2. Transformaties en matrices

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2. Transformaties en matrices"

Transcriptie

1 Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type is: Ax,, x n = α x + + α n x n,, α m x + + α mn x n waarbij de coëfficiënten α ij reële getallen zijn Onder de matrix van A verstaan we het schema waarin deze coëfficiënten α ij op een overzichtelijke manier gerangschikt zijn: α α n Een paar voorbeelden: α m α mn De functie A : R R, gedefinieerd door Ax, x = x, x x, 8x + x De matrix van deze lineaire afbeelding A is 8 De functie A : R R, gedefinieerd door A x def = de projectie van x op,, is een lineaire afbeelding Je kunt dat inzien door A x uit te rekenen met de projectieformule: Ax, x, x = x, x, x,,,,,,,, = 4 x + x + 4 x, x + x + x, 4 x + x x Dit functievoorschrift is inderdaad van het juiste type, dus A is een lineaire afbeelding De matrix van A is De functie A : R R gedefinieerd door A x def = het spiegelbeeld van x ten opzichte van de lijn [, ] We zoeken even een functievoorschrift voor A: [, ] p A x p x Je vindt A x door x eerst te projecteren op,, vervolgens deze projectie te verdubbelen, en tenslotte hiervan nog x af te trekken De berekening: p = x,x,,,, = 9 8 x + 8 x, 8 x x Dus Ax, x = p x, x = 9 x + 9 x, 9 x + 9 x A is dus de lineaire afbeelding met matrix

2 Betekenis van de kolommen De kolommen van de matrix van A zijn precies de beelden van de natuurlijke basisvectoren e =,,,,, e n =,,, van R n We rekenen dat even na door deze basisvectoren in te vullen in Ax,, x n = α x + + α n x n,, α m x + + α mn x n : A e = A,,,, = α,, α m = eerste kolom van de matrix van A A e = A,,,, = α,, α m = tweede kolom van de matrix van A A e n = A,,,, = α n,, α mn = n-de kolom van de matrix van A Eigenschappen van lineaire afbeeldingen Een lineaire afbeelding A voldoet aan A O = O A x + y = A x + A y Aλ x = λ A x Je kunt deze eigenschappen eenvoudig uit onze definitie bewijzen Ook het omgekeerde is waar: een functie A die aan deze eigenschappen voldoet is een lineaire afbeelding Voorbeeld Zij A : R R de draaiing over een hoek ϕ Deze A is een lineaire afbeelding, want je kunt gemakkelijk nagaan dat hij aan de bovenstaande eigenschappen voldoet De matrix van A kun je als volgt vinden: de eerste kolom moet het A-beeld van, zijn, en dat is cos ϕ, sin ϕ De tweede kolom vind je via A, = sin ϕ, cos ϕ cos ϕ sin ϕ De matrix van A is dus sin ϕ cos ϕ A x x ϕ Bereik van een lineaire afbeelding Onder het bereik van een lineaire afbeelding A verstaan we de verzameling van alle A-beelden We noteren dit bereik als ImA Als je de matrix van A kent, kun je ImA op een eenvoudige manier bepalen: ImA is het opspansel van de kolommen van de matrix van A Je kunt dit als volgt inzien: een vector x is te schrijven als x e + + x n e n Uit het lijstje van eigenschappen volgt dan dat A x = Ax e + + x n e n = x A e + + x n A e n, en dit is een lineaire combinatie van de kolommen Voorbeeld We bepalen het bereik van A : R R met matrix 6 Dit bereik is het opspansel van de kolommen, en kan dus vereenvoudigd worden door met die kolommen te vegen: kolom kolom 6 Het bereik is dus het vlak [,,,,, ] 6

3 Afkortingen Een lineaire afbeelding van R n naar R n wordt ook wel kortweg een lineaire transformatie van R n genoemd De matrix van A wordt meestal zelf ook A genoemd In plaats van A x schrijven we soms A x Identieke transformatie De identieke transformatie I van R n is gedefinieerd door I x = x Zijn matrix heeft op de hoofddiagonaal van linksboven naar rechtsonder eentjes en daarbuiten allemaal nullen Bijvoorbeeld: de matrix van I : R R is I = Rekenen met matrices We definiëren de som van matrices van gelijke afmetingen plaatsgewijs : a a n b b n a + b a n + b n + def = a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn Ook vermenigvuldigen met een getal λ R gaat plaatsgewijs: a a n λa λa n λ def = a m a mn λa m λa mn Vermenigvuldiging van twee matrices met elkaar definiëren we alleen maar als het aantal kolommen van de eerste matrix even groot is als het aantal rijen van de tweede matrix: a a n b b k c c k def = met c ij = a i b j +a i b j + +a in b nj a m a mn b n b nk c m c mk voor de berekening van c ij moet je dus de getallen uit de i-de rij van de eerste matrix met die uit de j-de kolom van de tweede matrix vermenigvuldigen, en de uitkomsten optellen; anders geformuleerd: c ij is het inproduct van de i-de rij van de eerste matrix met de j-de kolom van de tweede matrix Voorbeelden A = en B = Dan is A B = en B A = maar A A bestaat niet 4 4 Als C = en D =, dan is C + D = en C = en CD = DC = C = 4

4 Opmerking AB en BA zijn meestal niet gelijk Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief Wél associatief: ABC is altijd gelijk aan ABC Stelling Zij A : R n R m een lineaire afbeelding Dan is het beeld A x gelijk aan het product A x, als je x als kolomvector schrijft: A x = α α n x α m α mn x n Het bewijs van deze stelling vind je in regel van dit hoofdstuk Erg simpel dus Je kunt de stelling gebruiken om handig allerlei beelden uit te rekenen Bijvoorbeeld: waar kom je uit als je de vector, om een hoek van tegen de wijzers van de klok in draait? Om deze vraag te beantwoorden hoef je je hersens niet te pijnigen met ingewikkelde meetkunde, het kan simpel als volgt: cos sin De matrix van de betreffende draaiing is A = = Nu even vermenigvuldigen: Conclusie: A, =, + sin cos = + Samenstelling Als A : R n R m en B : R m R k lineaire afbeeldingen zijn, dan definiëren we de samenstelling B A door B A x def = BA x Deze samenstelling is dan een lineaire afbeelding van R n naar R k, en zijn matrix is het product van de matrix van B met de matrix van A Opmerking De juistheid van deze bewering volgt uit de associativiteit van matrixvermenigvuldiging: BA x = BA x Samenstelling compositie van lineaire afbeeldingen komt dus neer op vermenigvuldiging van de bijbehorende matrices Voorbeeldjes in de R : A = spiegeling om de lijn met vergelijking x x = = B = uitrekking van de eerste coördinaat met een factor = Dan is B A = doe eerst A en daarna B = B A = en A B = doe eerst B en daarna A = A B = Ik wil de 9-ste macht uitrekenen van de matrix D = maar ben een beetje lui Is er nog hoop? Wie lui is moet slim zijn: In D herken ik de matrix van draaiing om een hoek van 6 tegen de wijzers van de klok in Dus is D 9 de matrix van de draaiing om 4 of, wat op hetzelfde neerkomt, draaiing om 8 Dus D 9 = 9 9 8

5 Rang van een matrix Onder de kolommenrang van een matrix verstaan we de dimensie van het opspansel van de kolommen Onder de rijenrang verstaan we de dimensie van het opspansel van de rijen Ik kan bewijzen dat de rijenrang altijd precies gelijk is aan de kolommenrang maar dat doe ik nu even niet, want ik ben er momenteel te lui voor We spreken daarom kortweg van rang Voorbeelden: 8 de kolommenrang van de matrix 4 is, want de twee kolommen zijn onafhankelijk en dus heeft hun opspansel dimensie de rijenrang van de matrix 6 is, want de tweede rij is een veelvoud van de eerste rij, dus het opspansel van de rijen is [,, 6, ] = [, ] en is dus -dimensionaal als je de rang van de matrix wilt berekenen, kan dat op twee manieren: 4 bereken de rijenrang door het opspansel van de rijen te vereenvoudigen zie vegen in hoofdstuk : 4 rij 4 8 rij 4 Het opspansel van de rijen blijkt [, 4,,,,,, ] te zijn, en de rang is dus bereken de kolommenrang door met de kolommen te vegen: 4 kolom Het opspansel van de kolommen is [,,,,, ] en dit ziet er -dimensionaal uit De rang is dus Onder de rang van een lineaire afbeelding A verstaan we de rang van de matrix van A Deze rang is gelijk aan de dimensie van ImA, want ImA is het opspansel van de kolommen Kern Onder de kern van een lineaire afbeelding A verstaan we de verzameling van alle vectoren die door A worden afgebeeld op de nulvector O We noteren deze verzameling als KerA Een paar eenvoudige voorbeelden: Zij A : R R de lineaire afbeelding projectie op het vlak x + x 8x = Dan is KerA = [,, 8] de lijn door O loodrecht op het vlak Zij A de lineaire transformatie spiegeling ten opzicht van het vlak x + x 8x = Dan is KerA = { O}, want alleen de nulvector zelf resulteert na spiegeling in de nulvector Zij A : R R de lineaire afbeelding met A x = x x + x Dan is KerA het vlak met vergelijking x x + x = 9

6 Berekening van de kern In deze eenvoudige voorbeelden zag je direct wat de kern van A was Helaas is het leven van een natuurwetenschapper niet altijd zo simpel, soms zul je heel wat rekenwerk moeten verrichten Als je bijvoorbeeld de kern moet bepalen van de lineaire transformatie met matrix A = zit er niks anders op dan dapper gaan rekenen aan de vergelijking A x = O, in de hoop te kunnen achterhalen welke vectoren x hieraan voldoen Je rekenwerk ziet er dan hopelijk ongeveer als volgt uit: x x + x x A x = O x = x + x x = Dus KerA = [,, 6] x x + x x = x + x x = x x = { x = x x = 6x x x x x x = λ 6 met x = λ x + x x = { x = x Opmerking De enige serieuze rekenstap was x + x x = x = 6x x x = We gebruikten daarbij de derde vergelijking x x = als een soort om x te elimineren uit de andere twee vergelijkingen: we vervingen dus de eerste vergelijking door eerste verg en de tweede vergelijking door tweede verg Je kunt deze werkwijze ook opvatten als veegproces in de matrix: blijkbaar verandert de kern niet als we de eerste rij vervangen door eerste rij derde rij, en de tweede rij door tweede rij derde rij Algemener geformuleerd: KerA verandert niet door vegen met rijen Preciezer gezegd: de kern van een matrix blijft ongewijzigd als je bij een rij een veelvoud van een andere rij optelt een rij vermenigvuldigt met een getal twee rijen verwisselt Eerder hebben we al gezien: ImA verandert niet door vegen met kolommen Anders gezegd: het bereik van een matrix blijft ongewijzigd als je bij een kolom een veelvoud van een andere kolom optelt een kolom vermenigvuldigt met een getal twee kolommen verwisselt Ter vergelijking: bij het berekenen van de rang zijn al deze acties toegestaan, omdat je het begrip rang naar keuze mag interpreteren als rijenrang of als kolommenrang Dus RangA verandert niet door vegen met rijen RangA verandert niet door vegen met kolommen

7 Deze trucs maken de berekening van kern, bereik en rang tot een voor elke chemicus toegankelijk karweitje Nog een ingewikkeld voorbeeldje: we berekenen de kern van A = We mogen nu onbekommerd met rijen vegen, in de veilige wetenschap dan zulke poespas de kern niet aantast: rij rij 9 8 KerA is dus gelijk aan de kern van deze laatste matrix, en de berekening hiervan is eenvoudig: x 9 { x 8 x = x 9x + x 4 = x + x 8x = x 4 Tenslotte moeten we nog even de oplossingsverzameling van dit duo vergelijkingen netjes presenteren Dan kan bijvoorbeeld door x en x mooie griekse namen te geven: x = λ en x = µ De vergelijkingen worden dan x 4 = λ+ 9 µ en x = λ+8µ, zodat een vector uit de oplossingsverzameling geschreven kan worden als x, x, x, x 4 = λ + 8µ, λ, µ, λ + 9 µ = λ,,, + µ8,,, 9 De oplossingsverzameling bestaat blijkbaar uit alle lineaire combinaties van de vectoren,,, en 8,,, 9 en is dus het opspansel van deze twee vectoren Breukhaters mogen dit resultaat desgewenst presenteren als KerA = [,,,, 6,,, 9] Dimensiestelling Voor een lineaire afbeelding A : R n R m geldt: KerA is een lineaire deelruimte van R n ImA is een lineaire deelruimte van R m dimker A + dimim A = n zonder bewijs

8 Opgaven hoofdstuk Opgave Is translatie over, een lineaire afbeelding van R naar R? Met deze translatie bedoel ik de functie A die gedefinieerd wordt door A x = x +, Opgave Zij A : R R de lineaire afbeelding met matrix Bereken A,, Opgave uit R Opgave 4 Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding die iedere vector uit R afbeeldt op de nulvector Bepaal de matrix van de lineaire transformatie A van R die voldoet aan { A, =, 4 A, 4 =, Opgave De onderstaande matrices horen bij draaiingen of spiegelingen Om welke hoek wordt er gedraaid, of om welke lijn wordt er gespiegeld? A = B = C = D = Opgave 6 Welke van de volgende functies A : R R zijn lineaire afbeeldingen? a Ax, x, x = x + x, x x + b Ax, x, x = x, Opgave Opgave 8 Geef een meetkundige interpretatie van de transformatie met matrix Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding A : R R, gedefinieerd door A x def = de projectie van x op het vlak door O,,, en,, Opgave 9 Van een lineaire afbeelding A : R R is gegeven: { A, =,, A, =,, a Bepaal de matrix van A b Bereken A, 4 Opgave A = en B = Ga na welke van de volgende matrixproducten mogelijk zijn en bereken ze: AB BA A A B

9 Opgave Zij A : R R de draaiing over een hoek π 4 met de wijzers van de klok mee a Bepaal de matrix van A b Bereken A 4 x A x 4 Opgave Bepaal de rang van de lineaire transformatie A van R die aan iedere vector zijn uitproduct met,, toevoegt: A x = x,, tja, en nu maar hopen dat je je nog vaag herinnert wat uitproduct betekent Opgave Bepaal de kern van de lineaire transformatie A van R die gedefinieerd wordt door Opgave 4 Bereken KerA A x def = de projectie van x op het vlak door O,,, en,, Zij A : R R 4 de lineaire afbeelding met matrix Opgave A : R R is de lineaire afbeelding die de vectoren,,,,, en,, overvoert in achtereenvolgens,,,,, en,, a Bepaal de matrix van A b Bepaal de kern van A Opgave 6 Bepaal ImA voor de transformatie A = 9 Opgave Volgens onze theorie verandert de kern niet door vegen met rijen Laat aan de hand van een voorbeeld zien dat de kern wél kan veranderen door vegen met kolommen Opgave 8 Gegeven is een matrix met rang, die uit vijf rijen en zeven kolommen bestaat Bepaal uit deze gegevens de dimensie van zijn kern aanwijzing: gebruik de dimensiestelling Opgave 9 Bepaal de kern en het bereik van de matrix

10 Zelfstudiepakketje bij hoofdstuk Opgave Zij A de lineaire transformatie van R die als volgt meetkundig beschreven wordt: A x x ontbind x in een horizontale component en een component in richting, verdubbel de component in richting,, en verzevenvoudig de horizontale component stel de resultaten weer samen, en zo vind je A x a Bepaal de matrix van A b Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding: doe A en doe daarna nog eens A Opgave Zij A de lineaire transformatie van R die gedefinieerd wordt door A x is de projectie van x op het vlak V met vergelijking x = x a Bepaal de matrix van A b Bepaal de rang van A c Bepaal de kern van A d Bereken A Opgave Bepaal de matrix en de kern van de lineaire afbeelding A die gedefinieerd wordt door A x = x,, Opgave 4 Volgens onze theorie verandert het bereik niet door vegen met kolommen Laat aan de hand van een voorbeeldje zien dat het bereik wél kan veranderen door vegen met rijen Opgave { KerA = [,, ] a Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,,,,, ] of bewijs dat je dit niet kunt { KerA = [,,,,, ] b Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,, ] of bewijs dat je dit niet kunt { KerA = [,, ] c Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,, ] of bewijs dat ik dit niet kan { KerA = [,,,,, ] d Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,,,,, ] of bewijs dat ik dit niet kan 4

11 Opgave 6 Zij A de lineaire transformatie van R met matrix a Bepaal het bereik van A b Bepaal de kern van A Opgave Zij A een matrix met rang a Wat is Im A? b Wat is Ker A? 4 c Bewijs dat A twee verschillende originelen altijd overvoert in twee verschillende beelden

12 Oplossingen Opgave a Deze transformatie voldoet aan A, =, en A, =, Je kunt nu de eigenschappen van een lineaire afbeelding gebruiken om A, uit te rekenen: A, = A,, = A, A, =,, =, De matrix van A heeft als kolommen de beelden van de basisvectoren, en,, dus deze matrix is A = b Compositie van lineaire afbeeldingen komt neer op vermenigvuldiging van hun matrices De matrix van A A is dus 49 4 A = = 4 Opgave a We kiezen eerst een orthogonale basis van V, bijvoorbeeld,,,,, De projectie van x, x, x op,, is, x, dat ziet zelfs een wiskundehater, en de projectie van x, x, x op,, is x + x,, x + x dat heb ik met de projectieformule gevonden Dus Ax, x, x = x + x, x, x + x, en de matrix van A is dus A = b De rang van A is de dimensie van de verzameling van de beelden Die beeldverzameling is het vlak V, dus de rang is c De kern van A bestaat uit alle vectoren waarvan de projectie de nulvector is Dat zijn vanzelfsprekend de vectoren die loodrecht op het vlak staan, dus alle veelvouden van de vector,, De kern is dus de lijn [,, ] d Alweer zo n flauw vraagje Vanzelfsprekend is A A = A, want als je projecteert en vervolgens het resultaat nogmaals projecteert, blijft dit resultaat verder ongewijzigd Evenzo is A = A A A A A A A = A Opgave Ax, x, x = x x, x + x, x x volgens een formule uit mijn stoffig diktaat Wiskunde De matrix van A is dus A = Het berekenen van de kern kan op twee manieren: Ik herinner me uit mijn jeugd dat de lengte van het uitproduct x,, gelijk is aan de oppervlakte van het door x en,, opgespannen parallellogram Die oppervlakte is dan en slechts dan als de vectoren x en,, in elkaars verlengde liggen Anders gezegd: KerA = [,, ] x x = { A x = O x x = x + x = x + x = x x = { x = λ We noemen nu x even λ De vergelijkingen zijn dan x = λ wat dus neerkomt op x, x, x = λ, λ, λ = λ,, De conclusie: KerA = [,, ] 6

13 Opgave 4 Als voorbeeldje neem ik de matrix A = Door vegen met rijen als neem ik rij onstaat hieruit de matrix B = Deze veegactie heeft het bereik inderdaad drastisch veranderd, want ImA is de lijn [, ] en ImB is de lijn [, ] Opgave a Je voldoet aan de gestelde eisen als je er bijvoorbeeld voor zorgt dat A,, =,, A,, =,, A,, =,, Door hierop de eigenschappen van een lineaire afbeelding los te laten kun je A,, uitrekenen Dat gaat als volgt: A,, = A,,,, +,, = A,, A,, + A,, =,,, 6, +,, =,, en dus A,, =,, Nu ken je de matrix van A: de eerste kolom is A,,, de tweede kolom is A,, en de derde kolom is A,, Dus A = b Hieraan kun je voldoen door er bijvoorbeeld voor te zorgen dat A,, =,, A,, =,, A,, =,, De eerste kolom van deze A is A,, =,,, de tweede kolom is A,, = A,, = A,,,, = A,, A,, =,, en de derde kolom is A,, = A,, A,, A,, =,, Dus A = c Dat kan ik niet, want volgens de dimensiestelling moet de som van de dimensies van KerA en ImA zijn d Ook deze opdracht is volgens de dimensiestelling gedoemd te mislukken

14 Opgave 6 a Het bereik van A is het opspansel van de kolommen, en dat verandert niet als we met die kolommen gaan vegen: 4 kolom kolom kolom verwissel k en k 4 kolom kolom kolom 9 Door vegen met kolommen is A veranderd in I, dus ImA = ImI = R b Dat kan handig met de dimensiestelling: dimker A +dimim A = Omdat Im A driedimensionaal is, moet Ker A dus nuldimensionaal zijn, en dus Ker A = { O} Opgave a De rang is de dimensie van Im A De enige -dimensionale lineaire deelruimte van R is R zelf, dus Im A = R b De dimensie van Ker A is volgens de dimensiestelling nul, dus Ker A = { O} c Neem eens aan dat er twee verschillende vectoren x en y zouden bestaan met hetzelfde A-beeld Uit A x = A y volgt dan dat A x y = O We hebben dan een niet-nul-vector namelijk x y gevonden die op O wordt afgebeeld, hetgeen strijdig is met Ker A = { O} Opmerking Een matrix met rang heet regulier Je kunt dit begrip regulier blijkbaar op verschillende manieren interpreteren: de rijen zijn onafhankelijk de kolommen zijn onafhankelijk de kern is { O} het bereik is de hele R verschillende originelen hebben altijd verschillende beelden de matrix is kolom-veegbaar tot I de matrix is rij-veegbaar tot I We komen hier in hoofdstuk 4 op terug 8

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (WB33B Bernd Souvignier voorjaar 24 Deel I Lineaire Algebra Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Bernd Souvignier voorjaar 2003 Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

Inleiding in de lineaire algebra

Inleiding in de lineaire algebra Inleiding in de lineaire algebra (SV.9) W.Oele P.J. den Brok 6 maart 4 Inleiding De cursus lineaire algebra bestaat uit een aantal colleges in de matrix- en de vectorrekening. De colleges over en de oefenopdrachten

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16 dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Inhoudsopgave Voorwoord 2 1 Vectoren en scalairen 3 1.1 Notatie.....................................

Nadere informatie

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Lineaire Algebra WISB121. F.Beukers 2013 Departement Wiskunde

Lineaire Algebra WISB121. F.Beukers 2013 Departement Wiskunde Lineaire Algebra WISB F.Beukers 3 Departement Wiskunde UU Inhoudsopgave Vectoren in de ruimte 7. Het intuïtieve vectorbegrip..................... 7. Vlakke en ruimtelijke meetkunde.................. 9.3

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2013

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2013 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 2013 VK : WISKUNE TUM : WOENSG 03 JULI 2013 TIJ : 09.45 11.25 UUR (MULO III kandidaten) 09.45

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie