WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future

Transcriptie

1 WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari

2 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2

3 Functies van twee variabelen Definitie Een functie f van twee variabelen is een regel die aan elke geordend paar x, y in een verzameling D een uniek getal f(x, y) toewijst. 3

4 Partiële afgeleide Laat f(x, y) een functie zijn die afhangt van variabelen x en y. Als we y vastzetten, oftewel, y = b, dan hangt de functie alleen van x af, namelijk g x = f(x, b). Als g een afgeleide heeft in a, dan heet dit de partiële afgeleide van f naar x in het punt (a, b), oftewel f x a, b = g a met g x = f(x, b). 4

5 Partiële afgeleide f x x, y = lim h 0 f x + h, y f x, y h f y x, y = lim h 0 f x, y + h f x, y h 1. Om f x te vinden, beschouw y als een constante en differentieer f(x, y) naar x. 2. Om f y te vinden, beschouw x als een constante en differentieer f(x, y) naar y. 5

6 Partiële afgeleide Voorbeeld Bepaal f x en f y voor f x, y = x 4 y 3 + 8x 2 y. f x = 4x 3 y xy f y = 3x 4 y 2 + 8x 2 6

7 Partiële afgeleide Oefening Bepaal f x en f y voor f x, y = y 5 3xy. f x = 3y f y = 5y 4 3x 7

8 Partiële afgeleide Voorbeeld Vind f x 1,1 en f y (1,1) voor f x, y = 4 x 2 2y 2. f x = 2x, f x 1,1 = 2 f y = 4y, f y 1,1 = 4 8

9 Partiële afgeleide Voorbeeld Vind f x 1,1 en f y (1,1) voor f x, y = 4 x 2 2y 2. f x = 2x, f x 1,1 = 2 f y = 4y, f y 1,1 = 4 9

10 Partiële afgeleide Voorbeeld Vind f x en f y voor f x, y = sin x 1+y. f x = cos x 1 + y y f y = cos x 1 + y x 1 + y 2 10

11 Partiële afgeleide Voorbeeld Vind z x en z y als z impliciet is gegeven door x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1. 3x 2 + 3z 2 z x + 6yz + 6xy z x = 0 z x = 3x2 6yz 6xy + 3z 2 = x2 2yz 2xy + z 2 11

12 Partiële afgeleide Voorbeeld Vind z x en z y als z impliciet is gegeven door x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1. 3y 2 + 3z 2 z y + 6xz + 6xy z y = 0 z y = 3y2 6xz 6xy + 3z 2 = y2 2xz 2xy + z 2 12

13 Partiële afgeleide Voorbeeld Vind f x, f y en f z voor f(x, y, z) = x sin(y z). f x = sin (y z) f y = x cos(y z) f z = x cos y z 13

14 Hogere partiële afgeleide Definitie Als f een functie is van twee variabelen, dan zijn de partiële afgeleiden f x en f y ook functies van twee variabelen. Er bestaan dus ook 2 e orde partiële afgeleiden, namelijk f xx = x f x = 2 f x 2, f yy = 2 f y 2 f xy = y f x = 2 f y x, f yx = 2 f x y 14

15 Hogere partiële afgeleide Voorbeeld Bepaal de 2 e orde partiële afgeleiden voor f x, y = x 4 y 3 + 8x 2 y. f x = 4x 3 y xy, f y = 3x 4 y 2 + 8x 2 f xx = 12x 2 y y f xy = 12x 3 y x f yx = 12x 3 y x f yy = 6x 4 y 15

16 Hogere partiële afgeleide Stelling van Clairaut De partiële afgeleiden f xy en f yx zijn gelijk in een punt (a, b), oftewel f xy a, b = f yx a, b. als f xy en f yx continue zijn op een cirkelschijf rond punt a, b. 16

17 Hogere partiële afgeleide Oefening f x, y, z = xy 4 z 3 Verifieer dat f xyz = f xzy = f zyx. f x = y 4 z 3, f xy = 4y 3 z 3, f xyz = 12y 3 z 2 f xz = 3y 4 z 2, f xzy = 12y 3 z 2 f z = 3xy 4 z 2, f zy = 12xy 3 z 2, f zyx = 12y 3 z 2 17

18 Partiële differentiaal vergelijkingen Laplace vergelijking Partiële afgeleiden komen voor in partiële differentiaal vergelijkingen zoals de Laplace vergelijking 2 u x u y 2 = 0. 18

19 Partiële differentiaal vergelijkingen Laplace vergelijking Partiële afgeleiden komen voor in partiële differentiaal vergelijkingen zoals de Laplace vergelijking Voorbeeld 2 u x u y 2 = 0. Laat zien dat de functie u x, y = e x sin y een oplossing is voor de Laplace vergelijking. e x sin y e x sin y = 0 19

20 Partiële differentiaal vergelijkingen Laplace vergelijking Partiële afgeleiden komen voor in partiële differentiaal vergelijkingen zoals de Laplace vergelijking Oefening 2 u x u y 2 = 0. Laat zien dat de functie u x, y = 5xy ook een oplossing is voor de Laplace vergelijking. 20

21 Partiële differentiaal vergelijkingen Oefening Laat zien dat de functie u x, y = 5xy ook een oplossing is voor de Laplace vergelijking. u x = 5y, u xx = 0, u y = 5x, u yy = = 0 21

22 Partiële differentiaal vergelijkingen Voorbeeld Laat zien dat de functie u x, t = sin (x at) een oplossing is voor de golfvergelijking 2 u t 2 = a2 2 u x 2. u x = cos x at, u t = a cos x at, u xx = sin x at u tt = a 2 sin(x at) 22

23 Opgaven maken Hoofdstuk 14.3 Opgaven: 9, 13, 25 27, 37, 50 51, 63, 65, 69 70, 79 23