Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

2

3 Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden en rekenregels 4 3 Voorbeeldoefeningen 5 4 Toepassingen Minimum-maimum problemen Toepassing uit de fysica: Harmonische oscillator Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie Hogere orde benaderingen (B-programma) De regels van de l Hôpital (B-programma) Oefeningen Basis (A- en B-programma) Uitbreiding (B-programma) Oplossingen 20

4

5 10-1 Inleiding De afgeleide van een functie f in een punt a R geeft aan hoe de functiewaarde f() verandert in de buurt van a. Het teken van de afgeleide in een punt a geeft aan of de functie stijgend of dalend is in de omgeving van a. De functie die met een reëel getal de afgeleide van een functie f in het punt associeert, heet de afgeleide functie (of kortweg de afgeleide) van f. Deze functie wordt meestal genoteerd met f of df. Het d bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren of afleiden. Het concept van afgeleide van een functie werd in de 17 e eeuw vrijwel tegelijkertijd uitgevonden door Isaac Newton en Gottfried Leibniz. In deze module wordt de (grafische) betekenis van afgeleide samen met de definitie kort herhaald. Voor een uitgebreidere en meer conceptuele behandeling van afgeleiden verwijzen we naar de cursus wiskunde uit het eerste jaar. Hier ligt de nadruk op de standaardafgeleiden en de rekenregels. Deze worden herhaald (zonder bewijs) en verwerkt in een aantal voorbeeldoefeningen. Daarnaast gaat deze module dieper in op de toepassingen van afgeleiden en is er een uitgebreid gamma aan oefeningen. 1 Definitie Betekenis van de afgeleide Een rechte heeft de eigenschap dat de helling in elk punt dezelfde is. Maar bij de meeste grafieken van functies is de helling van punt tot punt verschillend. De afgeleide van een functie is een maat voor die lokale helling van de grafiek in elk punt en levert bijgevolg informatie over het verloop van de functie. Beschouw de functie f waarvan de grafiek getekend is in Figuur 1 en s de rechte (koorde) door de punten P en Q op de grafiek van f. De richtingscoëfficiënt van de rechte s is gegeven door het differentiequotiënt 1 rc (s) = f(a + h) f(a) (a + h) a = f(a + h) f(a). (1) h De raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P(a,f(a)) is de limietstand van de koorde s voor Q P of nog voor h 0. De richtingscoëfficiënt van t is bijgevolg ook de limiet voor h 0 van het differentiequotiënt (1): f(a + h) f(a) rc (t) = lim rc (s) = lim. h 0 h 0 h De richtingscoëfficiënt van t bepaalt precies de lokale helling van de grafiek van f in het punt P(a,f(a)) en wordt daarom als definitie genomen van de afgeleide f (a) van 1 De toename h (tussen de -coördinaat van P en die van Q) wordt soms ook genoteerd als en heet de differentie van. De bijhorende toename van f nl. f(a+h) f(a) noteert men dan als f(a) en heet de differentie van f. Het quotiënt f(a) wordt dan het differentiequotiënt of Newtonquotiënt genoemd.

6 10-2 y f( 0+h) t Q s f f( 0 ) P h Figuur 1: Raaklijn als limietstand van koorden Afgeleide als limiet van differentiequotiënten de functie f in het punt a: f (a) = df def f(a + h) f(a) (a) = lim. d h 0 h We komen op deze manier tot onderstaande definitie van afleidbaarheid van een functie en afgeleide van een functie. Definitie 1.1 (Afleidbaarheid en afgeleide van een functie) Zij f een functie en a R. Indien de limiet f(a + h) f(a) lim h 0 h bestaat en eindig is, heet f afleidbaar of differentieerbaar in het punt a R. De waarde van deze limiet wordt dan de afgeleide van f in a genoemd en wordt genoteerd met f df (a) of d (a). Dus f (a) def = df def f(a + h) f(a) (a) = lim. d h 0 h De functie die afbeeldt op f () noemt men dan de afgeleide functie (of kortweg de afgeleide) van f. Ze wordt genoteerd met f of df d.

7 10-3 Opmerkingen Een andere veel gebruikte definitie voor afgeleide vind je door substitutie van a + h voor zodat h = a. We bekomen dan als alternatieve en volledig gelijkwaardige definitie f (a) def f() f(a) = lim. a a 2. De tweede afgeleide van een functie f is de afgeleide functie van de afgeleide functie, ze wordt genoteerd met f of d2 f d = d ( ) df. Analoog definiëren we 2 d d ook de n e afgeleide (n N 0 ) van een functie f. Deze noteren we met f (n) of met d n f d n. Als de afgeleide strikt positief is in een bepaald punt, zal de functie stijgen in de omgeving van dat punt. Als de afgeleide strikt negatief is in een bepaald punt, zal de functie dalen in de omgeving van dat punt. Als f (a) = 0 voor een zekere a R zal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)) horizontaal zijn. We vermelden nog dat wanneer een afleidbare functie f een lokaal maimum of een lokaal minimum bereikt in een punt a R, de afgeleide f (a) in dat punt steeds nul zal zijn. Hier zullen we dieper op ingaan in het onderdeel Minimum-maimum problemen. Men kan dus verwachten dat bij het bepalen van het verloop van een functie afgeleiden een belangrijke rol spelen. De afgeleide kent ook veel toepassingen in de fysica. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de snelheid die de afgeleide is van de verplaatsing naar de tijd. De versnelling is dan weer de afgeleide van de snelheid naar de tijd.

8 Standaardafgeleiden en rekenregels Hieronder zien we twee tabellen met de afgeleiden van enkele belangrijke functies. In de linkerkolom vinden we telkens het functievoorschrift van de oorspronkelijke functie, rechts dat van de afgeleide functie. In de functievoorschriften stellen a > 0, c en n reële constanten voor, e 2, is de constante van Euler. f() d d [f()] = f () c 0 n e a ln log a sin cos tan n n 1 e a ln a 1 1 ln a cos sin 1 cos 2 = sec2 = 1 + tan 2 f() cosec sec d d [f()] = f () cosec cot sec tan cot 1 sin 2 = cosec 2 Bgsin Bgcos Bgtan = 1 cot Rekenregels 2.1 Zij f en g twee functies die beide afleidbaar zijn in R. Dan geldt: 1. Afgeleide van een veelvoud van een functie Voor elke c R is de functie cf afleidbaar in, met afgeleide (cf) () = cf (). 2. Afgeleide van som en verschil van functies De som f + g en het verschil f g zijn beide afleidbaar in, met als afgeleiden (f + g) () = f () + g () (f g) () = f () g (). 3. Afgeleide van een product van functies Het product fg is afleidbaar in, met als afgeleide (fg) () = f ()g() + f()g ().

9 Afgeleide van het omgekeerde van een functie Indien g() 0, dan is 1/g afleidbaar in, met als afgeleide ( ) 1 () = g () g g() Afgeleide van een quotiënt van functies Indien g() 0, dan is het quotiënt f/g afleidbaar in, met als afgeleide ( ) f () = f ()g() f()g (). g g() 2 6. Afgeleide van een samengestelde functie: kettingregel De samengestelde functie g f is afleidbaar in, met als afgeleide (g f) () = g (f())f (). In woorden: de afgeleide van g f in R vind je door de laatst toegepaste functie g af te leiden en te evalueren in f() en vervolgens te vermenigvuldigen met de afgeleide van f in. 7. Afgeleide van de inverse van een functie Indien f () 0, dan is de inverse functie f 1 afleidbaar in y = f(), met als afgeleide (f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)) = 1 f (). 3 Voorbeeldoefeningen In deze paragraaf worden enkele voorbeelden uitgebreid uitgewerkt om te illustreren hoe bovenstaande rekenregels en standaardafgeleiden toegepast worden. 1. Bereken de afgeleide van de functie f() =. Het gaat hier om een standaardafgeleide, nl. van de functie f() = n met n = 1. We bekomen f () = d d [n ] = n n 1 n=1 = = 1 0 = 1 1 = 1. Dus de afgeleide van de functie f() = is de functie f () = 1. Men noteert dit ook als d [] = 1. d 2. Bereken de afgeleide van de functie f() =. Het gaat hier om een standaardafgeleide, nl. van de functie f() = n met n = 1/2. We bekomen dus f () = d d [n n 1 n=1/2 ] = n = = = 2.

10 10-6 Dus de afgeleide van de functie f() = is de functie f () = 1 2. Men noteert dit ook als d d [ ] = Bereken de afgeleide van de functie f() = 4 ln. Omdat het hier om een product van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van de productregel. We bekomen f () = = d d d d [f()] [ 4 ln ] = ln d [ ] d = ln = 3 (4 ln + 1). d [ln ] d 4. Bereken de afgeleide van de functie f() = ln sin. Omdat het hier om een quotiënt van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van de quotiëntregel. We bekomen f () = d d [f()] = d [ ] ln d sin = sin d d [ln ] ln [sin ] d d sin 2 = = sin ln cos sin 2 1 ln cos sin sin 2. Soms kunnen we een quotiënt van functies ook afleiden zonder de quotiëntregel te gebruiken, zoals blijkt uit volgend voorbeeld.

11 We berekenen de afgeleide van de functie f() = Bereken de afgeleide van de functie f () = d d [f()] = d [ ] 2 d 5 = d [ 25 ] d 1 = 2 d [ ] 1 5 d = 2 5 ( 1) 2 = f() = 3 ( 2 + 3) 4. Om het berekenen van de afgeleide te vereenvoudigen, kunnen we het functievoorschrift van f best herschrijven tot f() = ( ) 4/3. De functie f is een samenstelling van twee andere functies. D.w.z. dat f() te schrijven is als f() = h(g()) met g() = en h() = 4/3. De afgeleiden van g en h zijn gegeven door respectievelijk g () = 2 en h () = (4/3) 1/3. Met behulp van de kettingregel voor het afleiden van samengestelde functies bekomen we dan voor f, f () = d d [f()] = d [h (g())] d = h d (g()) d [g()] = 4 3 (2 + 3) 1/3 d d = 4 3 (2 + 3) 1/3 2 [ ] = Bij het afleiden van een samengestelde functie hoeft men natuurlijk niet steeds de samenstellende functies epliciet te benoemen en af te leiden, men mag rechtstreeks de afgeleide van de samengestelde functie neerschrijven zoals in het voorbeeld hieronder.

12 Bereken de afgeleide van de functie f() = 5 2. Het gaat hier opnieuw om een samengestelde functie. De afgeleide vinden we dus met behulp van de kettingregel: f () = d d [f()] = d [5 2] d d [ = 5 2 ln 5 ] 2 d = 5 2 ln 5 2 = (2 ln 5) Bereken de afgeleide van de functie f() = ( ) Gebruikmakend van de kettingregel en de quotiëntregel bekomen we ( ) 3 d d [f()] = 4 (1 + 2) d [] d [1 + 2] d d (1 + 2) [ 2 ( = d ) ] 4 ( ) 3 (1 + 2) 1 2 = 4 d (1 + 2) 2 ( ) 3 ( ) d 4 3 = 4 = d (1 + 2) We berekenen de afgeleide van de functie s(t) = 5 cos 3 (4t 2 7). Als we de factor 5 niet in rekening brengen, hebben we te maken met een samenstelling van drie functies, m.n. de functies f(t) = 4t 2 7, g(t) = cost en h(t) = t 3. Om s te berekenen, moeten we de kettingregel twee keer toepassen: d dt [s(t)] = 5 3 cos ( 2 4t 2 7 ) d [ ( cos 4t 2 7 )] dt = d [ ( 5 cos 3 4t 2 7 )] = 3 5 cos ( 2 4t 2 7 ) ( sin ( 4t 2 7 ) d [ 4t 2 7 ]) dt dt = 5 d [ ( cos 3 4t 2 7 )] = 3 5 cos ( 2 4t 2 7 ) sin ( 4t 2 7 ) 8t dt = 24 5tsin ( 4t 2 7 ) cos ( 2 4t 2 7 ).

13 Bereken de tweede afgeleide van de functie g() = Bgsin +. d 2 d 2 [g()] = d2 d [Bgsin + ] = = d [ ] d [Bgsin + ] d d = d d [ ] = d [ (1 ) ] 2 1/2 + d d d [1] ( ) 1 2 3/2 d [ ] d 1 = ( 2) 2 (1 2 ) 3 = (1 2 ) Bereken de derde afgeleide van de functie We vinden f() = 2e 2 1 sin f () = 4e cos f () = 8 2 e e sin f () = 16 3 e e cos Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termen van de afgeleide van de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift f() = lng(). We vinden f () = d 1 [ln g()] = d g() d d [g()] = g () g(). 4 Toepassingen 4.1 Minimum-maimum problemen Een belangrijke toepassing van de afgeleide functie ligt in het zoeken van minima en maima van functies. Hier is een aparte module aan gewijd.

14 Toepassing uit de fysica: Harmonische oscillator In de cursus fysica zullen we zien dat wanneer een massa aan een veer een trillende beweging uitvoert (in het verlengde van de veer), de uitwijking van de massa t.o.v. haar rusttoestand, in functie van de tijd t, beschreven wordt door (t) = A cos ωt. Hierin zijn de amplitude A > 0 en de hoeksnelheid ω > 0 reële constanten. De snelheid v waarmee de massa trilt (in functie van de tijd) kunnen we bepalen door de uitwijking af te leiden naar de tijd t. Met de kettingregel vinden we v(t) = d(t) dt = d (A cos ωt) dt = A( sin ωt) d dt (ωt) = ωa sin ωt. Op analoge manier wordt de versnelling a van de massa in functie van de tijd gevonden door de snelheid v op haar beurt af te leiden naar de tijd: a(t) = dv(t) dt = d ( ωa sin ωt) dt = ω 2 A cos ωt. 4.3 Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie De afgeleide van een functie kan gebruikt worden om de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van die functie in een gegeven punt van de grafiek te bepalen. De afgeleide f (a) van een functie f in een punt a R is namelijk niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)) op die grafiek. De vergelijking van de raaklijn t 1 in het punt (a,f(a)) aan de grafiek is dan gegeven door y = t 1 () = f(a) + f (a)( a) Voorbeeld 4.1 Zij f de functie met voorschrift f() = 3. We zoeken de vergelijking van de raaklijn t 1 aan de grafiek van f in het punt P( 1, 0) graf f. De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is gegeven door f ( 1) = 3 ( 1) 2 1 = 2. Van de gezochte rechte t 1 kennen we dus de richtingscoëfficiënt en een punt, nl. P( 1, 0). Dit is voldoende om de vergelijking op te stellen: t 1 y = 2 ( ( 1)) y = Grafiek en raaklijn zijn getekend in figuur 2.

15 t 1 f 1 2 P Figuur 2: Grafiek van f() = 3 met raaklijn t 1 in P( 1, 0) 4.4 Hogere orde benaderingen (B-programma) De raaklijn t 1 y = f(a) + f (a)( a) uit de vorige paragraaf, kan gezien worden als een benadering van de functie f in de buurt van het punt a. Omdat de raaklijn beschreven wordt door een veelterm van de eerste graad, noemen we dit de eerste orde benadering van f in de buurt van a, of een lineaire benadering in de buurt van a. Zoals we ons kunnen afvragen wat de beste lineaire benadering van een functie f rond a is, zo kunnen we ons ook afvragen wat de beste kwadratische functie zou zijn om f te benaderen rond a. De beste lineaire benadering t 1 voldoet aan t 1 (a) = f(a) en t 1(a) = f (a). De beste kwadratische functie t 2 die f rond a benadert, heeft naast dezelfde functiewaarde en eerste afgeleide, ook een identieke tweede afgeleide in a. De voorwaardes worden dus: t 2 (a) = f(a) t 2(a) = f (a) t 2(a) = f (a) Men kan eenvoudig nagaan dat de kwadratische functie die hieraan voldoet gegeven is door t 2 () = f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) 2. 2

16 10-12 Voorbeeld 4.2 Beschouwen we opnieuw de functie f met voorschrift f() = 3. We zoeken de tweede orde benadering rond het punt P( 1, 0) graf f. Aangezien f( 1) = 0, f ( 1) = 2 en f ( 1) = 6 is deze tweede orde benadering gegeven door: t 2 () = 0 + 2( + 1) 3( + 1) 2 = = De functies f en t 2 zijn getekend in figuur 3. 2 t 1 f = t P t 2 Figuur 3: Grafiek van f() = 3 met tweede orde benadering t 2 in P( 1, 0) In het algemeen zal een n-de orde benadering rond a gegeven worden door een veelterm t n van graad n die voldoet aan t (k) n (a) = f (k) (a), 0 k n. Men kan eenvoudig nagaan dat de volgende veelterm aan deze voorwaarden voldoet: t n () = n k=0 f (k) (a) ( a) k k! Voorbeeld 4.3 Beschouwen we opnieuw de functie f met voorschrift f() = 3. Aangezien dit reeds een veelterm van de derde graad is, moet de beste derdegraadsbenadering gegeven worden door t 3 () = f().

17 10-13 Voorbeeld 4.4 We zoeken de beste vierde orde benadering voor de functie g met als voorschrift g(θ) = cos(θ) in de buurt van θ = 0. Aangezien g(0) = 1, g (0) = 0, g (0) = 1, g (0) = 0 en g (iv) = 1 is deze vierde orde benadering gegeven door: t 4 (θ) = 1 θ2 2 + θ4 24. De functies g en de benaderingen tot vierde orde in de buurt van 0 zijn getekend in figuur 4. 2 t t 1 cosθ θ 2 t 2 Figuur 4: Grafiek van g(θ) = cos(θ) met benaderingen in (0, 1). 4.5 De regels van de l Hôpital (B-programma) In de module Limieten en asymptoten van rationale functies worden de rekenregels voor limieten uitvoerig besproken. Voor de zogenaamde onbepaalde vormen konden echter geen algemene rekenregels geformuleerd worden. Deze onbepaalde vormen werden symbolisch genoteerd met, 0, 0 0 en. De regels van de l Hôpital bieden een manier om limieten van de vorm 0 0 en verder uit te werken.

18 10-14 Eigenschap 4.5 (Eerste regel van de l Hôpital) Neem aan dat f en g afleidbare functies zijn in een omgeving van het punt a met f(a) = g(a) = 0. Indien g () 0 voor a in een omgeving van a en indien de limiet f () lim a g () = L bestaat, dan geldt: f() lim a g() = L Eigenschap 4.6 (Tweede regel van de l Hôpital) Neem aan dat f en g afleidbare functies zijn in een omgeving van het punt a, maar niet noodzakelijk in a zelf,en dat lim f() = en lim g() =. Indien g () 0 voor a a a in een omgeving van a en indien de limiet f () lim a g () = L bestaat, dan geldt: f() lim a g() = L Onbepaalde vormen en 0 kunnen vaak teruggebracht worden tot de onbepaalde vormen 0 0 of. Bijvoorbeeld: 0 = 1 0 = Ook onbepaalde vormen van het type 0 0, 0 en 1 kunnen dikwijls herleid worden naar 0 0 of. Hierbij gebruiken we dat de logaritme een continue functie is: [ ] ln lim a f()g() = lim ln [ f() g()] a = lim a [g() lnf()] Als bovenstaande limiet bestaat en gelijk is aan L, dan is Voorbeeld 4.7 Bereken lim (1 + a ). lim a f()g() = ep(l)

19 10-15 Hieruit vinden we dat lim [(1 ln + a ) ] [ = lim ln = lim ( ln (H) = lim = lim 1 + a ( ) 1 + a a 2 +a a + a = a ( lim 1 + a = ep(a). ) )]

20 Oefeningen 5.1 Basis (A- en B-programma) Oefening 1 Bereken de afgeleide van volgende functies (a) f(t) = (1 + t) lnt (b) f(t) = t 2 cos t (c) f(t) = 1 t 2 (d) f(t) = 3t 1 2t + 2 (e) f() = sin(4 + 5) (f) f(t) = ln(7t 2 ) (g) f() = (h) f() = tan 1 (i) f() = cos( 8 2 1) (j) f() = sin 3 3 (k) f() = (l) f(t) = lnt sin(t 2 ) (m) f(t) = ln(1 t 2 ). Oefening 2 Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termen van de afgeleide van de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift (a) f() = Bgtang() (b) f() = g(3) + 3g() + (g()) 3 + g() + g(3) + g(3) + g(3 ) + 3 g().

21 10-17 Oefening 3 Zij a,b,c R. Bepaal dan de afgeleide van onderstaande functies (a) s(t) = a + b sin(bt c) (b) s(θ) = abθ + cθ 2 (c) s() = b [1 cos(a 2 )]. Oefening 4 Bereken de tweede afgeleide van elk van volgende functies. (a) f() = ln 2 (b) f(θ) = θ cos θ (c) f(t) = sint 4 Oefening 5 Bepaal dr dθ als de functie r gegeven wordt door (a) r(θ) = 2θ 1/ θ2/ θ3/4 (b) r(θ) = cosθ (c) r(θ) = 1 2θ (d) r(θ) = a θ met a > 0 (e) r(θ) = Ae aθ met A,a > 0 (f) r(θ) = a cos 2θ met a > 0. Oefening 6 Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt P graf f als (a) f() = en de coördinaten van P zijn P(1, 3) (b) f() = 1 cos en de -coördinaat van P is π/2 (c) f() = 1 2 en de coördinaten van P zijn P(2, 3).

22 Uitbreiding (B-programma) Oefening 7 In onderstaande figuur zijn de grafieken van een functie f geschetst, haar eerste afgeleide f en haar tweede afgeleide f. Welke kromme correspondeert met de grafiek van f, welke met die van f en welke met die van f? Oefening 8 G en H zijn functies van T en voldoen aan Toon aan dat G = H + T dg dt d(g/t) dt = H T 2 gebaseerd op M. Baelmans en P. Wollants, Thermodynamica, 1e jaar burgelijk ingenieur (2009) Oefening 9 Geef de lineaire, tweede en derde orde benadering van de volgende functies in de buurt van θ = 0. Wat is het verschil tussen de functiewaarde en de benaderingen voor θ = π 18? (a) f(θ) = sinθ (b) f(θ) = 1 cos θ

23 10-19 Oefening 10 Geef de derde orde benadering in de buurt van 0 voor de volgende functies: (a) ep (b) 1/(1 + ) (c) ln(1 + ) Oefening 11 Bereken volgende limieten (a) lim a 2 a 2 a (b) lim 0 + (c) lim + 4 e 2 (d) lim 0 sin (e) lim 0 2 ln (f) lim 0 sin 2 sin( 2 ) 4 1 (g) lim 0 sin 2 1 2

24 Oplossingen 1 (a) lnt + 1 t + 1 (b) 2t cos t t 2 sin t (c) 2t 3 (d) 2(t + 1) 2 (e) 4 cos(4 + 5) (f) 2 t (g) (h) ( cos( 1 )) 2 (i) 16 sin( 8 2 1) (j) 9 sin 2 (3) cos(3) (k) (l) (m) sin t2 t 2t 1 t 2 + 2t ln t cos t 2 2 (a) g () 1 + g 2 () (b) 3g (3) + 3g () + 3g 2 ()g () + g () + g(3) + 3 ln 3g (3 ) + 3 g() ln 3g () 3 (a) b 2 cos(bt c) (b) ab + 2cθ (c) a 2 b sin(a 2 ) 4 (a) 2 2 (b) 2 sin θ θ cos θ

25 10-21 (c) 16t 6 sin t t 2 cos t 4 5 (a) θ 1/2 + θ 1/3 + θ 1/4 (b) (c) 8 sin θ (1 + 2 cosθ) θ (d) a θ 2 (e) Aa θ e aθ (f) a sin 2θ cos 2θ 6 (a) y = (b) y = π (c) y = De grafiek van f is een streepjeslijn, die van haar afgeleide f is een volle lijn, die van de tweede afgeleide f de gepunte lijn. 9 (a) t 1 (θ) = θ; sin( π 18 ) t 1( π 18 ) = ; t 2 (θ) = θ; sin( π 18 ) t 2( π 18 ) = ; t 2 (θ) = θ θ3 6 ;sin( π 18 ) t 3( π 18 ) = (b) t 1 (θ) = 0; cos( π ) t 18 1( π ) = 0.015; 18 t 2 (θ) = θ2; cos( π ) t ( π ) = (a) y = /2 + 3 /6 (b) y = (c) y = 2 /2 + 3 /3 11 (a) 4a 3/2 (b) 1

26 10-22 (c) 0 (d) 1 (e) 0 (f) -1/3 (g) 1/3