Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts één punt in R n is, en dus ook geen grootte en richting heeft. Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is Vier manieren om een vergelijking op te schrijven: 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen 2. Vector-vergelijking 3. Matrix vergelijking 4. Aangevulde matrix (belangrijkste, zo los je hem uiteindelijk op) Aantal oplossingen: Oneindig veel (consistent) 1 (consistent) Geen (inconsistent) Oplossingsverzameling: Bestaat uit basisvariabelen en vrije variabelen

2 Variabelen: x 1, x 2,, x p Basisvariabelen: x 1 = 3 vrije variabelen: x 1 vrij te kiezen 3 elementaire rij-operaties bij een matrix Vervangen Vermenigvuldigen Verwisselen Standaard rijvorm Alle niet-nul rijen boven de nulrijen Elk hoofdelement ( = pivot, meest linkse niet nul element) zit in een kolom rechts van het hoofdelement in de rij er boven Alle elementen in een kolom onder het hoofdelement zijn nullen Kanonieke (= gereduceerde) rijvorm heeft nog 2 eisen: Het hoofdelement in elke niet-nul rij is gelijk aan 1 Elk hoofdelement is het enige niet-nul element in een kolom Nulrij/nulkolom: rij/kolom met alleen maar nullen Algemene oplossing: Beschrijft alle oplossingen Parametrische omschrijving: In de algemene oplossing worden vrije variabelen als parameter gebruikt Verzameling: {v 1, v 2, v 3 } Opspansel: span {v 1, v 2,..., v p },met v 1, v 2,..., v p vectoren uit R n, is een verzameling van alle vectoren uit R n die je kunt schrijven als c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p. Dus: span {v 1, v 2,..., v p } = c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p b zit in span {v 1, v 2,..., v p } als je b kunt schrijven als = c1 * v 1 + c 2 * v c p + v p. Dus om te kijken of b er in zit, moet c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p = b oplossingen hebben. Dit los je op door c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p = b te beschouwen als vectorvergelijking (en die is weer oplosbaar door hem als aangevulde matrix te schrijven). Logisch equivalente beweringen: (zie aantekening voor uitleg!) 1. Voor elke b in R m heeft de vergelijking Ax = b een oplossing 2. Elke b in R m is een lineaire combinatie van de kolommen van A 3. De kolommen van A spannen R m op 4. A heeft een pivot positie in elke rij Rekenregels: Als A een m x n matrix is, u en v vectoren in R n en c een scalair, dan A(u + v) = Au + Av A(cu) = cau Lineaire combinaties x 1 *a 1 Ax (= x 1 *a 1 + x 2 *a 2 + )

3 Homogeen systeem: Ax = 0 Altijd de triviale oplossing x = 0 Soms zijn er niet-triviale oplossingen voor x (dan is er een vrije variabele in de oplossingsverzameling van x aanwezig) o Als er niet-triviale oplossingen zijn, dan is het systeem lineair afhankelijk o Als er geen niet-triviale oplossingen zijn, dan is het lineair onafhankelijk Niet-homogeen systeem: Ax = b (DIT IS GEEN EERSTEGRAADS FUNCTIE!) Heeft de oplossing x = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] (de puntkomma tussen de x-en betekent dat de x- en eigenlijk onder elkaar moeten staan, maar dat is geen efficiënt papiergebruik). Door op de plaatsen van x1, x2, x3 enz. de gevonden waarden (na het herleiden van de aangevulde matrix) in te vullen, kun je x herschrijven tot x = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] = p + v h. Hierbij is v h de niet-triviale oplossing van het homogeen systeem. p is een vector die er voor zorgt dat de oplossing gaat gelden voor Ax = b. Geometrisch gezien zorgt p er voor dat de oplossingsverzameling verschoven wordt. v h wordt ook wel de homogene oplossing genoemd en p de particuliere oplossing. De volgende dingen kunnen lineair afhankelijk zijn (controleren m.b.v. aangevulde matrices): Matrix kolommen, als een kolom een veelvoud is van een andere kolom Homogene systemen: Ax = 0 Verzamelingen: { v 1, v 2,..., v p } = c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p = Ax = 0 o Verzameling S = { v 1, v 2,..., v p } is ook lineair afhankelijk als geldt: v 2 = c * v 1 Als één van de vectoren de nulvector is Als er meer vectoren zijn dan rijen in een vector (dus p>n) v p is een lineaire combinatie van andere vectoren (c1*v 1 + c 2 *v 2 = v p ) (lineaire combinatie, want bovenstaande is herschrijfbaar tot: Ax = b) Transformatie T T zet vector x om in vector b = T(x) Hierbij gaat x van R n naar R m R n is het domein van T R m is het codomein van T T(x) noemen we ook wel het beeld van x onder T,dus T(u) is het beeld van u onder T T(x) is het bereik van T, en dit is gelijk aan de verzameling van alle beelden onder T Injectief/surjectief: Een afbeelding T: R n -> R m heet surjectief (engels: onto ) als elke willekeurige vector b = T(x) in R m het beeld is van MINSTENS 1 vector x in R n. Een afbeelding T: R n -> R m heet injectief (engels: one-to-one ) als elke willekeurige vector b in R m het beeld is van HOOGUIT 1 vector x in R n.

4 Soorten transformaties: Lineaire transformaties: deze voldoen aan de volgende rekenregels: o T(u+v) = T(u) + T(v) voor alle u, v in het domein van T (in R n dus) o T(cu+dv) = c*t(u) + d*t(v) voor alle u, v in het domein van T (in R n dus) o T(c*u) = c*t(u) voor alle u alle c o T(0) = 0 Matrix transformaties (meest gebruikte). hiermee zet je met behulp van een matrix A de vector x om in b, T(x) = Ax = b. Matrix transformaties zijn lineaire transformaties. Soms heb je te maken met de transformatie T(x) = Ax en dan is A gevraagd, zodat je T(x) voor elke willekeurige x kunt berekenen. Dan is er in zo n vraag e 1, e 2 enz. gegeven met bijbehorende T(e 1 ), T(e 2 ) enz. Dan A= [ T(e 1) T(e 2) enz. ] A heet dan de standaard matrix voor de lineaire transformatie T. Uitgebreide uitleg en het bewijs van de stelling in de aantekening bij paragraaf 1.9 Geometrisch lineaire transformaties: dit zijn lineaire transformaties die beschreven worden in een assenstelsel. De volgende dingen kunnen gebeuren: o Een punt/vlak verschuiven (= schuiftransformatie). Dit kan met een willekeurige matrix A ( T(x) = Ax ), maar ook met een scalair r ( T(x) = r*x ). Als 0<r<1, dan wordt de afbeelding verkleind en dan spreek je van contractie. Als r>1, dan wordt de afbeelding vergroot en dan spreek je van dilatie. o Een punt verschuiven over een cirkel. Bijbehorende matrix op pagina 100. o Een punt spiegelen, bijvoorbeeld in de x-as, de y as, de lijn y=x, de lijn y=-x of de oorsprong. Bijbehorende standaardmatrices op pagina 101 van het boek. o Een vlak projecteren op de x-as of y-as. Bijbehorende standaardmatrices op pagina 103 van het boek.

5 Hoofdstuk 2: Matrix Algebra Rekenregels voor matrices: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = A r*(a + B) = r*a + r*b (r+s)*a = r*a + s*a r*(s*a) = (r*s)*a A*B B*A OPLETTEN DUS! A*B = [A*b 1 A*b 2 A*b 3 A*b n ] en B*A = [B*a 1 B*a 2 B*a 3 B*a n ] Alle kolommen A*b n van matrix A*B zijn dus lineaire combinaties (Ax = b = A*b n ) Als A is een m x n matrix en B een n x p matrix, dan is AB een m x p matrix A k = A*A*A* *A (bijv. A 3 = A*A*A) A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB + AC (B+C)A = BA + CA r(ab) = (ra)b = A(rB) I m *A = A = A*I n LET OP DE VOLGORDE VAN A EN I en I m EN I n Als AB = AC, dan geldt NIET automatisch B=C Als A*B = 0, dan geldt NIET automatisch A=0 of B=0 A T is de transpose van matrix A. We zeggen dan dat we matrix A transponeren. In matlab is dit A. Hiermee worden de rijen kolommen en de kolommen worden de rijen. Ook hiervoor gelden een aantal rekenregels: (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (ra) T = r*a T (ABC) T = C T B T A T LET WEER OP DE VOLGORDE VAN A EN B De inverse matrix van A is A -1. Dit is een unieke matrix. Matrices die geen iverse hebben heten singulier. Matrices die wel een inverse hebben noemen we niet-singulier. Alleen vierkante matrices kunnen geïnverteerd worden (A is dus een n x n matrix) en de inverse matrix bestaat alleen wanneer A*A -1 = A -1 *A = I n De inverse matrix van A vind je door de matrix [A I] te herleiden. Het resultaat wordt dan [I A -1 ]. Nu kun je de oplossing zo aflezen uit het achterste gedeelte A -1. Voor een 2x2 matrix is er nog een andere manier: Als A = [a b dan A -1 = 1/(ad bc) * [d b waarbij (ad bc) = det A c d] -c a] (determinant van A) De matrix I n noemen we een identiteitsmatrix. Dit is een vierkante matrix met n rijen en n kolommen.

6 Rekenregels m.b.t. inverse matrices: Als Ax = b, dan x = A -1 b (alleen als A -1 bestaat) Als A inverteerbaar is, dan is A -1 ook inveerteerbaar (AB) -1 = B -1 A -1 (A T ) -1 = (A -1 ) T (Als A inverteerbaar is, dan is A T ook inverteerbaar) De volgende stellingen zijn logisch equivalent voor een n x n matrix A: A is een inverteerbare matrix A is rij-equivalent (~) aan I n (dus A is te herleiden tot I n ) A heeft n pivot posities (dit is een mooie controle op inverteerbaarheid) Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing (geen vrije variabelen in A) De kolommen van A vormen een lineair onafhankelijke verzameling The lineaire transformatie T(x) = Ax is injectief (one-to-one) Ax = b heeft minstens 1 oplossing voor elke b in R n De kolommen van A omspannen R n De lineaire transformatie T(x) = Ax beeld R n af in R n Er is een matrix C zodat CA = I Er is een matrix D zodat AD = I A T is een inverteerbare matrix Ook lineaire transformaties kunnen inverteerbaar zijn. Stel je transformeert x naar T(x) door A*x, dan kun je T(x) terug transformeren naar x door T(x)*A -1 (A*x*A -1 = x) Een elementaire matrix E is een matrix die ontstaat door één enkele elementaire rij-operatie uit te voeren op een eenheidsmatrix. Omdat rij-operaties omkeerbaar zijn (en E dus weer terug te schrijven is tot I) zijn alle elementaire matrices inverteerbaar. De inverse matrix E -1 is de elementaire matrix die E terug transformeert naar I. Het Leontief input-output model is een rekenmethode die in de economie wordt gebruikt om de verdeling te bepalen van geproduceerde goederen: Totale productie = Onderlinge vraag tussen bedrijven + vraag consument x = Cx + d Waarbij x de totale productie is, C de matrixvorm van de input-output tabel, en d de vraag van de consument. Vaak wordt deze formule herschreven tot de vorm: (I-C)x = d, waardoor x oplosbaar wordt. Hier staat namelijk gewoon Ax = b. Bij benadering geldt: (I-C) -1 I + C + C 2 + C C m als de waarden in de kolommen van C kleiner zijn dan 1. Wanneer dan m naar oneindig gaat, nadert C m de nul-matrix. Voorbeeld Col A (Zie volgende bladzijde) en Rij A

7 Een apart type opspansel is de deelruimte. Een deelruimte H voldoet aan de volgende eisen: H bevat de nulvector Voor elke willekeurige u en v, de som u + v ligt in deelruitme H Voor elke willekeurige u en elke willekeurige scalair c, het product c*u ligt in H Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling in H die H opspant. Dus je moet kijken of de gegeven kolommen lineair onafhankelijk zijn. Logisch equivalente beweringen voor vierkante (n x n) matrices: 1. Voor elke b in R m heeft de vergelijking Ax = b een oplossing 2. Elke b in R m is een lineaire combinatie van de kolommen van A 3. De kolommen van A spannen R m op (dus de kolommen zijn een basis voor R m ) 4. A heeft een pivot positie in elke rij 5. De kolommen van A zijn lineair onafhankelijk 6. A is een inverteerbare matrix 7. A is herleidbaar tot de identiteitsmatrix I m Col A ( Kol A in het Nederlands) is de kolomruimte (of de afbeelding / image) van matrix A. Dit is de verzameling van alle lineaire combinaties van de kolommen van A. Om te kijken of een bepaalde vector v in Col A voorkomt, los je op: Ax = v. Is dit systeem consistent, dan zit v in Col A. Col A: Als A = [a 1 a 2 ], dan Col A = Ax = Span{ a 1, a 2, } = x 1 *a 1 + x 2 *a 2 + De basis voor Col A bestaat uit de pivot kolommen van de originele matrix A, en dus niet van de gereduceerde vorm van A Nul A is de nulruimte (of kernel) van matrix A. dit is hetzelfde als de oplossingsverzameling van Ax = 0. Om te kijken of een bepaalde vector v in Nul A voorkomt, moet je A*v uitrekenen en kijken of dit de nulvector oplevert. Zo ja, dan zit v in Nul A, en anders niet. Nul A = de oplossingsverzameling van Ax = 0 De basis voor Nul A bestaat uit de vectoren in de oplossingsverzameling van Ax = 0, dus als Nul A = x 3 *u + x 4 *v, dan de basis voor Nul A = {u,v} Met de dimensie van een deelruimte H bedoelen we het aantal vectoren in de basis van H. De rang van matrix A is de dimensie van Col A (dus het aantal vectorkolommen in de basis van Col A). Dus: Rang A = dim Col A. Ook geldt voor m x n matrix A: dim Col A + dim Nul A = n

8 Hoofdstuk 3: De determinant De determinant van een matrix is een getal dat vertelt of een matrix inverteerbaar is of niet. Als det A (de determinant van A) gelijk is aan nul, dan is de matrix niet inverteerbaar. A heet dan singulier. Is de determinant ongelijk aan nul, dan is de matrix wel inverteerbaar, en is A niet-singulier. Omdat alleen vierkante matrices inverteerbaar kunnen zijn, hebben ook alleen vierkante matrices een determinant. Van een 1x1 en een 2x2 matrix kunnen we de determinant direct berekenen (Zie vorige bladzijde). Voor het berekenen van de determinant van grotere matrices bestaan 2 technieken: cofactor ontwikkeling naar een bepaalde rij of kolom. De matrix omschrijven tot de driehoeksmatrix. De determinant is vervolgens gelijk aan het product van de getallen in de hoofddiagonaal. Denk met omschrijven aan de rekenregels voor elementaire rij-operaties. Tekenafspraak: Driehoeksmatrices: Andere notatie: Enkele standaard determinanten: 1x1 matrix: det A = a (met A = [a]) 2x2 matrix: det A = ad bc Driehoeksmatrix: det A = Het product van de getallen op de hoofddiagonaal Identiteitsmatrix: det I n = 1 Matrix met twee dezelfde rijen: det A = 0 Matrix met nulrij: det A = 0 Matrix met nulkolom: det A = 0 det A T = det A det A -1 = 1/(det A) det (A*B) = (det A)*(det B) det (A 4 ) = (det A) * (det A) * (det A) * (det A) LET OP: det (A+B) (det A) + (det B) De determinant na elementaire rij-operaties: Als de matrix B ontstaat door een veelvoud van een rij van A op te tellen bij een andere rij, dan: det B = det A Als B ontstaat door twee rijen van A te verwisselen, dan: det B = det A Als B ontstaat door een rij van A met k te vermenigvuldigen, dan: det B = k * det A De determinant na kolom-operaties: Als de matrix B ontstaat door een veelvoud van een kolom van A op te tellen bij een andere kolom, dan: det B = det A. Als B ontstaat door twee kolommen van A te verwisselen, dan: det B = det A. Als B ontstaat door een kolom van A met k te vermenigvuldigen, dan: det B= k*det A.

9 De lineariteit eigenschap van een determinant houdt in dat je de determinant kunt zien als een lineaire functie van de kolom variabele. Verder geen idee wat je er mee kunt! Regel van Cramer: x i = det A i (b) / det A met A i (b) Matrix A waarbij de i-de kolom vervangen is door b. De geadjungeerde van Matrix A, genoteerd als adj A, is de matrix die uit cofactoren bestaat: (Vraag 11 van paragraaf 3.3 bestuderen!) In dit voorbeeld zijn de cofactoren voor linksboven en linksonder aangegeven. Let ook hier weer op de tekenafspraak! Enkele toepassingen van de determinant: De oppervlakte van een parallellogram is de absolute waarde van de uitkomst van de determinant van de vectoren van de 2 belangrijkste hoekpunten, dus: oppervlakte = det A Hierbij is A dus een 2 x 2 matrix. Voorwaarde is wel dat 1 van de 2 onbelangrijke hoekpunten de oorsprong is. Is dit niet zo, dan moet je het parallellogram verschuiven zodat hij in de oorsprong komt. Het volume van een blok wordt bepaald door de absolute waarde van de uitkomst van de determinant van de vectoren van de 3 belangrijkste hoekpunten, dus: volume = det A Hierbij is A dus een 3 x 3 matrix. Ook hier weer de voorwaarde dat 1 van de hoekpunten de oorsprong is.

10 Hoofdstuk 4: Vectorruimtes Een vectorruimte is een meer gangbare naam voor een deelruimte. Zodra je echter met 2 vectorruimten te maken hebt, waarvan de ene vectorruimte (bijv. H) binnen de tweede vectorruimte (bijv. V) valt, dan noemen we H een deelruimte van de vectorruimte V. Hierbij moet wel opgemerkt worden dat H alleen een deelruimte van een vectorruimte genoemd mag worden als geldt dat: De nulvector zit in H u + v zit in H cu zit in H Normaal gesproken ben je gewend om de coördinaten van een assenstelsel uit te drukken in (x,y). Dan werk je in vectorruimte R, met als basis { (1 0), (0,1) } voor R 2. Maar je kunt ook met vectoren werken, bijv. b 1 en b 2, die een opspansel of deelruimte vormen. Een punt binnen deze deelruimte druk je dan uit in bijv. 3b 1 en 2b 2. Als je het punt x uit wil drukken in vectoren, doe je dat met [x] B. Hierin is B de verzameling vectoren die de basis van de desbetreffende deelruimte vormen. Hieronder een voorbeeld: Dit kun je ook zien als een vector [x] B die uitgedrukt staat in coördinaten van de basis van deelruimte V. Wil je deze vector nu in omschrijven naar de vector x (in de gewone xycoördinaten), dan vermenigvuldig je [x] B met de change-of-coordinates matrix P B = [b 1 b 2 ]. In formule-vorm geldt: P B [x] B = x. Ook geldt: P B -1 x = [x] B Met deze injectieve lineaire transformatie kun je deelruimte V dus op R n projecteren. Een deelruimte H kan beschreven worden in één grote vector met een aantal variabelen, bijv. Als je een basis wilt weten voor deze deelruimte, moet je deze vector ontleden in losse vectoren per variabele. De basis voor de deelruimte is dan de verzameling lineair onafhankelijke vectoren die hier uitkomt. De basis voor H is [b 1 b 2 ]. Een tweede type deelruimte is P.. Hierdoor los je de constanten op die bij polynome functies horen ( 4.4 opg. 13). Een polynoom beschrijf je als volgt: De graad van polynomen geven we aan met P n, net zoals je de dimensie van een

11 vector aangeeft met R n. P geeft dus ook een vectorruimte weer, net zoals R. De basis voor P n is [1 t t 2 t n ]. Een derde type vectorruimte is S. Dit zijn alle getallen afkomstig uit alle oneindige rijen. Een oneindige rij wordt ook wel een signaal gemoend. In de vectorruimte S komen dus meerdere oneindige rijen (signalen) voor. Een basis voor S met één signaal is {y k }. Een basis voor S met 3 lineair onafhankelijke signalen is {u k v k w k }. Om te testen of deze 3 signalen ook echt lineair onafhankelijk zijn, moet gelden dat c 1 u k + c 2 v k + c 3 w k = 0 voor álle k. Hierdoor kun je gewoon een matrix maken, de zogenaamde Casorati matrix, waarbij je net zo vaak k invult als dat je signalen hebt, bijv. Als deze matrix in elke rij een pivot positie heeft, weet je dat de signalen lineair onafhankelijk zijn. Een vierde type vectorruimte is de complexe ruimte C n. Deze bevat alle reële en complexe vectoren. In hoofdstuk 5 komt deze vectorruimte aan bod. Een vijfde type is de functieruimte F(R,R). Deze ruimte bevat alle functies f(x), waarbij f en x elementen zijn van R. In F(R,R) zitten bijvoorbeeld f(x) = x, f(x) = x 2, f(x) = e x enz. Naast F(R,R) zijn hier ook andere varianten van, zoals F(R,C), die een reëel getal x afbeeld op een complexe f(x). Een zesde type ruimte is de ruimte M k,n (C). Dit is de verzameling van alle complexe k x n matrices. Voor het analyseren van discrete data kun je gebruik maken van differentievergelijkingen. Een voorbeeld van een differentievergelijking is: 3y k+2 + 4y k+1 + 5y k = 3. Om dit op te lossen moet je onderscheid maken tussen de homogene en de particuliere oplossing. Voor de homogene oplossing vervang je het rechterlid door nul, en probeer je y k = r k. Dit geeft als resultaat: y k = c 1 *r 1 k + c 2 *r 2 k. Dit kun je ook zien als { r 1 k, r 2 k }, dus een basis voor S. Vervolgens moet je een particuliere oplossing zoeken. Hier is geen systematische aanpak voor, maar normaal gesproken staat er in het rechterlid een constante, en dan kies je als particuliere oplossing y p = K, en los je K op door invullen. (3K + 4K + 5K = 3 => K = 0,25)

12 Hoofdstuk 5: Eigenvectoren en eigenwaarden In hoofdstuk 1 heb je geleerd dat je een vector x met behulp van een lineaire transformatie een andere waarde kunt geven, namelijk Ax. Soms komt deze nieuwe waarde Ax neer op een veelvoud van de oorspronkelijke vector x, dus Ax = λx. Als dit zo is, dan is λ een eigenwaarde van matrix A, en de bijbehorende vector x is een eigenvector van A. Om te controleren of een willekeurige λ een eigenwaarde is van een matrix A, moet je de niettriviale oplossingen van de vergelijking (A-Iλ)x = 0 oplossen. Niet-triviale oplossingen bestaan als de matrix (A-Iλ) niet-inverteerbaar is, dus om de eigenwaarden van een matrix A op te sporen, moet je de karakteristieke vergelijking det(a Iλ) = 0 oplossen. Een matrix met determinant nul is namelijk niet inverteerbaar, waardoor Ax niet-triviale oplossingen krijgt (en dan bestaan er ook eigenvectoren). Het eerste gedeelte van de karakteristieke vergelijking, namelijk det(a Iλ), wordt het karakteristieke polynoom genoemd. Als de eigenwaarden eenmaal gevonden zijn, kunnen deze waarden voor λ weer ingevuld worden in de vergelijking (A-Iλ)x = 0. Hier komen nu altijd niet-triviale oplossingen uit. Deze niet-triviale oplossing bestaat uit een lineaire combinatie van scalairen en vectoren, die eigenvectoren worden genoemd. Deze lineaire combinatie is tevens een basis voor de eigenruimte, die we noteren met E λ (R), waarbij je voor λ de eigenwaarde invult en R staat voor de verzameling reële getallen. Eén matrix kan dus meerdere eigenruimten hebben, want voor elke eigenwaarde is er een eigenruimte. Bij één eigenwaarde kunnen dus meerdere eigenvectoren horen (als er 2 of meer vrije variabelen in de oplossingsverzameling zitten). BELANGRIJK: De nulvector telt niet mee als eigenvector, maar de eigenwaarde λ = 0 telt wel mee! De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de getallen op de hoofddiagonaal. Als matrix A lineair afhankelijke kolommen heeft, is λ = 0 een eigenwaarde. Een verzameling vectoren {v 1 v 2 v r } is lineair onafhankelijk als ze allemaal een unieke eigenwaarde hebben. Om te controleren of een bepaalde vector een eigenvector van matrix A is, dan moet je de matrix en de vector met elkaar vermenigvuldigen, en als het resultaat een veelvoud is van de vorige vector, dan weet je dat het om een eigenvector gaat. Naast de reële ruimte R n bestaat er ook een complexe ruimte C n. Sommige matrices die uit reële getallen bestaan hebben complexe eigenwaarden met bijbehorende complexe eigenvectoren in een complexe eigenruimte. Deze complexe eigenschappen kunnen worden gebruikt om bepaalde eigenschappen van geliniariseerde systemen te achterhalen, zoals periodieke beweging (bijv. de differentiaalvergelijking van de slinger bij dynamica I). TRUCJE ( 5.5 opgave 1): Vaak heb je te maken met simpele 2x2 matrices. Dit is een voordeel omdat je dan niet hoeft schoon te vegen met complexe getallen in de aangevulde matrix. De bovenste en onderste vergelijking zullen namelijk toch hetzelfde opleveren als er een in de 2x2 matrix een eigenwaarde bij wordt gezet. Hierdoor kun je de simpelste van de 2 vergelijkingen eruit pikken, en aan de hand daarvan de vector x bepalen. Als je van een matrix A een veelvoud A k moet berekenen is het handig om te kijken of je A kunt diagonaliseren. Dit houdt in dat je stelt dat A = PDP -1. Hierin is D de diagonale matrix

13 met alleen op de hoofddiagonaal getallen, en voor de rest allemaal nullen. P en P -1 zijn de matrices die ervoor zorgen dat D omgezet kan worden in A. Het voordeel van deze notatie is dat nu geldt dat A k = PD k P -1. Je hoeft dus alleen maar de getallen in D tot de macht k te doen. Een niet-diagonaliseerbare matrix noemen we defect. Een n x n matrix A is namelijk alleen diagonaliseerbaar als deze n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. De bijbehorende eigenwaarden van deze eigenvectoren staan op de hoofddiagonaal van de matrix D. Op hun beurt staan de eigenruimten van deze eigenvectoren in de matrix P. Tenslotte wordt P -1 berekend door de inverse matrix van P te berekenen. Bij het analyseren van discrete dynamische systemen gebruik je een toestandsvector x k. In deze vector staan alle waarden van de te analyseren toestanden. In x k staan bijvoorbeeld het aantal uilen op tijdstip k (x 1 ) en het aantal ratten op tijdstip k (x 2 ), waarbij k het aantal maanden aangeeft. Met behulp van een formule voor x k kun je nu op elk tijdstip het aantal uilen en ratten berekenen. algemene formule: x k = c 1 (λ 1 ) k v 1 + c 2 (λ 2 ) k v c n (λ n ) k v n. Hierin is c een constante die je kunt bepalen als x 0 gegeven is. Alle λ s zijn eigenvectoren van een matrix A, en de v s zijn de eigenvectoren die bij de eigenwaarden horen. De matrix A is zo opgesteld zodat geldt dat x k+1 = Ax k. Vaak wordt om het lange-termijn gedrag van zo n discreet systeem gevraagd. Dit betekent dat je moet bepalen wat er gebeurt als k naar oneindig gaat. Als dit gebeurt, dan zullen alle eigenwaarden die kleiner zijn dan 1 geen invloed meer hebben, want (0, ) k gaat dan naar nul. Hierdoor hou je meestal nog maar één term over, zodat je een simpele uitdrukking krijgt, zoals x k+1 = 3x k. Ten slotte moet hier opgemerkt worden dat dit een vorm van differentievergelijkingen zijn, bijvoorbeeld als x k = c 1 (λ 1 ) k v 1, dan geldt dat x k+1 = c 1 (λ 1 ) k+1 v 1 = λ 1 *c 1 (λ 1 ) k v 1 = λ 1 * x k. Dus y k = λ k is ook hier een oplossing, want y k+1 = λ k+1 = λ*λ k = λ*y k Bij het analyseren van continue data kun je gebruik maken van differentiaalvergelijkingen. De algemene oplossing hiervoor is t c c e c e e Hierbij noemen we e e e de eigenfuncties van A. Hierin is c een constante die je kunt bepalen als x 0 gegeven is. Alle λ s zijn eigenwaarden van een matrix A, en de v s zijn de eigenvectoren die bij de eigenwaarden horen. De matrix A is zo opgesteld zodat geldt dat x = Ax. Indien er complexe eigenwaarden ontstaan, krijg je ook een complexe e-macht in de oplossing. Deze kun je splitsen in een reëel deel en een complex deel, waarbij je het complexe deel vervangt: LET OP: als je te maken hebt met complexe oplossingen, hoef je bij 2x2 matrices alleen maar de eigenfunctie x 1 (t) op te lossen, want deze geeft als resultaat al een antwoord met 2 lineair onafhankelijke vectoren er in (namelijk een reëel en complex deel). Het oplossen van x 2 (t) heeft in dit geval geen nut. Dit komt omdat x 2 (t) de complex geconjugeerde is, en het oplossen van dit gedeelte levert geen nieuwe lineair onafhankelijke vectoren op. Het spoor (trace) van een vierkante n x n matrix A is de som van de getallen op de hoofddiagonaal, dus tr(a) = a 11 + a a nn.

14 Hoofdstuk 6 ( 6.1 t/m 6.4): Orthogonaliteit Inproduct: Lengte van een vector: Een vector met lengte 1 heet een eenheidsvector (let op: e i heet óók een eenheidsvector) De afstand tussen twee vectoren is u-v : Uitproduct (= kruisproduct): Grafische voorstelling van het uitproduct: Hieruit volgt: De vector u x v is orthogonaal tot zowel u als v. Het uitproduct bestaat alleen voor vectoren in R 3. Als hoek θ nu 90 is, en u en v dus orthogonaal zijn, dan: u v = u v cos( ½π) = 0 Als hoek θ nu 0 is, en u en v dus parallel lopen, dan: u v = u v cos (0) = u v

15 Rekenregels voor in- en uitproduct: u v = v u (u + v) w = u w + v w (cu) v = u (cv) u u 0 (behalve als u = 0 natuurlijk) (c 1 *u c p u p ) w = c 1 (u 1 w) + + c p (u p w) cu = c u u x v = -v x u (cu) x v = c(u x v) = u x (cv) u x (v + w) = u x v + u x w (u + v) x w = u x w + v x w u (v x w) = (u x v) w u x (v x w) = (u w)v (u v)w Enkele toepassingen van in- en uitproduct: De oppervlakte van een parallellogram dat wordt bepaald door u en v is gelijk aan de lengte van het uitproduct van u en v, dus opp. = u x v Het volume van een blok dat wordt bepaald door u, v en w is gelijk aan u (v x w) (De verticale strepen zijn absoluutstrepen) Een verzameling vectoren S = {u 1 u 2 u 3 u p } heet orthogonaal als het inproduct van 2 willekeurige vectoren uit deze verzameling altijd nul oplevert. Deze vectoren zijn dan lineair onafhankelijk en vormen een basis voor deelruimte S. Een verzameling vectoren heet orthonormaal als de verzameling orthogonaal is en als alle vectoren eenheidsvectoren zijn (dus met lengte 1). Een orthogonale verzameling kun je omzetten in een orthonormale verzameling door alle vectoren te delen door hun eigen lengte. De verzameling van vectoren z die orthogonaal zijn tot vlak W, waarbij W omspannen wordt door u en v, heet het orthogonaal complement van W en wordt genoteerd met W. Een vector x zit in W als x orthogonaal is ten opzichte van élke vector in de verzameling vectoren die W opspant. De ruimtes W en W zijn tevens deelruimten van R n. Als A een m x n matrix is, dan is het orthogonaal complement van de rijruimte van A de nulruimte van A, en het orthogonaal complement van de kolomruimte van A is de nulruimte van A T : (Rij A) = Nul A en (Kol A) = Nul A T Soms is het handig een vector te ontbinden in 2 orthogonale vectoren, bijv. een kracht F die je ontbindt in een Fx en een Fy, waarbij Fx en Fy orthogonale vectoren zijn. Vaak noemen we de oorspronkelijke vector y, de eerste vector u (de getallen in deze vector mag je vrij kiezen) en de tweede vector z (z staat dus orthogonaal op u). Nu is y dus te schrijven als lineaire combinatie van u en z, dus. De coëfficiënten c 1 en c 2 van deze (en elke andere) orthogonale basis vind je als volgt: en. Het eerste gedeelte van de formule van y noemen we de orthogonale projectie van y op u, symbool, dus. Het tweede gedeelte kun je nu ook gemakkelijk te vinden, want dit is gelijk aan, dus.

16 Als je te maken hebt met vectoren die maar 2 getallen bevatten, kun je de bijbehorende orthogonale vector nog sneller vinden. Je maakt dan namelijk de tweede vector door van de eerste vector het bovenste en onderste getal om te draaien, en vervolgens moet je één van die twee getallen met -1 vermenigvuldigen. Hierboven staat beschreven hoe je een vector y orthogonaal kunt projecteren op een vector u. Naast het projecteren op een vector, kun je ook op vlakken (of ruimtes met nog meer dan 2 diimensies) projecteren. Bijvoorbeeld het bovenaanzicht van een 3D pijl is een orthogonale projectie van een vector op een vlak. Hierbij beschrijf je het vlak als een opspansel van 2 orthogonale vectoren die de basis voor dit vlak vormen, dus Span{u 1 u 2 }. Stel dat je een vector y beschrijft als y = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3, dan ga je deze vector splitsen in y = z 1 + z 2, met z 1 = = c 1 u 1 + c 2 u 2 (elementen uit W) en z 2 = c 3 u 3 (elementen uit W ). De bijbehorende constanten kun je weer uitrekenen met de formule. De orthogonale projectie van y op W wordt ook wel de beste benadering van y in W genoemd. Met behulp van het Gram-Schmidt proces kun je orthogonale bases vinden voor deelruimten in R n. Dit doe je door een paar keer achter elkaar een vector orthogonaal te projecteren (hierboven beschreven). Je begint met vector v 1 die je gelijkstelt aan de eerste gegeven vector x 1. Vervolgens ga je vector x 2 orthogonaal projecteren op vector v 1, waardoor je krijgt. De afstand tussen x 2 en noem je vector v 2. Het mooie hiervan is dat v 2 orthogonaal staat op v 1. Nu vormen v 1 en v 2 een deelruimte in R 2 (een vlak dus). Vervolgens pak je vector x 3 die je orthogonaal projecteert op het vlak met orthogonale basis {v 1 v 2 }. Hierdoor ontstaat. De afstand tussen x 3 en noem je vector v 3. Nu vormen de vectoren v 1, v 2 en v 3 een deelruimte in R 3 met orthogonale basis {v 1 v 2 v 3 }. Op deze manier ga je net zolang door totdat je alle vectoren x 1 x n gebruikt hebt. Op deze manier kun je dus van de deelruimte die opgespannen wordt door de vectoren x 1 x n een orthogonale basis vinden die bestaat uit de orthogonale vectoren v 1 v n. Vervolgens kan de orthogonale basis {v 1 v n } nog worden omgezet in een orthonormale basis {u 1 u n } door alle vectoren te delen door hun eigen lengte, dus Het Gram-Schmidt proces in formulevorm:...

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( ) Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 2

Tentamen Lineaire Algebra 2 Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie