Samenvatting wiskunde B

Transcriptie

1 Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen! Inhoudsopgave Hoofdstuk 5 machten en exponenten... Voorkennis machten en machtfuncties... Paragraaf wortelvormen en gebroken vormen... Paragraaf machten met negatieve en gebroken exponenten... 3 Paragraaf 3 de standaardfunctie f(x) = g x... 4 Paragraaf 4 exponentiële groei... 4 Afsluiting dit moet je kunnen... 5 Hoofdstuk 6 differentiaalrekening... 6 Voorkennis differentiëren... 6 Paragraaf toppen en buigpunten... 6 Paragraaf de afgeleide van machtsfuncties... 7 Paragraaf 3 de kettingregel... 7 Paragraaf 4 toppen en snijpunten... 7 Afsluiting dit moet je kunnen... 8 Hoofdstuk 7 goniometrische functies... 9 Voorkennis exacte waarden... 9 Paragraaf eenheidscirkel en radiaal... 9 Paragraaf goniometrische vergelijkingen... 0

2 Hoofdstuk 5 machten en exponenten Voorkennis machten en machtfuncties Rekenregels voor machten a p a q = a p+q a p a q = ap,q (a p ) q = a pq (ab) p = a p b p Machtfuncties De functies f x = ax zijn standaardfuncties en de bijbehorende grafieken zijn standaardgrafieken. De verschuivingen op de x-as gaan negatief naar rechts en positief naar links. Dit doe je als volgt: f x = ax verschuiving (,0) à f x = a(x ) De verschuivingen op de y-as tel bij de formule op. Dit doe je als volgt: f x = ax verschuiving (0,) à f x = ax +. Gecombineerd doe je het als volgt: f x = ax verschuiving (, 5) à f x = a(x + ) + 5. Je kunt ook de hele beeldgrafiek vermenigvuldigen met een bepaald getal. Dit doe je ten opzichte van de x-as. Dit doe je als volgt: f x = ax vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met 3 à f x = 3(ax ). Paragraaf wortelvormen en gebroken vormen Domein en bereik van wortelfunties Grafiek van y = x translatie (p, q) à y = x p + q. Grafiek van y = x verm. t.o.v. x-as, a à y = a x. Voor het berekenen van het domein gebruik je het gegeven dat de wortel van een negatief getal niet bestaat. Het domein van y = x is [0, ). Het domein van y = x p + q is [p, ). Het domein van y = a x is [0, ). Het beginpunt van y = x is (0, 0). Het beginpunt van y = x p + q is (q, p). Het beginpunt van y = a x is (0, 0). Maak bij het berekenen van domein en bereik altijd een schets. Bereken bij het tekenen van een wortelgrafiek (geen schets) eerst het beginpunt, domein en bereik. Maak ook een tabel. Variabelen vrijmaken bij een wortelfuntie Bij de formule K = 4 + 3p + kun je p vrijmaken. K = 4 + 3p + à K 4 = 3p + kwadrateren geeft: 3p + = K 8K + 6 à 3p = K 8K + 5 à p = 3 K K + 5 3

3 Gebroken functies en asymptoten De grafiek van de standaardfunctie f x = E heet hyperbool. F De x-as is de horizontale asymptoot en de y-as is de verticale asymptoot. De verticale asymptoot van de grafiek g x = H,F volgt uit noemer = 0 en teller 0. Dit geeft de lijn x = E I. De horizontale asymptoten volgen uit:,(h,f) lim g(x) = lim = lim,h+f = lim x Q F Q IF+J F Q IF+J F Q lim g(x) = lim x,q F,Q H,F IF+J = lim V W,E F,Q I+ X W IF+J UV W +E = Y+E = E en I+ X I+Y I W = Y,E = E. De horizontale asymptoten zijn dus I+Y I de lijnen y = E en y = E. Bij schetsen/tekenen van grafieken stippel je de I I asymptoten en zet je de formules erbij. Paragraaf machten met negatieve en gebroken exponenten Negtieve exponenten 5,J betekent E H X, H q,^ betekent H \ H_`, E betekent H UX 5J H en betekent H q,^. \_ U` \ a,p = met a 0 en a p a0 = met a 0. Dit geldt ook omgekeerd: E = a b a,c. Gebroken exponenten q p q Algemeen is aq = a en aq = a p. Hierbij is a > 0. De normale herleidregels gelden ook bij negatieve en gebroken exponenten, zie voorkennis. Vergelijkingen met gebroken exponenten Bij het algebraïsch oplossen van de vergelijking 6x,I,^ + 5 = 3 gebruik je de regel: voor c > 0 en x > 0 geldt x p = c geeft x = cp. Hierna kun je de GR gebruiken voor het eindantwoord. Formules met machten. De formule y = HY F X kun je schrijven in de vorm y = ax c : y = 50x,I ih. i Nu kun je F h ` F x vrijmaken door het op te lossen als een vergelijking, alleen laat je in je antwoord een variabele staan. 3

4 Paragraaf 3 de standaardfunctie f x = g x De functie f x = g x De functie f x = g F is een exponentiële functie met het bereik 0,. De grafiek van f is een standaardgrafiek, de x-as is de horizontale asymptoot. Voor g > is de grafiek stijgend, voor 0 < g < is de grafiek dalend. Asymptoot en limiet Voor g > is lim F,Q gf = 0 en voor 0 < g < is lim g F = 0. F Q J F Zo is lim 0 3 = = 0, dus de horizontale asymptoot van de F Q ^ grafiek van f x = 0 3 ( J^)F is de lijn y = 0. Transformaties op de grafiek van y = g x De grafiek van y = g F,c + q ontstaat uit de standaardgrafiek y = g F bij de translatie p, q. De grafiek van y = a g F ontstaat uit de standaardgrafiek y = g F bij vermenigvuldiging met a t.o.v. de x-as. Het bereik van de grafiek verandert als er een translatie/vermenigvuldiging plaatsvindt. Exponentiële vergelijkingen Bij het algebraïsch oplossen van exponentiele vergelijkingen werk je vaak toe naar de vorm g m = g n. Daarna gebruik je g A = g B geeft A = B. F = 4 F,E à F = ( I ) F,E à F = IF,I à x = x à x = à x = Paragraaf 4 exponentiële groei Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid Is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is de groeifactor ben n tijdseenheden gelijk aan g. Deze regel geldt ook voor niet-gehele getallen n. Zo hoort bij een groeifactor,8 een groeifactor van,8 ì,58 per kwartier. Zorgt dat je altijd de groeifactor gebruikt: 0% afname à g = 0,8 en g = 0,5 à 75% afname. De formule opstellen bij exponentiële groei Weet je bij een exponentiële groei op twee tijdstippen de hoeveelheid, dan kun je de formule opstellen. Bereken g over het totale tijdsverschil. Reken dit daarna terug naar de gevraagde tijdseenheid (uur, maand, dag, etc.). Vul daarna een punt in in de formule N = b g w. 4

5 Exponentiële verbanden Bij een geluiddempend materiaal levert elke cm dikte een demping op van 35%. De bijbehorende formule is G = 00 0,65 y. Hierin is G het percentage van het geluid dat doordringt en d de dikte van het materiaal in cm. Wil men een demping bereiken van 95%, dan geldt 00 0,65 y = 5. Het invoeren in de GR geeft x 6,95. Er moet dus een 7 cm dikke laag van het materiaal worden gebruikt om een demping van 95% te krijgen. Afsluiting dit moet je kunnen - Gegeven zijn het domein, bereik en het snijpunt met x-as. Bereken a, b en c. - Gegeven zijn een formule en een raaklijn in het beginpunt. Bereken domein en bereik in het geval van a < 0 en b > 0. - Vergelijkingen en ongelijkheden met wortels algebraïsch oplossen. - Het berekenen welke waarden x aanneemt voor f x > p. - x vrijmaken in een formule. - Asymptoten opstellen bij een formule. - Functies in een bepaalde vorm schrijven of omschrijven om te voldoen aan een eis. - Exponentiele vergelijkingen oplossen. 5

6 Hoofdstuk 6 differentiaalrekening Voorkennis differentiëren De afgeleide is een formule die de richtingscoëfficiënt van f(x) op elke x aangeeft. Als de grafiek van f stijgens is, is f positief. Als de grafiek van f dalend is, is f negatief. Als de grafiek van f een top heeft, snijdt f de x-as. Regels voor differentiëren f x = a geeft f x = 0 f x = ax geeft f x = a f x = ax n geeft f x = nax n, voor n > f x = c g(x) geeft f x = c g (x) s x = f x + g(x) geeft s x = f x + g (x) p x = f x g x geeft p x = f x g x + f x g (x) q x = t(x) n(x) geeft q x = n x t x,t x n(x) (n x ) Paragraaf toppen en buigpunten Werkschema: het algebraïsch berekenen van de extreme waarden. Bereken f (x).. Los algebraïsch op f x = Voer de formule van f in op de GR, plot de grafiek en maak een schets. Kijk daarna of je met een minimum en/of maximum te maken hebt. 4. Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f = of min. is f = Werkschema: met de afgeleide aantonen dat de functie f een extreme waarde heeft voor x = a.. Bereken f (x).. Bereken algebraïsch f x = Schets de grafiek en kijk of de functie f een top heeft voor x = a. Werkschema: berekenen coördinaten buigpunten.. Bereken f (x) en f (x).. Los op f x = Schets de grafiek van f. 4. Kijk of de oplossingen van f x = 0 buipunten opleveren. 6

7 Paragraaf de afgeleide van machtsfuncties f x = x n geeft f x = nx n, voor elk getal van n in R. Afspraak: is de functie gegeven zonder negatieve exponenten, dan noteer je de afgeleide ook zonder negatieve exponenten. Is de functie als één breuk geschreven, dan noteer je de afgeleide als één breuk. Paragraaf 3 de kettingregel De functie f x = (x I 5x)^ is een samengestelde functie. De functie bestaat uit de schakels u v = v^ en v x = x I 5x. Om van de functie f de afgeleide op te stellen, maak je gebruik van de kettingregel. f x = u(v x ) geeft f x = u v x v (x) De afgeleide van f wordt dan f x = 4(x I 5x) J (x 5). De kettingregel kan ook worden gecombineerd met de productregel of de quotiëntregel. f x = F+\ geeft F+Š f x = ^F,EH ( F+Š) F+Š F+Š E, F+\ i h WŒ ( F+Š) h = F+Š,^(F+\) ( F+Š) F+Š = F+Š,^F,I^ ( F+Š) F+Š = Paragraaf 4 toppen en snijpunten Aantal oplossingen voor f x = p en f x = ax. f x = p heeft een aantal oplossing afhankelijk van de grafiek. Maak altijd een schets en bereken de toppen. f x = ax heeft een aantal oplossingen afhankelijk van de grafiek. Bereken de richtingscoëfficiënt in (0, 0) met behulp van de afgeleide. f x = a heeft p oplossingen voor a rc in (0, 0) en één oplossing voor a = rc in (0, 0). Derdegraadsfuncties met een parameter Als je bij een derdegraadsfunctie met een parameter wilt weten voor welke p de functie twee extreme waarden heeft, stel je eerst de afgeleide op. Twee extreme waarden betekent dat f x = 0 twee oplossingen heeft, dus D > 0. Los deze ongelijkheid op en je hebt de waarde van p. 7

8 Raaklijnproblemen met een parameter Als je wilt weten voor welke p de lijn k de grafiek van f c raakt in een punt A waarvan de x-coordinaat is gegeven, los je de vergelijking f c x m = rc op. Kromme door toppen Stel eerst de afgeleide op. Stel de vergelijking f x = 0 op en druk p uit in x. Substitueer deze p in de functie f en je hebt de kromme door toppen. Afsluiting dit moet je kunnen - Differentiëren. - De kettingregel, productregel en quotiëntregel door elkaar heen gebruiken. - Raaklijnen opstellen. - De afgeleide en de tweede afgeleide functie toepassen. 8

9 Hoofdstuk 7 goniometrische functies Voorkennis exacte waarden Hoek Sinus 3 Cosinus 3 Tangens In hoofdstuk vier zijn de en de driehoeken behandeld. In deze driehoeken gelden bijzondere verhouden en deze driehoeken hebben een sinus, cosinus en tangens die mooi uitkomen Paragraaf eenheidscirkel en radiaal Voor de draaiingshoek α van het punt (x c, y c ) op de eenheidscirkel geldt: sin(α) = y p cos α = x p tan α = y p x p Een hoek van radiaal is de middelpuntshoek in de eenheidscirkel die hoort bij een cirkelboog met lengte. Radialen π π 80 Graden π De exacte waarden cirkel Hoek 0 6 π Sinus 0 4 π 3 π π 3 Cosinus 3 Tangens

10 Paragraaf goniometrische vergelijkingen De vergelijkingen sin A = C en cos A = C met C =, 0, los je op met behulp van de eenheidscirkel. sin A = 0 geeft A = k π sin A = geeft A = π + k π sin A = geeft A = π + k π cos(a) = 0 geeft A = π + k π cos A = geeft A = k π cos A = geeft A = π + k π De vergelijkingen sin A = C en cos A = C met C = E 3, E, E, E, E, E I I I I I I los je op door uit de exacte-waarden-cirkel één oplossing B af te lezen. Daarna gebruik je: sin A = C geeft A = B + k π A = π B + k π cos A = C geeft A = B + k π A = B + k π 3 Soms krijg je bij een vergelijking twee rijtjes oplossingen. Voeg deze als het kan samen tot één rijtje. sin A = sin(b) geeft A = B + k π A = π B + k π cos A = cos(b) geeft A = B + k π A = B + k π Paragraaf 3 transformaties en functies De functie f x = sin x Een nulpunt van een functie f is een x-waarde waarvoor geldt f x = 0. Sinusoïden Sinusoïden zijn de grafieken van de sinus en de cosinus. Translaties en vermenigvuldigingen gaan als volgt en zijn voor de sinus en de cosinus hetzelfde: f x = sin(x) translatie (a, d) f x = a + sin(x d) f x = sin(x) verm t.o.v. de x-as met b f x = b sin(x) f x = sin(x) verm t.o.v. de y-as met c f x = sin( E ª x ) 0

11 Goniometrische functies aantonen sin -A = - sin(a) cos -A = cos A - sin A = sin(a + π) - cos A = cos A + π sin A = cos(a- π) cos A = sin(a + π) sin(a) + cos(a) = tan A = sin(a) cos(a) Paragraaf 4 grafieken van goniometrische functies In f x = a + b sin(c(x d) is a de evenwichtsstand, b de amplitude, I de periode ª en (d, a) het beginpunt. Als b > 0 dan gaat de grafiek stijgend door het beginpunt, als b < 0 dan gaat de grafiek dalend door het beginpunt. In f x = a + b cos(c(x d) is a de evenwichtsstand, b de amplitude, I de periode ª en (d, a + b) het hoogste of laagste punt. Als b > 0 dan is (d, a + b) het hoogste punt, als b < 0 dan is (d, a + b) het laagste punt. In f x = a + b tan(c(x d) is a de evenwichtsstand, de periode en (d, a) het ª beginpunt. Als b > 0 dan gaat de grafiek stijgend door het beginpunt, als b < 0 dan gaat de grafiek dalend door het beginpunt. De grafiek heeft verticale asymptoten waar b cos(c(x d) = 0 want bij delen door nul krijg je een asymptoot. Paragraaf 5 de afgeleide van sinus, cosinus en tangens f x = sin(x) geeft f ' x = cos(x) f x = cos(x) geeft f ' x = - sin(x) f x = tan(x) geeft f ' x = tan(x) + en f x = cos(x) Soms moet je ook de kettingregel gebruiken bij het differentiëren van een goniometrische functie, bijvoorbeeld: f x = sin(x I ) geeft f x = cos(x I ) x