x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k

Transcriptie

1 Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a : : : + a2 n afstand tussen a en b : a b =.a 1 b 1 / 2 + : : : +.a n b n / 2 limiet a b: a b a i b i ; i = 1; : : : ; n a b 0 x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k 1

2 inprodukt van a en b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + : : : + a n b n a b = 0: a loodrecht op b (a b) Theorie: a a = a 2 ; a b = b a a (b + c) = a b + a c Als ' de hoek is tussen a en b dan : a b = a b cos ϕ 2

3 Uitwendig product a = a 1 ; a 2 ; a 3 b = b 1 ; b 2 ; b 3 a b = a 2 b 3 a 3 b 2 ; a 3 b 1 a 1 b 3 ; a 1 b 2 a 2 b 1 a b a en b rechte hand regel Theorie: a b = a b sin ϕ oppervlak parallelogramm a (b c) = volumen van blok 3

4 13.1, 13.2, Vector functies Gegeven de afbeelding: r : [; ] R 3 t r.t/ = f.t/; g.t/; h.t/ geparametriseerd kromme: r.t/ heet (ruimte) kromme, t parameter Interpretatie: r.t/ is plaats van deeltje ten tijde t. Def. r.t/ heet continu als f.t/; g.t/; h.t/ continu zijn. 4

5 Def. Afgeleide van r.t/: dr dt = r.t + r h/ r.t/.t/ := lim h 0 h r.t/: afgeleide van r.t/ in t. Geometrisch: (mits r.t/ 0) r.t/ is raakvector aan r.t/ in t: T.t/ := r.t/ r.t/ genormeerd raakvector Berekening van r.t/: r.t/ = f.t/; g.t/; h.t/ Def. r : [; ] R 3 heet gladd (continu diff.baar) als geldt: r.t/ is continu op [; ] en r.t/ 0 voor alle t.; /. 5

6 Rekenregels: 1. [u.t/ + v.t/] = u.t/ + v.t/ 3. [ f.t/u.t/] = f.t/u.t/ + f.t/u.t/ 4. [u.t/ v.t/] = u.t/ v.t/ + u.t/ v.t/ 6. [u. f.t//] = f.t/ u. f.t// Integraal van r(t) = f(t), g(t), h(t) : r.t/ dt = f.t/; g.t/; h.t/ dt := f.t/ dt ; g.t/ dt ; h.t/ dt Formula: raaklijn aan r(t) in r(t 0 ) l(t) = r(t 0 ) + t r (t 0 ) 6

7 r.t/ : 13.4 Beweging in de ruimte Interpretatie : r.t/ = f.t/; g.t/; h.t/ plaats van deeltje (t tijd) r.t/ = v.t/ : snelheid van deeltje r.t/ : absolute snelheid (speed) r.t/ = v.t/ = a.t/ : versnelling van deeltje Opgaven: 13.1:26, 13.2: 27, 13.4: 9 7

8 14.3, 14.4 Functies van meerdere variabelen Def. f : D R n R x =.x 1 ; : : : ; x n / w = f.x 1 ; : : : ; x n / D heet domain, B := {w = f.x/ x D} Begrippen: het beeld grafiek, niveauverzameling van f continuiteit partiele afgeleiden, differentierbaarheid Voorbelden partiele diff.vergelijkingen: Laplace V: u xx + u yy = 0 ; u.x; y/ Golf V: u tt = a 2 u xx ; u.x; t/ Diffusie V: u t = u xx ; u.x; t/ 8

9 raakvlak, lineaire approximatie Def. f : R 2 R, f x ; f y continu. L(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) heet raakvlak aan z = f.x; y/ in.x 0 ; y 0 / of in.x 0 ; y 0 ; z 0 / met z 0 = f.x 0 ; y 0 / Geometrisch: L.x; y/ is lineare approximatie, die in.x 0 ; y 0 / met f; f x ; f y overeenstemt. totaal differentiaal: Stel z = f.x; y/ is diff.baar. d f = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy heet (totaal) differentiaal 9

10 Kettingregel. (Algemeen) Gegeven diff.bare functies u = u.x 1 ; : : : ; x n / ; x j = x j.t 1 ; : : : ; t m / Dan is de samengestelde functie u = u.t 1 ; : : : ; t m / = u.x 1.t/; : : : ; x n.t// i i voor i = 1; : : : ; m 10

11 Impliciet differentiëren: F diff.baar Los op F(x, y) = 0 als F(x, y(x)) = 0? y.x/ Th. Als F.a; b/ = 0 en F y (a, b) 0 dan bestaat er rond.a; b/ de functie y.x/ met y.a/ = b, F.x; y.x// = 0 en dy dx = F x F y of dy dx.a/ = F x.a; b/ F y.a; b/ Los op F(x, y, z) = 0 als F(x, y, z(x, y)) = 0? z.x; y/ Th. Als F.a; b; c/ = 0 en F z (a, b, c) 0 dan bestaat er rond.a; b; c/ de functie z.x; y/: z.a; b/=c, F.x; y; = F x = F y F z b/ = F x.a; b; c/ F z.a; b/ = F y.a; b; c/ F z.a; b; c/ 11

12 14.6 gradient, richtingsafgeleide Gegeven diff.baar f.x/; x =.x 1 ; : : : ; x n / gradient: f.x/ = f x1.x/; : : : ; f xn.x/ richtingsafgeleide: f.x + hu/ f.x/ D u f.x/ = lim h 0 h als u = u 1 ; : : : ; u n met u = 1 Regel: D u f(x) = f(x) u = f x1.x/u 1 + : : : + f xn.x/u n 15 Theorem De stijging D u f.x/ is maximaal voor u = f.x/. als f.x/ 0/ f.x/ met max-waarde D u f.x/ = f.x/ 12

13 Geometrisch: Gegeven het punt P =.x 0 ; y 0 ; z 0 / in de niveauverz. N := {.x; y; z/ F.x; y; z/ = k}. Dan geldt in P F(P) N raakvlak aan N in P =.x 0 ; y 0 ; z 0 /: F x.p/.x x 0 / + F y.p/.y y 0 / +F z.p/.z z 0 / = 0 normale lijn t.o.v. N in P =.x 0 ; y 0 ; z 0 /: r.t/ = x; y; z = x 0 ; y 0 ; z 0 + t F.x 0 ; y 0 ; z 0 / of door x x 0 F x.x 0 ; y 0 ; z 0 / = y y 0 F y.x 0 ; y 0 ; z 0 / = z z 0 F z.x 0 ; y 0 ; z 0 / Opgaven: 14.5: 25,29, : 23,32,41 13

14 Taylor approximatie: van z = f.x; y/ rond.a; b/ orde 2: (kwadratische approximatie) q.x; y/ = f.a; b/ + f x.a; b/.x a/ + f y.a; b/.y b/ + 2( 1 fxx.a; b/.x a/ 2 +2 f xy.a; b/.x a/.y b/ + f yy.a; b/.y 2) b/ 14

15 14.7 Maxima en minima Def. Gegeven f : D R n R p heet globaal minimum als: f. p/ f.x/; maximum als: f. p/ f.x/; x D x D p heet lokaal minimum/maximum als er een omgeving B. p/ = {x R n x p < }, ( > 0) van p bestaat met: f. p/ f.x/ f. p/ f.x/ x D B. p/ minima of maxima heeten extrema. 2 Th. (noodzakelijke conditie) Gegeven f : R n R, f.x/; x =.x 1 ; ::; x n / diff.baar. Als p een lokaal min/max p/ = 0 1 f(p) = p/ n = 0 15

16 voldoende condities: geval f : R 2 R, f(x, y), p = (a, b). Hessiaan: H(x, y) := det ( fxx.x; y/ f xy.x; y/ f yx.x; y/ f yy.x; y/ ) Stel f(a, b) = 0 en H.a; b/ > 0; f xx.a; b/ > 0.a; b/ is lok. min. H.a; b/ > 0; f xx.a; b/ < 0.a; b/ is lok. max. H.a; b/ < 0; H.a; b/ = 0;.a; b/ is zadelpunt. weet niet 16

17 Globaal (absoluut) extremum D R n heet gesloten (closed) als geldt: x D; x p p D D R n heet begrensd (bounded) als er een M > 0 bestaat zodat geldt: x M x D Th. Stel f : D R n R is continu op D en D is begrensd en gesloten Dan bestaan er een globaal minimum p 0 D en een globaal maximum p 1 D van f in D Bepaling van globaal min/max: 1. bepaal de kritieke punten, f.x/ = 0 binnen D 2. bepaal extrema op de rand van D 3. neem min/max uit 1. en 2. 17

18 14.8 extrema onder nevenvoorwaarden min P 1 : f.x/ odn. g.x/ = k max x =.x 1 ; ::; x n /, f.x/; g.x/; diff.baar Th. Stel p =. p 1 ; ::; p n / is een lokaal min/max van P 1 en g. p/ 0. Dan is er een λ R (Lagrange multiplicator) zo dat p; voldoen aan: f x1.x/ = g x1.x/ f(x) = λ g(x) of. f xn.x/ = g xn.x/ g(x) = k g.x/ = k (n+1) vergelijkingen in (n+1) onbekennden x =.x 1 ; ::; x n /; λ 18

19 P 2 : min max f.x/ odn. g.x/ = k 1 en h.x/ = k 2 f.x/; g.x/; h.x/ diff.baar Th. Stel p =. p 1 ; ::; p n / is een lokaal min/max van P 2 en g. p/; h. p/ zijn linear onafhankelijk. Dan zijn er λ; µ R (Lagrange multiplicatoren) zo dat p; ; voldoen aan: f(x) = λ g(x) + µ h(x) g(x) = k 1 h(x) = k 2 of f x1.x/ = g x1.x/ + h x1.x/. f xn.x/ = g xn.x/ + h xn.x/ g.x/ = k 1 h.x/ = k 2 (n+2) vergelijkingen in (n+2) onbekennden x =.x 1 ; ::; x n /; λ; µ 19