Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
|
|
- Hanne Hermans
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 4 VECTOANALYE 2WA /2007
2 Hoofdstuk 4 De stelling van Gauss (divergentie-stelling) 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De stelling van Gauss 1. Deze stelling legt een verband tussen de begrippen flux en divergentie. In dit verband kun je ook denken aan de wet van Gauss uit de elektriciteitsleer. De stelling van Gauss speelt een grote rol in berekeningen maar vooral in het afleiden en interpreteren van allerlei fysische principes. 4.2 De stelling van Gauss Gegeven een gesloten begrensd gebied in E 3 ( 3 ) met randoppervlak dat stuksgewijs glad en oriënteerbaar is; de naar buiten gerichte normaal n op ; een open verzameling D in 3 met D; vectorvelden v en scalarvelden ϕ die continu differentieerbaar zijn op D. 1 Carl Friedrich Gauss ( ), Duits wiskundige verbonden aan de universteit van Göttingen 1
3 Er is een assenstelsel zo dat ϕ(p ) = ϕ(x) en v(p ) = v 1 (x)e 1 + v 2 (x)e 2 + v 3 (x)e 3 met P x en n(p ) = n 1 (x)e 1 + n 2 (x)e 2 + n 3 (x)e 3 voor P. Er zijn twee relevante uitspraken TELLING 4.1 grad ϕ dτ = ϕndσ, ofwel voor al dergelijke ϕ. ϕ dτ = x j ϕn j dσ, j = 1, 2, 3 TELLING 4.2 (Divergentiestelling van Gauss) voor al dergelijke v. divv dτ = (v, n)dσ, ofwel ( v1 + v 2 + v ) 3 dτ = x 1 x 2 x 3 (v 1 n 1 + v 2 n 2 + v 3 n 3 )dσ Bovenstaande stellingen zijn equivalent. Dit is eenvoudig te verifiëren. Eén van beide stellingen moeten we dus nog bewijzen. De opbouw van het bewijs is als volgt tap 1: Bewijs van stelling 4.1 voor j = 3 voor een rechthoekig blok B van de vorm B = {x 3 a k x k b k, k = 1, 2, 3} Het bewijs van stelling 4.1 voor j = 1, 2 voor B gaat op dezelfde manier. tap 2: Uit stap 1 volgt dat stelling 4.1 geldt voor = B en daarom is stelling 4.2 waar voor = B. 2
4 n=(0,0,1) _ n=(0,1,0) _ n=(1,0,0) _ Figuur 4.1: Het blok B met de normaalvectoren. tap 3: telling 4.2 bewijzen voor een blokstapeling en tevens onafhankelijkheid van de stapeling. tap 4: telling 4.2 bewijzen voor algemene met een limietproces. tap 1 Beschouw een blok B in de 3 (zie fig.4.1). De rand van B wordt gevormd door zes gladde oppervlakken waarvan slechts twee (boven- en onderkant) een normaal hebben met n 3 0. Evenzo, = = ϕn 3 dσ = ϕdσ ϕdσ = boven onder b 1 b 2 a 1 a 2 [ϕ(x 1, x 2, b 3 ) ϕ(x 1, x 2, a 3 )]dx 1 dx 2 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 ϕ dx 1 dx 2 dx 3 = x 3 B ϕ x 3 dτ. ϕn 1 dσ = B ϕ dτ, x 1 ϕn 2 dσ = B ϕ x 2 dτ 3
5 tap 2 Beschouw rechthoekig blok B, dan (tap 1): v j n j dσ = B v j x j dτ, j = 1, 2, 3 en dus (v, n)dσ = B divv dτ. tap 3 Beschouw het deel B van de 3 gevormd door twee aaneengeschakelde blokken B 1 en B 2, d.w.z.b = B 1 B 2, zodanig dat B 1 B 2 = P Q (zie fig.4.2). De rand van B 1 is 1 = 1 P Q en de rand van B 2 is 2 = 2 P Q. Q P Figuur 4.2: B = B 1 B 2, B 1 B 2 = P Q. Er geldt B P Q divv dτ = (v, n)dσ = (v, n( 1 ))dσ + (v, n( 1 ))dσ én B 2 divv dτ = 2 (v, n)dσ = 2 (v, n( 2 ))dσ + P Q (v, n( 2 ))dσ. 4
6 Conclusie: met 1 2 = de rand van B èn n( 1 ) = n( 2 ) op P Q volgt div v dτ = div v dτ + div v dτ = B B 1 B 2 = (v, n)dσ + (v, n)dσ = 1 2 (v, n)dσ. Veronderstel nu = B 1 B 2... B N. voor zekere blokken B 1,..., B N met rand. Zij k,l, l = 1,..., 6, de zes randoppervlakken van B k, k = 1,..., N. We kunnen de blokstapeling door verfijning zo kiezen dat voor elke k óf k,l een deel van de rand van is, óf k,l = B k B p voor precies één blok B p met p k. Zij Dan geldt dus D = {(k, l) k,l op de rand van }. (k,l) D k,l divvdτ = N ( k=1 B k ) divvdτ = (v, n)dσ = (v, n)dσ. N k=1 l=1 6 ( k,l ) (b, n)dσ = tap 4 Zij een algemeen gebied met stuksgewijs gladde oriënteerbare rand. Het idee is en te benaderen door blokstapelingen m met rand m, dus formeel m en m. Hieruit volgt dan én lim (v, n)dσ = m m lim (v, n)dσ = m m (v, n)dσ divvdτ en dus het gestelde. 5
7 4.3 Coördinaatvrije interpretatie van de divergentie van een vectorveld Zij v een vectorveld gedefinieerd op een open verzameling D. zij P D, en ( n ) n N een rij gebieden in D met n {P }, d.w.z. diam( n ) 0 en P n. Zij n, de rand van n. Dan is (onafhankelijk van de rij ( n )) 1 divv(p ) := lim (v, n)dσ. n τ( n ) n Men zegt wel: divv(x) is de flux per eenheid van volume. 4.4 Toepassing van de divergentie-stelling bij berekeningen en afleidingen De divergentiestelling kan een rol spelen bij het berekenen van oppervlakte-integralen. Indien de vraag is: Bepaal voor een stuksgewijs glad oriënteerbaar oppervlak en vectorveld v op, (v, n)dσ. Dan is een mogelijke aanpak: Bepaal een oppervlak add (disjunct) zo dat add een stuksgewijs glad, oriënteerbaar oppervlak is dat de rand is van een gesloten begrensd gebied. Veronderstel bovendien dat v continu differentieerbaar is op. Dan geldt divvdτ = (v, n)dσ + (v, n)dσ add (v, n)dσ. waarbij verondersteld is dat de oriëntatie van zo is dat de normaal op wat betreft naar buiten wijst. Dus (v, n)dσ = divvdτ add 6
8 Deze aanpak is zinvol, als zodanig gekozen kan worden, dat divvdτ en (v, n)dσ add eenvoudig te berekenen zijn. Zie ook voorbeeld 4.2. Voorbeeld 4.1 Beschouw het vectorveld gegeven door u = x 1 x 3 e 1 + x 2 x 3 e 2 x 2 3e 3 en het oppervlak gegeven door = {x I 3 x 3 = x 1 x 2, 0 x 1 1, 0 x 2 1} met normaal n (0, 0, 0) = (0, 0, 1). Bepaal (u, n) dσ. Merk op: divu = 0. Beschouw de oppervlakken: 1 = {x 0 x 1 1, 0 x 2 1, x 3 = 0} met n 1 = (0, 0, 1). 2 = {x x 1 = 1, 0 x 3 x 2 1} met n 2 = (1, 0, 0). 3 = {x x 2 = 1, 0 x 3 x 1 1} met n 3 = (0, 1, 0). Nu begrenst een gesloten en begrensd gebied, verder is stuksgewijs glad. De normaal is naar buiten gericht. u is continu differentieerbaar op. Dus (u, n )dσ + (u, n 1 )dσ + (u, n 2 )dσ + (u, n 3 )dσ = = divudτ = 0 7
9 Nu is 1 (u, n 1 )dσ = 1 x 2 3dσ = 0, 2 2 (u, n 2 )dσ = x 1 x 3 dσ = 3 3 (u, n 3 )dσ = x 2 x 3 dσ = 1 x x1 0 0 x 3 dx 3 dx 2 = 1 6, x 3 dx 3 dx 1 = 1 6. Dus (u, n )dσ = 1 3. Voorbeeld 4.2 Zij p 3. Definieer op 3 \{p} het vectorveld v(x) = x p x p 3, x p. Dan geldt (zie voorbeld??) divv = 0. Zij een gesloten begrensd gebied in 3 met stuksgewijs gladde, oriënteerbare rand, n de naar buiten gerichte normaal op met p. Als p dan volgt uit de divergentie-stelling (v, n)dσ = divvdτ = 0. Als p bestaat er een r > 0 zo dat U(p, r). Zij (p, r) = {x x p = r} de rand van U(p, r). Dan vormt (p, r) de rand van een gesloten begrensd gebied 1 met p 1. Dus (p,r) (v, n)dσ = divvdτ = 0 1 en hieruit (v, n)dσ (p,r) (v, n)dσ = 0 8
10 met de normaal n op (p, r) gegeven door n = 1 (x p) r dus af wijzend van p. Op (p, r) geldt v(x) = 1 r 3 (x p), x (p, r) én (v, n) = 1 r 2. Dus (p,r) (v, n)dσ = 1 opp(p, r) = 4π. r2 Een andere aanpak is de volgende: Definieer het vectorveld w op 3 door w(x) = 1 r 3 (x p), x 3. dan geldt (v, n)dσ = (w, n)dσ = divwdτ (p,r) (p,r) = 3 r 3 U(p,r) U(p,r) dτ = 3 r πr3 = 4π. zo dat inderdaad (v, n)dσ = (v, n)dσ = 4π. (p,r) Voorbeeld 4.3 De continuïteitsvergelijking. We beschouwen de stroming van een vloeistof beschreven door een snelheidsveld v(x, t) op een open verzameling D dat differentieerbaar wordt verondersteld. Zij ρ(x, t) voor x D de massadichtheid ten tijde t. Voor een gesloten begrensd gebied D is de volume integraal 9
11 M(t) = ρ(x, t)dτ = massa van de vloeistof in ten tijde t en M(t + t) = M(t) uitstroom. Veronderstel dat de rand van stuksgewijs glad en oriënteerbaar is met naar buiten gerichte normaal n. In het tijdsinterval [t 1, t 2 ] is de totale uitstroom gegeven door t 2 t 1 ( ) (ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ dt. Dit leidt tot de massabalans (behoud van massa) en dus ρ(x, t 2 )dτ = ρ(x, t 1 )dτ t 2 [ ρ(x, t2 ) ρ(x, t 1 ) ] dτ = 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 1 ( t 2 t 1 ) (ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ dt ( ) (ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ dt. Door aan beide zijden de limiet t 2 t 1 te nemen vinden we de continuïteitsvergelijking in integraalvorm ρ t (x, t 1)dτ = (ρ(x, t 1 )v(x, t 1 ), n(x))dσ en na toepassing van de divergentie-stelling [ ρ ] t (x, t 1) + div(ρ(x, t 1 )v(x, t 1 )) dτ = 0, t 1 > 0 Omdat een willekeurig deelgebied van D is, vinden we hieruit de continuïteitsvergelijking in differentiaalvorm ρ (x, t) + div(ρ(x, t)v(x, t)) = 0 x D, t > 0. t Als de vloeistof homogeen en incompressibel is, geldt ρ(x, t) = ρ (constant) hetgeen leidt tot de zogenaamde incompressibiliteit-conditie divv = 0. 10
12 Opmerking 4.1 Deze afleiding van de continuïteitsvergelijking kent een analogon in de elektriciteitsleer. In dat geval beschouwt men niet massa maar lading. Er geldt Q(t) = ρ(x, t)dτ, Q(t) is de lading ten tijde t, ρ(t) is de ladingsdichtheid. De massabalans representeert dan behoud van lading: ρ (x, t)dτ = (J(x, t), n(x))dσ, t met J de het stroomdichtheidsvectorveld. De continuïteitsvergelijking wordt nu ρ (x, t) + div(j(x, t)) = 0 x D, t > 0. t Als ρ constant is, d.w.z. niet van t afhangt, volgt div(j) = 0. Dus de flux van J door ieder willekeurig gesloten oppervlak is nul. 4.5 Opgaven Hoofdstuk In 3 is gegeven het vectorveld u = (z + x, z, z x). Bereken (u, n)dσ als de cylindermantel voorstelt, gegeven door x 2 + y 2 = 1, 0 z 1. De normaal n wijst van de z-as af Gegeven is het vectorveld u = (x + z y, x z, y x). Bereken (u, n)dσ als de cylindermantel voorstelt, gegeven door x 2 + y 2 = 1, 0 z 1. De normaal n wijst van de oorsprong af. 11
13 4.3. Gegeven het vectorveld ( x u = r, y 3 r, z ), met r = x 3 r 2 + y 2 + z 2. 3 Bereken (u, n)dσ, waarin de halve bol is, gegeven door x 2 + (y 1) 2 + z 2 = 1, y 1. De normaal n wijst van de oorsprong af In 3 is gegeven het veld ( x u = z, y, 2 ln z). z Bereken (u, n)dσ als de kegelmantel is gegeven door x 2 + y 2 z 2 = 0, 1 z 2, en n de van de z-as af gerichte normaal In 3 is gegeven het vectorveld ( x u = x 2 + y 2 1, y x 2 + y 2 1, 2z ). (x 2 + y 2 1) 2 Bereken (u, n)dσ, waarbij de kegelmantel voorstelt gegeven door x 2 + y 2 = z 2, 0 z 1 2, en de normaal n van de z-as af wijst In 3 is het volgende vectorveld gegeven: a(x) = (cos x, z, y). Bepaal (rot a, n)dσ, waarin het oppervlak voorstelt, gedefinieerd door (x 1) 2 + y 2 + z 2 = 4, x 0, en n de naar (1, 0, 0) gerichte normaal op. 12
14 4.7. Gegeven is het vectorveld a = (z 2 x 2, 2x 4 2xyz 2, z 1). Het oppervlak in 3 is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0, Bereken (a, n)dσ. De normaal n wijst van de oorsprong af Gegeven is het vectorveld u = (z 2, x 2, y 2 ). Het oppervlak is gegeven door 4x 2 + 4y 2 + z 2 = 1, z 0. Bereken (u, n)dσ. De normaal n wijst van de oorsprong af In 3 is gegeven het vectorveld u = ( 1 2 x2 y xyz, xz + xz 2, 1 2 yz2 xyz). Bereken (u, n)dσ, waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 2, x 0, y 0, z 1, en de normaal n van de oorsprong af wijst In 3 is gegeven het vectorveld u(x, y, z) = (cos z, y z, 1 z). Bereken (u, n)dσ, waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0, en de normaal n van de oorsprong af wijst. 13
15 4.11. In 3 is gegeven het vectorveld u(x) = (x 2 y 2, z 2, 2xy 2 z + z + 1). Bereken (u, n)dσ, waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0, en de normaal n van de oorsprong af wijst Voor de punten van 3 die niet op de z-as liggen is de functie f gedefinieerd door f(x, y, z) = ln(x 2 + y 2 ). C is het gedeelte van de cylinder met vergelijking x 2 +y 2 = 1 dat gelegen is tussen de vlakken V 1 en V 2 met vergelijkingen z = 1 resp. z = 1. B is het gedeelte van de bol met vergelijking x 2 +y 2 +z 2 = 2 dat gelegen is tussen de vlakken V 1 en V 2. De normalen op C en B wijzen van de z-as af. a. Bereken C (gradf, n)dσ. b. Bewijs dat (gradf, n)dσ = (gradf, n)dσ. B C Gegeven is het vectorveld ( x a = r y, y 3 r + x, z ) 3 r + z 3 waarin r = x 2 + y 2 + z 2, en de oppervlakken 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, 2 : x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 4. Bereken de beide integralen (a, n)dσ en (a, n)dσ, waarbij n de naar buiten wijzende normaalvector is
16 4.14. In het gebied, gevormd door 3 minus de z-as, is het veld v gegeven door ( x v(x, y, z) = x 2 + y, y ) 2 x 2 + y, 0. 2 Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 2, 1 z 1. De normaal n op wijst van de oorsprong af. Bereken (v, n)dσ In 3 is gegeven het vectorveld Bereken v(x, y, z) = ( x, 0, z). (v, n)dσ waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 1 2. De normaal n wijst van de oorsprong af In het gebied 3 \{0} is het veld u gegeven door u(x, y, z) = (y + x r, x z + y 3 r, y + z ), r = x 3 r 2 + y 2 + z 2. 3 Bereken (u, n)dσ waarbij het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z2 9 = 1 z 0 en de normaal n in (0, 0, 3) gelijk is aan (0, 0, 1). 15
17 4.17. In 3 is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = (ye yz, sin(x + z) + y, x 2 z). Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0. De normaal n op wijst van de oorsprong af. Bereken (v, n)dσ In 3 is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = ( x 2 + 3z 2, 2xy + 2zy, 3x 2 z 2 ). Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z 0, waarbij a een positief getal is. De normaal n op wijst van de oorsprong af. Bereken (v, n)dσ In het gebied G = {(x, y, z) 3 z > 0} is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = (x. z arctan y z, y arctan y z ). Het oppervlak is gegeven door x 2 + (y + 2) 2 + (z 2) 2 = 1 y z. De normaal n op wijst van (0, 2, 2) af. Bereken (v, n)dσ. 16
18 4.20. In 3 minus de z-as is het vectorveld v gegeven door ( yz v(x, y, z) = x 2 + y, zx ) 2 x 2 + y, 1. 2 Het oppervlak is gegeven door x 2 + y 2 = z z 1. De normaal n op wijst van de z-as af. Bereken (v, n)dσ Zij een begrensd gebied in 3 met rand ; n is de naar buiten gerichte normaal op. Bewijs: a. rotvdτ = 0 als op v loodrecht staat op ; b. ϕdivvdτ = (ϕv, n)dσ als v in elk punt van raakt aan het equiscalaire oppervlak ϕ = constant door dat punt Zij een begrensd gebied in 3 met rand ; n is de naar buiten gericht normaal op. Bewijs dat het volume van gelijk is aan x dydz = y dxdz = z dxdy Zij een begrensd gebied in 3 met rand ; n is de naar buiten gerichte normaal op. Bewijs: 17
19 a. n dσ = 0, b. (x, n)dσ = 3V met V = volume van, c. x 2 (x, n)dσ = 5 x 2 dτ Leid af de continuïteitsvergelijking uit de electriciteitsleer: divj + ρ t = 0, waarin ρ de ladingsdichtheid en j de stroomdichtheid is Een vloeistof stroomt met snelheid v(x, t), waarbij de variabele t de tijd voorstelt. Laat een begrensd gebied zijn dat meebeweegt met de vloeistof. De positie van ten tijde t wordt aangegeven door (t), en het volume van (t) zal V (t) zijn. a. Bewijs dat dv dt = (t) divv dτ. b. Zij ϕ(x, t) een scalarveld; bewijs dat d dt (t) ϕ(x, t)dτ = (t) [ ϕ t + div(ϕv) ] dτ. c. Leid de continuïteitsvergelijking uit de stromingsleer af met behulp van b. 18
20 Antwoorden Aanvulling π π π(2 2) π ln(2) π π π π π π a) 8π π 3 en 44π π π π π πa π 6 + π π rotv dτ = (n v)dσ = 0, want n en v zijn afhankelijk Volgt uit div((x, 0, 0)) = div((0, y, 0)) = div((0, 0, z)) = 1 m.b.v. de stelling van Gauss a. Pas stelling 4.1 toe met ϕ = 1. b. (x, n)dσ = div(x)dτ = 3 dτ = 3V. c. x 2 (x, n)dσ = div(r 2 x)dτ = (r 2 div(x)+(grad(r 2 ), x))dτ = (3r 3 + (2x, x))dτ = 5r 2 dτ. 19
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
2 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 5 VECTORANALYE 2WA5 2006/2007 Hoofdstuk 5 De stellingen van tokes en Green 5. Inleiding In dit hoofdstuk worden de stellingen van tokes en van Green 2 behandeld.
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieFaculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
Nadere informatieTopologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Nadere informatieTentamen Vectorcalculus voor N (2DN06), dinsdag 24 januari 2006, uur.
TEHNIHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Vectorcalculus voor N (DN6), dinsdag 4 januari 6, 14.-17. uur. 1. Zij R 3 het deel van de grafiek van de functie f gegeven door
Nadere informatieTentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30
Tentamen WISN1 Wiskundige Technieken Ma 6 jan 14 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieRelevante examenvragen , eerste examenperiode
Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 202 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006
1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieRelevante vragen , eerste examenperiode
Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieHoofdstuk 22 De Wet van Gauss
Hoofdstuk 22 De Wet van Gauss Electrische Flux De Wet van Gauss Toepassingen van de Wet van Gauss Experimentele Basis van de Wetten van Gauss en Coulomb 22-1 Electrische Flux Electrische flux: Electrische
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieLangere vraag over de theorie
Langere vraag over de theorie a) Bereken de potentiaal van een uniform geladen ring met straal R voor een punt dat gelegen is op een afstand x van het centrum van de ring op de as loodrecht op het vlak
Nadere informatie(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door
Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieHet tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatieUitwerkingen toets emv
Uitwerkingen toets emv 24 april 2012 1 (a) Bij aanwezigheid van een statische ladingsverdeling ρ(r) wordt het elektrische veld bepaald door E = 1 ρ(r ) 4π r 2 ˆrˆrˆr dτ, V waarin V het volume van de ladingsverdeling,
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 4- ste semester 3 oktober 4 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Toon aan dat een niet-stijgende begrensde rij convergent is.. Geef de definitie van een verdichtingspunt.
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatieStudiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN /13 Semester A kwartiel 2
Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN13 2012/13 Semester A kwartiel 2 De actuele versie van deze studiewijzer is te vinden op http://www.win.tue.nl/ gprokert/wijzer2dn13.pdf Doelgroep: tweedejaars Bachelor
Nadere informatieAnalyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2017: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 18 september 017 - reeks 1 - p. 1/14 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 017: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 27-09-09 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieTentamen Elektromagnetisme (NS-103B)
Tentamen Elektromagnetisme (NS-03B) woensdag april 00 5:00 8:00 uur Het gebruik van literatuur of een rekenmachine is niet toegestaan. U mag van onderstaande algemene gegevens gebruik maken. Bij de opgaven
Nadere informatieNaam: Studierichting: Naam assistent:
Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatien=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Nadere informatieHoofdstuk 23 Electrische Potentiaal. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal Elektrische flux Een cilinder van een niet-geleidend materiaal wordt in een elektrisch veld gezet als geschetst. De totale elektrische flux door het oppervlak van de
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatietentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieDeeltoets II E&M & juni 2016 Velden en elektromagnetisme
E&M Boller, Offerhaus, Dhallé Deeltoets II E&M 201300164 & 201300183 13 juni 2016 Velden en elektromagnetisme Aanwijzingen Voor de toets zijn 2 uren beschikbaar. Vul op alle ingeleverde vellen uw naam
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/
Nadere informatieWiskundige Analyse II
Hoofdstuk Wiskundige Analyse II Vraag. Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van de baan
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan
1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan We beschouwen eerst een oneindig lange lijnlading met uniforme ladingsdichtheid λ, langs de z-as van ons coördinatenstelsel. 1a Gebruik de wet van Gauss en beredeneer
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieWiskundige Analyse II
Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieAnalyse I. f(x)dx + f(x)dx =
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar 1-11 1ste semester, 18 januari 11 Analyse I 1. f en g zijn numerieke functies, f is differentieerbaar in a en g is differentieerbaar
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieLangere vraag over de theorie
Langere vraag over de theorie (a) Potentiaal van een uniform geladen ring Totale lading Q uniform verdeeld over de ring met straal R: λ Q πr. Ook hier beperken we de berekening tot punten op de as loodrecht
Nadere informatieAnalyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010
WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010
Nadere informatie