in een of andere richting) langs de kromme naar oneindig eweegt. Horizontale asmptoten De rechte = is een horizontale asmptoot van de grafiek van f indien lim f() = asmptoot op + of + lim f() = asmptoot op = α

Stel c ]a, [ met f (c) = 0. Dan geldt Als f (c) > 0 dan ereikt f in c een lokaal minimum. Als f (c) < 0 dan ereikt f in c een lokaal maimum.

3 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-8 en vergelijkingen Verticale Asmptoten De verticale rechte = a is een verticale asmptoot van de grafiek van f indien lim f() = ± a+ of lim f() = ±. a Schuine Asmptoten De rechte = a + is een schuine asmptoot van de grafiek van f indien lim (f() a ) = 0 + of lim (f() a ) = 0. =a Dan is of a = a = lim + f() f() lim en = lim (f() a) + en = lim (f() a) a Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-10 en vergelijkingen 6.2 Kegelsneden Een kromme in het vlak kan ook gegeven worden door een vergelijking (, ) = C. Als (, ) = f(), dan correspondeert (, ) = 0 met de grafiek van f. Niet elke vergelijking (, ) = C correspondeert met de grafiek van een functie. Een kegelsnede is een kromme die ontstaat door de snijding van een kegel met een vlak, een grafiek van een vergelijking (, ) = C waarin (, ) een uitdrukking is van de tweede graad in en (, ) = a c 2 + d + e + f. Cirkel Een cirkel is de meetkundige plaats van alle punten van het vlak die op een gegeven afstand R > 0 liggen van een gegeven punt met coördinaten (a, ). De afstand van (, ) tot (a, ) is d(, ) = ( a) 2 + ( ) 2. unten op de cirkel met middelpunt en straal R > 0 voldoen aan ( a) 2 + ( ) 2 = R of ook ( a) 2 + ( ) 2 = R 2

=a Dan is of a = a = lim + f() f() lim en = lim (f() a) + en = lim (f() a) a Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-10 en vergelijkingen 6.

4 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-12 en vergelijkingen Ellips Een ellips wordt gedefinieerd als de verzameling van de punten van het vlak waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten 1 en 2 constant is. Kies -as als rechte door 1 en 2 en neem het midden van 1 2 als oorsprong. Stel 2a is de som van de afstanden tot 1 en 2 Dan ehoort (, ) tot de ellips als ( + c) ( c) = 2a Dit kan herwerkt worden tot 2 a = 1, 2 = a 2 c 2. 1 c 0 a 2 1 c 0 a 2 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-14 en vergelijkingen araool Een paraool wordt gedefinieerd als de meetkundige plaats van de punten van het vlak waarvan de afstand tot een gegeven rechte gelijk is aan de afstand tot een gegeven punt dat niet op deze rechte ligt. De rechte wordt richtlijn genoemd en het punt wordt randpunt genoemd. Zij de loodrechte projectie van het randpunt op de richtlijn. Kies de rechte als -as. Kies de oorsprong als het midden van het lijnstuk. De afstand van tot de oorsprong noemen we p. De afstand van een punt (, ) tot de richtlijn is + p. p p O // // (,) De afstand van een punt (, ) tot de richtlijn is + p. De afstand van tot is 2 + ( p) 2. ehoort tot de paraool als 2 + ( p) 2 = + p. Dit kan omgevormd worden tot 4p = 2. l

Stel 2a is de som van de afstanden tot 1 en 2 Dan ehoort (, ) tot de ellips als ( + c) 2 + 2 + ( c) 2 + 2 = 2a Dit kan herwerkt worden tot 2 a 2 + 2 2 = 1, 2 = a 2 c 2.

5 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-16 en vergelijkingen Hperool Een hperool wordt gedefinieerd als de meetkundige plaats van de punten van het vlak waarvoor het verschil van de afstanden tot twee gegeven punten 1 en 2 constant is. Stel coördinaten: 1 ( c, 0) en 2 (c, 0). Stel 2a is het verschil van de afstanden tot 1 en 2. (, ) ehoort tot de hperool als ( + c) ( c) = 2a. Dit kan herwerkt worden tot 2 a = 1 met 2 = c 2 a 2. Een hperool heeft twee asmptoten. 1 O (,) 2 Als de hperool gegeven wordt door de canonieke vergelijking 2 a = 1, dan zijn = a en = a de schuine asmptoten. Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-18 en vergelijkingen Krommen in poolcoördinaten 0 θ r (,) (r, θ) zijn de poolcoördinaten van. Verand met de rechthoekige cartesische coördinaten: = rcosθ en = rsinθ Omgekeerd r = en θ = gtan π + gtan als > 0 als < 0 (ool-)coördinaatlijnen r = C 1 is cirkel rond O met straal C 1 θ = C 2 is een halfrechte door O met hoek C 2 met positieve -as θ=π/2 θ=3π/4 θ=π/4 r=3 r=2 r=1 θ=π θ=0 θ=5π/4 θ=7π/4 θ=3π/2

(, ) ehoort tot de hperool als ( + c) 2 + 2 ( c) 2 + 2 = 2a. Dit kan herwerkt worden tot 2 a 2 2 2 = 1 met 2 = c 2 a 2. Een hperool heeft twee asmptoten.

6 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-20 en vergelijkingen Kromme in poolcoördinaten Een kromme kan in poolcoördinaten gedefinieerd worden door r = f(θ) ( ) Vooreeld Neem r = cosθ met π 2 θ π 2 Teken voor groot aantal waarden van θ het punt met afstand r = cosθ van de oorsprong op de halfrechte die een hoek maakt van θ met de positieve -as. Dan krijgen we een kromme die lijkt op een cirkel: Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-22 en vergelijkingen r = cosθ is ook echt een cirkel! In cartesische coördinaten: r = en cosθ = r = Vergelijking = 2 oftewel +2, = Geparametriseerde krommen Stel f en g zijn continue functies gedefinieerd op [a, ] Voor elke t [a, ] epalen f en g een punt (, ) met = f(t), = g(t). Dit kunnen we herschrijven tot ( 1 2) = ( ) =g(t) (,) Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunt (1/2, 0) en straal 1/2. =f(t) a t

Dan krijgen we een kromme die lijkt op een cirkel: Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-22 en vergelijkingen r = cosθ is ook echt een cirkel!

7 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-24 en vergelijkingen Wanneer t het interval [a, ] doorloopt, eschrijft de kromme K K = {(f(t), g(t)) t [a, ]}. K heeft parametrisatie = f(t), = g(t) Vooreeld { = 0 + R cost De kromme met 0 t 2π. = 0 + R sint Dit is een parametrisatie van de cirkel met middelpunt ( 0, 0 ) en straal R. 0 R t (,) 0 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-26 en vergelijkingen arametrisatie van ellips { = 0 + a cost De kromme met 0 t 2π. = 0 + sint Dit is een parametrisatie van de ellips met middelpunt ( 0, 0 ) en halve assen a en. arametrisatie van hperool { = a cosh t De kromme met t R. = sinh t Dit is een parametrisatie van één tak van een hperool. 0 a t (,) 1 O (,) 2 0

0 R t (,) 0 Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-26 en vergelijkingen arametrisatie van ellips { = 0 + a cost De kromme met 0 t 2π.

Vergelijkbare documenten

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal