Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Transcriptie

1 Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel hebben. Stel A = R ( of A = R n ) B = R => geen ( i ) A = R & B = R: reële functie met één onafhankelijke variabele ( ii ) = f( ) -> rekenvoorschrift of : f: R R, = f( ) -> afhankelijke variabele n A = R & B = R: reële functie met n onafhankelijke variabele = f( 1,,..., n ) n of : f: R R, ( 1,,..., n ) = f( 1,,..., n ) Definitieverzameling: domein Def( f) = D = { R f( ) is gedefinieerd} vb. f( ) = ² 5 6 ² 5 6= Algemeen : a² + b + c 1) D = b² 4ac > 0 => reële wortels => 1, => a² + b + c = a( - 1 )( - ) 0 0 +a 1 -a +a ) D = b² 4ac = 0 => 1 dubbele reële wortel: 1 => a² + b + c = a( - 1 )² 0 +a 1 +a Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (1/16)

2 3) D = b² 4ac < 0 => geen wortel +a Def( f) = ]-, ] [ 3,+ [ = R \ ], 3[ vb. = 1 ² 4 Def( f ) = R \ {,- } Waardenverzameling: beeld w( f) = W = { f( ) Def( f)} vb. f( ) = sin Def( f) = R w( f) = [- 1, 1] f = 1 Def( f) = R0 w( f) = R0 Begrensde functie functie is begrensd als de waardenverzameling naar boven onder begrensd is. vb. sin is begrensde functie, omkeerfunctie niet & naar Even & oneven functie Evenfunctie <=> f( ) = f(- ), D -> smmetrisch t. o. v. -as Onevenfunctie <=> f(- ) = - f( ), D -> smmetrisch t. o. v. 0 vb. Evenfunctie: = cos, vermits cos(- ) = cos Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (/16)

3 Evenfunctie: = ², vermits (- ) ² = ² Periodieke functie <=> f( ) = f( + T) -> 0: periode -> kleinste periode in absolute waarde: hoofdperiode De som van periodieke functies is ook een periodieke functie Stijgende functie 1 < => f( 1 ) f( ) strikt stijgend < Dalende functie 1 < => f( 1 ) f( ) strikt dalend > Monotone functie Een functie die strikt stijgend is of strikt dalen over het hele interval. Inverse functie vb. = 3 -> inverse -> = 3 => 3= =3 =3 Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (3/16)

4 Limieten = 3 vb. =² -> inverse -> =² => ²= -> geen functie, waarden met 1 Grafisch: inverse is de spiegeling om de eerste bissectrice = Def( f -1 ) = w( f) een functie die strikt monotoom is over een interval is inverteerbaar. Definitie : (> 0) - omgeving van 0 = ] 0 -, 0 + [ 0 is adherent <=> ] 0 -, 0 + [ \ { 0 } D = Def( f) > zonder 0 ± is de -omgeving Limiet Definitie : li m f =L 0 ℇ > 0, : ] 0 -, 0 + [ of - 0 < => f( ) ] L ℇ, L + ℇ[ of f( )- L < ℇ li m f =L li m f =L OPM : = L, horizontale asmptoot als -> + of -> - li m f =± li m f =± Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (4/16)

5 vb. f( ) = ln li m f = li m f =± 0 li m f =± 0 li m f =± 0 OPM : = 0 is verticale asmptoot als > 0 als < 0 is linkerlimiet rechterlimiet, bestaat de limiet in het punt niet. Continuïteit en afleidbaarheid Continuïteit Een functie heet continu in 0 Def( f) <=> li m 0 f =f 0 OPM : Is li m f li m f 0 0 Stelling van de tussen liggende waarden f( ) [ f( 0 ), f( 1 )] => [ 0, 1 ] Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (5/16)

6 Stelling van Weierstrass Een functie die continu is over haar hele definitiegebied doorloopt 1 maal haar minimum en maimum [ 0, 1 ] => f( ) { Min, Ma} Afleidbaarheid f is afleidbaar in 0 <=> f f li m 0 = bestaat, eindig 0 0 notaties: f' ( 0 ), Df( 0 ), df d = 0 nog geschreven als: Df 0 =li m 0 f 0 f 0 Bewerkingen met reële functies R R R Def(f) wrd(f) g wrd(g) Def(g) vb. f( ) = ² f( ) = sin g f => g f( ) = sin² -> eigenschappen bekijken, => f g( ) = sin ( ² ) niet altijd overgedragen -> continuïteit & afleidbaarheid -> eigenschappen worden overgedragen f( ) g( ) = ². sin f( ) + g( ) = ² + sin Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (6/16)

7 Elementaire reële functies ( 1 ) Machtsfuncties met eponent N & -> f: R R, = n, n N Def( f) = R Veeltermfuncties -> f: R R, = a n n + a - Def( f) = R ( ) Machtsfuncties met eponent Z & n 1 - veeltermfuncties n a 0, rationale functies -> f: R R, = -n = 1/ n, - n Z Def( f) = R0 0 is de pool van de functies OPM : = 1/ ( meest eenvoudige, omkeer functie) Rationale functies n N -> f: R R, = a n n a n 1 n 1...a 0 b m m b m 1 m 1...b 0 Def( f ) = R \ { nulpunten van de noemer} - nulpunten die geen nulpunten zijn van de teller = 'polen van de functie' - nulpunten die ook nulpunten zijn van de teller = 'ophefbare discontinuïteiten' OPM : Verticale Asmptoot ( V. A.) in de polen Horizontale Asmptoot ( H. A.) afhankelijk van de coëfficiënten graad teller > graad noemer: n > m: li m =± ± graad teller = graad noemer: n = m: li m = a 0 =L ± b 0 = L is H. A. graad teller < graad noemer: n < m: li m =0 ± Meest eenvoudige: = 0 is H. A. Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (7/16)

8 = mn pq -> homografische funtie ( 3 ) Machtsfuncties met eponent Q & irrationale functies OPM : = n met n N ( n = oneven) -> strikt stijgend => inverse bestaat. 1 Inverse : = n => = n = n -> f: R R, Def( f) = R 1 = n = n, ( n N & => 1/ n Q) n oneven OPM : = n met n N ( n = even) -> NIET strikt stijgend => inverse bestaat niet vb. = ² = n ( n N & n even) -> is strikt stijgend in + R = [ 0,+ [ -> restrictie is inverteerbaar + -> f : R R, 1 = n = n, ( n N & n even) Irrationale functies vb. = 3 a n n a n 1 n 1...a 0 b m m b m 1 m 1...b 0 ( 5 ) Eponentiële functies -> f: R R, = a + met a R 0 \ { 1} Def( f) = R Nu is: a 0 = 1, a 1 = 0 m n = a m. a n a + a - m n = a m / a n (a m ) n = a. m n Grafisch : Stel a > 1 H. A. = 0 Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (8/16)

9 Stel 0 < a < 1 H. A. = 0 Bijzonder geval : Stel a = e = = li m 1 1 n n, = e = ep( ) -> unieke functie, heeft als afgeleide zichzelf OPM: De = e ( 7 ) Logaritmische functies Vermits = a is strikt stijgend ( a> 1) is strikt dalend ( 0< a< 1) => inverse functie bestaat = a <=> = + a -> f : R R, = log a log a Nu is: log 1 = 0; a log a = 1 a log( 1. ) = a log( 1 ) + a log( ) a 1 log( ) = a log( 1 ) a log( ) a log a ( b = log b log log n ) =. a log( ) = Bijzonder geval : a = n a ln ln a e a log a = log = ln -> neperiaanse of natuurlijke logaritme Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (9/16)

10 = log -> a = 10, briggse logaritme OPM : als a> 0, R -> a = e ( ln a. ) Goniometrische functies Goniometrische functies bevatten een periodiciteit. 1) Sinusfunctie -> f: R R, = sin Def( f) = R wrd( f) = [- 1, 1] Periode = Algemene sinusfunctie : = a sin( b + c) + d Met : a = amplitude b = cirkelfrequentie c = beginfase d = verschuiving -> onevenfunctie ) Cosinusfunctie -> f: R R, = cos Def( f) = R wrd( f) = [- 1, 1] Periode = Algemene cosinusfunctie : = a cos( b + c) + d Met : a = amplitude b = cirkelfrequentie c = beginfase d = verschuiving -> evenfunctie 3) Tangensfunctie -> f: R R, = tg = -> onevenfunctie 4) Cotangensfunctie -> f: R R, = cotg = sin cos cos sin Def( f ) = R \ {/ + k} wrd( f) = R Periode = Def( f ) = R \ { k} wrd( f) = R Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (10/16)

11 Periode = functies -> onevenfunctie Secansfunctie & cosecansfunctie -> onevenfuncties Eigenschappen: sec = 1 1) Boogsinus functie en cosec = 1 sin cos sin² cos² =1 sin±=sin.cos ±cos.sin sin =.sin.cos cos±=cos.cos sin.sin cos =cos² sin² =1 sin² =cos² 1 tg² 1=sec² en 1cotg² =csc² f( ) = = Arcsin <=> = sin met wrd( f) = [- 1, 1] -> enkel strikt stijgend deel ) Boogcosinus functie f( ) = = Arccos <=> = cos met 0 wrd( f) = [- 1, 1] -> enkel strikt stijgend deel 3) Boogtangens functie Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (11/16)

12 f( ) = = Arctg <=> = tg met wrd( f) = R 4) Boogcotangens functie f( ) = = Arccot <=> = cotg met 0 wrd( f) = R 5) Boogsecans functie f( ) = = Arcsec <=> = sec met 0 en wrd( f) = R \ [- 1, 1] 6) Boogcosecans functie f ( ) = = Arccsc <=> = csc met wrd( f) = R \ [- 1, 1] en 0 Onderling verband tussen de functies Arccos = - Arcsin Arccot Arccsc = = - Arctg - Arcsec Bewijs : = Arccos Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (1/16)

13 <=> = cos en 0 <=> = sin (-/ - ) en -/ / - / <=> / = Arcsin <=> = / Arcsin Hperbolische functies Er geldt: f( ): f( ) = f f f f Stel : f( ) = evenfunctie: f e ( ) = onevenfunctie: f 0 ( ) = e f f f f e = f( ) = e e e e Stel : evendeel cosinus hperbolicus: e e - cosh = one vendeel sinus hperbolicus: e e - sinh = Formules: cosh² sinh² =1 tgh = sinh e cosh =e e 1. e e e =e e 1 coth = cosh e sinh =e e 1. e e e =e e 1 = 1 tgh Inverse- hperbolische functies Def : = argsinh <=> = sinh = Argcosh <=> = cosh & 0 -> hoofdletter vanwege ristrictie = Argcosh <=> = cosh & 0 e e <=> = Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (13/16)

14 De absolute waarde functie <=> = e e (. e ) <=>.e =e 1 <=> e.e 1=0 Stel e =u <=> u² u + 1 <=> u= ± 4 ² 4 <=> u=±² 1 & 0 <=> e =±² 1 & 0 -> als gebruikt wordt nooit 1 <=> e =² 1 Def : abs( ) = = als 0 - als < 0 = ² 0 OPM : f ( ) f( ) f abs( ) abs f( ) De signum functie Def : sgn( ) = 1 als > 0 0 als = 0-1 als < 0 OPM : abs( ) = sgn( ). Basisbegrippen m. b. t. R n -R functies <=> =ln² 1=Argcosh Def : OPM : n f: R R, ( 1,,..., n ) = f( 1,,..., n ) n f: R R, (, ) z = f(, ) Def( f) = {(, ) f(, ) is gedefinieerd} R R = R² vb. ( 1) z = + => Def( f ) = R² ( ) z = => Def( f) = R- ² R+² ( 3) z = ln( - ) => > Niveaukromme Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (14/16)

15 z niveaukromme: k = f(, ) impliciete vergelijking: f(, ) = k Limiet begrip li m f, =L ℇ > 0, > 0:, 0, 0 f(, )- L < ℇ zodat - 0 < - 0 < 0 ² 0 ² < z OPM: li m f =L 0 Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (15/16)

16 Partiële afgeleide z = f(, ) z Stel = 0 f => z = f(, 0 ) -> li m 0, 0 f 0, 0 0 = afgeleide van f(, 0 ) naar in punt 0 voor = 0 = f 0 Stel = 0 => z = f( 0, ) -> f li m 0, 0 f 0, 0 0 = afgeleide van f( 0, ) naar in punt 0 voor = 0 = f 0 OPM : zijn de partiële afgeleide gedefinieerd voor elk punt van Def( f) => => f f = partiële afgeleide van = partiële afgeleide van Wiskunde Analse Hoofdstuk 1 (16/16)