Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011)
|
|
- Bernard Jacobs
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 11 Minimum-Maimumproblemen (versie 22 augustus 2011)
2
3 Inhoudsopgave 1 Theoretische achtergrond 1 2 Oefeningen Basis (A- en B-programma) Uitbreiding (B-programma) Oplossingen 11
4
5 11-1 Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid. Deze grootheid kan van wiskundige, fysische, economische of andere aard zijn. Bijvoorbeeld een maimale of minimale inhoud, oppervlakte of afstand, minimale kosten of maimale winst. Deze module is bedoeld om te oefenen in het oplossen van dit soort minimum-maimumproblemen, ook wel optimalisatieproblemen genoemd. Maar eerst herhalen we de theoretische achtergrond. 1 Theoretische achtergrond We definiëren de begrippen absoluut en relatief maimum, absoluut en relatief minimum voor een functie f gedefinieerd op een interval A R. Definitie 1.1 f bereikt een absoluut maimum in een punt c van A indien voor elke in A geldt dat f(c) f(). Definitie 1.2 f bereikt een absoluut minimum in een punt c van A indien voor elke in A geldt dat f(c) f(). Definitie 1.3 f bereikt een relatief of lokaal maimum in een punt c van A indien er een open interval I rond c bestaat zodat voor elke in I A geldt dat f(c) f(). Definitie 1.4 f bereikt een relatief of lokaal minimum in een punt c van A indien er een open interval I rond c bestaat zodat voor elke in I A geldt dat f(c) f(). Volgens deze definities is een absoluut maimum dus ook een relatief maimum en een absoluut minimum is ook een relatief mimimum. f a b c
6 11-2 In bovenstaande figuur zien we de grafiek van een functie f gedefinieerd op het interval [a,c]. f bereikt een absoluut maimum in a, een absoluut minimum in b en een relatief maimum in c. Een maimum of een minimum noemen we ook een etremum. In oefeningen en toepassingen zijn we meestal niet op zoek naar de relatieve etrema, maar naar de absolute. Om de absolute etrema te vinden bereken je de functiewaarden in de relatieve etrema, zodat je deze kan vergelijken. Bij het zoeken naar de etrema van een functie f speelt de afgeleide f een belangrijke rol. Eigenschap 1.5 Stel f is continu op [a,b] en afleidbaar op ]a,b[. Dan geldt: Als f () > 0 voor elke ]a,b[, dan is f strikt stijgend in [a,b], d.w.z. als,y [a,b] en < y, dan is f() < f(y). Als f () < 0 voor elke ]a,b[, dan is f strikt dalend in [a,b], d.w.z. als,y [a,b] en < y, dan is f() > f(y). Als in een punt c geldt dat f (c) = 0 dan is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (c,f(c)) horizontaal. Het punt c wordt dan een kritiek punt van f genoemd. De eerste afgeleide f geeft ons dus heel wat informatie over het verloop van f. Voorbeeld 1.6 Gegeven f() = Welke informatie halen we uit f? f () = 2 5 f () = 0 = 5 2 We maken een tabel met op de eerste lijn de -waarden met aanduiding van de kritieke punten. Op de tweede lijn komt het tekenverloop van f en op de derde lijn hetgeen we hieruit kunnen besluiten over het verloop van f. 5 2 f () f() ց min ր
7 11-3 Eigenschap 1.7 Zij f gedefinieerd op [a,b], c ]a,b[ en f afleidbaar in c, dan geldt: Als f een relatief etremum bereikt in c dan is f (c) = 0 Wat kunnen we besluiten uit deze eigenschap? De uitspraak is van de vorm Als A dan B, en dit betekent niet hetzelfde als Als B dan A. Nochtans gaan we om de relatieve etrema van f op te sporen eerst de kritieke punten van f zoeken. Als A dan B betekent wel hetzelfde als Als niet(b) dan niet(a). We kunnen de eigenschap als volgt herformuleren: Zij f gedefinieerd op [a,b], c ]a,b[ en f afleidbaar in c, dan geldt: Als f (c) 0 dan bereikt f geen relatief etremum in c. Onder de punten van het interval ]a,b[ waar de functie f een afgeleide heeft zijn de kritieke punten de enige kandidaat-etrema. Maar niet alle kritieke punten zijn relatieve minima of maima, het kunnen ook buigpunten zijn. f (c) = 0 f (c) = 0 f (c) = 0 maimum minimum We moeten dus meer informatie hebben over deze kritieke punten. buigpunt Deze informatie kunnen we halen uit het tekenverloop van f. Er zijn een aantal mogelijkheden: c c f () f() ր rel ma ց f () f() ց rel min ր c c f () f() ր geen etremum ր f () f() ց geen etremum ց
8 11-4 Een andere methode is met behulp van het teken van de tweede afgeleide van f. In deze module gaan we hier niet op in. Etrema kunnen ook voorkomen in punten die geen kritieke punten zijn. Volgens de eigenschap zou dit namelijk kunnen in randpunten van het interval of in punten waar de functie niet afleidbaar is. Op de figuur zien we dat de functie f, gedefinieerd op het interval [a, d], een absoluut minimum bereikt in a, een relatief minimum in c, een relatief maimum in 0 en b, en een absoluut maimum in d. f 0 a b c d De etrema in 0, a en d zullen we niet vinden door enkel te kijken naar de kritieke punten. Immers, a is geen kritiek punt want de functie is niet afleidbaar in a. Dit soort etrema laten we verder buiten beschouwing in deze module. De etrema in de randpunten van het interval waarop de functie f gedefinieerd is zijn ook geen kritieke punten. In oefeningen waar je het absolute minimum of maimum zoekt van een functie gedefinieerd op een gesloten interval moeten deze randpunten zeker bekeken worden. We illustreren de werkwijze voor het vinden van etrema aan de hand van twee voorbeelden: Voorbeeld 1.8 Toon aan dat onder alle rechthoeken met oppervlakte S 0 het vierkant de kleinste omtrek heeft. Oplossing Kies de verandelijken: we noteren de lengte van de zijden van een rechthoek met oppervlakte S met en y. Omdat en y lengtes voorstellen en S 0 weten we ook dat > 0 en y > 0. Zoek de functie die minimaal moet zijn: We zoeken het minimum van de omtrek = 2 + 2y.
9 11-5 Uit het gegeven halen we dat S =.y dus y = S. Dit geeft het verband tussen de 2 variabelen. We schrijven deze omtrek als een functie van 1 variabele O(), door het verband tussen beide variabelen te gebruiken: O() = S = 2( + S ) met > 0 Zoek het minimum van O: * O () = 2(1 S 2) * O () = 0 = ± S * Vermits > 0 onderzoeken we verder alleen S. Met behulp van het tekenverloop gaan we na welk soort kritiek punt dit is. S O () O() ց rel min ր Uit het tekenverloop kunnen we besluiten dat de omtrek O een relatief minimum bereikt in = S. Aangezien dit het enige minimum is voor > 0 is dit ook het gezochte absolute minimum. Besluit: Als = S dan is y = S en is de rechthoek een vierkant. Voorbeeld 1.9 Een draad van 4 meter wordt in 2 stukken geknipt die gebruikt worden om een vierkant en een cirkel te vormen. Hoeveel gebruik je best voor elke figuur als je de ingesloten oppervlakte maimaal wil maken? Oplossing Kies de veranderlijke: Stel = omtrek cirkel, dan is 4- = omtrek vierkant. Uit de opgave weten we ook dat [0, 4]. Zoek de functie die maimaal moet zijn: oppervlakte vierkant = zijde 2 en omtrek vierkant = 4.zijde, (4 )2 (4 )2 dus oppervlakte vierkant = = oppervlakte cirkel = π. straal 2 en omtrek cirkel = 2 π.straal, dus oppervlakte cirkel = 2 4π
10 11-6 We zoeken dus het maimum van f() = Zoek het maimum van f: (4 ) π met [0, 4] * f 2(4 ) () = π = ( π ) * f () = 0 = 4π π + 4 * Hieruit mogen we niet meteen besluiten dat = 4π het gezochte maimum is. Met behulp van het tekenverloop gaan we na welk soort kritiek π + 4 punt dit is. 4π π+4 f () f() ց rel min ր Dus bereikt f een relatief minimum in = het punt dat we zoeken. 4π, en dit is bijgevolg niet π + 4 * Volgens het tekenverloop hierboven zullen we de maima van f vinden in de randpunten van het domein [0, 4]. We berekenen de functiewaarden in deze randpunten om te weten waar het absolute maimum zich bevindt. 0 4π π+4 4 f () f() 1 ց rel min ր 4 π Antwoord: We vinden het maimum van f in 4. De omtrek van de cirkel moet dus 4 meter zijn, deze van het vierkant 0. De volledige draad moet voor de cirkel gebruikt worden om de ingesloten oppervlakte maimaal te maken.
11 Oefeningen 2.1 Basis (A- en B-programma) Oefening 1 Veronderstel dat je een touw hebt van lengte L > 0. Hoe moet je het touw leggen om er een rechthoek mee te vormen die een zo groot mogelijke oppervlakte heeft? Oefening 2 De som van twee positieve getallen is 100. Zoek deze getallen als (a) hun product maimaal moet zijn (b) de som van hun kwadraten minimaal moet zijn (c) de som van hun kwadraten maimaal moet zijn (d) het product van het kwadraat van een getal met de derde macht van het andere getal maimaal moet zijn Oefening 3 Op een kampeerterrein in de Ardennen krijgt elke vakantieganger bij aankomst 4 vlaggetjes en 30 m touw om zijn kampeerplaats af te bakenen in de vorm van een rechthoek. In het laagseizoen wordt toegestaan dat ook de omheining gebruikt wordt zodat je een groter gebied kan afbakenen. (a) Wat is de maimale oppervlakte die je kan afspannen in laagseizoen? omheining kampeerterrein (b) Als er langs de omheining geen plaats meer is, maar je spreekt met je buurman af om het stuk touw in het midden gemeenschappelijk te gebruiken, wat is dan de maimale oppervlakte voor jou en je buurman tesamen?
12 11-8 Oefening 4 Bakker Jansens heeft thuis een groot aantal kartonnen liggen van 44 cm op 80 cm en besluit hieruit zijn taartendozen zelf te maken. Door 6 vierkantjes met zijde weg te knippen komen de zijflappen vrij (a) Stel een formule op voor het volume van de taartendozen. (b) Bij welke waarde van is dit volume maimaal? (c) Wat is dan dat maimaal volume? Oefening 5 Een atletiekpiste heeft volgende vorm : 1m b l de omloop (stippellijn) die zich op 1 m. van het binnenplein bevindt, moet 400 m lang zijn. Wat zijn de afmetingen van het rechthoekig deel van het binnenplein, als de oppervlakte van de rechthoek maimaal moet zijn?
13 11-9 Oefening 6 Conservenblikken, verfblikken e.d. hebben gemeen dat ze allemaal dezelfde vorm hebben, maar de afmetingen kunnen behoorlijk variëren. We onderzoeken welke afmetingen economisch het meest verantwoord zijn. We doen dit voor blikken van 1 liter. We willen een minimum aan blik gebruiken voor de productie van blikken van 1 liter. (a) Noem de straal (in dm) van de bodem van zo n blik r en de hoogte (in dm) h. Welke betrekking bestaat er tussen r en h (schrijf h in functie van r)? (b) Stel dat deksel en bodem van zo n blik uit vierkanten worden geponst en beschouw het restant als afval. Bij welke afmetingen is de benodigde hoeveelheid blik minimaal? (Gebruik hierbij de betrekking die je in (a) hebt gevonden!) (c) Het zou beter zijn deksel en bodem uit zeshoeken te ponsen. Welke afmetingen geven nu een minimale hoeveelheid blik? (d) Tot nu toe is het blik enkel beschikbaar als vierkant en zeshoek. Stel nu dat het blik ook in cirkelvorm aanwezig is. Voor welke waarde van r is de benodigde hoeveelheid blik nu minimaal? (e) Stel verder in het ideale geval dat het blik dat gebruikt wordt om bodem en deksel te maken 0.75 euro per vierkante meter kost, en dat voor de zijwand 0.50 euro per vierkante meter. Voor welke waarde van r is de constructiekost minimaal? Oefening 7 Een poster moet een oppervlakte hebben van 0.18 m 2. Er wordt niet geprint op een afstand kleiner dan 3 cm van de boven- en onderzijde, en op 2 cm van de linker- en rechterzijde. Welke afmetingen moet de poster hebben opdat de printbare oppervlakte maimaal zou zijn. 2.2 Uitbreiding (B-programma) Oefening 8 Een man kan twee keer zo snel lopen als hij kan zwemmen. Hij staat op een punt A aan de rand van een cirkelvormig zwembad met diameter 40 m en hij wenst een punt B te bereiken dat zich recht aan de overkant bevindt. Hiervoor loopt hij langs de rand van het zwembad tot een punt C, om dan in rechte lijn van het punt C naar het punt B te zwemmen. Waar moet het punt C liggen om zo snel mogelijk het punt B te bereiken?
14 11-10 Oefening 9 Vind de vergelijking van de rechte door het punt (3,4) die in het eerste kwadrant een driehoek afsnijdt met minimale oppervlakte. Oefening 10 Wat is de minimale afstand van het punt (4,2) tot de parabool y 2 = 8? Oefening 11 In welk punt in het eerste kwadrant van de parabool y = 4 2 bepaalt de raaklijn samen met de coördinaatassen een driehoek met minimale oppervlakte. Oefening 12 Schip A bevindt zich 65 km ten weste van schip B. Om 9 uur s morgens begint schip A naar het zuiden te varen aan 15 km/u, en begint schip B naar het westen te varen aan 10 km/u. Op welk tijdstip zijn beide schepen het dichts bij elkaar, en welke afstand is er dan tussen hen? Oefening 13 Een basketbalspeler neemt een vrijworp. Wanneer we het assenstelsel gebruiken dat in de figuur is aangeduid, is de parametervergelijking van de baan gegeven door: { = v0 (cosα)t y = v 0 (sin α)t 5t 2, met v 0 de grootte van de snelheid waarmee de bal uit de hand vertrekt en α de hoek van de baan met de horizontale in het vertrekpunt. Volgende maten zijn gegeven : de diameter van de bal d = 240 mm de binnendiameter van de ring D = 435 mm de hoogte ten opzichte van de vloer waar de bal de werphand verlaat H 1 = 2.1 m de hoogte van de ring ten opzichte van de werphand H = 0.95 m de hoogte van het plafond ten opzichte van de vloer H 2 = 10 m de horizontale afstand tussen de werphand en het centrum van de ring L = 4.2m (a) De grootte van de beginsnelheid v 0 die de bal moet krijgen om door het centrum van de ring te gaan, hangt af van de hoek α met de horizontale. Bepaal v 0 (α).
15 11-11 (b) Men kan aantonen dat de bal de buitenkant van de ring niet zal raken bij een vertrekhoek α > α min = De bal mag ook het plafond niet raken, hieruit vinden we een maimale vertrekhoek van α ma = Bepaal binnen deze grenzen de hoek α waarbij de beginsnelheid v 0 een minimale, respectievelijk maimale waarde bereikt. 3 Oplossingen 1 als een vierkant 2 (a) 50 en 50 (b) 50 en 50 (c) 0 en 100 (d) 40 en 60 3 (a) m 2 (b) 150 m 2 4 (a) V () = (b) = 8 (c) 6272 cm 2 5 b = 200 π π en l = 200 π 2 6 (a) h(r) = 1 πr 2 (b) r = 0.5 dm en h = 1.27 dm (c) r = dm en h = 1.15 dm (d) r = 0.54 dm en h = 1.08 dm (e) r = 0.47 dm en h = 1.42 dm 7 boven- en onderzijde = 20 3, linker- en rechterzijde = B = C, de man loopt best het ganse parcour.
16 y 24 = ( 2 3, 8 3 ) 12 Om 11 uur zijn de schepen het dichts bij elkaar, op een afstand van 54 km. 13 (a) v 0 = L cos α 5 Ltan α H (b) minimale snelheid v 0 = 7.25 m/s hoort bij een vertrekhoek α = 51.4, maimale snelheid v 0 = 12.6 m/s hoort bij een vertrekhoek α = α ma = 82.1.
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.
Nadere informatieDan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben. Hier is ( ) ( ) = 8+ a. De rico van r is m x
Gegeven is de functie f a a) Voor welke a R heeft f geen etrema? + +, met parameter a R Dan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben Hier is Er zijn dus geen etrema als en slechts
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieEigenschappen van continue en afleidbare functies
Eigenshappen van ontinue en afleidbare funties Mihel Rolle april 65 - Ambert 8 november 79 - Parijs Augustin Louis Cauhy augustus 789 - Parijs mei 857 - Seau Joseph-Louis Lagrange 5 januari 76 Turijn 0
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II
Eindeamen wiskunde B- vwo 008-II Een zwaartepunt Van een cirkelschijf met middelpunt (0, 0) en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-II
Eindeamen wiskunde B- vwo 8-II Een zwaartepunt Van een cirkelschijf met middelpunt (, ) en straal is het kwart getekend dat in het eerste kwadrant ligt. De cirkelboog is de grafiek van de functie f die
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 00 Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur
Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 2 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 2015
IJkingstoets 4 september 05 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 05 Oefening De evolutie van een bepaalde radioactieve stof in de tijd volgt het wiskundig model N (t)
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatieVerloop van goniometrische en cyclometrische functies
Verloop van goniometrische en cyclometrische functies Meetkundige definitie Definities sin tan cos cos cot sin sec cos csc sin Hoofdformules sin + cos tan + sec cos cot + csc sin cot tan sin 0 cos tan
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Dinsdag 22 juni uur
Wiskunde rofi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag juni 13.30 16.30 uur 19 99 Dit eamen bestaat uit 15 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II
Een eponentiële functie De functie f is gegeven door f( ) = e. is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in met de -as. Zie figuur 1. figuur
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieIJkingstoets Industrieel Ingenieur. Wiskundevragen
IJkingstoets Industrieel Ingenieur Wiskundevragen juli 8 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen 7 4 6, en 4 is Vraag en g met voorschrift g() =. Waaraan is Beschouw de functie
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II
ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 2 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 009 tijdvak dinsdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B havo 2015-II
Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 2017: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 5 juli 2017 - reeks 1 - p. 1/9 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 2017: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal
Nadere informatie13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I
Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde
Nadere informatieDe Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)
De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur
Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieIJkingstoets Industrieel ingenieur
IJkingstoets Industrieel ingenieur juli 07 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Op tijdstip t is het punt P op de goniometrische cirkel het beeldpunt van een omwentelingshoek α(t) rad. Dit punt P doorloopt
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk
Nadere informatie13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde
3 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord bezorgt
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 9 juni 2011
EUROPEES BACCALAUREAAT 011 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 9 juni 011 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (40 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieExtra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud
Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieLuc Gheysens - Extremumvraagstukken p.1
EXTREMUMVRAAGSTUKKEN 1 Bepaal twee getallen x en y waarvan de som 144 is en waarvoor het product maximaal is. En voor welke waarden is het product x 3. y 2 maximaal? 2 Aan de vier hoeken van een vierkantig
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur
Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieOpdracht 1 bladzijde 8
Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I
Uit de kust Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken van 90 met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie figuur. In de figuur zijn twee stippellijnen
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur
Eamen HAV 019 tijdvak woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
Nadere informatieInstructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE
Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.
Nadere informatieBlok 6B - Vaardigheden
B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld
Nadere informatieOefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen
Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) + 1. (of r ) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1. x y 1 + = 1. b) 1. y = x + ) 1
De rechte van Euler maimumscore De straal r van c is ( 0 ) ( ) + 5 = + = 5 Hieruit volgt r = 5 ( r ) ( een gelijkwaardige uitdrukking) Een vergelijking van c is ( ) ( ) Een vergelijking van c is ( ) (
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Regels voor het differentieren
Hoofdstuk : Regels voor het differentieren Kern : Afgeleide en raaklijn a) stijgend op en dalend op en b) f f f f helling ++++ - ++++ - -waarde - f 8 De helling in het punt f ; is 8 In het punt ; heeft
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2005-I
Eindeamen wiskunde B vwo 5-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 1997-1998: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieBal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur
Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatieC. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.
G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica juli 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 8 studenten
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur
wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieDeel 2. Basiskennis wiskunde
Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot II
Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieOpgave 3 - Uitwerking
Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift zijn twee aanvullingen op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen VMBO-GL en TL 2018 tijdvak 1 dinsdag 15 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift zijn twee aanvullingen op het correctievoorschrift
Nadere informatieUitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3
Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten Per
Nadere informatieParagraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide
Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks 3 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatie