12. Uitwerkingen van de opgaven

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "12. Uitwerkingen van de opgaven"

Transcriptie

1 12. Uitwerkingen van de opgaven Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0, , 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7, ,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45); Opgave 3.2 Bereken met behulp van Maxima: (%i2) (sqrt(2527)-(1897)^(1/4))^(1/7); (%i3) float(%), numer; Opgave 3.3 Bereken met behulp van Maxima elk van de volgende uitdrukkingen: , , , 20 ; 732,4 3 6,28 6 1,235 2, ; 12, ,73 6,25 4,98 2,

2 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 3.4 Bereken de waarde van 1, 2a 2,5a + 0,8a a 3 2 5,1a + 4.2a voor a=1, a=2 en a=3. Opgave 3.5 Bereken de waarde van x + y + z voor x = 2.1, y = 7.2 en z = 3.6 Opgave 3.6 Bereken de waarde van 5 5x 4 3 3y + 12z voor x = -10.1, y = 2.1 en z = 7.2 2

3 Opgave 3.7 Bereken de grootste gemeenschappelijke deler van 3465, 924 en 462 en bepaal ook hun gemeenschappelijke delers. Opgave 3.8 Hoeveel uur u (bij een dagindeling van 24 uur) is het "1000 uur na middernacht"? Hoeveel dagen d zijn er dan verstreken? Dus u=16 en d= 41; controle: Opgave 3.9 n Mersennegetallen zijn getallen van de vorm m = 2 1 met n 23 Ga na of het Mersennegetal m = 2 1een priemgetal is. Bepaal het eerstvolgende en het vorige priemgetal. Ga tevens na wat de volgende Maximaopdracht zal doen (%i35) for n:1 thru 400 do ( if primep(2^n-1) then print (n,2^n-1) ); 3

4 Uitwerkingen van de opgaven. Opgave 3.10 Reken een tijdsduur t = 9724 sec om naar uren (u), minuten (m) en seconden (s) en controleer uw antwoord. 4

5 12.2. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 4 Opgave Ontbind het natuurlijke getal in priemfactoren en controleer of de factoren inderdaad priemgetallen zijn. Opgave 4.2 Ontbind de veelterm x 6x + 8 op 2 manieren in factoren: rationaal en met wortelvormen. 4 2 Eerst de rationale ontbinding Nu de ontbinding met wortelvormen 5

6 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 4.3 Pas partiële breuksplitsing toe op de volgende breuk 5 2x 5 2 x Opgave 4.4 Schrijf de uitdrukking ontbinden. (2x 3 ) 3 y helemaal uit en probeer het resultaat weer in factoren te 6

7 Opgave 4.5 Schrijf de uitdrukking resultaat in factoren (2x 5)(5x 4 x) ( x 5 x)(10 x 4) + + helemaal uit en ontbind het Opgave 4.6 Ontbind de veelterm v =12 x 4-9 x 3-17 x x 5 in factoren. Laat zien dat bij deling van v door deze factoren de rest inderdaad 0 is. Bepaal quotient en rest bij deling van v door 3 x 2 6 en controleer het resultaat De twee factoren noemen we v1 en v2: De deling levert inderdaad twee keer de rest 0. Nu de deling van v door 3 x 2 6 7

8 Uitwerkingen van de opgaven Het resultaat kunnen we als volgt controleren: Dit is inderdaad weer de veelterm v. Opgave 4.7 Voer de uitdrukking (5-a b)/(3+a b) in en vervang dan het product a b door c Opgave 4.8 Vereenvoudig de uitdrukking x 4 y 3 + x 4 y 8 door de term xy 2 te vervangen door a. 8

9 12.3. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 5 Opgave 5.1 Bereken de variabele k uit de vergelijking k a s = m via herleiden en via de solve- k + a opdracht. Het oplossen van k via eenvoudige herleidingen verloopt als volgt: Het oplossen via de krachtige solve opdracht: 9

10 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 5.2 Bepaal de oplossingen van de vergelijking = x x x x Controleer de antwoorden door substitutie in de oorspronkelijke vergelijking. We kunnen nu alle antwoorden in één keer controleren (zie paragraaf 3.2.2) Of nog eenvoudiger: Opgave 5.3 Bepaal de oplossingen van de vergelijking 3 2 x x x = 0. Er is dus een reële oplossing x = 1 en er zijn twee complexe oplossingen x = 1 4i en x = 1+ 4i. Hierbij is i het complexe getal met de eigenschap dat i 2 = 1. 10

11 Opgave 5.4 Voor het numeriek oplossen van de vergelijking iteratieproces yn = yn + 2 yn. 1 2 y = y + 2 y gebruiken we het volgende a. Als het iteratieproces convergeert, naar welke waarde zal het dan convergeren? Als het proces convergeert, dan geldt lim y = lim y 1 = c. Uit de iteratieformule volgt dan dat n x n x n 1 2 c moet voldoen aan de vergelijking c = c +. Via enige formulemanipulatie kunnen we 2 c 2 dit herleiden tot de vergelijking c = 2. In geval van convergentie, zal de rij y n dus convergeren naar de waarde ± 2 b. Bepaal via een for-loop de waarden y 1 t/m y 8 ; neem als startwaarde y 0 = 0.4 n+ c. Plot de grafiek van y n als functie van n voor n = 0,1, 2,..,8 11

12 Uitwerkingen van de opgaven y(n) n Opvallend is de zeer snelle convergentie! d. Teken de webgrafiek van y 1 n = yn + 2 yn ; neem als startwaarde y 0 = y(n+1)

13 Opgave 5.5 Los het volgende lineaire stelsel met 4 onbekenden op I: a + b - 2c + d = 2 II: -2a -2b + c + d = 2 III: a - b + c + 2d = 10 IV: a + b - 4c + 5d = 12 Opgave 5.6 Bepaal de snijpunten van de rechte r: x y = 4 met de cirkel c: Controleer de gevonden antwoorden. x + + y = 2 2 ( 2) ( 2) 36 13

14 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 5.7 Los het volgende stelsel op en geef een interpretatie van de parameter %r1 3x + 2y = 5 x + y + z = 3 Het symbool %r1 geeft een willekeurige constante aan. Dit betekent dus dat er oneindig veel oplossingen zijn. Voor bijvoorbeeld %r1 =1 hebben we dan de oplossing [x=1, y=1, z=1] Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 6 Opgave 6.1 We definiëren de functie s via s( t) = t 3 2. Bereken de functiewaarden s(0), s(1) en s(2). Opgave 6.2 We definiëren een functie O van twee variabelen als volgt Bepaal de functiewaarden voor α = 3, 2, 1 en r = 4. 2 r ( α sin( α)) O( r, α) : =. 2 14

15 Opgave 6.3 Definieer in Maxima de functie k(x) = (x-8)/2. Maak een tabel met functiewaarden voor x = -4, -3,, 4 en maak hiervan een grafiek in een geschikt gekozen venster. 15

16 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 6.4 Definieer en teken de volgende functie: 1 x 5 < x < 1 2 f ( x) = x 1< x < 2 x < x < 5 16

17 Opgave 6.5 Schrijf de volgende trigonometrische expressie cos(2*x+y)-sin(2*x) zo ver mogelijk uit en probeer daarna het resultaat weer zo veel mogelijk te vereenvoudigen. Opgave 6.6 Definieer met behulp van de cosinusregel een functie, die bij de invoer van de drie zijden van een driehoek de hoek uitrekent tussen de eerste twee ingevoerde zijden. Als we de ingevoerde zijden opvolgend a, b en c noemen, dan moeten we dus de hoek gamma tegenover de zijde c bepalen. Voor de hoek gamma moet gelden gamma>=0 en gamma<=π. We moeten dus de hoek gamma oplossen uit de vergelijking c = a + b ab gamma 2 cos( ) 17

18 Uitwerkingen van de opgaven Laten we de functie hoekgamma testen op een rechthoekige en een gelijkzijdige driehoek : Opgave 6.7 Bereken de oplossingen van de goniometrische vergelijking cos(x)=cos(2x) op het interval [ 0,2π ] We proberen eerst de solve-opdracht : Dit levert helaas geen resultaat op. 18

19 Laten we daarom de grafieken van cos(x) en cos(2x) eens tekenen op het interval [ 0,2π ] : zien hieruit dat er 4 oplossingen zijn op het interval [ 0,2π ]. Uit het plaatje is onmiddellijk duidelijk dat x=0 en x=2π twee oplossingen zijn. We Controleer dit zelf! Met behulp van de functie find_root kunnen we de andere 2 oplossingen numeriek bepalen: Hier volgt nog een andere oplossing door de vergelijking cos(x)=cos(2x) eerst te herschrijven: 19

20 Uitwerkingen van de opgaven Wat zijn de exacte waarden van de andere oplossingen? 20

21 12.5. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 7 Opgave 7.1 Teken de grafieken van 3 2 x x x + 1, x 2 5x + 1 en 7 5 x in het venster [ 3, 7] [ 6, 7]. 6 4 x^3/3-x^2/2+x/4-1 x^2-5*x+1 x-7/ Opgave x Teken in één figuur de elliptische krommen venster [ 3,3] [ 4, 4]. 2 3 y x x = en 2 3 y x x = in het 4 y^2 = x^3-5*x+3 y^2 = x^3-3*x

22 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 7.3 Maak een parameterplot van de zogenaamde cardioïde:[2cos(t)-cos(2t),2sin(t)-sin(2t)] Opgave 7.4 Een punt P doorloopt een Lissajousfiguur K met parametervoorstelling x( t) = 100 sin( t) K : y( t) = A sin ( ωt + α) 22

23 a. Om het effect van de verandering in het faseverschil α na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval A = 100, ω =1 en α = 0, π / 4, π / 2, 3 π / 4, π α = 0 α = π / 4 α = π / 2 α = 3 π / 4 α = π 23

24 Uitwerkingen van de opgaven b. Om het effect van de verandering in de hoekfrequentie ω na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval A=100, α = 0 en ω = 0.25, 0.50, ω = 0.25 ω = 0.5 ω =

25 c. Om het effect van de verandering in de amplitude A na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval ω =1, α = 0 en A = 25, 50, 75. A = 25 A = 50 A = 75 25

26 Uitwerkingen van de opgaven Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 8 Opgave 8.1 Bepaal de limiet van de rij u(n) = 2 n 3 3n + 1 voor n gaat naar oneindig Opgave 8.2 Bereken de helling van de functie f(x) = abs(x 2-1) in het punt x = 1. Kennelijk bestaat de afgeleide van f in het punt x = 1 niet. We gaan na of de rechter afgeleide van f in x = 1 bestaat. De linkerafgeleide in het punt x = 1 De grafiek van f kan de resultaten duidelijk maken. 26

27 Opgave Beschouw de functie: f : x x + 2x 5. Bepaal de nulpunten en extremen van f. De eerste afgeleide is nergens 0 en vanwege (%o2) overal positief. De functie heeft dus geen extremen en is overal stijgend. 27

28 Uitwerkingen van de opgaven Opgave Beschouw de schaar van functies: fa : x x + ax met a Plot de functieschaar voor a = -4, -3,.,2, 3, 4. Bepaal de nulpunten, extreme waarden en buigpunten in afhankelijkheid van de parameter a. 28

29 Verloop van de grafieken: * de grafieken gaan allemaal door de oorsprong * de grafieken zijn symmetrisch t.o.v. de oorsprong * voor a<0 zijn er twee nulpunten (symmetrie), twee extremen en een buigpunt in de oorsprong * voor a=0 is de functie monotoon stijgend en heeft een buigpunt in de oorsprong * voor a>0 is de functie monotoon stijgend en heeft een buigpunt in de oorsprong Er is dus een reëel nulpunt x=0 voor a>0. 29

30 Uitwerkingen van de opgaven Ook voor a=0 is er dus een reëel nulpunt x=0 Voor a<0 zijn er dus 3 verschillende nulpunten. Voor de bepaling van de extremen definiëren de eerste afgeleide als zelfstandige functie : We maken nu een grafiek van het tekenverloop van de functies f1(x, a): 30

31 signum(3*x^2-5) signum(3*x^2-4) signum(3*x^2-3) signum(3*x^2-2) signum(3*x^2-1) signum(3*x^2) x a a Voor a<0 zijn er dus twee extremen : maximum voor x = en minima x =, 3 3 a=-5, -4, -3, -2, -1. Voor de bepaling van de buigpunten beschouwen we de tweede afgeleid :f2(x, a): Dit betekent dat alle functies f(x, a) een buigpunt hebben in de oorsprong. De vergelijking van de buigraaklijn vinden we als volgt: 31

32 Uitwerkingen van de opgaven Opgvave 8.5 Beschouw de functie f x x x : Bepaal de buigpunten van f en bepaal de vergelijking(en) van de buigraaklijn(en). Teken de grafiek van f en de buigraaklijnen van f in één figuur. Oplossing: De buigpunten vinden we door na te gaan waar de tweede afgeleide van teken verandert: Het is duidelijk dat de tweede afgeleide van teken verandert in x = 1. Het buigpunt heeft de coördinaten (1,0). De vergelijking van de buigraaklijn wordt dan: 32

33 Opgave 8.6 Bereken de oppervlakte van een cirkel via de integraal 4 r 2 2 r x dx. 0 Het gearceerde gebied komt overeen met de integraal r 0 r x dx Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 9 Opgave 9.1 Schrijf een functie hoek(p,q) welke bij twee gegeven vectoren p en q de scherpe hoek tussen p en q bepaalt. Bepaal met behulp van deze functie ABC in driehoek ABC met A(1, 2), B(4, 2) en C(4, 6). Met de zijde AB correspondeert de vector b-a = [3,0] en met de zijde BC correspondeert de vector c-b= [0,4] 33

34 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 9.2 Bepaal in driehoek ABC - met A(-5, -2), B(6, -1) en C(2, 7) - de middelloodlijnen van AB en BC, evenals de straal en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Oplossing: We definiëren eerst de plaatsvectoren van A, B en C: Voor de plaatsvectoren [x,y] van de punten op de middelloodlijn mab van AB geldt: Op dezelfde manier bepalen we de middelloodlijn mbc van BC: Het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC vinden we nu door het snijpunt van mab en mbc te bepalen: 34

35 Voor de plaatsvector m van M geldt dus: De straal r van de omgeschreven cirkel is nu gelijk aan de lengte van het lijnstuk MA, d.w.z. de lengte van de vector a-m: Dit moet natuurlijk ook gelijk zijn aan de lengte van de lijnstukken MB en MC: Opgave 9.3 Los het volgende stelsel vergelijkingen op twee manieren op 2x + 3y + 7z = 12 x + 4y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 5 We lossen het stelsel eerst op met de matrixmethode, we schrijven het stelsel daartoe in de r vorm A x = b met: 35

36 Uitwerkingen van de opgaven De oplossing van dit stelsel is nu eenvoudig : r = r : 1 x A b Een andere manier van oplossen verkrijgen we door de drie vergelijkingen apart in te voeren: Nu kunnen we het stelsel via solve of linsolve oplossen : U ziet dat we in beide gevallen dezelfde oplossing vinden Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 10 Opgave 10.1 a. Maak een lijst met de eerste 20 elementen van de rij a n mit 1 a n = n 2 36

37 b. Maak door middel van de opdracht makelist de volgende lijst : De n-de term van deze rij is: ( 1) n n n

38 Uitwerkingen van de opgaven c. Maak een lijst van de eerste 20 partiële sommen van de rij 1, 1, 1, 1,... 1! 3! 5! 7! 38

39 Opgave 10.2 Definieer een functie hoek (r,n), die de hoekpunten van een regelmatige n-hoek creëert met behulp van de opdracht makelist (straal van de omgeschreven cirkel = r). Teken met behulp van deze hoekpunten een regelmatige 6-hoek, met r = discrete1 discrete

40 Uitwerkingen van de opgaven Opgave 10.3 Schrijf een functie kapitaal_verd ( k, p) welke berekent in hoeveel jaar een kapitaal k, bij een samengestelde interest van p procent, verdubbelt Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 11 Opgave 11.1 Schrijf/programmeer een functie kwad(a,b,c,x) welke bij een gegeven kwadratische functie 2 ax + bx + c een kwadraat afsplitst. Voorbeelden: 2 Omdat x + 2x + 3 geschreven kan worden als 2 resultaat opleveren ( x + 1) + 2 ; Omdat 2 4x 2x resultaat 2x + geven. 2 4 Oplossing: 2 ax + bx + c = 2 ( x + 1) + 2, moet kwad (1,2,3,x) dus als geschreven kan worden als 2x +, moet kwad (4,-2,1,x) dus het b c b b ac a ( x + x + ) = a x + a a 2a 4a b b 4ac Dus de gevraagde functie wordt : kwad(a,b,c,x):= a x + 2a 4a In Maxima ziet dat er als volgt uit:

41 Controle: Opgave 11.2 Gegeven zijn de lijnen l : y = m1 x + b1 en m: y = m2 x + b2. Schrijf een functie snijpunt (x, y, m 1, m 2, b 1, b 2 ) die bepaalt of de lijnen l en m een snijpunt hebben. Onderscheid hierbij 3 gevallen. In geval van een snijpunt moeten de coördinaten van het snijpunt worden getoond. Oplossing: We kunnen de volgende 3 gevallen onderscheiden: m 1 = m 2 én b 1 = b 2 : l en m vallen samen ( oneindig veel snijpunten) m 1 = m 2 én b 1 b 2 : l en m lopen evenwijdig (geen snijpunt) m 1 m 2 : l en m hebben één snijpunt In geval van een snijpunt kan het snijpunt bepaald worden door het oplossen van de vergelijkingen: verg1: y = m1 x + b1 en verg2 : y = m2 x + b2 De gevraagde functie gaat er dan als volgt uitzien: 41

42 Uitwerkingen van de opgaven Voorbeelden: Opgave 11.3 Schrijf naar analogie van de functie dobbelsteen uit paragraaf 11.3 een functie cdobbelsteen die bij de aanroep cdobbelsteen (3000) het volgende resultaat geeft: Het zal duidelijk zijn dat we met behulp van de tabel freq een tabel cfreq met cumulatieve frequenties moeten maken. Dat kan wiskundig gezien op de volgende wijze: i cfreq[ i] = freq[ j] voor i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 j= 1 In Maxima ziet dat er als volgt uit: Deze cumulatieve frequenties moeten dan worden afgedrukt: 42

43 De gevraagde functie cdobbelsteen gaat er als volgt uitzien: De aanroep cdobbelsteen (3000) geeft dan het volgende resultaat : 43

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

7. Tweedimensionale grafieken

7. Tweedimensionale grafieken 7. Tweedimensionale grafieken 7.1. Grafieken van functies Maxima beschikt over meerdere opdrachten om grafieken te laten tekenen. Grafieken kunnen met wxplotd in de wxmaxima-omgeving ingebed worden (inline).

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Geven we decimale getallen als invoer, dan past Maxima zich onmiddellijk aan en geeft ook decimale getallen als resultaat:

Geven we decimale getallen als invoer, dan past Maxima zich onmiddellijk aan en geeft ook decimale getallen als resultaat: 3. Rekenkunde 3.1. Rekenmachine Maxima kan als een zakrekenmachine gebruikt worden voor het uitvoeren van eenvoudige en ingewikkelde berekeningen. Maxima rekent exact met gehele getallen, breuken en wortelvormen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

10. Controleopdrachten

10. Controleopdrachten Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor

Nadere informatie

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen

6. Functies. 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Computeralgebra met Maxima 6. Functies 6.1. Definities en gebruik van functies/variabelen Een van de belangrijkste gereedschappen in een CAS betreft het gebruik van functies (definitie, berekening en grafiek).

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993-1994 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = = héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat. Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 1 van 8 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal omschrijfregels

Nadere informatie

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

4. Vereenvoudigen expressies

4. Vereenvoudigen expressies Computeralgebra met Maxima 4. Vereenvoudigen expressies 4.1. Vereenvoudigen ratsimp De grote kracht van een Computer-Algebra-Systeem als Maxima ligt daarin, dat niet alleen numerieke expressies vereenvoudigd/berekend

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Parameterkrommen met Cabri Geometry

Parameterkrommen met Cabri Geometry Parameterkrommen met Cabri Geometry 1. Inleiding Indien twee functies f en g gegeven zijn die afhangen van eenzelfde variabele (noem deze t), dan kunnen de functiewaarden daarvan gebruikt worden als x-

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 1997-1998: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade: tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt hem

Nadere informatie

WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG

WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigt de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. Deze competitie heeft op de eerste plaats

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie