Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme"

Transcriptie

1 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren alle deze functies samengesteld uit mactsfuncties f() : c met c R. In deze les ebben we et over verscillende andere elementaire functies die een belangrijke rol in alle soorten van toepassingen spelen.. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme Als we de ontwikkeling van een populatie bescrijven, ebben we et vaak met de volgende situatie te maken: Er is een beginpopulatie van C konijnen en elk jaar verdubbelt et aantal konijnen. Dan zijn er na afloop van één jaar C konijnen, na twee jaar 4C, na drie jaar 8C enzovoorts. Na afloop van jaar zijn er dan C konijnen. Het zou dus andig zijn, iets meer over functies als f() : a voor a R te weten. Om te beginnen, moeten we iets erover zeggen oe we de functiewaarden van zo n functie berekenen. Voor breuken m n kunnen we a wel berekenen, want in dit geval is a a m n n a m. Hier zien we dat a > 0 moet zijn, anders zouden we (voor oneven m) uit negative getallen de wortel moeten trekken. Omdat we graag willen dat f() : a een continue functie wordt, ebben we nu geen keuze meer bij de berekening van a voor een willkeurige R. Als we namelijk door breuken m n steeds beter benaderen, moet n a m een steeds betere benadering van de functiewaarde a zijn (dat is juist de definitie van continuiteit). 5 0^ 4 e^ y.5^ -4-0 a 0 4 Figuur A.8: De functies f() : a voor a.5, e, 0 Zo als we dat uit de grafieken in Figuur A.8 zouden verwacten, laat zic aantonen dat de functie f : R R, a voor a > 0 in et punt 0 differentieerbaar is. Er laat zic ook algemeen bewijzen dat de afgeleide f (0) 6

2 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 groter is naarmate a groter is. Maar als we de afgeleide van a in 0 kennen, kunnen we de afgeleide van a in elk punt berekenen, want a + a a a en dus f () a f (0). De eponentiële functie met basis e Als we nu voor verscillende waarden van a de afgeleide van f() : a in et punt 0 berekenen, kunnen we door een benaderingsproces een waarde voor a vinden, zo dat f (0) is. Op die manier vinden we et Euler-getal e.788 met de eigenscap dat de functie f() : e in 0 de afgeleide eeft. Zo als boven opgemerkt volgt uit et feit dat de afgeleide van f() : e voor 0 gelijk aan is, dat f () e f (0) e f(). Dit betekent dat f() : e een functie is die aan de vergelijking f() f () voldoet. De functie e eet de eponentiële functie en wordt vaak ook met f() : ep() genoteerd. Samenvattend ebben we dus: ep() e met e.788 ep () ep() en ep(0) ep (0). Er laat zic zelfs aantonen dat de eponentiële functie door de eigenscappen f () f() en f(0) eenduidig bepaald is: Neem aan dat f() een functie is met f () f() en f(0), dan bepalen we de afgeleide van de functie g() : f() ep(). Hiervoor geldt g () f () ep() f() ep () ep() f() ep() f() ep() ep() 0 omdat ep () ep() en f () f(). Maar ieruit volgt dat g() een constante functie is, dus is f() c ep() en uit f(0) ep(0) volgt c, dus f() ep(). De eponentiële functie speelt in veel toepassingen een rol, bijvoorbeeld (zo als eerder al gezegd) bij de ontwikkeling van populaties of in de bescrijving van radioactief verval. Maar ook bij et remmen van een auto of bij et verloop van de temperatuur tussen twee kamers met verscillende temperaturen is de functie ep() van toepassing. We weten (uit ervaring) dat we met evenveel remkract niet zo snel van 00 naar 80 km per uur kunnen afremmen als van 50 naar 0. De verandering van de sneleid bij et remmen is dus afankelijk van de sneleid zelfs. Ook bij de temperatuur zien we een soortgelijk effect: als we een kamer van 0 naast een kamer van 50 ebben, zullen de temperaturen sneller veranderen dan bij kamers van 0 en 0. Bij veel processen vinden we dus een afankelijkeid tussen de sneleid van de verandering van de functie en de waarde van de functie, d.w.z. een afankelijkeid van de vorm f () C f(), 7

3 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 waarbij C een constante is. Er laat zic aantonen dat alle functies die aan deze vergelijking voldoen van de vorm f() : 0 ep(c) zijn, waarbij 0 door de randvoorwaarde 0 f(0) bepaald is (bijvoorbeeld de temperatuur of positie op et tijdstip 0). Algemeen noemt men een vergelijking tussen een functie f() en zijn afgeleiden f (), f () enz. een differentiaalvergelijking. De natuurlijke logaritme Uit et feit dat e > volgt dat ep() > 0 voor alle R en ep() > voor alle > 0, daarom is ep(y) ep() (ep(y ) ) ep() > 0 voor y >. Dit toont aan dat ep() een op R strikt stijgende functie is. Het bereik is (0, ), dus kunnen we op et open interval (0, ) de inverse functie van ep() definiëren. De inverse functie van de eponentiële functie ep() noemen we de natuurlijke logaritme of kort logaritme en noteren deze met log(). 4 ep() y + log() -4 - y 0 a Figuur A.9: Eponentiële functie en natuurlijke logaritme Merk op: De omkeerfunctie van de algemene functie f() : a eet de logaritme met basis a en wordt met a log() genoteerd. Soms (bijvoorbeeld op de middelbare scool of bij ingenieurs) wordt met log() de logaritme met basis 0 bedoeld, de natuurlijke logaritme wordt dan met ln() aangegeven. In de wiskunde wordt ecter met log() steeds de logaritme met basis e bedoeld en dit ouden we ook in deze cursus zo. Bij een logaritme met een andere basis zullen we de basis steeds epliciet aangegeven (bijvoorbeeld 0 log() en log() voor de logaritmes met basis 0 en ). Ook zakrekenmacines kunnen tot verwarring leiden: Vaak is ln de toets voor de natuurlijke logaritme terwijl de toets log voor de logaritme met basis 0 staat. 8

4 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We kunnen logaritmes tussen verscillende bases makkelijk omrekenen, want er geldt: a log() log() log(a). We ebben namelijk e log() a a log() (e log(a) ) a log() e log(a) alog() en dus log() log(a) a log(). Hiermee volgt ook voor twee willekeurige bases a en b van de logaritme dat want b log() log() b log(a) log(b) log(a) log(b) a log() log() log(a) a log(). b log() b log(a) Uit onze formule voor de afgeleide van de inverse functie kunnen we de afgeleide van log() makkelijk berekenen, er geldt log () ep (log()) ep(log()). We ebben iermee een belangrijk gat gevuld: We adden in de vorige les gezien dat we voor een geeel getal n Z de afgeleide van f() : n vinden als f () n n. In et bijzonder vinden we elke van de functies n als afgeleide van een andere mactsfunctie, namelijk als afgeleide van n+ n+. De enige uitzondering ierbij is et geval n, want de afgeleide van 0 is natuurlijk 0. Maar nu ebben we een functie gevonden, die als afgeleide eeft, namelijk de natuurlijke logaritme log(). Om de algemene eponentiële functie f() : a af te leiden is et andig om de relatie a e log(a) en dus a e log(a) ep(log(a) ) te gebruiken. Met de kettingregel volgt dan namelijk dat (a ) ep(log(a)) log(a) log(a) a. Tenslotte nog twee belangrijke relaties voor et optellen en vermenigvuldigen bij ep en log: ep( + y) ep() ep(y) en log(y) log() + log(y).. Trigonometrisce functies De trigonometrisce (of goniometrisce) functies zijn gebaseerd op de meetkunde van rectoekige drieoeken. Als in een rectoekige drieoek de scuine zijde lengte eeft, en a één van de niet-recte oeken is, dan noemen we de lengte van de zijde tegenover a de sinus van a, genoteerd met sin(a) en de lengte van de andere rectoekzijde de cosinus van a, genoteerd met cos(a). In et plaatje van Figuur A.0 is 0B de scuine zijde in de drieoek 0BC en we ebben sin(a) BC en cos(a) 0C. Een van de belangrijkste relaties voor sinus en cosinus volgt meteen uit de stelling van Pytagoras, namelijk sin () + cos (). 9

