TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma of HBOminor) u volgt. Als u nog geen identiteitsnummer heeft, zet dan op het eerste vel na Ident.nr: het woord GEEN. Het tentamen bestaat uit het Algemeen deel en het Schakeldeel/doorstroomdeel. Het Algemeen deel heeft een omvang van twee uur en bestaat uit 9 opgaven waar u 4 punten voor kunt halen. Het Schakeldeel/doorstroomdeel heeft een omvang van een uur en bestaat uit 5 opgaven waar u punten voor kunt halen. Voor de onderverdeling van de punten, zie achteraan. Als u beide delen maakt, dan krijgt u twee cijfers, een voor het eerste deel en een voor het geheel. Alle studenten moeten het Algemeen deel maken. HBO-studenten die een minor Academische oriëntatie doen, hoeven alleen dit deel te maken. Zij mogen hier drie uur over doen. Alle andere studenten moeten ook het Schakeldeel/doorstroomdeel maken. Voor HAN-studenten: het Algemeen deel is niveau 3 en het Algemeen deel plus het Schakeldeel/doorstroomdeel is niveau 4. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. U mag géén gebruik maken van laptop, grafische rekenmachine en formulekaart. U mag géén gebruik maken van het boek en ander schriftelijk materiaal. Algemeen deel. Bepaal alle in R waarvoor geldt dat: Bepaal het Taylorpolynoom van vierde orde om = van f() = ln. Wat is de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (,)? 3. Beschouw de functie f gegeven door f() =. Bereken en vereenvoudig (f f)() = f(f()). Bepaal ook het bereik van (f f). zie volgende pagina

2 Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur 4. De hoek ϑ ligt in het interval ( π, π) en tan(ϑ) = 3. Bepaal sin(ϑ) en sin(ϑ). 5. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kromme k gegeven door 3 y = 3y in het punt P(,). 6. a)bepaal (6t + t 3) dt. b)wat is de gemiddelde functiewaarde van f(t) = 6t + t 3 op het interval [, ] en in welk(e) punt(en) wordt deze gemiddelde waarde aangenomen? ( + tan()) 7. Bepaal d. cos () ( ) 8. Vereenvoudig d 3 t d + t dt Bepaal ( + ) ln() d. Schakeldeel/doorstroomdeel. Voor welke a is = 5 een nulpunt van het polynoom p() = a? Bereken voor deze waarde van a ook de overige nulpunten.. Laat zien dat voor alle > geldt dat 3 + < 3.. Beschouw de functie f met f() = ln( + ). Het Taylorpolynoom van orde van f rond wordt met p () aangegeven. Beantwoord de onderdelen van deze vraag zonder gebruik te maken van een rekenmachine. (a) Geef het Taylorpolynoom p () en benader ln(.) met behulp van het Taylorpolynoom p (). (b) Is ln(.) groter of kleiner dan de benadering uit onderdeel (a)? Geef een schatting voor het verschil. zie volgende pagina

3 Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur 3. Bepaal de integraal arctan() d. 4. Toon aan dat sin( arccos()) =. Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Algemeen deel Opgave : 5 punten Opgave 5: 4 punten Opgave 8: 4 punten Opgave : 6 punten Opgave 6a: punten Opgave 9: 4 punten Opgave 3: 4 punten Opgave 6b: 3 punten Opgave 4: 4 punten Opgave 7: 4 punten Het cijfer voor het Algemeen deel wordt bepaald door het totaal der behaalde punten van dit gedeelte door 4 te delen en tot een geheel getal af te ronden. Schakeldeel/doorstroomdeel Opgave : 4 punten Opgave a: 3 punten Opgave 3: 4 punten Opgave : 4 punten Opgave b: punten Opgave 4: 3 punten Het cijfer voor het hele tentamen wordt bepaald door het totaal der behaalde punten van beide gedeelten door 6 te delen en tot een geheel getal af te ronden. 3

4 Integratietabel g() g()d n, n n+ n+ ln( ) ln( f() ) f () f() e e a ln(a) a, a sin() cos() cos() sin() cot() sin () tan() cos () tan() ln( cos() ) ln( tan( ) ) sin() ln( tan( + π) ) cos() 4 e a sin(b), a + b e > a (a sin(b) b cos(b)) a +b e a cos(b), a + b e > a (a cos(b) + b sin(b)) a +b arctan( ) a + a a ln( a+ a a a ) a arcsin( ) a a ln( + + a ) + ln( + a ) a a a + a arcsin( ) a a + a + + a ln( + + a ) a a + a ln( + a ) sinh() cosh() cosh() sinh() tanh() ln(cosh()) Opmerkingen De parameters in de tabel zijn reële getallen. De integratieconstanten zijn weggelaten. 4

5 Taylorpolynomen Functie Taylorpolynoom plus grote-o-term e n! n + O( n+ ) cos() ( )n ( n)! n + O( n+ ) sin() ( )n n+ + O( n+ ) ( n + )! + ln( + ) ( ) n n + O( n+ ) ( )n n + n+ + O( n+ ) ( ) n n + O( n+ ) arctan() ( )n ( n + ) n+ + O( n+ ) ( ) ( ) ( ) α α α ( + ) α n + O( n+ ) n Alle Taylorpolynomen zijn polynomen rond het punt. De binomiaalcoëfficiënten worden gedefinieerd door ( ) α α (α ) (α ) (α (k )) = k 3 k ( ) α =, k =,, 3,... 5