exponentiële standaardfunctie

Transcriptie

1 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is lim g 0

2 9.0 Voorkennis In de grafiek is de de eponentiële standaardfunctie f( ) getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot. (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met 0 < g < heeft deze vorm; Voor 0 < g < is lim g 0

3 De zwarte grafiek is f() = De blauwe grafiek is g() = + 3 dus een translatie (0,3) van f(). De horizontale asymptoot is y = 3 met bereik B f = (3, ) De rode grafiek is h() = +3 dus een translatie (-3,0) van f(). De horizontale asymptoot is y = 0 met bereik B f = (0, ) 9.0 Voorkennis De groene grafiek is k() = 3 dus een verm. t.o.v. de -as met 3 van f(). De horizontale asymptoot is y = 0 met bereik B f = (0, ) 3

4 9.0 Voorkennis Voorbeeld : Gegeven is functie f( ) 3 Welke waarden neemt f() aan voor? Stap : Stel de formule van de horizontale asymptoot op: f() = 0,5 Er geldt: 3 lim 0 Dit geeft de horizontale asymptoot y = - Stap : Lees het antwoord af uit een plot van de functie op je GR en let hierbij op de horizontale asymptoot. Voor geldt - < f() 0,5 4

5 9.0 Voorkennis Voorbeeld : Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm g A = g B Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 5

6 9.0 Voorkennis Voorbeeld : 4 3 ( ) ( ) Zorg dat links en rechts hetzelfde grondtal komt te staan. Gebruik de rekenregels voor machten Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 6

7 9.0 Voorkennis Voorbeeld: Zorg dat er links slechts één macht komt te staan. Gebruik hierbij de rekenregels voor machten. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm g A = g B Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 7

8 9.0 Voorkennis Voorbeeld: De hoeveelheid bacteriën groeit eponentieel. Op tijdstip t = 5 zijn er.000 bacteriën. Op tijdstip t = zijn er bacteriën. Stel de formule op van het aantal bacteriën N om t uur. Stap : Bij een eponentieel verband hoort de formule: N = b g t met b = beginhoeveelheid en t = tijd Stap : Bereken de groeifactor van t = 5 tot t = (g 7uur ) g 7uur = N ,5 N

9 9.0 Voorkennis Voorbeeld: Stap 3: Bereken de groeifactor per uur (g): 7 7 g g7 uur (3,5),95... => N = b,95 t Stap 4: Bereken de beginhoeveelheid: N = b,95 t = b, = b 8,56. b 87 => N = 87,0 t 9

10 9. Logaritmen [] We hebben de functie f() = De oplossing van de vergelijking f() = 8 is 3. Bestaat er nu een functie g() zodat geldt: g(8) = 3? Ja, en dit is de functie: g() = log(). De oplossing van de vergelijking g(8) = log(8) = 3. Of in woorden: Tot welke macht moet je verheffen om 8 te krijgen. Er geldt dus: Uit = 8 volgt log(8) = Hieruit valt af te leiden: log(8) = log( ) = De macht en de logaritme vallen als het ware tegen elkaar weg. In het algemeen geldt: Hieruit valt af te leiden: Uit g log(y) = volgt y = g g log(y) = g log(g ) = 0

11 9. Logaritmen [] Voorbeeld: log( ) log( ) log( ) log( ) Schrijf de getallen in log(.) als een de macht. Tot welke macht moet je verheffen om -,5 te krijgen?

12 9. Logaritmen [] Voorbeeld: Los algebraïsch op: f() = + 3 log(3-4) <0 Stap : Los de vergelijking f() = 0 op. 3 log(3 4) 0 3 log(3 4) (losse getallen naar rechts) ( g log() = y volgt = g y toepassen)

13 9. Logaritmen [] Voorbeeld : 5 log( ) 7 5 log( ) 6 5 log( ) Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Zorg dat links alleen nog maar een logaritme staat. Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y 3

14 9. Logaritmen [3] In de grafiek is de functie f() = log() getekend; D f = (0, ), B f = R met de y-as als asymptoot; Elke functie g log() met g > heeft deze vorm. 4

15 9. Logaritmen [3] In de grafiek is de functie f() = ½ log() getekend; D f = (0, ), B f = R met de y-as als asymptoot; Elke functie g log() met 0 < g < heeft deze vorm. 5

16 9. Logaritmen [3] Herhaling: In het algemeen geldt: Uit g log() = y volgt = g y Er bestaat dus een verband tussen een machtsfunctie en een logaritmische functie. De grafieken van f() = en g() = log() spiegelen in de lijn y =. We noemen f en g nu inverse functies. 6

17 9. Logaritmen [3] De grafieken van f() = (½) en g() = ½ log() spiegelen in de lijn y =. We noemen f en g nu inverse functies. 7

18 9. Logaritmen [4] Berekenen van logaritme met de GR: Maak gebruik van de regel: g log( a) p 0 log( a) log( a) p 0 log( g) log( g) De log-toets op de GR heeft als grondtal 0. Voor het (nieuwe) grondtal p wordt in dit geval dus 0 genomen. Voorbeeld: log(5) log(5),3 log() 8

19 9. Logaritmen [5] Voorbeeld : Teken de grafiek van f() = + 3 log(3-4) Stap : Bereken het domein van de functie f() 3 4 > 0 3 > 4 > 3 Dus D f = (, ). De verticale asymptoot is de lijn = 3 Herhaling: In het algemeen geldt: Uit g log() = y volgt = g y g y is per definitie groter dan 0, dus hieruit volgt dat de term die bij g log() tussen de haakjes staat ook groter dan 0 moet zijn. 3 9

20 9. Logaritmen [5] Voorbeeld : Teken de grafiek van f() = + 3 log(3-4) Stap : Maak een tabel (op de GR) met een aantal waarden van f() y,63 3,47 3,89 4,8 Stap 3: Teken de grafiek van f() met de waarden uit. Geef de verticale asymptoot weer met een stippellijn 0

21 9. Logaritmen [5] Voorbeeld : Los algebraïsch op: f() = + 3 log(3-4) 0 Stap : Los de vergelijking f() = 0 op. 3 log(3 4) 0 3 log(3 4) (losse getallen naar rechts) ( g log() = y volgt = g y toepassen)

22 9. Logaritmen [5] Voorbeeld : Los algebraïsch op: f() = + 3 log(3-4) 0 Stap : Maak een schets. Stap 3: De oplossing is nu: (Let op het bestaan van de asymptoot)

23 9. Logaritmen [6] Voorbeeld : Bereken eact: 3 + = = 80 + = 3 log(80) = log(80) Voorbeeld : Bereken eact: = = 5 3 = 0 3 = log(0) = log(0) 3 3

24 9. Logaritmen [7] Voorbeeld: Maak vrij bij de formule y = ,5 +,8 y = ,5 +, ,5 +,8 = y 0 0,5 +,8 = y 40 0,5 +,8 = log(y 40) 0,5 = -,8 + log(y 40) = -3,6 + log(y 40) 4

25 9. Rekenregels en vergelijkingen [] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels (met g > 0, g, a en b > 0) () log( ab) log( a) log( b) g g g () g a log g log( ) g (4) a log( b) a g log( g a ) b (3) g log( a n ) n g log( a) (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld: log( 6) 3 log( 5) 4 (3) log( a ) n log( a) g n g log( 6) log( 5 ) 4 3 (4) a g log( g a ) log( 6) log( 5 ) log( ) 3 4 log( 6) log( 5) log( 6) log( 656) log( 000) () log( ab) log( a) log( b) g g g 5

26 9. Rekenregels en vergelijkingen [] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: () log( ab) log( a) log( b) g g g () g a log g log( ) g (4) a log( b) a g log( g a ) b (3) g log( a n ) n g log( a) (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld : log( ) 4 log() 3 3 log( ) log(3 ) log( ) log( ) log(3) log(6) log( ) log(48) voldoet (3) + (4) () Je mag de logaritmen nu wegstrepen Controleer altijd de oplossingen 6

27 9. Rekenregels en vergelijkingen [] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: () log( ab) log( a) log( b) g g g () g a log g log( ) g (4) a log( b) a g log( g a ) b (3) g log( a n ) n g log( a) (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld : log( ) log(5 3) log() log( ) log(5 3) log( ) log(53) ,5( voldoet niet) 3( voldoet) (3) + (4) () Je mag de logaritmen nu wegstrepen Controleer altijd de oplossing(en) 7

28 9. Rekenregels en vergelijkingen [3] Etra rekenregels voor logaritmen: ) ) 3) g g g log( a) log( a) log( g) log( a) p log( a) log( p) log( a) log( a) p log( g) log( g) log( g) log( p) g g g log( a) log( a) log( a) g log( a) log( a) g g log( g ) log g 8

29 9. Rekenregels en vergelijkingen [3] Voorbeeld: 4 log( ) log( ) log( ) log(4) log( ) log( ) log( ) log( ) log( ) log( ) log(( ) ) = ( - ) = = 0 ( )( 4) = 0 - = 0 of 4 = 0 = of = 4 gebruik Kruiselings vermenigvuldigen gebruik g log( a) p p log( a) log( g) log( a ) n log( a) g n g Alleen = 4 voldoet ( = leidt tot het nemen van de logaritme van een negatief getal) 9

30 9. Rekenregels en vergelijkingen [4] Voorbeeld : 3 log () 3 log() = 0 Neem 3 log() = p p p = 0 p(p ) = 0 p = 0 of p = 0 p = 0 of p = 3 log() = 0 of 3 log() = = 3 0 of = 3 = of = 3 Beide oplossingen voldoen 30

31 9. Rekenregels en vergelijkingen [4] Voorbeeld : 6 6 p 6 p p p 6 p p 6 0 ( p )( p3) 0 p 0 of p 3 0 p of p 3 of 3 k n.. log(3) Vervang door p Vermenigvuldig alle termen met p Gebruik: g log() = y volgt = g y 3

32 9. Rekenregels en vergelijkingen [4] Voorbeeld : 4 4 ( ) 4 ( ) 4 p p p4 p 4 0 ( p 6)( p 7) 0 p 6 0 of p 7 0 p 6of p 7 6 of 7 k n.. of log(7) Vervang door p Gebruik: g log() = y volgt = g y 3

33 9.3 Eponentiële en logaritmische formules [] Voorbeeld: De bevolking van een stad groeit jaarlijks met 5%. Bereken hoeveel jaar het duurt voordat de bevolking verdubbeld is. Dit is de verdubbelingstijd. Stap : Bereken de groeifactor per jaar: Stap : Stel de eponentiële formule op: N =,05 t 5 g,05 00 Stap 3: Los de vergelijking,05 t = algebraïsch op:,05 t = ( g log() = y volgt = g y ) t =,05 log() p 0 g log( a) log( a) t = log()/log(,05) log( a) p 0 t 4, jaar log( g) log( p) Let op: Bij een halveringstijd (0 < g < ) los je g t = 0,5 op 33

34 9.3 Eponentiële en logaritmische formules [] Logaritmisch papier; is papier met een logaritmische schaalverdeling; De afstand van tot 0 is even groot als de afstand van 0 tot 00; Van 0 tot 0 staan er 0 horizontale lijnen; Van 0 tot 30 staan er 0 horizontale lijnen; Van 30 tot 40 staan er 5 horizontale lijnen; Van 40 tot 50 staan er 5 horizontale lijnen; Van 50 tot 60 staan er horizontale lijnen; 34

35 9.3 Eponentiële en logaritmische formules [3] Een eponentiële functie wordt op logaritmisch papier een rechte lijn. Voorbeeld: Stel de formule op van N als functie van t. Stap : Lees twee punten af die op de lijn liggen t = met N = t = 8 met N = 0 35

36 9.3 Eponentiële en logaritmische formules [3] Stap : Lees twee punten af die op de lijn liggen: t = met N = EN t = 8 met N = 0 Stap : Bereken de groeifactor tussen deze twee tijdstippen: Stap 3: Bereken de groeifactor per tijdseenheid: 6 g g 0, Stap 4: Bereken nu de beginhoeveelheid b in de formule: N = b,467 t Vul hiervoor één van de twee punten op de lijn in: = b,467 = b,54 b = 0,98 Dus N = 0,93,47 t 36

37 9.3 Eponentiële en logaritmische formules [3] De zwarte grafiek is f() = De donkerblauwe grafiek is g() = + 3 dus een translatie (0,3) van f() De groene grafiek is h() = 3 dus een verm. t.o.v. de -as met 3 van f() De lichtblauwe grafiek is j() = 3 dus een verm. t.o.v. de y-as met 3 van f() De rode grafiek is k() = +3 = 3 = 8 [Hieruit volgt dat een translatie van (-3, 0) van f() gelijk is aan een verm. t.o.v. de -as met 8 van f()] 37

38 9.3 Eponentiële en logaritmische formules [3] De zwarte grafiek is f() = log() De rode grafiek is h() = log(-3) dus een translatie (3,0) van f() De groene grafiek is j() = 3 log() dus een verm. t.o.v. de -as met 3 van f() De lichtblauwe grafiek is k() = log( ) dus een verm. t.o.v. de y-as met 3 van f() De donkerblauwe grafiek is g() = 3 log() + 3 = log() + log( 3 ) = log(8) [Hieruit volgt dat een translatie van (0,3) van f() hetzelfde is als een verm. t.o.v de y-as met van f()] 8 38

39 9.4 Het grondtal e [] Voorbeeld : Bereken de afgeleide van f() = a. We weten niet wat deze afgeleide is, daarom berekenen we deze afgeleide via een limiet. f ( h) f ( ) a a f '( ) lim lim h0 h h0 h h h a a a ( a ) a lim lim h0 h h0 h h ( a ) lim a h0 h h f (0 h) f (0) a a f '(0) lim lim h0 h h0 h h ( a ) lim h0 h 0h 0 f '( ) f '(0) a Let op: Als het grondtal e (,78 ) is dan geldt: f() = e en f () = e 39

40 9.4 Het grondtal e [] Rekenregels voor de e-macht: p p q pq e pq e e e [] e [] q e q p pq p p p e e [3] ( ae) a e [4] e 0 n [5] e [6] n e p q q q p e e [7] e e [8] q Let op: Dit zijn dezelfde rekenregels voor machten zoals je eerder geleerd hebt. 40

41 Voorbeeld : Herleid: (e + 3) (e + 3) = (e ) + 3 e + 3 = e 4 + 6e + 9 Voorbeeld : Los algebraïsch op: e + e = Het grondtal e [] e + e = 3 (e ) + e 3 = 0 Neem e = p p + p 3 = 0 (p )(p + 3) = 0 p = of p = -3 e = of e = -3 e = e 0 geen oplossing = 0 4

42 9.4 Het grondtal e [3] Herhaling rekenregels voor differentiëren: f() = a => f () = 0 f() = a n => f () = na n- f() = c g() => f () = c g () f() = g() + h() => f () = g () + h () p() = f() g() => p () = f () g() + f() g () (som - regel) (product - regel) t( ) n( ) t '( ) t( ) n'( ) q( ) q'( ) ( quotiënt regel) n( ) ( n( )) Voorbeeld : 3 f ( ) 5e 5e f '( ) 5e 3 5e 4 4

43 9.4 Het grondtal e [3] Voorbeeld : g() = (3 + 3)e 3e g () = [3 + 3] e + (3 + 3)e [e ] - [3e ] g () = 6 e + (3 + 3)e 3e g () = ( )e g () = (3 + 6)e Voorbeeld 3: 6 5 h ( ) e e [6 5]' [ e ]' (6 5) h'( ) ( e ) e 6 e (6 5) e (6 6 5) e e 6 e 43

44 9.4 Het grondtal e [3] Voorbeeld 4 (Combinatie kettingregel en productregel): f() = e 3-6 f () = [] e [e 3-6 ] [] = en [e 3-6 ] u(v) = e v met u (v) = e v. v() = 3 6 met v () = 3 [productregel] [kettingregel] [e 3-6 ] = u (v) v () = 3e 3-6 f () = [] e [e 3-6 ] = e e 3-6 = (6 + ) e

45 9.4 Het grondtal e [3] Voorbeeld 5 (Combinatie kettingregel en quotiëntregel): e g ( ) 6 ( 6) [ e ]' [ 6]' e g'( ) ( 6) [ 6]' en [ e ]' v v u( v) e met u'( v) e. v( ) met v'( ) [ e ]' u'( v) v'( ) e ( 6) e e g'( ) ( 6) ( ) e ( 6) 45