De Laplace-transformatie
|
|
- Fenna van Loon
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening als in de toegepaste analyse bewijst de Laplacetransformatie goede diensten. Wij zullen voornamelijk gebruik maken van de Laplace-transformatie bij het oplossen van d.v. s. We beschouwen functies die gedefinieerd zijn op heel R maar die voor t < de waarde aannemen. Laat f zo n functie zijn. Definieer voor reële s de functie F door F (s) = f(t)e st dt. We noemen F de Laplace-getransformeerde van f en noteren hem wel met L(f); het is echter ook gebruikelijk hoofdletters te gebruiken, dus L(f) = F, L(x) = X enzovoort. Opmerking : Bij afspraak is f(t)e st dt gelijk aan lim R R f(t)e st dt (mits deze limiet bestaat). Het hangt dus van de functie f af, of er waarden van s bestaan waarvoor F (s) bestaat. Wat men kan laten zien is dat als F (s ) bestaat voor een zekere s dan bestaat F (s) ook voor elke s > s. Een grote klasse van functies waarvoor zo n s bestaat is die van de exponentieel begrensde functies. We noemen f exponentieel begrensd als een reële getal s en M bestaan zó dat f(t) < e st voor alle t M. Men kan dan met niet al te veel moeite aantonen dat voor s > s de functiewaarde F (s) bestaat. Voorbeeld. Voorbeelden van exponentieel begrensde functies zijn: alle begrensde functies, de functies t k met k en de functies e pt met p R. De functie e t2 is niet exponentieel begrensd. We zullen een paar voorbeelden van Laplace-transformaties bekijken. Voorbeeld 2. Als f(t) = voor elke t dan geldt voor s : L(f)(s) = e st dt = lim R [ s e st ] R = lim R s ( e sr ). Deze limiet bestaat, en is gelijk aan s, als s > en bestaat niet als s <. N.B. L()() = dt bestaat ook niet. De Laplace getransformeerde van is dus /s, met domein (, ). We schrijven wel kortweg L()(s) = /s. Voorbeeld 3. De functie f(t) = e pt heeft ook een Laplace getransformeerde:
2 Voor R > en s p geldt R e pt e st dt = p s [e(p s)t ] R = ( e (p s)r ). s p Als we vervolgens de limiet voor R naar oneindig nemen vinden we L(e pt )(s) = s p voor s > p. Voor s p bestaat L(e pt )(s) niet. Verdere voorbeelden van Laplace-transformaties moeten even wachten tot we een paar eigenschappen van L bekeken hebben. Eén van die eigenschappen is de gemakkelijk te bewijzen lineariteit van de Laplace-transformatie. Stelling Voor de Laplace-transformatie geldt: als L(f) en L(g) bestaan voor s > s dan bestaat ook L(f + g) voor s > s en L(f + g) = L(f) + L(g), en als verder λ een reëel getal is, dan bestaat L(λf) ook en L(λf) = λl(f). We zeggen wel dat de Laplace transformatie daardoor een lineaire afbeelding is. Het nut van deze stelling moge duidelijk zijn: we kunnen een som van functies term voor term transformeren en de getransformeerden optellen. Een eigenschap van L die niet zo eenvoudig in te zien is, is de injectiviteit. Stelling 2 Laat f en g continue functies op [, ) zijn zó dat L(f) en L(g) beide bestaan voor s > s en dat ze gelijk zijn. Dan zijn f en g aan elkaar gelijk. We laten het bewijs van deze stelling achterwege omdat het meer wiskundig gereedschap vergt dan we tot nu toe verzameld hebben. Het nut van deze stelling staat echter buiten kijf: Als we bij een gegeven functie F een functie f gevonden hebben zó dat L(f) = F dan is f uniek (we hoeven niet bang te zijn dat we oplossingen vergeten ). Het verband tussen L(f) en L(f ) is van groot belang in vele toepassingen. Met name bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen met behulp van Laplace getransformeerden. We komen hier aan het eind van deze paragraaf op terug. Stelling 3 Laat f een functie zijn waarvoor een getal s bestaat met de eigenschap dat L(f)(s) bestaat voor s > s èn dat lim t f(t)e st = voor s > s. Dan bestaat ook L(f )(s) voor s > s en L(f )(s) = sl(f)(s) f(). 2
3 Bewijs. Laat s > s en R >. We bepalen R f (t)e st dt met behulp van partiële integratie: R f (t)e st dt = [f(t)e st ] R R = f(r)e sr f() + s sf(t)e st dt R f(t)e st dt. Als we R naar oneindig laten gaan dan komt er f() + sl(f)(s), zoals gesteld. Voorbeeld 4. De afgeleide van e pt is pe pt, dus de Laplace getransformeerde van pe pt is volgens Stelling 3 gelijk aan sl(e pt )(s) = s/(s p). Als we dit onder één noemer brengen dan komt er p/(s p) en dit is inderdaad hetzelfde als pl(e pt ) We kunnen Stelling 3 ook gebruiken om Laplace getransformeerden van primitieven te bepalen. Immers als L(f )(s) = sl(f)(s) f() dan volgt L(f)(s) = L(f )(s) + f(). s Definiëren we nu, bij gegeven f, de functie F door F (t) = t f(τ) dτ, dan geldt L(F )(s) = L(f)(s). s Immers, F is de primitieve van f die voldoet aan F () =. Voorbeeld 5. De Laplace getransformeerde van t is /s 2, immers L(t)(s) = L()(s) = s s 2. Dit kan natuurlijk ook rechtstreeks: te st dt = /s 2. te st dt = s ( te st s e st ) en dus Voorbeeld 6. Zo voortgaand kunnen we voor elke positieve gehele macht van t de Laplace-getransformeerde berekenen, er geldt immers: L(t n )(s) = s L(ntn )(s) = n s L(tn )(s). Omdat we L(t ) en L(t ) al hebben kunnen we vervolgens achtereenvolgens afleiden dat L(t 2 )(s) = 2/s 3, L(t 3 )(s) = 6/s 4 en uiteindelijk komen we dan voor elke n op de formule L(t n )(s) = n!/s n+. 3
4 Om onze lijst volledig te maken bepalen we nog de Laplace getransformeerden van de sinus en cosinus. Dit kan natuurlijk door de integralen e st sin pt dt en e st cos pt dt uit te rekenen. Het kan echter ook heel makkelijk door de eigenschappen van de Laplace-transformatie die we tot nu toe ontdekt hebben te gebruiken. Voorbeeld 7. De Laplace getransformeerde van x(t) = sin pt kunnen we als volgt bepalen: Allereerst realiseren we ons dat x = p 2 x; verder geldt x() = en x () = p. Gebruik makend van Stelling 3 bepalen we eerst L(x ): L(x ) = sl(x ) x () = s ( sl(x) x() ) x () = s 2 L(x) p. De lineariteit geeft L( p 2 x) = p 2 L(x). We krijgen dus de vergelijking Hieruit volgt s 2 L(x) p = p 2 L(x). L(sin pt)(s) = p s 2 + p 2. Op analoge wijze volgt: L(cos pt)(s) = s/(s 2 + p 2 ) (zie Opgave ). Gerelateerd aan Stelling 3 is de volgende opmerking. Stelling 4 Als L(f) = F, dan is L(tf(t)) = F. Dat zien we als volgt: F (s) = e st f(t)dt. Differentieer dat nu naar s: F (s) = d e st ( f(t)dt =!!!! e st f(t) ) dt = e st tf(t)dt. ds s Bij de uitroeptekens verwisselen we integratie en differentiatie. Dat mag natuurlijk niet altijd zomaar. Er zijn voorwaarden aan te geven waaronder het wel geoorloofd is, we gaan daarop niet verder in. Gelijkvormigheid. Laat L(f)(s) = F (s), en bekijk de Laplace transformatie van de functie g(t) = f(at), waar a een constante is. Daarvoor geldt, met behulp van de substitutie u = at L(g)(s) = f(at)e st dt = f(u)e s a u a du = a F ( s a ). 4
5 Opschuiven. In sommige situaties is het handig de Laplace-getransformeerde te nemen van een opgeschoven functie. Bedenk dat we werken met functies f gedefinieerd op R, met de conventie f(t) = voor t <. Opschuiven over een positieve afstand a naar rechts betekent nu het volgende. Definitie: Zij f : R R een functie (herinner dat f(t) = voor t < ) en a ; we noteren met f a de functie die we krijgen door f over a eenheden op te schuiven. In formulevorm: f a (t) = f(t a). Voorbeeld 8. Als we de constante functie (dat wil zeggen voor t en voor t < ) opschuiven naar het interval [a, ) dan is de Laplace getransformeerde van die opgeschoven functie gelijk aan a e st dt = e as /s. De Laplace getransformeerde van de functie die is op [, a) en elders is dan ( e sa )/s (waarom?) De functie H a gedefinieerd door H a (t) = als t < a als t a wordt de Heaviside functie genoemd. In het voorgaande voorbeeld is dus voor a berekend dat L(H a )(s) = e as /s. Voorbeeld 9. Als we een functie van de vorm e pt opschuiven dan komt er: a e p(t a) e st dt = e pt e s(t+a) dt = e as L(e pt )(s) = e as s p. De afgekapte functie heeft Laplace getransformeerde a e pt e st dt = s p ( e(p s)a ). Het beperken van een functie tot een interval van de vorm [, a] leidt in het algemeen niet tot een eenvoudige formule voor de Laplace getransformeerde maar het opschuiven doet dit wel; in de voorbeelden hierboven werd de getransformeerde van de oorspronkelijke functie met e as vermenigvuldigd. Dit geldt algemeen. Stelling 5 Laat a >, laat f a (t) = f(t a). Dan geldt L(f a )(s) = = f a (t)e st dt = a f(t a)e st dt = f(t)e s(t+a) dt = e as L(f)(s). 5
6 Verband houdend hiermee, maar veel simpeler is de volgende opmerking. Stelling 6 Laat L(f) = F, en beschouw voor a > de functie g(t) = e at f(t). Dan L(g)(s) = e st e at f(t)dt = F (s + a). Hiermee zien we eenvoudig in dat L(te t )(s) = L(t)(s ) = (s ). Dat kun je 2 ook zien met Stelling 4: L(te t )(s) = L(e t ) (s) = ( s ) = (s ). 2 Convolutie. Een belangrijke operatie op functies is de convolutie. Als f en g functies zijn, gedefinieerd op R, dan is hun convolutieprodukt f g als volgt gedefinieerd (f g)(t) = f(τ)g(t τ) dτ. Natuurlijk moeten er voorwaarden aan f en g worden opgelegd opdat f g bestaat. In ons geval is het voldoende aan te nemen dat f en g over elk eindig interval integreerbaar zijn. Wij beschouwen immers alleen functies die op het interval (, ) de waarde aannemen. In dat geval is f(τ)g(t τ) gelijk aan voor elke τ < en elke τ > t. We houden over (f g)(t) = t f(τ)g(t τ) dτ. Deze integraal bestaat als f en g integreerbaar zijn op [, t]. Opmerking : In de kansrekening speelt de convolutie een rol: als X en Y onafhankelijke stochasten zijn met kansdichtheden respectievelijk f en g dan is f g de kansdichtheid van X + Y. Met andere woorden, voor elke a geldt P(X + Y a) = a (f g)(t) dt. Belangrijk is dat de Laplace-transformatie convoluties in gewone produkten overvoert: Stelling 7 Als L(f)(s) en L(g)(s) bestaan dan bestaat L(f g)(s) ook en geldt: L(f g)(s) = L(f)(s) L(g)(s). Bewijs. We berekenen de Laplace-getransformeerde van f g: (f g)(t)e st dt = t f(τ)g(t τ)e st dτdt. 6
7 Deze integraal is in feite een integraal over het gebied (t, τ) R 2 τ t }. We kunnen de integratievolgorde verwisselen: Eerst naar t (telkens van τ tot ) en dan naar τ (van tot ). Dit levert op τ f(τ)g(t τ)e st dtdτ = Van het rechterlid kunnen we f(τ)e sτ dτ τ τ f(τ)e sτ g(t τ)e s(t τ) dtdτ. g(t τ)e s(t τ) dt maken. Tenslotte merken we op dat met de substitutie u = t τ in te zien is dat τ g(t τ)e s(t τ) dt = waarmee we ( ) gelijk gepraat hebben aan f(τ)e sτ dτ g(u)e su du = L(g)(s), g(t)e st dt ( ) en dit is precies gelijk aan L(f)L(g). Opmerking : Bovenstaand bewijs is natuurlijk lang niet volledig; we hebben de integratievolgorde verwisseld zonder ons af te vragen of dat mocht. Een nauwkeurige beschouwing leert echter dat het bewijs geldig is voor die waarden van s waarvoor L(f) en L(g) beide bestaan. Voorbeeld. De convolutie van H met zichzelf is snel bepaald: (H H )(t) = t dτ = t. We zien weer dat L(t) = /s2 : Immers, L(t) = L( ) = L()L() = s s = s 2. Stelling 7 is vooral handig bij terugtransformeren. Als blijkt dat de Laplacetransformatie van een functie een produkt van eenvoudige factoren is dan is de functie zelf de convolutie van eenvoudige functies. Voordat we een belangrijke toepassing zullen behandelen, is het tijd eens een lijst met Laplace-getransformeerden op te stellen. Ze staan in de tabel op bladzijde. Enkele daarvan hebben we zojuist berekend, andere kun je zelf nagaan (zie Opgave ). Voor het gemak hebben we in de tabel de notatie F (s) voor L(f(t)) gebruikt. Voor de Laplace getransformeerde van g(t) noteren we G(s). 7
8 Oplossen van differentiaalvergelijkingen. We behandelen nu een belangrijke toepassing: het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen. Via Stelling 3 weten we al dat als F (s) de Laplace getransformeerde is van f(t), dat dan sf (s) f() de Laplace getransformeerde is van f (t). Op exact dezelfde manier vinden we voor de Laplace getransformeerde van f (t) de functie s 2 F (s) sf() f () [ga na!]. Zo voortgaand verkrijgen we voor de Laplace getransformeerde van f (n) (t) (zie ook de tabel): L(f (n) )(s) = s n F (s) s n f() s n 2 f ()... sf (n 2) () f (n ) (). Als we nu de Laplace transformatie laten werken op een lineaire differentiaalvergelijking met onbekende y(t) en evt. beginwaarden y(), y () etc., dan verkrijgen we een lineaire vergelijking in Y (s), de Laplace getransformeerde van y(t). Als we die vergelijking hebben opgelost, kunnen we (hopelijk) via de tabel uitvinden welke functie bij de gevonden Laplace getransformeerde hoort. Immers, volgens Stelling 2 is de Laplace getransformeerde uniek! We zullen dit eens verduidelijken aan de hand van een voorbeeld: Voorbeeld. Los het volgende beginwaarde probleem op d.m.v. Laplace transformatie: y (x) + y(x) = sin 2x, y() =, y () =. Oplossing. We nemen van de drie functies uit de differentiaalvergelijking de Laplace getransformeerde en vinden zo (Y (s) := L(y)(s)): s 2 Y (s) sy() y () + Y (s) = 2 s We vullen de beginwaarden in en lossen de vergelijking op naar Y (s): Y (s) = s (s 2 + )(s 2 + 4). Deze Y (s) staat niet in de tabel en dat is meestal ook niet te verwachten. We passen echter breuksplitsing toe: Y (s) = s (s 2 + )(s 2 + 4) = 5/3 s 2 + 2/3 s Nu kunnen we de tabel wel gebruiken! Kennelijk is de functie die als Laplace getransformeerde Y (s) heeft gelijk aan: y(x) = 5 3 sin x sin 2x, 3 en dit is dus de oplossing van onze differentiaalvergelijking. 8
9 Voorbeeld 2. Nu een wat ingewikkelder voorbeeld. Los het volgende beginwaarde probleem op d.m.v. Laplace transformatie: y (t) 2y(t) + y(t) = te t, y() =, y () =. Merk op dat het rechterlid, de functie te t een oplossing is van de homogene vergelijking. We nemen links en rechts de Laplace getransformeerde; gebruik daarbij dat L(te t )(s) = (s ) 2. Dat geeft Dus: s 2 Y (s) sy() y () 2sY (s) + 2y() + Y (s) = (s 2 2s + )Y (s) = Daaruit krijgen we (s ) 2. (s ) 2 + sy(o) + y () 2y() = (s ) 2 + s 2. Y (s) = (s ) 4 + s 2 (s ) 2. We moeten nu hieruit y(t) zien terug te vinden. Gebruik de stelling over verschuiving: L ( (s ) = 4 3! t3 e t. Op de tweede term passen we brueksplitsing toe s 2 (s ) 2 = s (s ) 2 (s ) 2 = s (s ) 2. Nu is L ( s ) = et en L ( (s ) 2 ) = te t. Alles samenrapend: y(t) = 6 t3 e t + e t te t. } } } } oplossing van de homogene vergelijking particuliere oplossing Reken ter controle na dat 6 t3 e t inderdaad een oplossing is van de inhomogene differentiaalvergelijkin. 9
10 f(t) F (s) = f(t)e st dt s, s > t n, n N n! s n+, s > e at s a, s > a sin at a s 2 + a 2, s > cos at s s 2 + a 2, s > sinh at a s 2 a 2, s > a cosh at s s 2 a 2, s > a H a(t) e as s, s > H a(t)f(t a) e as F (s) e at f(t) F (s a) f(at) F ( ) s a a f (n) (t) s n F (s) s n f()... f (n ) () t f(τ)g(t τ)dτ F (s)g(s) Table : Tabel van functies met hun Laplace getransformeerden.
11 Vraagstukken Laplace transformatie. Controleer de juistheid van de tabel van Laplacegetransformeerden. 2. Bepaal (op een handige manier!) de Laplace getransformeerden van de volgende functies: (i) 3x + 5 (iii) x n e λx, (n N) (ii) e x sin 2x (iv) x sin (t) cos (x t) dt 3. Bepaal f(t) (o.a. met behulp van Tabel 2.), als F (s), de Laplacegetransformeerde van f(t), gegeven is door: (i) s 6 (iii) s 6 s 2 4 (ii) 5s+3 s 2 +4 (iv) 2s+3 s 2 +6s+3 4. Bepaal met behulp van Laplace transformatie de oplossing van de volgende beginwaardeproblemen: a. b. y (x) + 2y (x) 3y(x) = x y() =, y () =. y (3) (x) y (x) = y() =, y () =, y () =. c. y (x) y(x) = f(x) y() =, y () = met f(x) = x x <.
Stelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieFourier transformatie
Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies met periode gekeken. De reden hiervoor was,
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Laplace transformatie éénzijdige Laplace-transformatie:
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatieFourier transformatie
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies
Nadere informatieNotatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek
Differentiaalvergelijkingen voor WbMT wi25wbmt Dr Roelof Koekoek Het boek William E Boyce & Richard C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Tenth Edition, Wiley, 22, ISBN
Nadere informatie18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste
Nadere informatieHoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie
Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen
Nadere informatieRegeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Tijdschema
Nadere informatiecollege 2: partiële integratie
39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieSpeciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieDIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1 Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties - Definities
Nadere informatieLineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten
Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatie3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieHoofdstuk 6: De Laplace transformatie
Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(,
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatieen-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,
Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt
Nadere informatieopgave 1. (2 pt) kies het juiste antwoord; motiveer kort je antwoord s b) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) =
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE ECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E8) gehouden op maandag 3 oktober van 9:-: (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen gebruik maken
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatied τ (t) dt = 1 voor alle τ 0.
65 Impulfunctie In deze paragraaf kijken we naar verchijnelen waarbij in zeer korte tijd een (grote kracht op een yteem wordt uitgeoefend Zo n plotelinge kracht kunnen we bechrijven met behulp van een
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieWiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse B
Uitwerking tentamen Analyse B 30 juni 20, 7:00 20:00 uur De hieronder gegeven uitwerkingen moeten worden opgevat als voorbeelden van correcte oplossingen. In veel gevallen zijn andere correcte oplossingen
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT248 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 1 / 1 Partiële integratie Uit de productregel volgt: (f (x)g(x))
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieHet vinden van een particuliere oplossing
Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat
Nadere informatieFunctievergelijkingen
Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieK.1 De substitutiemethode [1]
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatien 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieExamen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014)
Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 204). Maclaurin reeksen. Geef met bewijs de Maclaurin reeksontwikkeling van de logaritmische functie ln( + x). Geef ook het convergentie-interval van
Nadere informatie