Vak Basiswiskunde 2DL00

Transcriptie

1 Basiswiskunde_College_1.nb 1 Vak Basiswiskunde 2DL00 Cursus Basis van wiskundige kennis en vaardigheden Kennismaking vooraf met wiskunde op TU/e Ook vak in allerlei schakelprogramma s Zie ook

2 Basiswiskunde_College_1.nb 2 Collegedocent F.J.L. Martens MF5.071b Wsk & Inf (040) f.j.l.martens@tue.nl (Vermeld in correspondentie de vakcode 2DL00)

3 Basiswiskunde_College_1.nb 3 Vakinhoud é Algebraïsche rekenvaardigheden é Functies Goniometrische functies, exponentiële functie, logaritme Inverse functies Cyclometrische functies é Differentiëren Taylorpolynomen é Integreren Eigenschappen van integralen Berekenen van integralen

4 Basiswiskunde_College_1.nb 4 Leerdoelen é Rekenvaardigheden op hoger plan Herkennen van patronen é Samenhang en structuur Elders toepassen é Meer gevoel voor concepten é Verlangen naar meer é Zie de informatie over het vak Besteed er bij ieder onderwerp aandacht aan

5 Basiswiskunde_College_1.nb 5 Materiaal Calculus, Adams, Essex, 8e druk, (7e of 6e kan ook) Dictaat Rekenvaardigheden

6 Basiswiskunde_College_1.nb 6 Toetsing Tentamens van 18:30-21:30 woensdag 25 juni 2014 woensdag 13 augustus 2014 Locatie: Auditorium 8, 9 en 10 Bonusregeling Identiteitsbewijs Wijzigingen voorbehouden

7 Basiswiskunde_College_1.nb 7 College 1 P.1 De reële getallen en de reële rechte P.2 Cartesische coördinaten in het vlak P.3 Grafieken van kwadratische vergelijkingen P.4 Functies en hun grafieken

8 Basiswiskunde_College_1.nb 8 P.1 Reële getallen Getallen van Dale: weergeven van aantal/hoeveelheid wiskundig: objecten om mee te rekenen Soorten Natuurlijke getallen (verzameling N) 1, 2, 3, Gehele getallen (verzameling Z), -2, -1, 0, 1, 2, 3, Rationale getallen (verzameling Q) 2, 4 = 8, Reële getallen (verzameling R) 2 = , 2 = , e = , p= is geen rationaal getal

9 Basiswiskunde_College_1.nb 9 P.1 Getallenrechte e p 3 2 a Getal a uit R õ punt a op rechte a < b õ a ligt links van b Voor reële getallen a en b geldt a < b óf a = b óf a > b Intervallen (zie bd, alle x met a x b bl, alle x met a x < b ; Ha, bd, alle x met a < x b ; H-, bl, alle x met x < b ; a a a b bd Ha, L

10 Basiswiskunde_College_1.nb 10 P.1 Voorbeelden (1) Voor welke x is x 2-5 x <-6? Dan x 2-5 x + 6 < 0 ofwel Hx - 2LHx - 3L < 0; Tekenverloop Hx - 2LHx - 3L : Antwoord 2 < x < 3 ofwel x œ H2, 3L (2) Voor welke x is 1 x 3? x ofwel 0 x x Tekenverloop van 1-3 x : x Antwoord: 0 < x 1 3 ofwel x œ J0, 1 3 F

11 Basiswiskunde_College_1.nb 11 P.1 Absolute waarde (1) Voor welke x is x - 1 x? Op voorhand: voor alle oplossingen x geldt dat x 0 omdat de absolute waarde niet negatief is. Laat x 1 : Dan x - 1 = x - 1. De oorspronkelijke ongelijkheid wordt x - 1 x ofwel -1 < 0. In dit geval geldt de ongelijkheid altijd. Laat x < 1 : dan x - 1 = 1 - x. De oorspronkelijke ongelijkheid wordt 1 - x x ofwel

12 Basiswiskunde_College_1.nb 12 Antwoord: alle x œ R met x 1 2, anders gezegd x œ B 1 2, N. Opm 1: Kan ook met behulp van grafieken van x - 1 en x.

13 Basiswiskunde_College_1.nb 13 P.2 Cartesische coördinaten in vlak Y b PHa,bL a X Punt P in vlak õ Coördinaten Ha, bl Afstand d van PHx 1, y 1 L tot QHx 2, y 2 L: d = Hx 1 - x 2 L 2 + Hy 1 - y 2 L 2 Bestudeer zelf sectie P.2

14 Basiswiskunde_College_1.nb 14 P.2 Vergelijking lijn Een lijn gaat door de punten PH1, 1L en QH3, 2L. Geef een vergelijking van de lijn. Y Hx,yL X Meth 1: y-1 x-1 = 1 2 ofwel de vergelijking is y = 1 2 Hx - 1L + 1 Meth 2: Vergelijking is van vorm y - 1 = mhx - 1L en Q moet voldoen. Dus 1 = m 2 ofwel m = 1. Een vergelijking is y - 1 = 1 Hx - 1L. 2 2 Opm Verticale lijn door H1, 1L heeft vgl x = 1.

15 Basiswiskunde_College_1.nb 15 P.3 Plaatjes van kwadratische vgl Cirkel met middelpunt H2, 1L en straal 1 heeft vgl Hx - 2L 2 + Hy - 1L 2 = 1 Y 2 Hx,yL X Dus x 2-4 x y 2-2 y + 1 = 1 ofwel x 2-4 x + y 2-2 y =-4

16 Basiswiskunde_College_1.nb 16 P.3 Voorbeeld Schets de verzameling van alle punten Hx, yl in het vlak met x x + y 2-4 y 12. Nu is 6 = 2 μ 3 en -4 = 2 μ H-2L. Dus x x y 2-4 y + H-2L Gevolg: Hx + 3L 2 + Hy - 2L De afstand van Hx, yl tot H-3, 2L is kleiner of gelijk 5. Y X -2

17 Basiswiskunde_College_1.nb 17 P.3 Parabool Y P Q X Parabool heeft brandpunt (focus) P en richtlijn (directrix). Punt Q op parabool heeft gelijke afstand tot punt P als tot lijn. Standaardvergelijking van parabool 4 py= x 2 of y = x2 4 p met brandpunt H0, pl en richtlijn y =-p. Het punt H0, 0L heet de top (vertex)

18 Basiswiskunde_College_1.nb 18 P.3 Voorbeeld Schets de verzameling van alle Hx, yl met x 2-4 x y. Kijk naar de grens x 2-4 x = y. Dan x 2-4 x = y ofwel Hx - 2L 2-4 = y. Parabool splitst vlak in twee stukken.

19 Basiswiskunde_College_1.nb 19 P.3 Rest Zelf doen é Verschuiven van figuren é Ellipsen met vgl x2 + y 2 a 2 b 2 = 1 é Hyperbolen met vgl x2 - y 2 a 2 b 2 = 1

20 Basiswiskunde_College_1.nb 20 P.4 Functies en grafieken Een functie f van verzameling D in verzameling S is een recept, dat aan iedere x in D een uniek element f HxL in S toekent. De verzameling D wordt het domein van f genoemd en met DHf L aangegeven. De elementen f HxL worden de functiewaarden of beelden van f genoemd. Het bereik (range) van f, notatie RHf L, bestaat uit alle beelden f HxL, x in DHf L. Voorbeeld: de sinus is de functie met naam sin en sinhxl is een functiewaarde.

21 Basiswiskunde_College_1.nb 21 P.4 De domeinconventie Als een functie f gedefinieerd is zonder het domein te noemen, dan bestaat DHf L uit alle x in R waarvoor f HxL een reëel getal is. Voorbeeld: de sinus is een functie en sinhxl is een functiewaarde. Voor het domein van de sinus geldt dat DHsinL = R.

22 Basiswiskunde_College_1.nb 22 P.4 Voorbeeld 1 Beschouw f HxL = 2 - x. Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = H-,2D, RHf L L Via gafiek van x

23 Basiswiskunde_College_1.nb 23 P.4 Voorbeeld 2 Beschouw f HxL = 1 + x 2. Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = R, RHf L L Via f H0L = 1 en f HxL º x als x Ø

24 Basiswiskunde_College_1.nb 24 P.4 Voorbeeld 3 Beschouw f HxL = x+1 x-2. Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = H-,2L H2, L We schetsen eerst grafiek van f. Als x Ø, dan f HxL º 1. Als x Ø 2 en x > 2, dan f HxL Ø. Als x Ø 2 en x < 2, dan f HxL Ø RHf L = H-,1L H1, L

25 Basiswiskunde_College_1.nb 25 P.4 Voorbeeld 4 Beschouw f HxL = x2 +1. x Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = H-,0L H0, L Er geldt f HxL = x + 1 x. We schetsen eerst de grafiek via de grafieken van x en 1 x Omdat f HxL = 1-1 heeft f een maximum in x =-1 en een minimum in x = 1. x 2 De bijgehorende waarden zijn -2 respectievelijk 2. Dus RHf L = H-, L

26 Basiswiskunde_College_1.nb 26 P.4 Even en oneven functies Beschouw een functie f met domein DHf L zó, dat als x œ DHf L, dat dan -x œ DHf L. De functie f is even als f H-xL = f HxL voor alle x œ DHf L. De functie f is oneven als f H-xL =-f HxL voor alle x œ DHf L De eerste grafiek is van een oneven functie. Hij is symmetrisch tov oorsprong. De tweede grafiek is van een even functie. Hij is symmetrisch tov de y-as. Beschouw de sinus. Noem alle symmetrie-assen en -punten.

27 Basiswiskunde_College_1.nb 27 P.4 Vraag Beschouw de grafiek van een functie f met domein DHf L 2D Schets de grafieken van de functie g gedefineerd door ghxl = f H-xL, ghxl = f H2 - xl, ghxl = f HxL + 2, en ghxl = 2 - f HxL.

28 Basiswiskunde_College_1.nb 28 P.4 Antwoord

29 Basiswiskunde_College_1.nb 29 Extra opgaven bij college 1 (1) Bepaal alle oplossingen x van de ongelijkheid 2 x - 1 x (2) Schets in het vlak de verzameling van alle punten Hx, yl met x + y 0.