5 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, y 0. A B a C Figuur A.0: sin(a) BC, cos(a) 0C De afgeleiden van sin() en cos() Om de afgeleide sin () van sin() te bepalen moeten we iets over et quotiënt sin(a+) sin(a) zeggen. Maar oe kunnen we de sinus van een som van twee oeken bepalen? Hiervoor geeft Figuur A. een aanleiding. (cos(a+), sin(a+)) (cos(a), sin(a)) (-sin(a), cos(a)) a Figuur A.: De sinus van de som van twee oeken ( ) cos(a + ) We scrijven de vector w als de som van zijn ortogonale sin(a + ) ( ) ( ) cos(a) sin(a) projecties op de twee vectoren v en v sin(a) die loodrect cos(a) op elkaar staan. Maar de lengte van de projectie van w in de ricting van v is cos() en de lengte van de projectie in de ricting van v is sin(). Dus geldt: ( ) ( ) cos(a + ) cos(a) cos() sin(a) sin() cos() v sin(a + ) + sin() v. sin(a) cos() + cos(a) sin()) Dit geeft de twee belangrijke optelteorema s: cos(a + ) cos(a) cos() sin(a) sin(), sin(a + ) sin(a) cos() + cos(a) sin(). 0

6 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We ebben dus sin(a + ) sin(a) sin(a) cos() + cos(a) sin() sin(a) sin(a)(cos() ) + cos(a) sin() en ieruit volgt dat sin(a + ) sin(a) sin(a) cos() + cos(a) sin(). We weten dat lim 0 sin() 0 en lim 0 cos(), maar dit is nog niet voldoende om de limiet van sin(a+) sin(a) te berekenen. Merk op: Vaak worden oeken niet in graden maar in radialen aangegeven. Het idee ierbij is, een oek door de lengte van de bijorende cirkelboog in een cirkel van straal te bescrijven. Een oek van 60 eeft een volle cirkel als boog en die eeft lengte π. Omgekeerd oort een boog van π bij een oek van 80. Dus komen we van graden naar radialen door de oek in π 80 graden met 80 te vermenigvuldigen en van radialen naar graden door met π te vermenigvuldigen. We zullen oeken meestal in radialen aangeven. Als we de oek a en de straal r van een cirkelboog kennen, kunnen we de lengte van de cirkelboog aangeven, dit is namelijk r a, waarbij we veronderstellen dat de oek a in radialen aangegeven is. In Figuur A.0 eeft dus de boog van B naar lengte a en de boog van A naar C lengte a cos(a). Omdat de boog AC korter is dan de lijn BC geldt a cos(a) < sin(a) en omdat de lijn BC korter is dan de boog B geldt sin(a) < a. Hieruit volgt (voor oeken a met 0 a π ) dat cos(a) < sin(a) <. a Omdat lim 0 cos(), volgt ieruit rectstreeks dat Verder is cos() sin() lim. 0 (cos() )(cos() + ) (cos() + ) sin() sin() cos() + cos () (cos() + ) sin () (cos() + ) en omdat sin() cos()+ voor 0 naar 0 0 gaat, volgt ieruit Als we alles bij elkaar nemen volgt dus cos() lim sin(a + ) sin(a) lim lim sin(a) cos() + lim cos(a) sin() sin(a) 0 + cos(a) cos(a). Kort en goed: de afgeleide van de sinus is de cosinus, ofwel sin () cos().

7 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We kunnen de afgeleide van de cosinus nu op dezelfde manier bepalen als bij de sinus, maar met een klein trucje gaat et sneller. We weten dat sin () + cos () is, dus geldt 0 (sin () + cos ()) cos() cos () + sin() sin () cos()(cos () + sin()). Hieruit volgt meteen: cos () sin(). cos() 0.5 sin() Figuur A.: Sinus- en cosinus-functie Net zo als we de eponentiële functie ep() door de differentiaalvergelijking f () f() ebben gekarakteriseerd, kunnen we ook sinus en cosinus door een differentiaalvergelijking karakteriseren. Het is duidelijk dat voor de tweede afgeleiden geldt dat sin () sin() en cos () cos(). De bewering is nu, dat een functie f() met f () + f() 0 een lineaire combinatie van sin() en cos() is, preciezer gezegd: f () + f() 0 f() a sin() + b cos() met a f (0), b f(0). Neem eerst aan we ebben een functie f() met f () + f() 0, f(0) 0 en f (0) 0. Dan is 0 f ()(f () + f()) (f () + f() ), dus is f () + f() een constante functie. Maar omdat f (0) f(0) 0, is f () + f() 0 voor alle. Maar een som van kwadraten is alleen maar 0 als alle kwadraten 0 zijn, dus volgt ieruit dat f() 0 voor alle, dus is f() de constante 0-functie. Neem nu aan dat f () + f() 0, f (0) a en f(0) b. Dan geldt voor g() : f() a sin() b cos() dat g () + g() 0, g (0) f (0) a 0 en g(0) f(0) b 0. Dus is g() 0 en dus f() a sin() + b cos(). Differentiaalvergelijkingen van de vorm f () C f() spelen bijvoorbeeld bij de bescrijving van trillingen een belangrijke rol. Uit de functies sin() en cos() wordt een aantal verdere functies afgeleid, de belangrijkste iervan is de tangens die gedefinieerd is door tan() : sin() cos(). Het domein van de tangens zijn de punten R met cos() 0, dus π +nπ met n Z. Voor de functie tan() geldt de relatie + tan () cos () + sin () cos () cos ().

8 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Toevallig geeft dit juist ook de afgeleide van de tangens, want tan () ( sin() cos() cos() sin()( sin() cos() ) cos () cos (). We ebben dus: tan () + tan () cos (). 4 y Figuur A.: Tangens-functie Inverse functies van de trigonometrisce functies De inverse functies van de trigonometrisce functies eten arcus-functies en worden als arcsin() : sin (), arccos() : cos () en arctan() : tan () genoteerd. De afgeleiden van deze functies kunnen we makkelijk met de formule bepalen. f () f (f ()) Het bereik van sin() is et interval [, ] dus eeft arcsin() dit interval als domein. Met beulp van et trucje cos() sin () vinden we: arcsin () cos(arcsin()) sin (arcsin()). Het domein voor arccos() is ook [, ] en met beulp van sin() cos () tonen we aan dat arccos () sin(arccos()) cos (arccos()).

9 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 We ebben dus: arcsin (), arccos (). De meest belangrijke toepassing van de arcussinus en de arcuscosinus ligt in de integratie van functies. We zullen zien dat de integratie de omkering van de differentiatie is, dus ebben we de functie arcsin() nodig om integralen over functies zo als f() : te berekenen Figuur A.4: Arcussinus- en arcuscosinus-functie Het bereik van tan() is R, maar de functie is alleen maar injectief op een interval ( π, π ) (of een verscuiving iervan om nπ). De arcustangens-functie is dus op R gedefinieerd en eeft waarden tussen π en π. Voor de afgeleide vinden we met de formule voor de afgeleide van de inverse functie en de relatie cos () +tan () : arctan () ( cos (arctan()) ) cos (arctan()) +. + tan (arctan()) De arcustangens-functie wordt (naast zogeeten sigmoid-functies) vaak gebruikt om eperimentele waarden naar een genormeerd interval af te beelden. 4

10 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Figuur A.5: Arcustangens-functie Bijvoorbeeld wil men als waarden, die een zoekmacine voor de kwaliteit van een zoekresultaat aangeeft, meestal waarden tussen 0 en (of tussen 0% en 00%). Maar de intern in een zoekmacine gebruikte metode levert vaak waarden die niet eens naar beneden of boven begrensd zijn. Dan is et andig om deze waarden af te beelden met de functie f : R [0, ], π (arctan() + π ) die strikt stijgend is en als bereik et interval [0, ] eeft.. Hyperbolisce functies Een verdere klasse van belangrijke functies zijn de yperbolisce functies. Deze zijn afgeleid van de eponentiële functie, maar ebben eigenscappen die op eigenscappen van sin() en cos() lijken. We definiëren de sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus door sin() : (ep() ep( )), cos() : (ep() + ep( )). Met beulp van ep () ep() gaat men eenvoudig na dat sin () cos(), cos () sin(). Verder vinden we dat cos () sin (). De naam van de yperbolisce functies eeft betrekking tot de yperbolisce meetkunde. Terwijl we in de Euclidisce meetkunde afstanden in et vlak door + y berekenen, wordt dit in de yperbolisce meetkunde met y gedaan. In de Euclidisce meetkunde liggen de punten met afstand r van et nulpunt op een cirkel die we met r(cos(t), sin(t)), 0 t π kunnen aangeven. Een analoge constructie levert in de yperbolisce meetkunde de punten r(cos(t), sin(t)), die op een yperbool liggen (dus de naam). Een van de belangrijkste toepassingen van de yperbolisce meetkunde is de ruimtetijd uit de speciale relativiteitsteorie. Analoog met de tangens-functie wordt ook een tangensyperbolicus gedefinieerd: tan() : sin() cos(). 5

11 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 cos() y sin() - Figuur A.6: Sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus We ebben tan () cos () sin () cos () tan () cos () sin () cos () cos (), dus tan () tan () cos () cos (). en voor de afgeleide geldt Figuur A.7: Tangensyperbolicus Merk op dat ook de functie tan() net als arctan() voor et normaliseren van eperimentele waarden gebruikt kan worden. Inverse functies van de yperbolisce functies Ook de yperbolisce functies ebben inverse functies, deze eten de areafuncties en worden met arsin() : sin (), arcos() : cos () en artan() : tan () genoteerd. We kunnen deze inverse functies epliciet bepalen, want uit y sin() (ep() ep( )) volgt door vermenigvuldiging met ep() dat ep() y ep() 0. Dit geeft de oplossingen ep() y ± y +, maar wegens ep() > 0 is alleen maar et plusteken mogelijk. Het domein van arsin() is R omdat dit et bereik van sin() is. Dus geldt voor R: arsin() log( + + ). 6

12 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Voor de afgeleide vinden we met beulp van cos() + sin (): arsin () cos(arsin()) + sin (arsin()) +. Het trucje van sin() toegepast op cos() geeft ep() y ep()+ 0, dus ep() y ± y. In dit geval moeten we erop letten, dat cos() niet injectief is, we kunnen dus of een inverse functie voor > 0 of voor < 0 aangeven. Voor de inverse functie van cos() met > 0 geldt et plusteken, dus is arcos() log( + ). De afgeleide van arcos() vinden we net als voor arsin(), maar deze keer gebruiken we de relatie sin() cos () : arcos () sin(arcos()) cos (arcos()) Figuur A.8: Areasinusyperbolics en areacosinusyperbolics Tenslotte kijken we naar de inverse functie van de tangensyperbolicus, de areatangensyperbolicus artan(). Uit y tan() sin() cos() ep() ep( ) ep()+ep( ) volgt + y ep() ep()+ep( ) en ep( ) y ep()+ep( ), dus geldt + y ep()( y) ep() ( y) en dus ep() +y y. Hieruit volgt ( ) + artan() log ( ) + log. De afgeleide van artan() vinden we met beulp van cos () tan () door artan () cos (artan()) tan (artan()), dus is tan (artan()) artan (). Ook in dit geval is et belangrijkste argument om de functie artan() te beandelen, dat we iermee de integraal over functies zo als kunnen oplossen. Deze les wordt samengevat door een tabel die de beandelde functies en un afgeleiden aangeeft. 7

13 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Figuur A.9: Areatangensyperbolicus f() f () ep() ep() log() sin() cos() cos() sin() tan() cos () arcsin() arccos() arctan() + sin() cos() cos() sin() tan() cos () arsin() + arcos() artan() Belangrijke begrippen in deze les eponentiële functie, logaritme trigonometrisce functies inverse trigonometrisce functies yperbolisce functies inverse yperbolisce functies 8

14 Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Opgaven 6. Laten f, g : R R de functies zijn met f() : log( + ) en g() : ep(). Bereken de samengestelde functies f g en g f en de afgeleiden f (), g (), (f g) () en (g f) (). 7. Toon aan dat voor alle (0, ) geldt dat log(). 8. Laat zien dat sin + tan > voor alle (0, π/). (Hint: Differentiëren.) 9. Definieer f : R R door f() : + sin + arctan(). Toon aan dat f een inverse functie met domein R bezit. Daarvoor moet je bewijzen dat f strikt stijgend of dalend is en et geeel van R als bereik eeft. 0. Bereken voor f() : + de functies g() : f(f ()) en () : f (f()).. Bepaal de afgeleiden van de volgende functies: (i) f() : sin( + ), (ii) f() : sin() + sin( ), (iii) f() : sin(cos()), ( ) cos() (iv) f() : sin(sin()), (v) f() : sin, (vi) f() : sin(cos()), (vii) f() : sin( + sin()),. Bepaal de afgeleiden van: (viii) f() : sin(cos(sin())). (i) f (), (ii) f () sin(), (iii) f () log(cos() + sin()), (iv) f 4 () sin ( cos( ) ), (v) f5 () ep( ), (vi) f 6 () ep(arctan()), (vii) f 7 () 5 cos(), (viii) f 8 () log ( ), (i) f9 + () arcsin ( ). +. Als je gewone afgeleiden vervelend vindt, zou je et misscien interessanter vinden om van de volgende functies de afgeleide f () te berekenen: (i) f() : sin(( + ) ( + )), (iii) f() : sin (( + sin()) ), (ii) f() : sin ( + sin()), ( ) (iv) f() : sin cos(, ) (v) f() : sin( sin()) + sin(sin( )), (vi) f() : sin () sin( ) sin ( ), (vii) f() : ( + sin 5 ()) 6, (viii) f() : sin(sin(sin(sin(sin())))), (i) f() : sin((sin 7 ( 7 ) + ) 7 ), () f() : ((( + ) + ) 4 + ) 5, (i) f() : sin( +sin( +sin( ))), (iii) f() : sin( ) sin (), (iv) f() : sin + sin() (ii) f() : sin(6 cos(6 sin(6 cos(6)))), ( ) sin( sin() ). 9

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Les Speciale functies. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme We ebben nog niet aangegeven oe we a voor een niet-rationaal zullen berekenen. Het voor de

Nadere informatie

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Over de functies arcsin, arccos en arctan

Over de functies arcsin, arccos en arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Inverse functies en limieten

Inverse functies en limieten Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m = Afgeleiden. Herinnert u zic deze nog? Afgeleiden. De algemene vergelijking van een recte in een y-vlak wordt bepaald door ym*+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging

Nadere informatie

6. Goniometrische functies.

6. Goniometrische functies. Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Computeralgebra met Maxima 6. Functies 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Een van de belangrijkste gereedschappen in een CAS betreft het gebruik van functies (definitie, berekening en grafiek).

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008 Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016

Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:

Nadere informatie

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u == Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Het oplossen van goniometrische vergelijkingen een alternatieve handleiding voor HAVO wiskunde B Inleiding Voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen heb je een aantal dingen nodig:. Kennis over

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/

Nadere informatie

Minima en maxima van functies

Minima en maxima van functies Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Analyse: vraagstuk van Kepler

Analyse: vraagstuk van Kepler Analyse: vraagstuk van Kepler Deel : Afleiden tweede wet (wet der perken) Redelijk simpel. Uit de bewegingsvergelijking volgt dat =. Dit impliceert dat = =. Als je weet dat de tangentiële component van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Steeds betere benadering voor het getal π

Steeds betere benadering voor het getal π Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012 Steeds betere benadering voor het getal π Koen De Naeghel Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie augustus ) Inhoudsopgave Functies van reële getallen en grafieken Som, verschil, product en quotiënt van reële

Nadere informatie

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek.

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek. IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 204 - reeks - p. /8 Formuleverzameling 2, 4; 3, 73 Logaritmische en eponentie le functie e = lim ( + /) 2, 72 loga =a log = y = ay (a R+ 0 \ {}) ln = loge ; ep()

Nadere informatie

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò ÒÁÒ ÓÖÑ Ø ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÇÒ ÖÛ Ò Ö ÒØ Ð¹ Ò ÒØ Ö ÐÖ Ò Ò È Ø Ö Ù Ò HZS-OE5-NW4 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie.4 4 maart 29 2 Differentiaal- en integraalrekening

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Calculus I, 23/11/2015

Calculus I, 23/11/2015 Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

WolframAlpha gratis op internet

WolframAlpha gratis op internet WolframAlpha gratis op internet Jan van de Craats Nog steeds worden leerlingen op havo en vwo verplicht om voor de wiskundelessen een grafische rekenmachine aan te schaffen. Zo n apparaat is duur, zeer

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie