De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a."

Transcriptie

1 98 Algebra 3.3 Variabelen Inleiding F= = 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden Fahrenheit kan worden omgerekend: F= 9 5 C+32 Zo n afkorting wordt een formule genoemd en is handig omdat op de plaats waar C staat iedere temperatuur in graden Celsius kan worden ingevuld die je maar wilt. Na berekening rolt de bijbehorende temperatuur in graden Fahrenheiteralshetwarevanzelfuit. Op die manier wordt vaak een letter gebruikt om een getal te vertegenwoordigen. Zo n letter is dan als het ware een lege plaats waar later een getal kan worden ingevuld. Zo n letter heet dan een variabele. Herleiden De optelling 2+3 kun je uitvoeren immers:2+3=5 De optelling a+b kan niet worden uitgevoerd. Herleiden betekent: anders schrijven, meestal: eenvoudiger schrijven. Alle symbolen, tekens, getallen, bewerkingen, afspraken en eigenschappen die hierboven zijn genoemd gelden in principe ook voor het rekenen met variabelen. Men moet er alleen rekening mee houden dat bij variabelen sommige bewerkingen niet verder kunnen worden uitgevoerd Vermenigvuldigen met variabelen De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. De volgorde-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in een willekeurige volgorde worden gedaan, want voor iedergetal a,bencgeldt:

2 Variabelen 99 (a b) c=a (b c). Inplaatsvanhet -tekengebruikenweindewiskundevaakeenpunt. Bijhet vermenigvuldigen van variabelen wordt zelfs de punt vaak weggelaten. a b=ab Vermenigvuldigen van losse variabelen Zet de variabelen achter elkaar, in alfabetische volgorde c a d=acd Vermenigvuldigen van producten van variabelen Zet de variabelen achter elkaar, in alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen van producten van variabelen en getallen Vermenigvuldig de getallen met elkaar en zet ze voorop. Zet daarna de variabelen er in alfabetische volgorde achter. ab f de= = abdef 3x 4yz= 12xyz Vermenigvuldigen van dezelfde variabelen Schrijf a a als a 2 enx x x alsx 3 enz. (zieookbij Machten ). Opgave 10 Herleid: 3ab 2ac= = 6a 2 bc a)2x 3y d)22x 12y 2a b) a 12b e)x y 2z c)18c 3b 21c f)2z 12 3x Optellen met variabelen De onderdelen van een optelling worden termen genoemd. Een term kan bestaan uit: een getal of een variabele of een product van variabelen In a+2zijn a en2determen. bijv. 3 bijv. a bijv. ab. bijv. 2abc.

3 100 Algebra of een product van een getal en één of meer variabelen, hierin kunnen ook breuken voorkomen. Er zijn gewoontes voor het opschrijven wat betreft de volgorde: bijv. 6xyz Weschrijven3a enniet a3,3heethierdecoëfficiëntvan a. We schrijven de variabelen in één term in alfabetische volgorde. In3+204=207 zijn3en204 gelijksoortig In4a+3a= 7a zijn4a en3a gelijksoortig Je kunt alleen gelijksoortige termen optellen. We noemen termen gelijksoortig als als ze precies dezelfde variabelen bevatten en ook precies evenveel van elke variabele. Termen zonder variabelen, dus met alleen getallen, kun je natuurlijk altijd bij elkaar optellen. Nog een gewoonte wat betreft de volgorde: 2ab+a+3 a+b+x+7 Weschrijvenmeestal a+3enniet3+a. We schrijven termen zoveel mogelijk in alfabetische volgorde. De eigenschappen die worden gebruikt zijn: De wissel-eigenschap voor optellen 22 2a+2b a 3b= 3a b+22 Optellen kan in omgekeerde volgorde gebeuren want a+b=b+a De volgorde-eigenschap voor optellen 12c+3a 2c 12a = 9a+10c Optellen kan in willekeurige volgorde worden gedaan want (a+b)+c=a+(b+c).

4 Variabelen 101 Opgave 11 Herleid: a)2x+3x d)3a 2b+3a b)13y+12y e)7t 3t+4t 7s Opgave 12 Herleid: c)2y 7y+5x a)3b 2a+2b 2a f)12k 3j 11k d)12 3t+2x 3 b)2k 3+12l 3k+1 e)2a 3b+4c+2b a+12 c)3x 3y x f)22x 33y+12 x y Opgave 13 Herleid: a)2a 3b+3 b+12 d)x+2y 17x+12 b)x y+2 3 2x e)87x+53y 98x+1 c)2i 3j+i+2j+1 f)78+17x x Optellen en vermenigvuldigen kunnen ook door elkaar voorkomen. Denk aan de volgorde-afspraak: vermenigvuldigen en delen komt vóór optellen en aftrekken. Opgave 14 Herleid: a)2a b 3b 2a d)2x 13y+2x 2xy+3y x= 2xy+3xy= 5xy De gelijksoortige termen2xy,3xy kun je optellen! b)xy 2x 78y e)7x 3xy 12z c)12+13x y 3y 17x f)2ab 3a+2b a

5 102 Algebra Opgave 15 Herleid: a)13a 12b+27 a 7b 17 d)2 3b 6ab b)118a 3b ac+12 ab e)12a 2b 3b 7a c)17xy 12z 3x 3y 14x f)x 13yz 12xz 2y Delen met variabelen In de wiskunde wordt een deling meestal met een breukstreep geschreven, zoals wedievanbreukenkennen. Dusniet(ax) (12b)maar ax 12b Ookbijzo ndelingsprekenwevandetellerendenoemer. Let op: Eigenlijk zouden we moeten zeggen dat de noemer 12b, en dus b niet0magzijn. Maaromdatdatzovanzelfsprekendis,wordtditnooitgedaan. Delingen met variabelen vermenigvuldigen x z 3ab = 3abx 2c 2cz 2 a 3= 6 a Breuken en delingen kunnen worden vermenigvuldigd door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en de noemers met elkaar te vermenigvuldigen.(bedenkhierbijdatbijvoorbeeld3kanwordengeschrevenals 3 ac 1 en ac als 1. ) Opgave 16 Herleid: a) a 9 7 b c) 8 x y 3 e) 2a b c 3d Opgave 17 Herleid: b) 5 x 3 d) 5p q a b f)4 a b a) 6a 11b 1 7 c)b a 7 e) x y 21 5 b) 3a b x y d) 3x y p 12q f) a 2b p 2q x 2y

6 Variabelen 103 Delingen met variabelen vereenvoudigen Breuken en delingen hebben de eigenschap dat ze op verschillende manieren geschreven kunnen worden, terwijl ze toch dezelfde waarde houden(dezelfde plaats op de getallenlijn): 1 2 = 2 4 = 3 6 Teller en noemer mogen met een zelfde getal of variabele worden vermenigvuldigd. Deze eigenschap heet de equivalentie-eigenschap. De eigenschap volgt uit de vermenigvuldigingsregel voor breuken, immers: a b = a b 1= a b c c = ac bc Natuurlijk kunnen teller en noemer ook door eenzelfde getal of variabele worden gedeeld. Deze eigenschap gebruiken we nu bij het vereenvoudigen van delingen. In plaats van het weggedeelde getal of de weggedeelde variabele zetten weeen1. Opgave 18 Herleid: a) 24a 6 c) p 7p e) 18abc 3a abc abd = /a/b c /a/b d = = 1c 1d = c d teller en noemer gedeeld door ab Opgave 19 Herleid: b) 16abc 6 d) 6a 12a a) 28xyz 14z c) 30pq 6q f) 24ab 12a e) 32a 8ab b) 12pq 3p Opgave 20 Herleid: d) 22ac 11c f) 12pq 6qr a) c) ab 2b e) Opgave 21 Herleid: a) 2x+y x+y b) d) a+b a c) axy byz f) a+b a+b e) y+x x+y b) 33ab 3b d) 5ap 10px f) 9abxy 3ayz

7 104 Algebra Wegdelen vóór het vermenigvuldigen Met de regels voor het vermenigvuldigen van breuken en de wissel-regel voor vermenigvuldigen: In de praktijk schrijven we dat korter: ac d d a = acd da = adc ad = ad ad c 1 =1 c=c of nog korter: ac d d a =/a c /d /d /a = 1c = c 1 = c, ac d d a =/a c /d /d /a = c. Opgave 22 Herleid: a) x y y z c) ab c d abd e) 2a b b 3a b) x 2y y 2x d) 3p q q f) 3a b 2b a Opgave 23 Herleid: a) ab c 2c 5a c) x 2y 1 x e) a bc 1 a b)6x 2y 3x Opgave 24 Herleid: a) 12pq b ab 3p d) pq p 4 2q c) 12 ac 3b b 4c f) p 2q 6q p e) 17xz 6 12a 34x b) ab ac d)21a 3bc 7abc f) ax 7y 14 Opgave 25 Herleid: a) x y y z z x c) 2 q b 6 12q b e)12ac bd bc b) a x y y a d) y 6b 2 y 3ab f) 5p 3q pq 7 p

8 Variabelen 105 Breuken/delingen met variabelen Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. Immers: 6 3 =2iswaar,want2 3=6. Op dezelfde manier geldt: want a b c d = a b d c = ad bc Opgave 26 Herleid: ad bc c d = a/d b/c /c /d = a b a) c) a c b d e) c d p 2 b) 2 a 3 a d) p q r q f) 2x 3y x 12 Opgave 27 Herleid: a) 2a b b 3a c)2pq 6p 3 e) 2xy z 7xy b) 3ab c 2a c Opgave 28 Herleid: a) 2x 3y x 12 d) ab ab c c) 3a 5b 2a 3b f)5 ab 5c e)7ab 14bx 3y b) 2 a 3 a d) a b 100 c f) xyz 1000 xz Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken/delingen met variabelen Breuken en delingen kunnen alleen worden opgeteld of afgetrokken als ze gelijknamig zijn, d.w.z. als ze dezelfde noemers hebben. De uitkomst heeft dezelfde noemer als de breuken die bij elkaar worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken. De teller is de som of het verschil van de twee tellers. Dit gaat dus precies zoals het optellen van breuken zonder variabelen. a b + 2c b = a+2c b

9 106 Algebra Opgave 29 Herleid: a) 2 3a + 3 3a c) x y + z y e) 12x z 12 z b) 2 3ab 3 3ab d) 2x z x z f) 12z xy 11z xy Opgave 30 Herleid: a) 3a c + 2a c c) x 2y + 3x 2y e) 2a 3b + 8a 3b b) 4y 3z 2y 3z d) q 4r q 4r f) b 2c b 2c a b + a c = ac bc + ab bc = ac+ab bc indeeerstebreuk zijn teller en noemermet c vermenigvuldigd detweedemet b. Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken/delingen Ongelijknamige breuken moeten eerst gelijknamig worden gemaakt, voor ze kunnen worden opgeteld of afgetrokken. Hiervoor maken we weer gebruik van de equivalentie-eigenschap: Teller en noemer mogen met eenzelfde getal of variabele worden vermenigvuldigd. Opgave 31 Herleid: a) 4 a + 5 2a c) 3 2a 4 a e) 7 2x 1 x Opgave 32 Herleid: b) 2 a 1 5a d) 1 3a + 2 a f) 3 2p 4 4p a) c) a bc + 1 b e) 5 a 2 ab Opgave 33 Herleid: b) 1 a + 1 b d) x y 3 z f) 2p x 3q y a)1+ 1 x c) a+ 1 3 e)x 2 y b)2 1 y d)b 2 5 f) a 1 2b

10 Variabelen 107 Opgave 34 Herleid: a) b x + c y c) 1 ab c a e) 17ab b) a x d) 12a b + 2 c f) 12x y 12a Gelijknamig maken door vereenvoudigen Soms kan gelijknamig maken door vereenvoudigen; ook hiervoor wordt weer gebruik gemaakt van de equivalentie-eigenschap. xy z xy z + ab bz = + a/b /bz = xy+a z Opgave 35 Herleid: a) 12x xy 11 y c)12 13a a e) 22ab b 21a b) 1 a + 3bc abc Opgave 36 Herleid: a) ab 2b + a 2ab c) d) 2a ab + 3c bc d bd q 2pq 4q 2q f) 21ac+ 22abc b e) x xy + z yz b) Machten a 2abc 2 6bc d) b bc + c ac f) 5c 3bc 3a ab Herhaald vermenigvuldigen van hetzelfde getal wordt geschreven als macht. Bijvoorbeeld: a 3 = a a a, a heethetgrondtalen 3 deexponent. Optellen en aftrekken van machten Machten kunnen alleen worden opgeteld of afgetrokken als ze gelijksoortige termen vormen: zowel de grondtallen als de exponenten moeten gelijk zijn, immers: a 3 = aaa. a 3 +a 3 = 2a 3 maar a 3 +a 2 = a 3 +a 2

11 108 Algebra Opgave 37 Herleid: a) a 3 +2a 3 d)x 3 y 2 22x 3 y 2 b)2x 2 3x 2 e)2x 3x+2x 2 3x 2 c)2xy 3 3xy 3 f)2x 3 2x 2 +3x 3 Opgave 38 Herleid: a)10a 2 b+3a 2 b d)3a 2 +3p 5a 2 +6p b)2d d2 e)4 1 3 y2 z y2 z 3 c)c 5 5c 5 f)3a 2 b+2ab 2 +7a 2 b+4ab 2 Vermenigvuldigen van machten Machten met hetzelfde grondtal kunnen worden vermenigvuldigd door de exponenten op te tellen. Immers: x 2 x 3 = x x x x x= x 2+3 = x 5. Maarletop: x 2 +x 3 kannietkorter. Determenzijnnietgelijksoortig,omdat de variabele in de eerste term twee keer voorkomt en in de tweede term drie keer! Opgave 39 Herleid: a) p 3 p 2 c) y 2 y 7 e) a 6 a 6 Opgave 40 Herleid: b)q 4 q 6 d) f)q 8 q a) a 4 a a 5 c)z z e)d d d 9 b)b 2 b 7 b 3 d) f)2 2 4

12 Variabelen 109 Opgave 41 Herleid: a)x 2 2x 5 c) 2a 7 7a 2 e)5y 3y 2 b)2x 2 3x d) 1 2 b 4b2 f) c 3 5 c3 Opgave 42 Herleid: a)xy y c)x 3 2x 2 y e)xyz 2 x 2 z b)xy x 3 y d)2ab 3 3a 2 b f)2xyz 3xy 4z 2 Delen van machten Machten met hetzelfde grondtal kunnen worden gedeeld door de exponenten af te trekken. Immers: a 5 a 3=aaaaa = aaa aa =1 a2 aaa 1 1 = a2 = a 5 3. Of door te vereenvoudigen. x 7 x 3 = x 4 a 3 a 5 = /a/3 1 a /52= 1 a 2 Opgave 43 Herleid: a) 26 2 c) a3 2 a e) x8 x 5 b) d) s3 s 2 f) x25 x 24 Opgave 44 Herleid: a) 8a5 4a 2 c) 12x5 6x 2 e) 18z6 9z 6 b) a15 a 15 Opgave 45 Herleid: d) 10y7 5y 3 f) 12p6 4p 5 a) p5 q 3 p 2 q 3 c) 16pq4 8pq 2 e) a4 b 7 a 4 b 4 b) a8 b 7 a 4 b d) 7x2 y 2 3 7xy f) 24a10 b 5 8a 3 b

13 110 Algebra ((z 2 ) 3 ) 2 = Machten van machten = z = z 12 Eenmachtkantoteenmachtwordenverhevendoordeexponententevermenigvuldigen.(x 3 ) 2 = x 6,immers: (x 3 ) 2 = x 3 x 3 = x x x x x x= x 6 = x 2 3. Opgave 46 Herleid: a)(2 4 ) 2 c)(x 4 ) 2 e)((b 2 ) 2 ) 3 b)(10 3 ) 5 d)(a 3 ) 8 f)((x 4 ) 2 ) 3 Machten van producten Demachtvaneenproductishetproductvandefactorentotdiemacht. (ab) 3 = a 3 b 3,immers: Nog een voorbeeld: (ab) 3 = ab ab ab=a a a b b b=a 3 b 3. (x 2 y 3 ) 4 =(x 2 ) 4 (y 3 ) 4 = x 8 y 12. Opgave 47 Herleid: a)(5 3) 2 c)(xy) 2 e)(p 2 q) 3 b)(2 3 5) 3 d)(ab 3 ) 2 f)(y 3 z 4 ) 6 Opgave 48 Herleid: a)(3a 2 b 2 ) 4 c)(2x 2 y 3 ) 2 e)(2x 2 y) 2 (xz 2 ) 3 b)(xyz) 13 d)(3x 3 y 2 ) 3 f)2(ab 2 ) 3 (ab) 2

14 Variabelen 111 Breuken en machten Demachtvaneenbreukisdiemachtvandetellergedeelddoordiemachtvan denoemer.( a b )3 = a3 b 3,immers: ( a b ) 3 = a b a b a b = a a a b b b = a3 b 3. ( x y 2 ) 2 = x 2 y 4 Opgave 49 Herleid: a)( 2 3 )2 c)( x2 y )4 e)( a7 b 3 ) 5 b)( a b )2 Opgave 50 Herleid: a)( a2 b c 3 ) 2 d)( a3 b )2 c)12( x2 y )3 f)( 2x3 y 6 ) 2 e)( x5 z 2 ) 2 ( 1 x )5 b)( 2xy2 4x 2 y )3 d) x2 y 3 y x 2 f)( 2x3 y )2 ( 1 x )5 y Alles door elkaar Opgave 51 Herleid: a) 3b 4b c) a b + 1 2b e) x ac + 2 ab b)3x 2 +x x 2 d) 30pr 12pqr f) 2 a ab c Opgave 52 Herleid: a) c)( 7pq) 2 e) a 1 b Opgave 53 Herleid: b) a bc 1 b d)(2z) 3 +z 3 f) a 1 b a) x y y z z x c)2ab 3 3a 2 b e) 8x5 +2x 5 5x 3 b) x 4 d) ( 5p6 q) 3 ( pq) 2 f)( a) 8 (a 2 ) 4

15 112 Algebra Opgave 54 Herleid: a)13x 2 y+7x 2 y c)(xy) 9 +xy 9 e) 15pqr 5p 6q 5r b) a 8 a 3 d) 2 y 3 xy f) 5p 3q 4x 5y Opgave 55 Herleid: a) 5a 2b 10x + 2x ab c) 5x 12y 2x 5 e)17m 2 8m 2 b) 20p5 q 4 5p 2 q 3 d) 35ab 60bc +x2 3yz 4cy f)(3x 3 ) 2 ( 2xy 2 ) 3 Opgave 56 Herleid: a) x 2y 2y x c)(p 3 ) 8 pq 2 e)(a 3 b) 2 b a b) x 2y 2y x d)( x y )3 ( 2 3z )2 f)( pq3 (pq) 3 ) 3

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen 1 Natuurlijke getallen, breuken 1.0 Inleiding Dit hoofdstuk begint in paragraaf 1.1 met het rekenen met de getallen 0, 1, 2,, enzovoort. Dat heb je op de lagere school ook geleerd, alleen wordt er nu wat

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT KLAS 4N VECTOREN . INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT. Boot vaart van Roe naar Tui via Rul. De koersgegevens zijn: van Roe naar Rul: 0, 5 km van Rul naar Tui: 40, 5 km a. Wat zijn de koersgegevens als de

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar 24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4 Decimaliseren Samenvatting Decimaliseren is nodig, omdat alle apparaten voor hun instelling een decimaal getal nodig hebben. Bijvoorbeeld: een infuuspomp kan wel op 0,8 ml/min ingesteld worden, maar niet

Nadere informatie

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen 1 Noteer met een breuk. a) Mijn stripverhaal is voor de helft uitgelezen. Een kamer is voor behangen. c) van de cirkel is gekleurd. 15 Gegeven : 18 teller

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Getallen en Variabelen (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x = 12

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn breuken

Reken zeker: leerlijn breuken Reken zeker: leerlijn breuken B = breuk H = hele HB = hele plus breuk (1 1/4) Blauwe tekst is theorie uit het leerlingenboek. De breuknotatie in Reken zeker is - anders dan in deze handout - met horizontale

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1 H9. Negatieve getallen Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 53 57) 9.1 Getallen onder 0 Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen. Weten dat we 0 zowel

Nadere informatie

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2 handleiding haakjes inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de opzet van haakjes 3 bespreking per paragraaf 5 rekenen trek-af-van tegengestelde tweetermen merkwaardige producten tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Het weetjesschrift. Weetjesschrift Galamaschool

Het weetjesschrift. Weetjesschrift Galamaschool Het weetjesschrift Dit is het weetjesschrift. In dit schrift vind je heel veel weetjes over taal, rekenen en andere onderwerpen. Sommige weetjes zal je misschien al wel kennen en anderen leer je nog! Uiteindelijk

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

2.2 Ongelijknamige breuken en vereenvoudigde breuken 22. 2.3.1 Gemengde getallen optellen en aftrekken 26. 2.5 Van breuken naar decimale getallen 28

2.2 Ongelijknamige breuken en vereenvoudigde breuken 22. 2.3.1 Gemengde getallen optellen en aftrekken 26. 2.5 Van breuken naar decimale getallen 28 Breuken Samenvatting Als je hele getallen deelt, kunnen er breuken ontstaan. Een breuk is een deel van iets. Je hebt iets in gelijke delen verdeeld. Wanneer je een kwart van een pizza hebt, dan heb je

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen 1.12 Kernbegrippen van de Kennisbasis Hele getallen, onderdeel Bewerkingen Aftrekker De aftrekker in een aftreksom is het getal dat aangeeft hoeveel

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

1. Rekenen met gehele getallen 3. 2. Rekenen met decimale getallen 7. 3. Rekenen met procenten 10. 4. Rekenen met breuken 15. 5.

1. Rekenen met gehele getallen 3. 2. Rekenen met decimale getallen 7. 3. Rekenen met procenten 10. 4. Rekenen met breuken 15. 5. Inhoudsopgave. Rekenen met gehele getallen. Rekenen met decimale getallen 7. Rekenen met procenten 0. Rekenen met breuken 5 5. Eenheden 6. Rekenen met machten 5 7. Rekenen met wortels 6 8. Redactiesommen

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke 191512600

Functies van één veranderlijke 191512600 Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Partieel Breuksplitsen a0 x m C a x m C C a m x C a m

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

glas tot aan vloer doorvalveilig (gelaagd) metselwerk: Tilburg (rood gemeleerd) metselwerk: Tilburg (rood) bk. nok 8.

glas tot aan vloer doorvalveilig (gelaagd) metselwerk: Tilburg (rood gemeleerd) metselwerk: Tilburg (rood) bk. nok 8. dakpannen rood, passend bij steen 9.657 glas tot aan vloer doorvalveilig (gelaagd) RAL 733 8.88 7.56 A-a8 A-a9 ventilatie dmv open stootvoegen A-c3 A-c4 segment hefdeur volkernpaneel A-a5 A-a6 A-a6 A-a7

Nadere informatie

6 Breuken VOORBEELDPAGINA S. Bestelnr Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken

6 Breuken VOORBEELDPAGINA S. Bestelnr Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken Bestelnr. Het grote rekenboek - overzicht - Hoofdstuk Breuken K-Publisher B.V. Prins Hendrikstraat NL- CS Bodegraven Telefoon +(0)- 0 Telefax +(0)- info@k-publisher.nl www.k-publisher.nl Breuken Breuk

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Het Breukenboekje. Alles over breuken

Het Breukenboekje. Alles over breuken Het Breukenboekje Alles over breuken breuken breukentaal tekening getal een hele 1 een halve een kwart een achtste ½ of ½ ¼ of ¼ ⅛ of ⅛ 3 breuken breukentaal tekening getal een vijfde ⅕ of ⅕ een tiende

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

5 5d o e l e n k a t e r n

5 5d o e l e n k a t e r n Blok Pagina Blok 1 2 tot 10 Blok 2 11 tot 21 Blok 3 22 tot 32 Blok 4 33 tot 40 Blok 5 41 tot 50 Blok 6 51 tot 60 Blok 7 61 tot 68 leerjaar 5 5d o e l e n k a t e r n Voorafgaande toelichting bij doelenkatern,

Nadere informatie

6.4 Toepassingen van de algebra

6.4 Toepassingen van de algebra Toepassingen van de algebra 175 6.4 Toepassingen van de algebra 6.4.1 Snelrekentrucs Even snel: hoeveel is 59 61? Als je dit niet snel uit je hoofd kunt, dan is het handig gebruik te maken van haakjes

Nadere informatie

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek

Nadere informatie

Eentermen en veeltermen

Eentermen en veeltermen I Eentermen en veeltermen. Vul de tabel aan. eenterm coëfficiënt lettergedeelte 4 abc 4 rq 4 0,r t -6 z -4 8 a b c. Noteer de volgende algebraïsche vormen als eentermen door gebruik te maken van coëfficiënten

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie