Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012"

Transcriptie

1 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith, Roland B. Minton, fourth edition, Mc Graw Hill, In deze studiewijzer is per week een overzicht gegeven van achtereenvolgens: * de stof uit het boek die op college wordt behandeld * belangrijke begrippen hieruit * de opgaven voor de instructies. De colleges Calculus 1 voor de eerstejaars studenten worden gegeven door: Dr. A.G. van Asch (tel. 2810, onder de code 2DB80. De colleges worden op dinsdag gegeven, en de instructies vinden op donderdag plaats. Het is de bedoeling dat de leerstof voorafgaand aan de instructies bestudeerd wordt. Ook is het raadzaam alvast naar de instructie-opgaven te kijken, en daar eventueel vooraf al mee te oefenen. De nadruk in met name het eerste deel van het vak Calculus 1 zal liggen op het verwerven van kennis en vaardigheden met betrekking tot een aantal elementaire wiskundige zaken. Zeker in het begin kan daardoor de indruk gewekt worden dat onderwerpen uit het VWO programma herhaald worden. Inhoudelijk is dat op een aantal punten ook zo, maar de werkwijze is wel verschillend. Er zal dieper worden ingegaan op tal van onderwerpen uit de school-wiskunde, en op verschillende plaatsen zullen er nieuwe aspecten aan worden toegevoegd. Wiskundige vaardigheden Op het college en de instructies wordt uitgegaan van bepaalde rekenvaardigheden en het paraat hebben van formules. Dit wordt apart schriftelijk getoetst in de Ingangstoets wiskundige vaardigheden (2DA70) in de eerst collegeweek. Bij de vaststelling van 1

2 het eindcijfer voor het vak Calculus 1 zal het resultaat van deze Ingangstoets voor 10% meetellen. Er is een herkansing in week 8. Hieronder volgen wat suggesties voor het eventueel bijspijkeren van wiskundige basisvaardigheden. Op de website van WISTU/e: kan geoefend worden met de soort opgaven die ook tijdens de Ingangstoets gevraagd worden. Indien er een achterstand of deficiëntie is, kan het dictaat Rekenvaardigheden aanschaft worden bij de dictaten verkoop. Hierin staan veel relevante formules en opgaven. Verder is het boek: Basisboek Wiskunde (tweede editie) van Jan van de Craats en Rob Bosch (ISBN ) aan te bevelen. In het verlengde hiervan is ook het boek Vervolgboek Wiskunde van Jan van de Craats (ISBN ) zeer goed bruikbaar. Tenslotte is het ook mogelijk om mee te doen aan het project Telmme op de website (bij voorkeur met de browser Firefox): Om aan de cursus te kunnen deelnemen, moet men zich wel eerst aanmelden. Zie linksboven: "Create new account". Per komt er dan een bevestiging. Vervolgens bij TU/e courses aanklikken: "Calculus voor Bouwkunde (NL)" 2

3 Tentaminering Het semester bestaat uit twee kwartielen. Na het eerste kwartiel vindt er een deeltentamen van 1.5 uur plaats over het eerste deel van de leerstof. Dit deeltentamen gaat over de volgende paragrafen (voor zover behandeld): Chapter 0: 0.1, 0.3, 0.4, 0.5 Chapter 1: 1.2 t/m 1.5 Chapter 2: 2.1 t/m 2.7 Na het tweede kwartiel is er een tentamen van 3 uur over de gehele stof. Dit tentamen bestaat uit een duidelijk onderscheiden A-deel over de stof van het deeltentamen (in feite te beschouwen als herkansing van dit deeltentamen), en een B-deel over de resterende stof. Voor elk van de twee delen wordt een cijfer gegeven. Studenten kunnen op grond van een goed resultaat bij het deeltentamen er voor kiezen deel A niet te maken, en al hun tijd aan deel B te besteden. Voor deel A wordt dan het cijfer van het deeltentamen ingevuld. Als iemand zowel het deeltentamen als deel A van het afsluitende tentamen doet wordt het hoogste resultaat gebruikt bij het vaststellen van het eindcijfer. Na het eerste kwartiel van het tweede semester vindt er een herkansing van Calculus 1 plaats. Deze herkansing is een ongedeeld tentamen over de gehele stof. Het resultaat van het deeltentamen telt dan niet meer mee, het resultaat van de Ingangstoets wel. Het eindcijfer na afloop van het semester wordt als volgt vastgesteld: 0.1 resultaat Ingangstoets resultaat 2XB80 (of deel A) resultaat deel B, afgerond op een geheel getal. Bij de herkansing speelt het resultaat van de ingangstoets opnieuw mee, en wordt het eindcijfer als volgt bepaald: 0.1 resultaat Ingangstoets resultaat 2DB80, afgerond op een geheel getal. Schema tentaminering voor het vak Calculus 1 voor B, cursus 2010/2011: In kwartiel 1: Ingangstoets wiskundige vaardigheden in week 1, code 2DA70, tijdsduur 1 uur (herkansing in week 8) Na kwartiel 1: deeltentamen Calculus 1 voor B, code 2XB80, tijdsduur 1.5 uur. Na kwartiel 2: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur. Na kwartiel 3: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur. Tijdens de (deel)tentamens zal het gebruik van een rekenmachine, laptop of formulekaart niet toegestaan zijn. Geef je tijdig op voor (deel)tentamens! Als je je niet hebt opgegeven wordt eventueel werk dat je inlevert niet nagekeken. 3

4 Tijdschema Kwartiel 1, week (tot Example 1.20) Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden. Vergelijkingen van rechte lijnen. Definitie functie, polynoomfuncties, rationale functies. Grafiek van een functie. Bestudeer de op college behandelde stof. 0.1 : 12, 15, 19, 23, 25, 31, 46, 47 Extra opgaven: Los de volgende ongelijkheden op x < < 2 2x < 3 3. x 2 x 6 < x < x + 2 x 2 > 0 8x (x + 1) 3 < 0 4

5 Kwartiel 1, week (vanaf Example 1.20) 0.4 (tot The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van de functies sec, csc, cot) Nulpunten van een kwadratische vergelijking. Nulpunten van een derdegraadsvergelijking indien een factor uitgedeeld kan worden. De functies sinus, cosinus en tangens. Periodiciteit van deze functies. Verband tussen sin x en cos x, sin 2 x + cos 2 x = 1. Somformules, herschrijven van sommen van sinussen en cosinussen. Bestudeer de op college behandelde stof. 0.1 : 66, 67, 68, : 33, 34, 47, 48, 53, 55 Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op: 1. cos 2 x + cos x = 0 2. sin 2 x + cos x 1 = cos 2 x + 3 sin x 3 = 0 Antwoorden 1. x = 1 π + kπ, x = π + 2kπ 2 2. x = 1 π + kπ, x = 2kπ 2 3. x = 1 6 π + 2kπ, x = 5 6 π + 2kπ, x = 1 2 π + 2kπ 5

6 Kwartiel 1, week (met uitzondering van Examples 5.11 en 5.14) Extra: Oplossen van vergelijkingen met hyperbolische functies. Rekenregels voor exponenten, de exponentiële functie, het getal e. Grafieken van e-machten, de logaritmische functie, de natuurlijke logaritme. Vergelijkingen met logaritmen. Rekenregels voor logaritmen. De hyperbolische functies. Bestudeer de op college behandelde stof. 0.5 : 27, 31, 33, 38, 44, 45, 49, 50 Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op. 1. sinh x = 2 2. sinh x = y 3. tanh x = cosh x 3 sinh x = 5 5. cosh x 2 tanh x = 0 Antwoorden 6

7 1. x = ln ( ) 2. x = ln 3. x = 1 2 ln 3 ( y + ) y x = 0, x = ln 4 5. x = ln ( ) 7

8 Kwartiel 1, week (vanaf The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van sec 1 ) De inverse van een functie. De inverse van de functies sinus, cosinus en tangens. Vereenvoudigen van uitdrukkingen met arcsin, arccos en arctan. Bestudeer de op college behandelde stof. 0.3 : 11, 13, : 37, 38, 39, 40, 42, 58, 61 8

9 Kwartiel 1, week (tot The Method of Bisections, niet Examples 4.2, 4.3 en 4.8) 1.5 Het begrip limiet, eenzijdige limiet, lim x 0 sin x x = 1. Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling. Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van sommen, producten en quotienten van continue functies, de tussenwaardestelling. Oneindige limieten en limieten in oneindig. Limieten van rationale functies, verticale en horizontale asymptoten. Bestudeer de op college behandelde stof. 1.3 : 4, 7, 8, 9, 11, 13, 23, 29, 31, 37, : 19, 21, 26, : 1, 6, 9, 15, 20, 23b Extra opgaven: ( ) x 3 + 5x Bepaal de limiet: lim x x 2 + x + 1 x 2. ( 2. Bepaal de limiet: lim x x2 + 3 x) x Antwoorden

10 Kwartiel 1, week Zelf doen! Herhaling VWO-stof. 2.2 (tot "Numerical Differentiation") 2.3 (met uitzondering van het bewijs van Theorem 3.1 (Power rule) op blz. 146/147) 2.4 Herhaling differentiequotiënt, raaklijn, richtingscoëfficiënt. De afgeleide van een functie in een punt, differentiëren van functies, differentieerbaarheid impliceert continuïteit. Berekenen van afgeleiden, rekenregels voor som, verschil en product met een constante. Productregel, quotiëntregel. Bestudeer de op college behandelde stof. 2.2 : 6, 10, : 12, 17, 19, : 3, 6, 7, 33, 35 10

11 Kwartiel 1, week (niet de functies sec, csc en cot, dus alles uitdrukken in sin, cos en tan) 2.7 De kettingregel. Een tweetal standaardlimieten voor sin en cos, de afgeleiden van sin, cos en tan. De afgeleiden van sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies waarin goniometrische functies voorkomen. Afgeleiden van exponentiële- en logaritmische functies. Bestudeer de op college behandelde stof. 2.5 : 1, 5b, 8b, : 2, 5, 7, 11, : 2, 3, 7, 14, 16, 17, 21 11

12 Kwartiel 2, week (niet de afgeleiden van de functies arcsec, arccsc, arccot) Functieonderzoek en het schetsen van grafieken van functies. Impliciet differentiëren, differentiëren van vergelijkingen voor het verkrijgen van relaties tussen afgeleiden. De afgeleiden van arcsin, arccos en arctan. Bestudeer de op college behandelde stof. 3.6 : 3, 6, 18, : 3, 5, 11, 13, 29, 31 12

13 Kwartiel 2, week 2 Appendix Parametervoorstelling van een kromme. Kromming, kromtestraal. Bestudeer de op college behandelde stof. 5 Appendix: opgaven 1, 2, 3, 4, 5 13

14 Kwartiel 2, week Kegelsneden: parabolen, ellipsen en hyperbolen. Richtlijn van een kegelsnede. Brandpunt van een kegelsnede. Asymptoten van een hyperbool. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 9.6 : 1, 5, : 14, 15, 17, 25, 27, 30, 33, 35 14

15 Kwartiel 2, week Primitieve. Riemann som. Bepaalde integraal. Gemiddelde waarde van een functie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 4.1 : 5, 6, 7, : 1, : 15, 17, : 11, 17, 20, 21, 25, 26, : 27, 28 15

16 Kwartiel 2, week Hoofdstelling van de integraalrekening. Substitutiemethode. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 4.5 : 3, 5, 8, : 1, 4, : 15, 17, 27, : 9, 13, 15, 27, 34, 38 16

17 Kwartiel 2, week (niet Example 2.6 op blz. 456) partiële integratie Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 6.1 : 9, 17, : 1, 3, : 13, 16, 31, : 14, 19, 41, 44 17

18 Kwartiel 2, week (niet examples 3.6 t/m 3.10) 6.4 Goniometrische substituties. Integralen van rationale functies. Zelfstudie Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 6.3 : 1, 5, : 1, 3, : 2, 17, 19, : 10, 11, 21, 23, 31 De opgaven over goniometrische substituties uit 6.3 zijn niet erg geschikt; daarom enkele extra opgaven over dit onderwerp: 1. Bepaal x 2 1 x 4 dx 2. Bepaal 3. Bepaal x 2 dx 2 + x x 2 1 4x 2 dx Antwoorden: π x 1 4x arcsin(2x) + C 16 18

19 Appendix: Kromming 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter algemeen voor ruimtelijke krommen behandeld. Wij beperken ons tot het eenvoudiger geval van een vlakke kromme, en leiden eerst een formule voor de kromming af voor het geval de kromme in parametervoorstelling is gegeven. Daarna bekijken we het speciale geval dat de kromme een deel is van de grafiek y = f(x). De begrippen kromming en kromtestraal spelen bijvoorbeeld een rol bij het beschrijven van de doorbuiging van balken. 2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling { x = x (t) y = y (t) In een punt P = (x (t), y (t)) van de kromme maakt de raakljn een hoek ϕ met de x-as, en in het punt Q = (x (t + t), y (t + t)) is dit ϕ + ϕ. De lengte van de kromme tussen P en Q noemen we s. (zie figuur 1) DEFINITIE 2.1 De kromming in punt P is κ = lim ϕ t 0 s. We bepalen nu een uitdrukking voor deze kromming in termen van de coördinaat-functies x (t) en y (t). Uit tan (ϕ) = dy ( ) dx = y (t) y (t) volgt ϕ = arctan, waarbij we aannemen dat x (t) 0. x (t) x (t) Met behulp van de afgeleide van de functie arctan en de kettingregel volgt dan dϕ dt = ( y (t) x (t) ) 2 x (t) y (t) x (t) y (t) x (t) 2 19 = x (t) y (t) x (t) y (t) x (t) 2 + y (t) 2

20 O B 2 3, B, I B, B N Figuur 1: Berekening van de kromming ( x Voor s geldt s ( x) 2 + ( y) 2, dus s ) 2 ( ) 2 y t +. Hieruit volgt dat t t ds dt = x (t) 2 + y (t) 2. We combineren deze beide uitkomsten op de volgende manier: κ = lim ϕ t 0 s = lim Hieruit volgt dus dat t 0 ϕ t 1 s t κ = x (t) y (t) x (t) y (t) ( x (t) 2 + y (t) 2) 3 2 =. dϕ dt ( ) 1 ds dt. Voorbeeld 2.1 De cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal R wordt gegeven door de vergelijking x 2 + y 2 = R 2. Deze cirkel wordt ook gegeven door parametervoorstelling { x = R cos t, 0 t 2π. y = R sin t De kromming is gelijk aan κ = 1. De kromming is dus voor ieder punt op de cirkel gelijk. R Voorbeeld 2.2 De ellips met vergelijking x2 a + y2 = 1, (a b) kunnen we parametriseren 2 b2 als { x = a cos t, 0 t 2π. y = b sin t 20

21 Figuur 2: Kromtestraal ρ. ab De kromming is gelijk aan κ(t) =. (a 2 sin 2 (t) + b 2 cos 2 (t)) 3 2 Nu is κ (t) = 0 als 2(a 2 b 2 ) sin(t) cos(t) = 0, dus als sin(t) = 0 of als cos(t) = 0, dus als t = 0, 1π, π, 3 π. Een tekenoverzicht laat nu zien dat als a > b het maximum wordt 2 2 aangenomen als t = 0, π, d.w.z. in de punten (±a, 0) van de ellips. Als a < b wordt het maximum aangenomen als t = 1π, 3 π, d.w.z in de punten (0, ±b) van de ellips Kromtestraal Zoals we in voorbeeld?? hebben gezien heeft een cirkel in ieder punt dezelfde kromming en deze kromming is gelijk aan de inverse van de straal. Meer algemeen leidt dit tot (zie figuur 2) DEFINITIE 3.1 De kromtestraal in punt P van een kromme is de straal van de cirkel door punt P welke raakt aan de kromme en waarvan de kromming gelijk aan de kromming in punt P. De kromtestraal in punt P is dus de inverse van de kromming in punt P ; notatie ρ = 1 κ. 4 Kromming van de grafiek van een functie Als we de grafiek van een functie y = f (x) bekijken en hiervan de kromming willen berekenen dan is dit een bijzonder geval van het voorgaande. 21

22 { x = x In dit geval kunnen we als parametrisering nemen y = f (x) De formule voor de kromming wordt nu κ = f (x) ( 1 + f (x) 2) 3 2 Voorbeeld 4.1 Een functie f (x) = ax + b heeft als grafiek een rechte lijn. De kromming is zoals te verwachten gelijk aan 0. Voorbeeld 4.2 Voor de parabool y = x 2 2 wordt de kromming gegeven door κ =. (1 + 4x 2 ) 3 2 De kromming is dus afhankelijk van de plaats op de parabool. De kromming is maximaal als 1 + 4x 2 zo klein mogelijk is, d.w.z. als x = 0. 5 Opgaven 1. Bepaal in de volgende gevallen de kromming van de gegeven krommen in de aangegeven punten (a) y = x 3 in het punt (2, 8). (b) y = cosh x in het punt (0, 1). (c) y = sin x in het punt (π, 0) en in het punt ( 1 π, 1). 2 { x = t 1 (d) y = t 2 in het punt (1, 11). + 2t Bepaal in elk van de volgende gevallen in welke punten van de gegeven krommen de kromming maximaal is. (a) y = sin x (b) y = x 2 + x. { x = 5 cos t (c) y = 3 sin t 3. Gegeven is de kromme y = A (x 3 1) + B (x 1) + x. Bepaal de waarden van A en B zó dat de raaklijn in het punt (1, 1) horizontaal loopt, en de kromming in dit punt gelijk is aan Bepaal de kromming van de kromme x 3 + y 3 + 2x 2 4y + 3x = 0 in het punt (0, 0). 5. Bepaal de kromming van de kromme x 2 cos y + ye x = 1 in het punt (0, 1). 22

23 Antwoorden (a) (b) 1 (c) 0 en 1 2 (d) (a) x = 1 2 π + kπ (b) x = 1 2 (c) t = 0 of t = π, dus de punten (x, y) = (5, 0) en (x, y) = ( 5, 0) 3. A = 2, B = 7 of A = 2, B = cos

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental

Nadere informatie

Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016

Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016 Laatste nieuws Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde 2DB03, 2015-2016 Kwartiel 1, week 8.1 Op het college van dinsdag 20 oktober is het volgende behandeld: - opgaven van Oncourse over integralen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus A voor T (2DS05), cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus A voor T (2DS05), cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus A voor T (2DS05), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus A voor T (2DS05) wordt gebruikt het boek Calculus, a complete course, Robert A. Adams, seventh edition, Pearson,

Nadere informatie

Basiswiskunde (2DM00) in collegejaar 2011-2012

Basiswiskunde (2DM00) in collegejaar 2011-2012 Basiswiskunde (2DM00) in collegejaar 2011-2012 INLEIDING Het werkcollege Basiswiskunde is bedoeld om de kennis van de VWO-wiskunde paraat te krijgen en om vaardigheid te ontwikkelen om vlot, handig en

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus A voor T, 2DS05 duaal, cursus 2005/2006

Studiewijzer Calculus A voor T, 2DS05 duaal, cursus 2005/2006 Studiewijzer Calculus A voor T, 2DS05 duaal, cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Calculus A voor T (2DS05) wordt gebruikt het boek Calculus, a complete course, Robert A. Adams, fifth edition, Addison

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

Over de functies arcsin, arccos en arctan

Over de functies arcsin, arccos en arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

Inverse functies en limieten

Inverse functies en limieten Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde B gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie domein subdomein in CE moet in SE mag in SE A Vaardigheden A1: Informatievaardigheden A2:

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i ii Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze

Nadere informatie

Vak Basiswiskunde 2DL00

Vak Basiswiskunde 2DL00 Basiswiskunde_College_1.nb 1 Vak Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014 Basis van wiskundige kennis en vaardigheden Kennismaking vooraf met wiskunde op TU/e Ook vak in allerlei schakelprogramma s Zie ook

Nadere informatie

10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6

10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6 10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6 Inhoudsopgave Deel 6 vwo A Hoofdstuk 1: Samengestelde functies Voorkennis: Differentiëren 1-1 Machtsfuncties 1-2 Machtsfuncties differentiëren 1-3 Wortelfuncties en

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote

Nadere informatie

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 7 mei 007 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

WolframAlpha gratis op internet

WolframAlpha gratis op internet WolframAlpha gratis op internet Jan van de Craats Nog steeds worden leerlingen op havo en vwo verplicht om voor de wiskundelessen een grafische rekenmachine aan te schaffen. Zo n apparaat is duur, zeer

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u == Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Modulen voor Calculus- en Analysevakken

Modulen voor Calculus- en Analysevakken Modulen voor Calculus- en Analysevakken Versie juni 2005 Deze indeling in modulen is zoveel mogelijk onafhankelijk van enig leerboek. Echter, om de invulling ervan concreet te maken is er aangegeven waar

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/60 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Een functie f W A! B is injectief of one-to-one als

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008 Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Eenvoud bij tekenen en rekenen

Eenvoud bij tekenen en rekenen Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Vinger aan de pols bij Bouwkunde

Vinger aan de pols bij Bouwkunde Vinger aan de pols bij Bouwkunde Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@win.tue.nl InterTU-Studiedag 3 juli 2007 12 Wiskunde onderwijs bij Bouwkunde Calculus voor Bouwkunde Docenten: Bram van Asch, reguliere eerste

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Limieten. Theorie: De begrippen limiet en continuïteit. Laat f een functie zijn, gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen.

Limieten. Theorie: De begrippen limiet en continuïteit. Laat f een functie zijn, gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen. Limieten Theorie: De begrippen limiet en continuïteit Laat f een functie zijn, gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen. Definitie: Het begrip limiet We zeggen dat de limiet van f(x)

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie