Wiskunde voor bachelor en master. Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht. Uitwerkingen hoofdstuk 9

Transcriptie

1 Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 0, Sntax Media, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk = x = x 0 0 a. b. =, 0 0 = x + c. d.

2 Uitwerkingen 9.. = x 0 0 = x e. f. = x 0 0 = x + a. b. = x = x c. d.

3 Uitwerkingen 9... De lijn m door de punten (,) en (, ) heeft helling: = x x ( ) = 6 = De vergelijking van m is dus van de vorm = x + b. Punt (,) ligt op m, invullen geeft = + b, dus b =. Conlusie: lijn m heeft vergelijking = x +. De lijn n door de punten (0,0) en (6,) heeft helling: = 0 x x 6 0 = 6 De vergelijking van n is = 6x + b. Punt (0,0) ligt op m, dus b = 0. Conclusie: lijn n heeft vergelijking = 6 x. S (, ) n : = 6 x 0 m : = x + De x-coördinaat van het snijpunt van m en n volgt uit 6 x = x + : 6 x = x + {maal 6} x = x + 6 x = 6 x = Dan geldt voor de -coördinaat van het snijpunt = 6 = 6 =. Dus voor het snijpunt S van m en n geldt: S = (, ).

4 Uitwerkingen 9... T F =,8 T C + { naar links en links en rechts verwisselen},8 T C = T F {maal 0} 8T C = 0T F 0 T C = 0 8 T F 0 8 T C = 9 T F T C T C = 9 T F T F 0 0. a. De lijn m gaat door (0,) en (,0) en heeft dus helling 0 0 =. Invullen van (0,) geeft als vergelijking = x +. Daarbij hoort de functie f(x) = x +. b. De lijn n loopt horizontaal en heeft dus helling 0. De vorm van de vergelijking is dan = b. Invullen van (0, ) geeft als vergelijking =. Daarbij hoort de constante functie f(x) =. c. De lijn p bestaat uit alle punten met x-cördinaat. De vergelijking van de lijn is x =. Bij een functie f hoort bij elke x precies één waarde f(x) en in dit geval horen bij x = oneindig veel waarden. Bij deze lijn hoort dus geen functie. De lijn heeft ook geen helling. Zo liggen de punten (,0) en (,) op de lijn en de formule voor de helling geeft dan 0 en dat bestaat niet. d. De lijn q gaat door (0, ) en (,0) en heeft helling 0 ( ) = 0. Invullen van (0, ) in = x + b levert als vergelijking = x. Daarbij hoort de functie f(x) = x.

5 Uitwerkingen a. f(x) = x x + x x + {kwadraatafsplitsen} = (x ) + = x x + = (x ) Dus f(x) = (x ) (grafiek is dalparabool). smmetrieas: x = minimum: = (voor x = ) nulpunten: 0 x (x ) = x = ± x = + x = (, ) b. f(t) = t + 8t t + 8t { buiten haakjes} = [t 8t + ] {kwadraatafsplitsen} = [(t ) ] = (t ) + Dus f(t) = (t ) + (bergparabool). smmetrieas: t = maximum: = (voor t = ) nulpunten: (t ) = t = ± t = + t = 0 (,) 6 = t + 8t t

6 6 Uitwerkingen 9.. c. f(r) = r 6r r 6r {kwadraatafsplitsen} = (r ) 9 = (r ) 0 Dus f(r) = (r ) 0 (dalparabool) r smmetrieas: r = minimum: = 0 (voor r = ) nulpunten: (r ) = 0 r = ± 0 r = + r = 0 (, 0) = r 6r d. f(a) = a + a + a + a + {kwadraatafsplitsen} = (a + ) + = (a + ) + Dus f(a) = (a + ) + (dalparabool). smmetrieas: a = minimum: = (voor a = ) nulpunten: (a + ) = = a + a + (, ) a 0 Deze vergelijking heeft geen oplossing. De functie heeft geen nulpunten. (Zie ook de grafiek, f(a).)

7 Uitwerkingen e. f(x) = x + 7x + De grafiek is een dalparabool. = x + 7x + Uit x + 7x + = (x + )(x + ) volgt: f(x) = (x + )(x + ) nulpunten: x = en x = smmetrieas: x = minimum: f( ) = = (tussen de nulpunten) (, ) 0 x f. f(x) = x + 7x 0 De grafiek is een bergparabool. Uit (, ) x + 7x 0 = (x 7x + 0) = (x )(x ) volgt: f(x) = (x )(x ) 0 6 x nulpunten: x = en x = smmetrieas: x = (tussen de nulpunten) = x + 7x 0 maximum: f( ) = ( )( ) = = 9 =

8 8 Uitwerkingen 9.. a. f(x) = x x 6 x x 6 = [x x ] {kwadraatafsplitsen} = [(x ) ] = [(x ) ] = (x ) 8 Dus f(x) = (x ) 8 (dalparabool). smmetrieas: x = minimum: = 8 (voor x = ) nulpunten: (x ) = 8 x = ± x = x = x 6 = x x (, 8) 9 b. f(x) = x x + 6 x x + 6 = [x + x ] {kwadraatafsplitsen} = [(x + ) ] = [(x + ) ] = (x + ) + 8 Dus f(x) = (x + ) + 8 (bergparabool). smmetrieas: x = minimum: = 8 (voor x = ) nulpunten: (x + ) = 8 x + = ± x = x = 9 (,8) 8 7 = x x x Merk op dat de grafiek van opgave b ontstaat uit die van opgave a door puntspiegelen in de oorsprong: punt (x, ) ligt op de bovenste grafiek als punt ( x, ) op de onderste grafiek ligt. Als je in = x x 6 de x door x en de door vervangt, dan krijg je: = ( x) x 6, dus inderdaad = x x + 6.

9 Uitwerkingen c. f(x) = x + De grafiek wordt verkregen uit die van = x door over afstand naar boven te verschuiven. smmetrieas: x = 0 minimum: Er zijn geen nulpunten. = x + d. f(x) = x + De grafiek wordt verkregen uit die van = x door over afstand naar boven te verschuiven. smmetrieas: x = 0 maximum: nulpunten: x = en x =. = x + e. f(x) = x(x + ) De nulpunten zijn x = 0 en x =. De smmetrieas ligt daartussen: x = = x(x + ) minimum: f( ) = = (, ) f. f(x) = x Herschrijf als f(x) = x = ( + x)( x) De nulpunten zijn x = en x =. De smmetrieas ligt daartussen: x = 0 maximum: f(0) = = x Merk op dat deze grafiek hetzelfde is als die in opgave d, afgezien van een verschuiving over naar beneden.

10 0 Uitwerkingen 9.. a. f(x) = x + heeft als grafiek een rechte lijn met helling. Uit f( ) = + = en f() = + = volgt dat de grafiek door de punten (, ) en (,) gaat. De grafiek van g(x) = x x + heeft als grafiek een dalparabool. Kwadraatafsplitsen levert: x x + = [x x + ] = [(x ) + ] = (x ) + De smmetrieas is x =, de top is (, ) en er zijn geen nulpunten.. g(x) = x x + 0 f(x) = x + b. Voor snijpunten moet gelden g(x) = f(x): x x + = x + x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 x = Omdat f(0) = en f() =, zijn de snijpunten (0,) en (,). c. De ongelijkheid is g(x) f(x). Uit de grafiek blijkt dat de grafiek van g onder de grafiek van f ligt op het interval [0,]. Dus geldt: x x + x + 0 x

11 Uitwerkingen a. f(x) = x x + op [0, ] Door kwadraatafsplitsen vind je: f(x) = x x + = (x ) + = (x ) = x x + De grafiek van f is dus een dalparabool met minimum voor x =. Op het interval [0,] wordt het minimum aangenomen in. Verder is f(0) =, dus het bereik is [, ], zie ook de grafiek hiernaast. 0 x b. f(x) = 0,x op 0, ] Schrijf het domein 0 < x als volgt om: 0 < x {maal 0,} 0 < 0,x, {min } < 0,x 0, {deel door, lees 0, als } < 0,x Blijkbaar is het bereik, ]. Je kunt dit ook vinden door te gebruiken dat de grafiek van f een rechte lijn is. Uit f(0) = en f() = volgt dan hetzelfde resultaat. c. f(x) = x + op [0, 7 De grafiek van f is een stijgende rechte lijn (de helling is ). Uit f(0) = en f(7) = volgt dat het bereik [, is.

12 Uitwerkingen 9.. d. f(x) = x + op [, De grafiek van f is een dalparabool met minimum. Op [0, is de functie stijgend (zie de grafiek). Samen met f() = volgt hieruit dat het bereik [, is. 6 = x + 0 e. f(x) = x op, 0] De grafiek van f is een dalende rechte lijn (helling ). Uit f(0) = volgt dat het bereik [, is. Zie ook de grafiek = x x f. f(x) = x + 0 op R De grafiek van f is een bergparabool met top (0,0). Het maximum is dus 0 en dat levert als bereik, 0]. Of met deze afleiding: x 0 {maal, teken klapt om} x 0 {plus 0} x {definitie interval} x + 0, 0] {f(x) = x + 0} Het domein van f is, 0].

13 Uitwerkingen a. = x De noemer is 0 voor x = 0 en x 0 x Dus x = 0 (de -as) is verticale asmptoot. = en x 0 x = = x x x = x x = 0 Dus = 0 (de x-as) is horizontale asmptoot. In feite is de grafiek dezelfde als die van = x, maar dan een factor in de -richting groter. 0 = x b. = x De grafiek hiervan is die van = x Vervang je in = x = x = x in de x-as gespiegeld. de x door x, dan krijg je inderdaad: 0 c. = x x De noemer is 0 voor x = en er geldt: x x = en x x x x = Dus de lijn x = is verticale asmptoot. x Evenzo: x x x = x x x x x = x = 0 0 = x x Dus = is horizontale asmptoot. Snijpunt x-as: (,0) en snijpunt -as: (0, ). = 0 0 = = x x

14 Uitwerkingen 9.. d. = x + x De noemer is 0 voor x = en er geldt: x x + x = en x x + x = Dus lijn x = is verticale asmptoot. x Evenzo: x + x = x x + x + 0 = x 0 = x + x = x + x = x Dus = is horizontale asmptoot = = x + x Snijpunt x-as: (,0) en snijpunt -as: (0,). e. = x De noemer is 0 voor x = x x x = x = Dus de lijn x = en er geldt: is verticale asmptoot. 7 6 = x x x = en x x = Dus de lijn = is horizontale asmptoot. 6 Snijpunt -as: (0,) en snijpunt x-as: (,0).

15 Uitwerkingen 9.. f. = + x De noemer is 0 voor x = en er geldt: + x x = en x + x = Dus de lijn x = is verticale asmptoot. + x x = en x + x = Dus de lijn = is horizontale asmptoot. Snijpunt -as: (0,) en snijpunt x-as: (,0) = + x. a. = d. x x x 0 b. = e. x x x c. = f. x x x x = 0 = x x = x x x + = x x 0 = x 0 = x + x = = a. De grafiek van = x + is een dalparabool met minimum voor x = 0. b. De grafiek van f(x) = x + volgt uit die van de parabool. c. Het maximum van f is gelijk is aan het omgekeerde van het minimum van de parabool, dus (zie ook de grafiek). = x + f(x) = x +

16 6 Uitwerkingen 9... De grafiek van V = t t We bekijken als hulpfunctie h(t) = t t, dan is V =. De grafiek van h is gestippeld getekend. h(t) De nulpunten van h volgen uit t t = t(t ) = 0, dus t = 0 en t =. Dit zijn de verticale asmptoten van V. De snijpunten van de grafieken van h en V vind je uit de vergelijking h(t) = h(t). Deze is equivalent met h(t) =, dus h(t) = h(t) =. Uitwerking geeft: t t = t t = {kwadraatafsplitsen} (t ) = (t ) = 0 t = ± t = De snijpunten zijn dus (,), (+,) en (, ). De x-as is horizontale asmptoot en op interval 0, heeft V als maximum. V h(t) = t t V = t t 0 6 t