x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )"

Transcriptie

1 97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke oplossingen bestaan Dit zijn oplossingen x(t) met de eigenschap dat x(t + T ) = x(t) voor alle t, waarbij T 0 een constante is De kleinste waarde van T waarvoor dit gel heet de periode Een speciaal geval van een periodieke oplossing is een constante Als de oplossing x(t) constant is, dan is deze periodiek met elke periode T Zo n oplossing correspondeert met een kritisch punt van het autonome stelsel Voor iedere andere periodieke oplossing is T > 0 en is de baan van zo n oplossing een gesloten kromme in het fasevlak In het speciale geval x (t) = Ax(t) zijn de oplossingen alleen periodiek als de eigenwaarden van A zuiver imaginair zijn In dat geval is de oorsprong een centerpunt en zijn de banen van de oplossingen cirkels met de oorsprong als middelpunt Als de eigenwaarden van A zuiver imaginair zijn, dan zijn alle oplossingen van x (t) = Ax(t) periodiek En als de eigenwaarden van A niet zuiver imaginair zijn, dan heeft het stelsel geen periodieke oplossingen met periode T > 0 In het geval van niet-lineaire autonome stelsels ligt dit totaal anders zoals het volgende voorbeeld laat zien Voorbeeld Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel ( ) ( x x + x(x = ) x + (x ) ) () Het is eenvoudig in te zien dat (x, ) = (0, 0) het enige kritieke punt is Immers : x + = x(x ) en x + = (x ) = x = 0 (x, ) = (0, 0) Het stelsel is bijna lineair in de buurt van de oorsprong : F (x, ) = x + x(x ) en G(x, ) = x + (x ) zijn oneindig vaak (continu) differentieerbaar en en F x (x, ) = (x ) 2x 2 = 3x 2 2 en F (x, ) = 2x G x (x, ) = 2x en G (x, ) = (x ) 2 2 = x Dus : F x (0, 0) =, F (0, 0) =, G x (0, 0) = en G (0, 0) = Het bijbehorende lineaire stelsel is dus ( ) ( ) ( ) x x = Voor de eigenwaarden vinden we : λ λ = ( λ)2 + = λ = ± i

2 De oorsprong is dus een instabiel (Re λ > 0) spiraalpunt voor zowel het lineaire als het nietlineaire stelsel Elke oplossing met een startpunt in de buurt van de oorsprong zal dus in spiralen weglopen van de oorsprong Dit gel echter alleen in de buurt van de oorsprong We zullen zien dat banen die ver verwijderd van de oorsprong starten naar binnen gericht zijn De banen kunnen dus blijkbaar niet naar oneindig weglopen Om dit in te zien maken we gebruik van poolcoördinaten : x(t) = r(t) cos θ(t) en (t) = r(t) sin θ(t) Hierbij is dus r(t) 0 Verder gel dat {x(t)} 2 + {(t)} 2 = {r(t)} 2 Hieruit volgt : 2r(t) r (t) = 2x(t) x (t) + 2(t) (t) r(t) = xdx + d Als we de eerste vergelijking in () vermenigvuldigen met x, de tweede met en vervolgens optellen, dan volgt : x dx + d = x2 + 2 (x ) 2 = r 2 r 4 = r 2 ( r 2 ) Dus : r = r2 ( r 2 ) De kritieke punten zijn r = 0 (de oorsprong) en r = (de eenheidscirkel), want r 0 Verder is duidelijk dat / > 0 voor 0 < r < en / < 0 voor r > Dit betekent dus dat de banen binnen de eenheidscirkel naar buiten toe gericht zijn, terwijl de banen buiten de eenheidscirkel juist naar binnen toe gericht zijn Blijkbaar is de eenheidscirkel r = een soort limietbaan van het stelsel Om nu ook een differentiaalvergelijking voor θ(t) af te leiden vermenigvuldigen we de eerste vergelijking van () met, de tweede met x en trekken vervolgens de resultaten van elkaar af Dan volgt : dx xd = x2 + 2 = r 2 Nu gel : x (t) = r (t) cos θ(t) r(t) sin θ(t) θ (t) en (t) = r (t) sin θ(t) + r(t) cos θ(t) θ (t) Dus : dx xd = r sin θ [ r cos θ r sin θ θ ] r cos θ [ r sin θ + r cos θ θ ] = r 2 θ Dus : {r(t)} 2 θ (t) = {r(t)} 2 oftewel θ (t) = Hieruit volgt dat θ(t) = t + θ 0 met θ 0 R willekeurig Als t toeneemt, neemt θ(t) dus af en beweegt de baan zich dus kloksgewijs rond de oorsprong Het stelsel () is dus equivalent met het stelsel = r( r2 ) en dθ = 2

3 Eén oplossing hiervan is r(t) = en θ(t) = t + θ 0 met θ 0 R willekeurig Dit is de eenheidscirkel die kloksgewijs wor doorlopen Dit is een gesloten kromme die dus correspondeert met een periodieke oplossing Voor r 0 en r volgt : = r( r2 ) = r( r 2 ) = Met behulp van breuksplitsing vinden we nu : Dus : Hieruit volgt : r( r 2 ) = r + 2 [ r ] + r ln r 2 ln( r) ( ) r 2 2 ln( + r) = t + K = ln r 2 = 2t + 2K r 2 r 2 = Ce 2t r 2 = + Ce 2t = r(t) = + Ce 2t met C R De algemene oplossing is dus : r(t) = + Ce 2t met C R en θ(t) = t + θ 0 met θ 0 R Voor C = 0 levert dit weer de eenheidscirkel De constanten C en θ 0 worden vastgelegd door de beginvoorwaarden, zeg r(0) = ρ en θ(0) = θ 0, bepaald door het startpunt Dan volgt : ρ = ρ 2 = + c + C + C = ρ 2 C = ρ 2 Voor ρ < volgt dan r(t) voor t van binnenuit en voor ρ > gel r(t) voor t van buitenaf In alle gevallen naderen de banen dus voor t naar de periodieke oplossing r = (de eenheidscirkel) Zie figuur 97 op pagina 524 Zo n periodieke oplossing als hierboven waar andere oplossingen naar toe naderen heet een limit ccle Als alle oplossingen, zowel van binnenuit als van buitenaf, naar deze limit ccle naderen, dan noemt men deze gesloten kromme asmptotisch stabiel Dit is dus het geval in bovenstaand voorbeeld Als de oplossingen aan één kant van de limit ccle naderen naar de limit ccle, terwijl de oplossingen aan de andere kant ervan weglopen, noemt men de kromme semistabiel Als alle oplossingen zich van de limit ccle verwijderen, dan noemt deze instabiel In gevallen waarbij alle oplossingen periodiek zijn, dan noemt men zo n limit ccle stabiel Banen van andere oplossingen naderen dan niet naar deze limit ccle, maar verwijderen zich ook niet van die limit ccle In voorbeeld konden we het bestaan van een periodieke oplossing aantonen door het stelsel expliciet op te lossen Dit is in het geval van een niet-lineair stelsel in het algemeen niet mogelijk Er bestaan echter wel enkele algemene stellingen waarmee het bestaan van periodieke oplossingen aangetoond kan worden of waarmee juist het bestaan van periodieke oplossingen 3

4 uitgesloten kan worden We zullen enkele stellingen de revue laten passeren We beschouwen hierbij een autonoom stelsel van de vorm dx = F (x, ) en d = G(x, ) (2) Stelling Als de functies F en G continue eerste partiële afgeleiden hebben in een gebied D in het x, -vlak (het fasevlak), dan moet een gesloten baan van het stelsel (2) minstens één kritisch punt van het stelsel omsluiten Als dit slechts één kritisch punt is, dan kan dat punt geen zadelpunt zijn We zullen geen bewijzen van de stellingen geven In voorbeeld hebben we gezien dat (x, ) = (0, 0) een spiraalpunt is en dat de baan van de periodieke oplossing (de eenheidscirkel) hierom heen loopt Stelling kan soms in negatieve zin gebruikt worden : als in een gebied D geen kritieke punten voorkomen, dan kan daar ook geen gesloten baan bestaan die geheel in dat gebied ligt Ook als een gebied slechts één kritiek punt bevat, dat een zadelpunt is, dan kan er ook geen periodieke oplossing bestaan waarvan de baan geheel in dat gebied ligt Stelling 2 Als de functies F en G continue eerste partiële afgeleiden hebben in een enkelvoudig samenhangend gebied D in het fasevlak, dan gel : als F x + G hetzelfde teken heeft in het hele gebied D, dan kan er geen gesloten baan van het stelsel (2) geheel in D liggen Een enkelvoudig samenhangend gebied is een gebied zonder gaten Deze stelling is een eenvoudig gevolg van de bekende stelling van Green voor het platte vlak Zie bijvoorbeeld : Stewart, 64 In opgave 3 wor op het bewijs ingegaan, maar we laten het hier verder achterwege In voorbeeld gel : F x (x, )+G (x, ) = 2 4(x ) = 2 4r 2 = 2( 2r 2 ) Hieruit volgt dat F x + G positief is voor 0 r < / 2 Op die cirkelschijf bestaat er dus geen gesloten baan van het stelsel () Merk op, dat we in voorbeeld zelfs aangetoond hebben dat er geen gesloten baan op het grotere gebied r < bestaat Dit illustreert meteen de beperking van stelling 2 Merk ook op dat F x + G negatief is voor r > / 2 Maar dit gebied is niet enkelvoudig samenhangend zodat stelling 2 hier niet toepasbaar is In voorbeeld hebben we ook gezien dat er een gesloten baan, namelijk r =, van het stelsel () bestaat dat in dit gebied ligt Ten slotte noemen we nog de beroemde stelling van Poincaré-Bendixson die voorwaarden geeft die het bestaan van een periodieke oplossing garandeert : Stelling 3 Stel dat de functies F en G continue eerste partiële afgeleiden hebben in een gebied D in het x, -vlak (het fasevlak) Stel dat D een begrensd deelgebied van D is en dat R bestaat uit het gebied D inclusief de rand daarvan Stel dat R geen kritieke punten van (2) bevat Dan gel : als er een constante t 0 bestaat zodat een oplossing van (2) bestaat en binnen R blijft voor alle t t 0, dan is die oplossing óf periodiek en is de baan dus een gesloten kromme óf beweegt de baan van deze oplossing zich in spiralen naar een gesloten kromme voor t In dat geval bestaat er dus een periodieke oplossing van (2) in het gebied R 4

5 Als het gebied R een gesloten baan bevat, dan moet deze volgens stelling een kritiek punt omsluiten Zo n kritiek punt kan echter niet in R liggen Dit betekent dat R niet enkelvoudig samenhangend kan zijn en dus een gat moet hebben Het stelsel () in voorbeeld heeft de oorsprong als kritiek punt Als we de stelling van Poincaré-Bendixson dus willen toepassen, dan moeten we dat punt uitsluiten Neem voor R bijvoorbeeld het gebied (de ring ) /2 r 2 We hadden afgeleid dat = r( r2 ) en daaruit volgt dat / > 0 voor r = /2 en dat / < 0 voor r = 2 Zowel op de binnenste als op de buitenste rand van R zijn de banen dus naar binnen gericht Dit betekent dat elke oplossing die in R begint ook in R blijft Volgens de stelling van Poincaré-Bendixson bestaat er dan een periodieke oplossing in het gebied R Voorbeeld 2 We beschouwen de niet-lineaire Van der Pol vergelijking u µ( u 2 )u + u = 0, waarbij µ > 0 een constante is Deze differentiaalvergelijking werd door Van der Pol bestudeert om de stroom in een triodeschakeling te beschrijven Deze differentiaalvergelijking tree echter ook op andere plaatsen op Voor µ = 0 is de differentiaalvergelijking lineair : u + u = 0 De oplossing is dan u(t) = c cos t + c 2 sin t met c, c 2 R Voor µ > 0 is de differentiaalvergelijking niet-lineair vanwege de term µ( u 2 )u We schrijven de Van der Pol vergelijking in de vorm van een stelsel : stel x = u en = u, dan volgt : x = en = x + µ( x 2 ) Dus : ( x ) = ( x + µ( x 2 ) Het enige kritieke punt van dit stelsel is (x, ) = (0, 0) en het stelsel is bijna lineair in de buurt van dit punt Stel F (x, ) = en G(x, ) = x + µ( x 2 ), dan volgt : F x (x, ) = 0, F (x, ) =, G x (x, ) = 2µx en G (x, ) = µ( x 2 ) Het bijbehorende lineaire stelsel is dus : ( ) x = ( 0 µ ) ( x Voor de eigenwaarden vinden we : λ µ λ = λ2 µλ + = λ = µ ± µ Dit betekent dat de oorsprong een instabiel spiraalpunt is voor 0 < µ < 2 en een instabiel knooppunt voor µ 2 In alle gevallen gel dat een oplossing die in de buurt van de oorsprong start zich van de oorsprong verwijdert voor t Merk op dat ) ) F x (x, ) + G (x, ) = µ( x 2 ) 5

6 Uit stelling 2 volgt dus dat er geen gesloten krommen kunnen bestaan die geheel in de strip x < liggen, want daar gel : F x + G > 0 Als we ook dit geval overgaan op poolcoördinaten x(t) = r(t) cos θ(t) en (t) = r(t) = sin θ(t), dan gel dus weer : {r(t)} 2 = {x(t)} 2 + {(t)} 2 en dus r(t) r (t) = x(t) x (t) + (t) (t) = r(t) cos θ(t) r(t) sin θ(t) + r(t) sin θ(t) [ r(t) cos θ(t) + µ ( {r(t)} 2 cos 2 θ(t) ) r(t) sin θ(t) ] = µ{r(t)} 2 sin 2 θ(t) ( {r(t)} 2 cos 2 θ(t) ) en dus = µr(t) sin2 θ(t) ( {r(t)} 2 cos 2 θ(t) ) Deze differentiaalvergelijking is niet zo eenvoudig op te lossen als die in voorbeeld We laten dit verder voor wat het is en kijken alleen nog even naar figuur 972 op pagina 527, figuur 974 op pagina 528 en figuur 976 op pagina 976 Hierin zijn enkele banen van oplossingen van de Van der Pol vergelijking afgebeeld voor verschillende waarden van de parameter µ Duidelijk is te zien dat alle oplossingen naderen naar een asmptotisch stabiele limit ccle met een opvallende gedaante 98 Chaos en vreemde attractoren: De Lorenz vergelijkingen De Lorenz vergelijkingen treden op bij de bestudering van vloeistof- of luchtstromingen zoals de luchtstromingen in de atmosfeer rond de aarde Lorenz bestudeerde deze vergelijkingen in het kader van de meteorologie (weerkunde) Hierbij stuitte hij op een stelsel van ie niet-lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm dx = σ( x + ) d = rx xz dz = x bz, waarbij σ, b en r positieve constanten zijn Deze ie vergelijkingen worden de Lorenz vergelijkingen genoemd De laatste twee differentiaalvergelijkingen zijn niet-lineair vanwege de termen xz en x De parameters σ en b hangen af van het materiaal en de omgeving, terwijl de parameter r evenredig is met het temperatuursverschil tussen verschillende punten Voor de atmosfeer rond de aarde zijn σ = 0 en b = 8/3 redelijke waarden Hoewel het een iedimensionaal probleem betreft en twee van de ie differentiaalvergelijkingen niet-lineair zijn, lijkt het probleem zo op het eerste gezicht niet zo bijzonder ingewikkeld Als eerste stap zouden we kunnen gaan kijken naar de kritieke punten Hiervoor moet gelden : σ( x + ) = 0, rx xz = 0 en x bz = 0 6

7 Uit de eerste vergelijking volgt dat = x omdat σ > 0 Ingevuld in de laatste twee vergelijkingen levert dat x(r z) = 0 en x 2 bz = 0 Uit de eerste vergelijking volgt nu : x = 0 of z = r Als = x = 0 dan volgt uit de tweede vergelijking dat bz = 0 en dus dat z = 0, wat b > 0 Dit levert dus het kritieke punt (x,, z) = (0, 0, 0) Als z = r dan volgt uit de tweede vergelijking dat x 2 = b(r ) Dit heeft geen (reële) oplossingen voor x als r <, want b > 0 Voor r volgt hieruit dat = x = ± b(r ) Voor r > levert dit twee extra kritieke punten op : ( b(r ), b(r ), r ) en ( b(r ), b(r ), r ) Merk op dat voor r = de ie kritieke punten samenvallen Het punt r = wor wel een bifurcatiepunt genoemd : een omslagpunt naar een totaal andere situatie In elk van de kritieke punten kunnen we kijken naar het bijbehorende lineaire stelsel Immers : F (x,, z) = σ( x + ), G(x,, z) = rx xz en H(x,, z) = x bz zijn alle oneindig vaak continu differentieerbaar Er gel : en F x (x,, z) = σ, F (x,, z) = σ, F z (x,, z) = 0, G x (x,, z) = r z, G (x,, z) =, G z (x,, z) = x H x (x,, z) =, H (x,, z) = x, H z (x,, z) = b In de buurt van (x,, z) = (0, 0, 0) is het bijbehorende lineaire stelsel dus x z = σ σ 0 r b x z Voor de eigenwaarden vinden we dan : σ λ σ 0 r λ b λ = ( b λ) σ λ σ r λ = (b + λ) [ λ 2 + (σ + )λ + σ( r) ] Hieruit volgt dat λ = b en λ 2,3 = (σ + ) ± (σ + ) 2 4σ( r) 2 Voor r < zijn deze eigenwaarden allemaal negatief In dat geval is de oorsprong dus een asmptotisch stabiel knooppunt Voor r = is één van de eigenwaarden gelijk aan nul en voor r > wor die ene eigenwaarde positief Voor r > is de oorsprong dus een instabiel knooppunt De (eventuele) andere kritieke punten kunnen we op soortgelijke wijze analseren We laten dat hier verder buiten beschouwing 7

8 In figuur 985 en figuur 986 op pagina 537 zijn projecties van een baankromme van de Lorenz vergelijkingen afgebeeld (projectie op het x, -vlak en op het x, z-vlak) Alle banen lijken naar een dergelijke vorm getrokken te worden Deze vorm wor wel eens de vlinder van Lorenz genoemd Deze vorm is geen gesloten kromme en corrsepondeert dus niet met een periodieke oplossing Omdat de banen echter wel door deze vorm aangetrokken lijken te worden spreekt men wel van een vreemde aantrekker (strange attractor) of vreemde attractor De banen blijven soms een tijdje in de ene vleugel (van de vlinder) rondaaien, terwijl ze op een gegeven moment plotseling naar de andere vleugel overgaan Dit noemt men chaotisch geag Hoewel de oplossingen van de Lorenz vergelijking deterministisch zijn, is het geag zeer moeilijk voorspelbaar Dit verschijnsel heet chaos Twee banen die vlak naast elkaar lopen kunnen hierdoor na verloop van tijd enorm uiteen lopen; de ene baan blijft in de ene vleugel terwijl de andere baan naar de andere vleugel overgaat Het ssteem is dus zeer gevoelig voor kleine veranderingen (perturbaties) in de beginvoorwaarden Dit verklaart waarom het zo lastig is om het weer voor een langere periode te voorspellen 8

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Stelsels Dvg

Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Utrecht, juni 3 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x (t) = Ax(t). Als geen eigenwaarde van A: opl. x(t) in evenwicht x(t) = alle t stabiel evenwicht

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

d τ (t) dt = 1 voor alle τ 0.

d τ (t) dt = 1 voor alle τ 0. 65 Impulfunctie In deze paragraaf kijken we naar verchijnelen waarbij in zeer korte tijd een (grote kracht op een yteem wordt uitgeoefend Zo n plotelinge kracht kunnen we bechrijven met behulp van een

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30

Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30 Tentamen WISN1 Wiskundige Technieken Ma 6 jan 14 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Het vinden van een particuliere oplossing

Het vinden van een particuliere oplossing Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056

Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Weersvoorspelling. Martijn en Kees 30 mei 2013

Weersvoorspelling. Martijn en Kees 30 mei 2013 Weersvoorspelling Martijn en Kees 30 mei 2013 1 Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 Geschiedenis 4 2.1 De begintoestand......................... 4 2.2 Het weermodel.......................... 5 2.3 Het klimaatmodel.........................

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental

Nadere informatie

WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies

WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities

Nadere informatie

Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09

Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09 Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09 Daniël Wedema January 12, 2009 1 inleiding In 1976 publiceerde May een artikel waarin hij liet zien dat hele simpele nietlineaire dynamische systemen

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek

Differentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek Differentiaalvergelijkingen voor WbMT wi25wbmt Dr Roelof Koekoek Het boek William E Boyce & Richard C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Tenth Edition, Wiley, 22, ISBN

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm : 1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur

Nadere informatie

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder

Nadere informatie

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675 Hoe een genie dacht. Van Leibniz zijn een groot aantal wiskundige handschriften bewaard. Leibniz deed wiskunde met de pen in zijn hand, en schreef al zijn gedachten direct op. Daardoor kunnen we zien hoe

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Opgaves 1 3 Oplossingen 11 18-1 1 Inleiding In deze module worden

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 20 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk

Nadere informatie

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos LaTeX opdracht Bewijzen en Redeneren 1ste fase bachelor in Fysica, Wiskunde Werk de volgende opdracht individueel uit. U moet hier alleen aan werken. Geef ook geen files door aan anderen. Ingediende opdrachten

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1

1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1 1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ỹ (b) x Y 2π (c) 2π X ỹ (d) X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (1a). x X 2π x f g 1 2π F G x Y X ỹ 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag

Nadere informatie

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8,

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8, UITWERKINGEN TENTAMEN DIFFERENTIËREN EN INTEGREREN 20 OKTOBER 2008. a) f(x) < is equivalt aan < f(x)

Nadere informatie

differentiaalvergelijkingen. oscillaties en planeetbanen

differentiaalvergelijkingen. oscillaties en planeetbanen 1 270 NAW 5/8 nr. 4 december 2007 Differentiaalvergelijkingen, oscillaties en planeetbanen Joost Hulshof Joost Hulshof Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen, afdeling Wiskunde

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

4.1 College Week 4. Probleem (P 3.1 ) Zij f : D IR, met D IR n :

4.1 College Week 4. Probleem (P 3.1 ) Zij f : D IR, met D IR n : 4.1 College Week 4 Probleem (P 3.1 ) Zij f : D IR, met D IR n : f 0 (x) extr, f i (x) = 0, 1 i m, noemen wij een n-dimensionaal optimaliseringsprobleem met nevenvoorwaarden in vorm van een stelsel bestaande

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie