Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme"

Transcriptie

1 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren alle deze functies samengesteld uit mactsfuncties f() : c met c R. In deze les ebben we et over verscillende andere elementaire functies die een belangrijke rol in alle soorten van toepassingen spelen.. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme Als we de ontwikkeling van een populatie bescrijven, ebben we et vaak met de volgende situatie te maken: Er is een beginpopulatie van C konijnen en elk jaar verdubbelt et aantal konijnen. Dan zijn er na afloop van één jaar C konijnen, na twee jaar 4C, na drie jaar 8C enzovoorts. Na afloop van jaar zijn er dan C konijnen. Het zou dus andig zijn, iets meer over functies als f() : a voor a R te weten. Om te beginnen, moeten we iets erover zeggen oe we de functiewaarden van zo n functie berekenen. Voor breuken m n kunnen we a wel berekenen, want in dit geval is a a m n n a m. Hier zien we dat a > 0 moet zijn, anders zouden we (voor oneven m) uit negative getallen de wortel moeten trekken. Omdat we graag willen dat f() : a een continue functie wordt, ebben we nu geen keuze meer bij de berekening van a voor een willkeurige R. Als we namelijk door breuken m n steeds beter benaderen, moet n a m een steeds betere benadering van de functiewaarde a zijn (dat is juist de definitie van continuiteit). 5 0^ 4 e^ y.5^ -4-0 a 0 4 Figuur A.8: De functies f() : a voor a.5, e, 0 Zo als we dat uit de grafieken in Figuur A.8 zouden verwacten, laat zic aantonen dat de functie f : R R, a voor a > 0 in et punt 0 differentieerbaar is. Er laat zic ook algemeen bewijzen dat de afgeleide f (0) 6

2 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 groter is naarmate a groter is. Maar als we de afgeleide van a in 0 kennen, kunnen we de afgeleide van a in elk punt berekenen, want a + a a a en dus f () a f (0). De eponentiële functie met basis e Als we nu voor verscillende waarden van a de afgeleide van f() : a in et punt 0 berekenen, kunnen we door een benaderingsproces een waarde voor a vinden, zo dat f (0) is. Op die manier vinden we et Euler-getal e.788 met de eigenscap dat de functie f() : e in 0 de afgeleide eeft. Zo als boven opgemerkt volgt uit et feit dat de afgeleide van f() : e voor 0 gelijk aan is, dat f () e f (0) e f(). Dit betekent dat f() : e een functie is die aan de vergelijking f() f () voldoet. De functie e eet de eponentiële functie en wordt vaak ook met f() : ep() genoteerd. Samenvattend ebben we dus: ep() e met e.788 ep () ep() en ep(0) ep (0). Er laat zic zelfs aantonen dat de eponentiële functie door de eigenscappen f () f() en f(0) eenduidig bepaald is: Neem aan dat f() een functie is met f () f() en f(0), dan bepalen we de afgeleide van de functie g() : f() ep(). Hiervoor geldt g () f () ep() f() ep () ep() f() ep() f() ep() ep() 0 omdat ep () ep() en f () f(). Maar ieruit volgt dat g() een constante functie is, dus is f() c ep() en uit f(0) ep(0) volgt c, dus f() ep(). De eponentiële functie speelt in veel toepassingen een rol, bijvoorbeeld (zo als eerder al gezegd) bij de ontwikkeling van populaties of in de bescrijving van radioactief verval. Maar ook bij et remmen van een auto of bij et verloop van de temperatuur tussen twee kamers met verscillende temperaturen is de functie ep() van toepassing. We weten (uit ervaring) dat we met evenveel remkract niet zo snel van 00 naar 80 km per uur kunnen afremmen als van 50 naar 0. De verandering van de sneleid bij et remmen is dus afankelijk van de sneleid zelfs. Ook bij de temperatuur zien we een soortgelijk effect: als we een kamer van 0 naast een kamer van 50 ebben, zullen de temperaturen sneller veranderen dan bij kamers van 0 en 0. Bij veel processen vinden we dus een afankelijkeid tussen de sneleid van de verandering van de functie en de waarde van de functie, d.w.z. een afankelijkeid van de vorm f () C f(), 7

3 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 waarbij C een constante is. Er laat zic aantonen dat alle functies die aan deze vergelijking voldoen van de vorm f() : 0 ep(c) zijn, waarbij 0 door de randvoorwaarde 0 f(0) bepaald is (bijvoorbeeld de temperatuur of positie op et tijdstip 0). Algemeen noemt men een vergelijking tussen een functie f() en zijn afgeleiden f (), f () enz. een differentiaalvergelijking. De natuurlijke logaritme Uit et feit dat e > volgt dat ep() > 0 voor alle R en ep() > voor alle > 0, daarom is ep(y) ep() (ep(y ) ) ep() > 0 voor y >. Dit toont aan dat ep() een op R strikt stijgende functie is. Het bereik is (0, ), dus kunnen we op et open interval (0, ) de inverse functie van ep() definiëren. De inverse functie van de eponentiële functie ep() noemen we de natuurlijke logaritme of kort logaritme en noteren deze met log(). 4 ep() y + log() -4 - y 0 a Figuur A.9: Eponentiële functie en natuurlijke logaritme Merk op: De omkeerfunctie van de algemene functie f() : a eet de logaritme met basis a en wordt met a log() genoteerd. Soms (bijvoorbeeld op de middelbare scool of bij ingenieurs) wordt met log() de logaritme met basis 0 bedoeld, de natuurlijke logaritme wordt dan met ln() aangegeven. In de wiskunde wordt ecter met log() steeds de logaritme met basis e bedoeld en dit ouden we ook in deze cursus zo. Bij een logaritme met een andere basis zullen we de basis steeds epliciet aangegeven (bijvoorbeeld 0 log() en log() voor de logaritmes met basis 0 en ). Ook zakrekenmacines kunnen tot verwarring leiden: Vaak is ln de toets voor de natuurlijke logaritme terwijl de toets log voor de logaritme met basis 0 staat. 8

4 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We kunnen logaritmes tussen verscillende bases makkelijk omrekenen, want er geldt: a log() log() log(a). We ebben namelijk e log() a a log() (e log(a) ) a log() e log(a) alog() en dus log() log(a) a log(). Hiermee volgt ook voor twee willekeurige bases a en b van de logaritme dat want b log() log() b log(a) log(b) log(a) log(b) a log() log() log(a) a log(). b log() b log(a) Uit onze formule voor de afgeleide van de inverse functie kunnen we de afgeleide van log() makkelijk berekenen, er geldt log () ep (log()) ep(log()). We ebben iermee een belangrijk gat gevuld: We adden in de vorige les gezien dat we voor een geeel getal n Z de afgeleide van f() : n vinden als f () n n. In et bijzonder vinden we elke van de functies n als afgeleide van een andere mactsfunctie, namelijk als afgeleide van n+ n+. De enige uitzondering ierbij is et geval n, want de afgeleide van 0 is natuurlijk 0. Maar nu ebben we een functie gevonden, die als afgeleide eeft, namelijk de natuurlijke logaritme log(). Om de algemene eponentiële functie f() : a af te leiden is et andig om de relatie a e log(a) en dus a e log(a) ep(log(a) ) te gebruiken. Met de kettingregel volgt dan namelijk dat (a ) ep(log(a)) log(a) log(a) a. Tenslotte nog twee belangrijke relaties voor et optellen en vermenigvuldigen bij ep en log: ep( + y) ep() ep(y) en log(y) log() + log(y).. Trigonometrisce functies De trigonometrisce (of goniometrisce) functies zijn gebaseerd op de meetkunde van rectoekige drieoeken. Als in een rectoekige drieoek de scuine zijde lengte eeft, en a één van de niet-recte oeken is, dan noemen we de lengte van de zijde tegenover a de sinus van a, genoteerd met sin(a) en de lengte van de andere rectoekzijde de cosinus van a, genoteerd met cos(a). In et plaatje van Figuur A.0 is 0B de scuine zijde in de drieoek 0BC en we ebben sin(a) BC en cos(a) 0C. Een van de belangrijkste relaties voor sinus en cosinus volgt meteen uit de stelling van Pytagoras, namelijk sin () + cos (). 9

5 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, y 0. A B a C Figuur A.0: sin(a) BC, cos(a) 0C De afgeleiden van sin() en cos() Om de afgeleide sin () van sin() te bepalen moeten we iets over et quotiënt sin(a+) sin(a) zeggen. Maar oe kunnen we de sinus van een som van twee oeken bepalen? Hiervoor geeft Figuur A. een aanleiding. (cos(a+), sin(a+)) (cos(a), sin(a)) (-sin(a), cos(a)) a Figuur A.: De sinus van de som van twee oeken ( ) cos(a + ) We scrijven de vector w als de som van zijn ortogonale sin(a + ) ( ) ( ) cos(a) sin(a) projecties op de twee vectoren v en v sin(a) die loodrect cos(a) op elkaar staan. Maar de lengte van de projectie van w in de ricting van v is cos() en de lengte van de projectie in de ricting van v is sin(). Dus geldt: ( ) ( ) cos(a + ) cos(a) cos() sin(a) sin() cos() v sin(a + ) + sin() v. sin(a) cos() + cos(a) sin()) Dit geeft de twee belangrijke optelteorema s: cos(a + ) cos(a) cos() sin(a) sin(), sin(a + ) sin(a) cos() + cos(a) sin(). 0

6 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We ebben dus sin(a + ) sin(a) sin(a) cos() + cos(a) sin() sin(a) sin(a)(cos() ) + cos(a) sin() en ieruit volgt dat sin(a + ) sin(a) sin(a) cos() + cos(a) sin(). We weten dat lim 0 sin() 0 en lim 0 cos(), maar dit is nog niet voldoende om de limiet van sin(a+) sin(a) te berekenen. Merk op: Vaak worden oeken niet in graden maar in radialen aangegeven. Het idee ierbij is, een oek door de lengte van de bijorende cirkelboog in een cirkel van straal te bescrijven. Een oek van 60 eeft een volle cirkel als boog en die eeft lengte π. Omgekeerd oort een boog van π bij een oek van 80. Dus komen we van graden naar radialen door de oek in π 80 graden met 80 te vermenigvuldigen en van radialen naar graden door met π te vermenigvuldigen. We zullen oeken meestal in radialen aangeven. Als we de oek a en de straal r van een cirkelboog kennen, kunnen we de lengte van de cirkelboog aangeven, dit is namelijk r a, waarbij we veronderstellen dat de oek a in radialen aangegeven is. In Figuur A.0 eeft dus de boog van B naar lengte a en de boog van A naar C lengte a cos(a). Omdat de boog AC korter is dan de lijn BC geldt a cos(a) < sin(a) en omdat de lijn BC korter is dan de boog B geldt sin(a) < a. Hieruit volgt (voor oeken a met 0 a π ) dat cos(a) < sin(a) <. a Omdat lim 0 cos(), volgt ieruit rectstreeks dat Verder is cos() sin() lim. 0 (cos() )(cos() + ) (cos() + ) sin() sin() cos() + cos () (cos() + ) sin () (cos() + ) en omdat sin() cos()+ voor 0 naar 0 0 gaat, volgt ieruit Als we alles bij elkaar nemen volgt dus cos() lim sin(a + ) sin(a) lim lim sin(a) cos() + lim cos(a) sin() sin(a) 0 + cos(a) cos(a). Kort en goed: de afgeleide van de sinus is de cosinus, ofwel sin () cos().

7 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We kunnen de afgeleide van de cosinus nu op dezelfde manier bepalen als bij de sinus, maar met een klein trucje gaat et sneller. We weten dat sin () + cos () is, dus geldt 0 (sin () + cos ()) cos() cos () + sin() sin () cos()(cos () + sin()). Hieruit volgt meteen: cos () sin(). cos() 0.5 sin() Figuur A.: Sinus- en cosinus-functie Net zo als we de eponentiële functie ep() door de differentiaalvergelijking f () f() ebben gekarakteriseerd, kunnen we ook sinus en cosinus door een differentiaalvergelijking karakteriseren. Het is duidelijk dat voor de tweede afgeleiden geldt dat sin () sin() en cos () cos(). De bewering is nu, dat een functie f() met f () + f() 0 een lineaire combinatie van sin() en cos() is, preciezer gezegd: f () + f() 0 f() a sin() + b cos() met a f (0), b f(0). Neem eerst aan we ebben een functie f() met f () + f() 0, f(0) 0 en f (0) 0. Dan is 0 f ()(f () + f()) (f () + f() ), dus is f () + f() een constante functie. Maar omdat f (0) f(0) 0, is f () + f() 0 voor alle. Maar een som van kwadraten is alleen maar 0 als alle kwadraten 0 zijn, dus volgt ieruit dat f() 0 voor alle, dus is f() de constante 0-functie. Neem nu aan dat f () + f() 0, f (0) a en f(0) b. Dan geldt voor g() : f() a sin() b cos() dat g () + g() 0, g (0) f (0) a 0 en g(0) f(0) b 0. Dus is g() 0 en dus f() a sin() + b cos(). Differentiaalvergelijkingen van de vorm f () C f() spelen bijvoorbeeld bij de bescrijving van trillingen een belangrijke rol. Uit de functies sin() en cos() wordt een aantal verdere functies afgeleid, de belangrijkste iervan is de tangens die gedefinieerd is door tan() : sin() cos(). Het domein van de tangens zijn de punten R met cos() 0, dus π +nπ met n Z. Voor de functie tan() geldt de relatie + tan () cos () + sin () cos () cos ().

8 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Toevallig geeft dit juist ook de afgeleide van de tangens, want tan () ( sin() cos() cos() sin()( sin() cos() ) cos () cos (). We ebben dus: tan () + tan () cos (). 4 y Figuur A.: Tangens-functie Inverse functies van de trigonometrisce functies De inverse functies van de trigonometrisce functies eten arcus-functies en worden als arcsin() : sin (), arccos() : cos () en arctan() : tan () genoteerd. De afgeleiden van deze functies kunnen we makkelijk met de formule bepalen. f () f (f ()) Het bereik van sin() is et interval [, ] dus eeft arcsin() dit interval als domein. Met beulp van et trucje cos() sin () vinden we: arcsin () cos(arcsin()) sin (arcsin()). Het domein voor arccos() is ook [, ] en met beulp van sin() cos () tonen we aan dat arccos () sin(arccos()) cos (arccos()).

9 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We ebben dus: arcsin (), arccos (). De meest belangrijke toepassing van de arcussinus en de arcuscosinus ligt in de integratie van functies. We zullen zien dat de integratie de omkering van de differentiatie is, dus ebben we de functie arcsin() nodig om integralen over functies zo als f() : te berekenen Figuur A.4: Arcussinus- en arcuscosinus-functie Het bereik van tan() is R, maar de functie is alleen maar injectief op een interval ( π, π ) (of een verscuiving iervan om nπ). De arcustangens-functie is dus op R gedefinieerd en eeft waarden tussen π en π. Voor de afgeleide vinden we met de formule voor de afgeleide van de inverse functie en de relatie cos () +tan () : arctan () ( cos (arctan()) ) cos (arctan()) +. + tan (arctan()) De arcustangens-functie wordt (naast zogeeten sigmoid-functies) vaak gebruikt om eperimentele waarden naar een genormeerd interval af te beelden. 4

10 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Figuur A.5: Arcustangens-functie Bijvoorbeeld wil men als waarden, die een zoekmacine voor de kwaliteit van een zoekresultaat aangeeft, meestal waarden tussen 0 en (of tussen 0% en 00%). Maar de intern in een zoekmacine gebruikte metode levert vaak waarden die niet eens naar beneden of boven begrensd zijn. Dan is et andig om deze waarden af te beelden met de functie f : R [0, ], π (arctan() + π ) die strikt stijgend is en als bereik et interval [0, ] eeft.. Hyperbolisce functies Een verdere klasse van belangrijke functies zijn de yperbolisce functies. Deze zijn afgeleid van de eponentiële functie, maar ebben eigenscappen die op eigenscappen van sin() en cos() lijken. We definiëren de sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus door sin() : (ep() ep( )), cos() : (ep() + ep( )). Met beulp van ep () ep() gaat men eenvoudig na dat sin () cos(), cos () sin(). Verder vinden we dat cos () sin (). De naam van de yperbolisce functies eeft betrekking tot de yperbolisce meetkunde. Terwijl we in de Euclidisce meetkunde afstanden in et vlak door + y berekenen, wordt dit in de yperbolisce meetkunde met y gedaan. In de Euclidisce meetkunde liggen de punten met afstand r van et nulpunt op een cirkel die we met r(cos(t), sin(t)), 0 t π kunnen aangeven. Een analoge constructie levert in de yperbolisce meetkunde de punten r(cos(t), sin(t)), die op een yperbool liggen (dus de naam). Een van de belangrijkste toepassingen van de yperbolisce meetkunde is de ruimtetijd uit de speciale relativiteitsteorie. Analoog met de tangens-functie wordt ook een tangensyperbolicus gedefinieerd: tan() : sin() cos(). 5

11 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 cos() y sin() - Figuur A.6: Sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus We ebben tan () cos () sin () cos () tan () cos () sin () cos () cos (), dus tan () tan () cos () cos (). en voor de afgeleide geldt Figuur A.7: Tangensyperbolicus Merk op dat ook de functie tan() net als arctan() voor et normaliseren van eperimentele waarden gebruikt kan worden. Inverse functies van de yperbolisce functies Ook de yperbolisce functies ebben inverse functies, deze eten de areafuncties en worden met arsin() : sin (), arcos() : cos () en artan() : tan () genoteerd. We kunnen deze inverse functies epliciet bepalen, want uit y sin() (ep() ep( )) volgt door vermenigvuldiging met ep() dat ep() y ep() 0. Dit geeft de oplossingen ep() y ± y +, maar wegens ep() > 0 is alleen maar et plusteken mogelijk. Het domein van arsin() is R omdat dit et bereik van sin() is. Dus geldt voor R: arsin() log( + + ). 6

12 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Voor de afgeleide vinden we met beulp van cos() + sin (): arsin () cos(arsin()) + sin (arsin()) +. Het trucje van sin() toegepast op cos() geeft ep() y ep()+ 0, dus ep() y ± y. In dit geval moeten we erop letten, dat cos() niet injectief is, we kunnen dus of een inverse functie voor > 0 of voor < 0 aangeven. Voor de inverse functie van cos() met > 0 geldt et plusteken, dus is arcos() log( + ). De afgeleide van arcos() vinden we net als voor arsin(), maar deze keer gebruiken we de relatie sin() cos () : arcos () sin(arcos()) cos (arcos()) Figuur A.8: Areasinusyperbolics en areacosinusyperbolics Tenslotte kijken we naar de inverse functie van de tangensyperbolicus, de areatangensyperbolicus artan(). Uit y tan() sin() cos() ep() ep( ) ep()+ep( ) volgt + y ep() ep()+ep( ) en ep( ) y ep()+ep( ), dus geldt + y ep()( y) ep() ( y) en dus ep() +y y. Hieruit volgt ( ) + artan() log ( ) + log. De afgeleide van artan() vinden we met beulp van cos () tan () door artan () cos (artan()) tan (artan()), dus is tan (artan()) artan (). Ook in dit geval is et belangrijkste argument om de functie artan() te beandelen, dat we iermee de integraal over functies zo als kunnen oplossen. Deze les wordt samengevat door een tabel die de beandelde functies en un afgeleiden aangeeft. 7

13 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Figuur A.9: Areatangensyperbolicus f() f () ep() ep() log() sin() cos() cos() sin() tan() cos () arcsin() arccos() arctan() + sin() cos() cos() sin() tan() cos () arsin() + arcos() artan() Belangrijke begrippen in deze les eponentiële functie, logaritme trigonometrisce functies inverse trigonometrisce functies yperbolisce functies inverse yperbolisce functies 8

14 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Opgaven 6. Laten f, g : R R de functies zijn met f() : log( + ) en g() : ep(). Bereken de samengestelde functies f g en g f en de afgeleiden f (), g (), (f g) () en (g f) (). 7. Toon aan dat voor alle (0, ) geldt dat log(). 8. Laat zien dat sin + tan > voor alle (0, π/). (Hint: Differentiëren.) 9. Definieer f : R R door f() : + sin + arctan(). Toon aan dat f een inverse functie met domein R bezit. Daarvoor moet je bewijzen dat f strikt stijgend of dalend is en et geeel van R als bereik eeft. 0. Bereken voor f() : + de functies g() : f(f ()) en () : f (f()).. Bepaal de afgeleiden van de volgende functies: (i) f() : sin( + ), (ii) f() : sin() + sin( ), (iii) f() : sin(cos()), ( ) cos() (iv) f() : sin(sin()), (v) f() : sin, (vi) f() : sin(cos()), (vii) f() : sin( + sin()),. Bepaal de afgeleiden van: (viii) f() : sin(cos(sin())). (i) f (), (ii) f () sin(), (iii) f () log(cos() + sin()), (iv) f 4 () sin ( cos( ) ), (v) f5 () ep( ), (vi) f 6 () ep(arctan()), (vii) f 7 () 5 cos(), (viii) f 8 () log ( ), (i) f9 + () arcsin ( ). +. Als je gewone afgeleiden vervelend vindt, zou je et misscien interessanter vinden om van de volgende functies de afgeleide f () te berekenen: (i) f() : sin(( + ) ( + )), (iii) f() : sin (( + sin()) ), (ii) f() : sin ( + sin()), ( ) (iv) f() : sin cos(, ) (v) f() : sin( sin()) + sin(sin( )), (vi) f() : sin () sin( ) sin ( ), (vii) f() : ( + sin 5 ()) 6, (viii) f() : sin(sin(sin(sin(sin())))), (i) f() : sin((sin 7 ( 7 ) + ) 7 ), () f() : ((( + ) + ) 4 + ) 5, (i) f() : sin( +sin( +sin( ))), (iii) f() : sin( ) sin (), (iv) f() : sin + sin() (ii) f() : sin(6 cos(6 sin(6 cos(6)))), ( ) sin( sin() ). 9

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Les Speciale functies. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme We ebben nog niet aangegeven oe we a voor een niet-rationaal zullen berekenen. Het voor de

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

Over de functies arcsin, arccos en arctan

Over de functies arcsin, arccos en arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Inverse functies en limieten

Inverse functies en limieten Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m = Afgeleiden. Herinnert u zic deze nog? Afgeleiden. De algemene vergelijking van een recte in een y-vlak wordt bepaald door ym*+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

6. Goniometrische functies.

6. Goniometrische functies. Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Computeralgebra met Maxima 6. Functies 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Een van de belangrijkste gereedschappen in een CAS betreft het gebruik van functies (definitie, berekening en grafiek).

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Analyse: vraagstuk van Kepler

Analyse: vraagstuk van Kepler Analyse: vraagstuk van Kepler Deel : Afleiden tweede wet (wet der perken) Redelijk simpel. Uit de bewegingsvergelijking volgt dat =. Dit impliceert dat = =. Als je weet dat de tangentiële component van

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÒÁÒ ÓÖÑ Ø ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÇÒ ÖÛ Ò Ö ÒØ Ð¹ Ò ÒØ Ö ÐÖ Ò Ò È Ø Ö Ù Ò HZS-OE5-NW4 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie.4 4 maart 29 2 Differentiaal- en integraalrekening

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

WolframAlpha gratis op internet

WolframAlpha gratis op internet WolframAlpha gratis op internet Jan van de Craats Nog steeds worden leerlingen op havo en vwo verplicht om voor de wiskundelessen een grafische rekenmachine aan te schaffen. Zo n apparaat is duur, zeer

Nadere informatie

Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit:

Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova Eerste graad Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek en werkboek Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde B gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie domein subdomein in CE moet in SE mag in SE A Vaardigheden A1: Informatievaardigheden A2:

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

van sinus en cosinus André Heck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam a.j.p.heck@uva.nl

van sinus en cosinus André Heck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam a.j.p.heck@uva.nl Een GeoGebraondersteunde benadering van sinus en cosinus André Heck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam a.j.p.heck@uva.nl Het probleem: De sinusgrafiek 2 De sinusgrafiek

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Verticale bewegingen ABC ABC

Verticale bewegingen ABC ABC Verticale bewegingen Bepaling divergentie J.C. Bellamy eeft een objectieve metode ontwikkeld om de divergentie te berekenen uit drie windwaarnemingen. Hebben we windwaarnemingen op meerdere niveau s (uit

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen) Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang: wiskunde B, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel Regels

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden

Nadere informatie

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO 2013

Correctievoorschrift HAVO 2013 Correctievoorschrift HAVO 0 tijdvak wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels

Nadere informatie