Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in tegstelling tot gewone differtiaalvergelijking die betrekking hebb op e functie van slechts één variabele z n gewone afgeleide(n). In het algeme zijn partiële differtiaalvergelijking (veel) moeilijker op te loss dan gewone differtiaalvergelijking. Veel voorkomde partiële differtiaalvergelijking zijn de warmtevergelijking of diffusievergelijking, de golfvergelijking de aplace vergelijking of pottiaalvergelijking. Deze drie typ partiële differtiaalvergelijking zijn allemaal op te loss met dezelfde methode: scheid van variabel. Bij de bestudering van partiële differtiaalvergelijking beperk we ons daarom tot de drie goemde typ de methode van scheiding (of separatie) van variabel. E belangrijk hulpmiddel bij het oploss van deze partiële differtiaalvergelijking is de theorie van Fourierreeks... Tweepunts randwaardeproblem. Tot nu toe hebb we veel gekek naar beginwaardeproblem bestaande uit e (lineaire) differtiaalvergelijking met één of meer beginvoorwaarde(n), zoals bijvoorbeeld y + p(t)y + q(t)y = g(t), t I () y(t ) = y, y (t ) = y met t I, waarbij I e op interval is. In plaats van beginvoorwaard kunn we ook kijk naar zogaamde randvoorwaard waarbij de gezochte functie in de randpunt van e interval wordt vastgelegd, zoals bijvoorbeeld y + p(x)y + q(x)y = g(x), α < x < β () y(α) = y, y(β) = y. Dit wordt e (tweepunts) randwaardeprobleem goemd. Deze bestaat dus uit e differtiaalvergelijking op e interval (α, β) met twee randvoorwaard waarbij de waard van de gezochte functie in de randpunt van het interval (α, β) word vastgelegd. We zull ons hierbij beperk tot lineaire differtiaalvergelijking. Zo n randwaardeprobleem wordt homoge goemd als zowel de differtiaalvergelijking homoge is (dat wil zegg: g(x) = voor alle x (α, β)) als de randvoorwaard homoge zijn (dat wil zegg: y = y = ). E homoge randwaardeprobleem is dus altijd oplosbaar, want de oplossing y(x) = voor alle x [α, β] voldoet. Dit noemt m de triviale oplossing. Er lijkt niet zoveel verschil te zitt tuss e beginwaardeprobleem van de vorm () e randwaardeprobleem van de vorm (). We zull zi dat het verschil juist erg groot is. We wet inmiddels dat e beginwaardeprobleem van de vorm () precies één oplossing heeft als p, q g continu zijn op het interval I. Zie de existtie- eduidigheidsstelling 3.. in 3. op pagina 46. E randwaardeprobleem van de vorm () kan ge, precies één of zelfs oneindig veel oplossing hebb zoals de volgde voorbeeld lat zi.

2 Voorbeeld. Beschouw het randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) =. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is y(x) = c cos x + c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y(π) = volgt dat c cos π + c sin π =. Dus: c = c = cos π sin. Er is dus precies één oplossing: π y(x) = cos x cos π sin π sin x. Voorbeeld. Beschouw het randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) = a voor zekere a R. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is nu y(x) = c cos x + c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y(π) = volgt dat c = a. Dit betekt dus dat er voor a helemaal ge oplossing bestaat. Voor a = vind we echter alle dat c =, terwijl c R willekeurig is. Voor a = zijn er dus oneindig veel oplossing: y(x) = cos x + c sin x met c R. De randwaardeproblem in bovstaande voorbeeld zijn niet homoge vanwege de randvoorwaarde y() =. Maar ook voor homoge randwaardeproblem tred dergelijke verschill op zoals blijkt uit de volgde voorbeeld. Voorbeeld 3. Beschouw het homoge randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) =. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is y(x) = c cos x + c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y(π) = volgt dan dat c sin π =. Omdat sin π volgt hieruit dat c =. Dus: c = c =. Dit homoge randwaardeprobleem heeft dus alle de triviale oplossing. Voorbeeld 4. Beschouw het homoge randwaardeprobleem y + y =, < x < π y() =, y(π) =. De algeme oplossing van de differtiaalvergelijking is y(x) = c cos x+c sin x. Uit y() = volgt dan dat c =. Dus y(x) = c sin x. Maar dan geldt y(π) = voor alle waard van c R. Dit homoge randwaardeprobleem heeft dus oneindig veel oplossing: y(x) = c sin x waarbij c R willekeurig is.

3 at we nu es kijk naar e homoge randwaardeprobleem van de vorm y + λy =, < x < π y() =, y(π) =. We gaan nu onderzoek voor welke waard van de parameter λ R dit homoge randwaardeprobleem niet-triviale oplossing heeft. We onderscheid daarbij drie mogelijkhed:. λ = : y = = y(x) = a x + a. Uit y() = y(π) = volgt dan dat a = a =. Voor λ = vind we dus alle de triviale oplossing.. λ = µ < : y µ y = = y(x) = b cosh µx + b sinh µx. Uit y() = volgt dan dat b =. Uit y(π) = volgt dan dat b sinh µπ =, maar omdat sinh µπ volgt hieruit dat ook b =. Dus ook voor λ < vind we alle de triviale oplossing. 3. λ = µ > : y + µ y = = y(x) = c cos µx + c sin µx. Uit y() = volgt dan dat c =. Uit y(π) = volgt dan dat c sin µπ =. Als c = dan vind we weer de triviale oplossing, maar als sin µπ = dan is c R willekeurig te kiez. Nu geldt: sin µπ = voor µπ = nπ met n =,, 3,.... Dus: µ = n met n =,, 3,... dus λ = µ = n met n =,, 3,.... Dit noemt m de eigwaard van het randwaardeprobleem. De bijbehorde oplossing y n (x) = sin nx met n =,, 3,... noemt m de eigfuncties. Nog iets algemer vindt m voor y + λy =, < x < de eigwaard λ n = n π y() =, y() = de eigfuncties y n (x) = sin ( nπx ) met n =,, 3,.... Bij de bestudering van partiële differtiaalvergelijking tred vaak dergelijke randwaardeproblem op... Fourierreeks. E reeks van de vorm a + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) heet e Fourierreeks. De verzameling van punt x waarvoor deze som convergeert definieert e functie f, waarvan de functiewaarde f(x) de som van de reeks is. We noem de reeks dan e Fourierreeks voor f. We zull onderzoek voor welke functies e dergelijke Fourierreeks bestaat. ater zull we zi dat dergelijke Fourierreeks nauw verbond zijn met de methode van scheid van variabel voor het oploss van partiële differtiaalvergelijking. Waarom de eerste term van de reeks als a / wordt geschrev zal duidelijk word als we formules voor de coëfficiënt gaan afleid. E functie f heet periodiek met periode T > als voor iedere x in het domein van f ook x + T tot dat domein behoort f(x + T ) = f(x) voor alle x in het domein van f. De (3) 3

4 kleinste waarde van T waarvoor dit geldt wordt wel de fundamtele periode goemd. De functies in de Fourierreeks (3) zijn elk periodiek met periode. Voor twee functies f g gedefinieerd op e interval (α, β) kunn we e inwdig product definiër van de vorm < f, g > := β α f(x)g(x) dx. Twee functies noemt m dan orthogonaal als dat inwdig product nul is. E verzameling functies heet orthogonaal als elk paar verschillde functies in die verzameling onderling orthogonaal zijn. De functies in de Fourierreeks (3) zijn allemaal gedefinieerd op het interval (, ). Deze functies vorm e orthogonale verzameling, want voor m, n,, 3,...} geldt: cos mπx cos mπx sin mπx nπx cos dx =, m n, m = n, nπx sin dx = voor alle m, n nπx, m n sin dx =, m = n. Om deze relaties te bewijz mak we gebruik van twee elemtaire goniometrische formules, te wet: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Hieruit volgt dat cos(x+y)+cos(x y) = cos x cos y, waarmee de eerste relatie bewez kan word. Verder volgt dat sin(x + y) + sin(x y) = sin x cos y, waarmee de tweede integraal uitgerekd kan word. Zo geldt ook cos(x y) cos(x + y) = sin x sin y, waarmee de laatste integraal uitgerekd kan word. Het bewijs van de laatste relatie vindt u in het boek op pagina 598 pagina 599. We zull hier de eerste relatie bewijz. De middelste integraal berekt m op soortgelijke wijze. Voor m n geldt: Voor m = n geldt: cos mπx = [ cos mπx = nπx cos dx = [ (m + n)πx cos + cos (m + n)πx sin + (m + n)π nπx cos dx = [ x + nπx sin nπ ] cos nπx ] (m n)πx dx (m n)πx sin (m n)π ] =. } [ dx = + cos nπx ] dx = ( + ) =. 4

5 Stel nu dat dan volgt voor n =,, 3,... f(x) = a + m= ( a m cos mπx f(x) cos nπx dx = a cos nπx + b m m= + b m sin mπx ), dx + a m m= sin mπx cos mπx nπx cos dx nπx cos dx = a n. Hieruit volgt dat a n = f(x) cos nπx dx voor n =,, 3,.... Evzo vind we dat b n = dx voor n =,, 3,.... Om a te vind berek we f(x) dx = a dx + a m m= cos mπx dx + b m m= sin mπx dx = a. Hieruit volgt dat a = f(x) dx. Dit is gelijk aan de formule voor a n als n =. Dit is de red van de vorm van de constante a / in de Fourierreeks. Deze formules voor de coëfficiënt a, a n b n met n =,, 3,... word de Euler-Fourier formules goemd..3. De stelling van Fourier. Zonder bewijs vermeld we hier de convergtiestelling van Fourier: Stelling. Als f f stuksgewijs continu zijn op e interval [, ) f wordt buit dat interval periodiek voortgezet met periode, dan is de Fourierreeks voor f: met a = a n = f(x) dx, f(x) = a + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) f(x) cos nπx dx b n = dx, n =,, 3,.... Deze Fourierreeks convergeert voor alle x naar f(x+) + f(x ) met f(x+) = lim t x f(t) f(x ) = lim t x f(t). De uitdrukking [f(x+) + f(x )]/ is het gemiddelde van de linker- de rechterlimiet van f in het punt x. Als f continu is in dat punt x, dan is dus f(x+) = f(x ) = f(x) nadert de Fourierreeks dus gewoon naar f(x). Maar als f discontinu is in x, dan convergeert de Fourierreeks dus naar het gemiddelde van de linker- de rechterlimiet van f in dat punt x. 5

6 We besluit met kele voorbeeld: Voorbeeld 5. Stel f(x) = x voor x < π. Dan geldt = π volgt: met a = π f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx) f(x) dx = π x dx = π π x =, a n = f(x) cos nx dx = π π = nπ x sin nx π nπ b n = f(x) sin nx dx = π π = nπ x cos nx π + nπ x cos nx dx = x d sin nx nπ sin nx dx = + n π cos nx π =, n =,, 3,... = n cos nπ = n ( )n+, n =,, 3,.... De Fourierreeks voor f is dus f(x) = x sin nx dx = x d cos nx nπ cos nx dx = n cos nπ n ( ) n+ sin nx. n cos nπ + n π sin nx π Voor x = is de reeks gelijk aan nul ook f() =. Voor x = π is de reeks echter ook gelijk aan nul. Als we f periodiek voortzett met periode = π, dan is f discontinu in x = π geldt dat f(π+) = f(π ) = π. Het gemiddelde van deze twee waard is inderdaad gelijk aan nul. Voor x = π/ moet de som van de reeks volgs de stelling van Fourier gelijk zijn aan f(π/) = π/. Hieruit volgt dus dat π = ( ) n+ sin nπ n. Nu is sin nπ Dus: = als n ev is. Voor onev n, zeg n = k + geldt sin (k + )π π = = sin(k + )π = ( )k, k =,,,.... k= ( ) k+ k + ( )k = k= ( ) k k +. 6

7 Hieruit volgt dat = k= ( ) k k + = π 4. Voorbeeld 6. Beschouw de functie f gedefinieerd door, x < f(x) =, x <. Dan geldt = volgt: met a n = f(x) = a + (a n cos nπx + b n sin nπx) a = f(x) cos nπx dx = f(x) dx = dx =, cos nπx dx = nπ sin nπx =, n =,, 3,... De Fourierreeks voor f is dus b n = dx = sin nπx dx = nπ cos nπx = [ cos nπ] = nπ nπ [ ( )n ], n =,, 3,.... f(x) = + π ( ) n sin nπx = n + π k= sin(k + )πx. k + Voor x = is de som van de reeks gelijk aan /, het gemiddelde van f(+) = f( ) =. Voor x = / vind we = f(/) = + π k= k + sin(k + )π = + π k= ( ) k k + = k= ( ) k k + = π 4. Dit laatste resultaat kan ook verkreg word door in de Taylorreeks van arctan x, arctan x = x 3 x3 + 5 x5 7 x = x = te substituer: = 7 k= k= ( ) k x k+, x, k + ( ) k k + = arctan = π 4.

8 .4. Ev onev functies. E functie f heet ev als voor elke x in het domein van f ook x tot dat domein behoort f( x) = f(x) voor alle x in het domein van f. En e functie f heet onev als voor elke x in het domein van f ook x tot dat domein behoort f( x) = f(x) voor alle x in het domein van f. Voorbeeld van ev functies zijn, x, x 4 cos x voorbeeld van onev functies zijn x, x 3 sin x. Er zijn ook functies die niet ev ook niet onev zijn, zoals + x of e x. Er is precies één functie die zowel ev als onev is. Voor die functie moet immers geld dat f(x) = f( x) = f(x) dus f(x) = voor alle x. Evoudig in te zi zijn de volgde rekregels : f g ev = f + g ev f g ev, Verder geldt: f g onev = f + g onev f g ev f ev g onev = f g onev. f ev = f onev = f(x) dx = f(x) dx =. f(x) dx Stel dat f e ev functie is dat de Fourierreeks voor f gelijk is aan dan volgt: Dus: a n = f(x) = a + a = f(x) cos nπx b n = ( a n cos nπx f(x) dx = dx = + b n sin nπx ), f(x) dx, f(x) cos nπx dx =, n =,, 3,.... f(x) = a + a n cos nπx. Dit noemt m wel e Fourier cosinusreeks voor f. Als f e onev functie is, dan volgt: a n = a = f(x) cos nπx f(x) dx =, 8 dx =, n =,, 3,... dx, n =,, 3,...

9 Dus: b n = dx = f(x) = Dit heet e Fourier sinusreeks voor f. b n sin nπx. dx, n =,, 3,.... Voorbeeld. Stel dat f(x) = x voor < x <. Dan is f e onev functie. Verder is = dus volgt: f(x) = b n sin nπx met Dus: b n = dx = = nπ x cos nπx + nπ x sin nπx dx = nπ = cos nπ + = nπ nπ ( )n+, n =,, 3,.... f(x) = π x d cos nπx cos nπx dx = cos nπ + nπ n π sin nπx ( ) n+ sin nπx. n Voorbeeld. Stel dat f(x) = x voor < x <. Dan is f noch ev noch onev. Als we nu f onev voortzett op het interval (, ) zoals in voorbeeld, dan volgt: f(x) = π ( ) n+ sin nπx, < x <. n We kunn f echter ook ev voortzett op het interval (, ). In dat geval vind we: met a n = a = f(x) = a + a n cos nπx f(x) dx = f(x) cos nπx dx = = nπ x sin nπx nπ = x dx = x = x cos nπx dx = nπ x d sin nπx sin nπx dx = + n π cos nπx n [cos nπ ] = π n π [( )n ], n =,, 3,.... 9

10 Dus: f(x) = + π Voor x = volgt hieruit dat ( ) n n cos nπx = 4 π k= cos(k + )πx, < x <. (k + ) = 4 π k= (k + ) = k= (k + ) = = π 8. We hebb gezi hoe we uit de Fourierreeks voor f, de Euler-Fourier formules f(x) = a + a n = b n = ( a n cos nπx f(x) cos nπx + b n sin nπx ), dx, n =,,,... dx, n =,, 3,... kunn afleid door gebruik te mak van de orthogonaliteit van de functies in die Fourierreeks. Op dezelfde manier vind we door met f(x) te vermigvuldig vervolgs te integrer: f(x)} dx = a f(x) dx + + b n = a + a n + b n. a n f(x) cos nπx dx Hieruit volgt (vergelijk met opgave 7 van.3 op pagina 63) f(x)} dx = a + (a n + b n). Deze relatie tuss e functie f de coëfficiënt van de Fourierreeks voor f heet de relatie van Parseval. In voorbeeld hebb we gezi dat 4 π k= cos(k + )πx = f(x) = (k + ) dx x, < x x, x <.

11 De relatie van Parseval leidt in dat geval tot: 3 = + 6 π 4 Hieruit volgt dat k= (k + ) 4 6 π 4 k= k= (k + ) 4 = π4 96. (k + ) 4 = 3 = 4 3 = Scheid van variabel; de warmte- of diffusievergelijking. We bestuder de temperatuur u(x, t) in e metal staaf met lgte, waarbij de variabele x met x de positie in de staaf aangeeft t de tijd. Hierbij verwaarloz we de dikte van de staaf, zodat de positie in de staaf met behulp van slechts één plaatsvariabele x aangeduid kan word. Verder nem we aan dat de staaf over de gehele lgte perfect geïsoleerd is zodat warmte-uitwisseling met de omgeving (evtueel) alle aan de uiteind kan plaatsvind. Dan kunn we voor u(x, t) e partiële differtiaalvergelijking afleid van de vorm α u xx = u t, < x <, t >, waarbij α e positieve constante is die afhankelijk is van het materiaal van de staaf. Zie voor de afleiding van deze vergelijking Appdix A vanaf pagina 669 (ge ttamstof). Deze vergelijking heet de warmtevergelijking of diffusievergelijking. De constante α wordt de diffusieconstante goemd. Verder geldt: u xx = u x u t = u t. We nem verder aan dat er e begintemperatuurverdeling f(x) in de staaf gegev is: u(x, ) = f(x), x. T slotte nem we nog aan dat aan de uiteind van de staaf dezelfde constante temperatuur heerst. Deze temperatuur nem we als nulniveau zodat: u(, t) = u(, t) = voor alle t. Dit leidt tot e zogaamd beginrandwaardeprobleem van de vorm α u xx = u t, < x <, t > u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, (4) bestaande uit e partiële differtiaalvergelijking, in dit geval de warmtevergelijking, twee randvoorwaard e beginvoorwaarde. Merk op, dat het probleem eiglijk alle realistisch is als f() = f() =, maar hierover zull we ons niet zo druk mak. De warmtevergelijking is lineair homoge. Ook de twee randvoorwaard zijn (in dit geval) homoge. Dit betekt dat de triviale oplossing u(x, t) = voldoet aan de differtiaalvergelijking én aan de twee randvoorwaard. Deze oplossing voldoet echter alle

12 aan de beginvoorwaarde in de triviale situatie dat f(x) = voor alle x. We zijn dus alle geïnteresseerd in niet-triviale oplossing. Om het probleem op te loss mak we gebruik van de methode van scheid van variabel: stel dat u(x, t) = X(x)T (t), dan volgt: α X (x)t (t) = X(x)T (t) = X X = α T T = σ (de separatieconstante). Hieruit volgt dat X σx = T σα T =. Dit zijn dus twee gewone differtiaalvergelijking voor X(x) T (t). De algeme oplossing voor T (t) is dus T (t) = ce σα t met c R. Uit de randvoorwaard volgt nu: u(, t) = X()T (t) = = X() = u(, t) = X()T (t) = = X() =. Voor X(x) vind we dus het volgde homoge randwaardeprobleem: X (x) σx(x) =, < x < We onderscheid drie mogelijkhed: X() =, X() =.. σ = : X (x) = = X(x) = a x + a. Met X() = X() = volgt dan: a = a =. Dit levert dus alle de triviale oplossing op. Dus: σ = is ge eigwaarde.. σ = µ > : X (x) µ X(x) = = X(x) = b cosh µx + b sinh µx. Uit X() = volgt dan dat b =. Dan volgt uit X() = dat b sinh µ =. Maar sinh µ, want > µ. Dus: b =. Ook in dit geval vind we dus alle de triviale oplossing. Er zijn dus ge positieve eigwaard. 3. σ = µ < : X (x) + µ X(x) = = X(x) = c cos µx + c sin µx. Uit X() = volgt dan dat c =. Dan volgt uit X() = dat c sin µ =. Dit leidt tot niet-triviale oplossing als sin µ = dus µ = nπ met n =,, 3,.... Dus: σ n = n π met n =,, 3,... zijn de eigwaard X n (x) = sin nπx met n =,, 3,... zijn de eigfuncties. Voor T (t) vind we dan T n (t) = e n π α t u n (x, t) = X n (x)t n (t) = e n π α t met n =,, 3,... dus sin nπx, n =,, 3,.... Vanwege de homogiteit van de differtiaalvergelijking de randvoorwaard vind we met het superpositieprincipe dat u(x, t) = c n u n (x, t) = c n e n π α t sin nπx.

13 T slotte moet deze oplossing ook nog voldo aan de beginvoorwaarde: u(x, ) = f(x) f(x) = Dit is e Fourier sinusreeks voor f dus volgt: c n = c n sin nπx. dx, n =,, 3,.... Hiermee hebb we e (unieke) oplossing voor het warmteprobleem (4) gevond. We besluit met e min of meer realistisch voorbeeld: Voorbeeld 3. Beschouw e metal staaf die precies in het midd verhit wordt door e warmtebron. Vervolgs wordt de staaf geïsoleerd word de uiteind op e vaste temperatuur gehoud. We hebb dus (bijvoorbeeld): waarbij 4u xx = u t, < x <, t > u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, f(x) = x, x x, x. We gaan onderzoek hoe de temperatuur in de staaf zich gedraagt. Hier geldt dus: α = 4 =. Zoals hierbov vind we dan met behulp van de methode van scheid van variabel: dus c n = u(x, t) = = nπ c n e n π t sin nπx dx = met u(x, ) = x sin nπx dx + c n sin nπx ( x) sin nπx dx x d cos nπx ( x) d cos nπx nπ = nπx x cos nπ + cos nπx nπ dx nπx ( x) cos nπ nπ = nπ cos nπ + 4 nπx n sin π + nπ cos nπ 4 nπx n sin π 4 = n π sin nπ + 4 n π sin nπ = 8 n π sin nπ, n =,, 3,.... = f(x) cos nπx dx 3

14 De oplossing is dus: u(x, t) = 8 π n sin nπ π t e n sin nπx = 8 ( ) k π t π (k + ) e (k+) sin(k + )πx. k= Merk op dat lim t u(x, t) = : op d duur zal de temperatuur in de gehele staaf gelijk zijn aan de constante temperatuur die heerst aan de uiteind. Verder zi we ook dat u(, t) = u(, t) =. Ook dit is wat we kond verwacht: de temperatuur is blijft aan de uiteind van de staaf constant (gelijk aan de omgevingstemperatuur). Interessanter is om te wet hoe snel de temperatuur in het midd van de staaf afneemt. Daarvoor nem we x = : u(, t) = 8 ( ) k π t π (k + ) e (k+) sin(k + )π = 8 e (k+) π t π (k + ). k= We hadd al gezi dat k= (k + ) = π 8 dat betekt dus dat de temperatuur op tijdstip t = gelijk is aan u(, ) = dat klopt netjes met de beginvoorwaarde. De waarde van u(, t) laat zich voor andere waard van t niet zo gemakkelijk berek. Met behulp van (bijvoorbeeld) Maple lukt dat wel: > u:=t->8/pi^*sum(exp(-(*k+)^*pi^*t)/(*k+)^,k=..infinity); e ( ( k+) π t) ( k + ) k= u := t 8 > evalf(u()); π De waarde voor t = blijkt al erg klein te zijn. Om te zi hoe snel de functie afneemt gebruik we e loopje : > for t from.5 to.5 by.5 do evalf(u(t)) od; k= 4

f even en g oneven = f g oneven. f(x) dx = 2 Stel dat f een even functie is en dat de Fourierreeks voor f gelijk is aan a n cos nπx + b n sin nπx )

f even en g oneven = f g oneven. f(x) dx = 2 Stel dat f een even functie is en dat de Fourierreeks voor f gelijk is aan a n cos nπx + b n sin nπx ) .4. Ev onev functies. E functie f heet ev als voor elke x in het domein van f ook x tot dat domein behoort f( x) = f(x) voor alle x in het domein van f. En e functie f heet onev als voor elke x in het

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossing van tweede orde lineaire differtiaalvergelijking 5.1. Machtreeks. In deze paragraaf word de belangrijkste eigschapp van machtreeks op e rijtje gezet. Zelf doorlez! Zie

Nadere informatie

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm : 1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Analyse, Deel III Samenvatting Martijn Boussé

Analyse, Deel III Samenvatting Martijn Boussé Analyse, Deel III Inhoudsopgave I Lineaire Differentiaalvergelijkingen... 2 I.I Algemene theorie... 2 I.II Lineaire differentiaalvergelijkingen constante coëfficiënten... 3 I.III Lineaire differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Oefensessie 1 Lineaire differentiaalvergelijkingen & MAPLE Modeloplossingen Versie

Oefensessie 1 Lineaire differentiaalvergelijkingen & MAPLE Modeloplossingen Versie Oefeningen Analyse III & Aanvullingen Wiskunde Oefensessie 1 Lineaire differentiaalvergelijkingen & MAPLE Modeloplossingen Versie 1-11 Leuven, Oktober 1 nico.scheerlinck@cs.kuleuven.be In deze bundel wordt

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen R van der Hout 1 Inleiding Wij beginnen met een voorbeeld We willen het temperatuurverloop T (x, t) als functie van plaats x en tijd t vinden in een

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentilvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 1 De Lplce vergelijking De tweedimensionle wrmtevergelijking

Nadere informatie

Het vinden van een particuliere oplossing

Het vinden van een particuliere oplossing Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen

Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor

Nadere informatie

Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode

Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode 2008-2009 Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter water, waarin 30 kilogram zout is opgelost.

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek

Differentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek Differentiaalvergelijkingen voor WbMT wi25wbmt Dr Roelof Koekoek Het boek William E Boyce & Richard C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Tenth Edition, Wiley, 22, ISBN

Nadere informatie

De golfvergelijking in drie dimensies. Golfvergelijking in een dimensie: trillende snaar

De golfvergelijking in drie dimensies. Golfvergelijking in een dimensie: trillende snaar De golfvergelijking in drie dimensies In drie dimensies wordt de golfvergelijking 2 Ψ t 2 = c2 ( 2 ) Ψ x 2 + 2 Ψ y 2 + 2 Ψ z 2 waar c een constante is die de snelheid van de golven aangeeft. Dit is de

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8,

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8, UITWERKINGEN TENTAMEN DIFFERENTIËREN EN INTEGREREN 20 OKTOBER 2008. a) f(x) < is equivalt aan < f(x)

Nadere informatie

Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)

Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries) Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 ) 97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein

Nadere informatie

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer)

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap

Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder thk@science.uva.nl Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal? Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie

Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(,

Nadere informatie

Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010

Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we

Nadere informatie

integreren is het omgekeerde van differentiëren

integreren is het omgekeerde van differentiëren Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,

Nadere informatie

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics. Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige

Nadere informatie

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u == Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke

Nadere informatie

Aanwijzingen bij vraagstukken distributies

Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Vraagstuk 9.7 Voor het eerste deel, test x x + iε 1 met een testfunctie. Voor het laatste deel: vind eerst bijzondere oplosssingen door de gesuggereerde procedure

Nadere informatie

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26 Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote

Nadere informatie

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen Notities bij de nascholing Differentiaalvergelijkingen Eekhoutcentrum 11 mei 2005 Bart Windels Differentiaalvergelijkingen 1 1 Algemeenheden Zij I een open interval van R (eventueel onbegrensd) en y :

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

Verstrooiing aan potentialen

Verstrooiing aan potentialen Verstrooiing aan potentialen In deze notitie zullen we verstrooiing beschouwen aan model potentialen, d.w.z. potentiaal stappen, potentiaal bergen en potentiaal putten. In de gebieden van de potentiaal,

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple

Nadere informatie

Calculus I, 23/11/2015

Calculus I, 23/11/2015 Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

ANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a

ANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a ANALYSEQUIZ 2016 Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a WAAR OF ONWAAR: EEN SOM CONVERGEERT ALS DE TERMEN NAAR NUL GAAN. A. Waar B. Onwaar De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie