Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie

Transcriptie

1 Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(, t) heet wel de kern van de integraaltranformatie. De bedoeling van zo n integraaltranformatie i om een probleem voor f om te zetten naar een eenvoudiger probleem voor F. Een bijkomend probleem i echter om uiteindelijk f terug te vinden al het eenvoudiger probleem voor F opgelot i (en F du gevonden i). In dit hoofdtuk bechouwen we alleen de Laplace tranformatie: Definitie. Al f : [, ) R voldoet aan zekere voorwaarden, dan i F () = L f(t)} () = de Laplace getranformeerde van f. e t f(t) dt () Opmerking. Hier i du K(, t) = e t en (α, β) = (, ). Opmerking 2. De integraal () betaat niet voor elke functie f (vandaar de zekere voorwaarden). De integraal i een oneigenlijke integraal (van de eerte oort, maar voor ommige functie f ook van de tweede oort): e t f(t) dt = lim A A e t f(t) dt, maar ook in andere punten kunnen problemen betaan. Bijvoorbeeld in t = al f(t) = /t of in t = al f(t) = /( t). We bekijken nu eert enkele voorbeelden. Voorbeeld. Al f(t) =, dan volgt L } () = e t dt = e t = t= voor >. Voorbeeld 2. Al f(t) = e at, dan volgt L e at} () = e t e at dt = e ( a)t dt = e ( a)t a = t= a voor > a.

2 Merk op, dat we voor a = het reultaat van voorbeeld weer krijgen. Voorbeeld 3. Al f(t) = co at, dan volgt F () = L co at} () = e t co at dt = a e t d in at al a. Via partiële integratie vinden we dan voor a F () = a e t in at + e t in at dt = t= a a 2 e t d co at = a 2 e t co at 2 t= a 2 e t co at dt = a 2 2 F () voor >. a2 Du: ( ) + 2 a 2 F () = a 2 = F () = /a2 + 2 /a 2 = 2 + a 2. Merk op, dat dit reultaat ook correct i voor a = (vergelijk met voorbeeld ). Du: Evenzo vinden we (zie boek): L co at} () = L in at} () = 2 + a 2 voor >. a 2 + a 2 voor >. Er geldt de volgende rekenregel: L c f (t) + c 2 f 2 (t)} = c L f (t)} + c 2 L f 2 (t)}. De Laplace tranformatie i een zogenaamde lineaire operator. Deze rekenregel / eigenchap zullen we veelvuldig gebruiken om Laplace getranformeerden te berekenen. Definitie 2. Een functie f heet tukgewij continu op een interval I al dat interval I verdeeld kan worden in een eindig aantal open deelintervallen waarop f continu i. Dit betekent dat de functie f in hoogten eindig veel punten dicontinu i. De (Laplace) integraal van een dergelijke functie kan daarom gewoon betaan. Voorbeeld 4. Stel f(t) = Dan volgt: L f(t)} () =, t <, t. e t f(t) dt = e t dt = e t = e t=, >. 2

3 Stelling. Al f tukgewij continu i op elk deelinterval [, A] met A > en f(t) Ke at voor alle t M, dan betaat de Laplace getranformeerde van f(t) voor > a. Bewij. Merk op, dat F () = L f(t)} () = e t f(t) dt = M e t f(t) dt + e t f(t) dt M e t f(t) dt. Omdat f tukgewij continu i op [, M] betaat de eerte integraal van het rechterlid. Verder geldt: e t f(t) Ke t e at = Ke (a )t voor t M en du e t f(t) dt K e (a )t dt. M De laatte integraal convergeert voor > a. Dit bewijt de telling. De Laplace getranformeerde betaat du voor alle tukgewij continue functie, die van exponentiële orde zijn voor t. Er betaan overigen ook andere functie waarvan de Laplace getranformeerde betaat, maar voor on doel i de genoemde klae van functie groot genoeg. We maken alleen gebruik van functie die aan de voorwaarden van telling voldoen Oploingen van beginwaardeproblemen. Stel dat dan volgt: L f (t) } () = Vervolgen vinden we ook: F () = L f(t)} () = e t f (t) dt = M e t df(t) e t f(t) dt, = e t f(t) + e t f(t) dt = f() + F () = L f(t)} () f(). t= L f (t) } () = L f (t) } () f () = [F () f()] f () = 2 F () f() f (). Enzovoort. Zo vinden we voor n =, 2, 3,...: } L f (n) (t) () = n F () n f()... f (n 2) () f (n ) (). Er geldt nu: 3

4 Stelling 2. Al f continu i en f tukgewij continu op elk deelinterval [, A] met A > en f(t) Ke at voor alle t M, dan geldt voor > a: en algemeen: L f (t) } () = L f(t)} () f(). Stelling 3. Al f, f,..., f (n ) continu zijn en al f (n) tukgewij continu i op elk deelinterval [, A] met A > en f (k) (t) Ke at voor alle t M en k =,, 2,..., n, dan geldt voor > a: } L f (n) (t) () = n L f(t)} () n f()... f (n 2) () f (n ) (). Voorbeeld 5. Bechouw het beginwaardeprobleem y 6y + 5y = y() =, y () = 2. Merk op, dat we dit probleem eenvoudig kunnen oploen met de bekende technieken uit hoofdtuk 3 (en Stewart, hoofdtuk 7). De karakteritieke vergelijking i r 2 6r + 5 = (r )(r 5) =. De algemene oploing van de differentiaalvergelijking i du: y(t) = c e t + c 2 e 5t. De beginvoorwaarden y() = en y () = 2 leiden vervolgen tot: c + c 2 = = c = 3 en c 2 = c + 5c 2 = De oploing van het beginwaardeprobleem i du: y(t) = 3 4 et + 4 e5t. Nu gaan we het probleem oploen met behulp van de Laplace tranformatie. L y(t)} () = Y (), dan volgt: Stel dat L y 6y + 5y } = L } = en Du: L y 6y + 5y } = L y } 6L y } + 5L y}. 2 Y () y() y () 6 [Y () y()]+5y () = ( 2 6+5)Y () 2+6 =. Du: ( )( 5)Y () = 4 Y () = 4 ( )( 5), waarmee het (eenvoudiger) probleem voor Y () i opgelot. Reteert nog de vraag hoe we hieruit de oploing y(t) van het oorpronkelijke (beginwaarde)probleem kunnen bepalen. In voorbeeld 2 hebben we gezien dat Met behulp van breukpliting vinden we nu: Y () = 4 ( )( 5) = A + L e at} () = a. B A( 5) + B( ) = = 5 ( )( 5) 4 (A + B) 5A B. ( )( 5)

5 Hieruit volgt: A +B = 5A B = 4 = A = 3 4 en B = 4. Du: Y () = = y(t) = et + 4 e5t. Merk op dat de eerte methode veel eenvoudiger (en neller) tot de oploing leidt dan de laatte methode op bai van de Laplace tranformatie. Deze laatte methode i dan ook niet bedoeld om dergelijke problemen, die we allang kunnen oploen, (op een andere manier) op te loen. We zullen later zien dat we met behulp van de Laplace tranformatie beginwaardeproblemen kunnen oploen die met de conventionele methoden niet (zo gemakkelijk) zijn op te loen. Voorbeeld 6. Bechouw het beginwaardeprobleem y + y = co 2t y() =, y () =. Ook dit beginwaardeprobleem i veel eenvoudiger op te loen met de technieken uit hoofdtuk 3, maar daar gaat het nu niet om. Stel dat L y(t)} () = Y (), dan volgt met behulp van voorbeeld 3: 2 Y () y() y () + Y () = Du: Hieruit volgt dat Y () = ( 2 + )Y () = = (2 + 5) ( 2 + 5) ( 2 + )( 2 + 4) = A + B C + D ( 2 +5) = (A+B)( 2 +4)+(C+D)( 2 +) = (A+C) 3 +(B +D) 2 +(4A+C)+4B +D en du A +C = 4A +C = 5 en B +D = 4B +D =. Hieruit volgt: A = 4/3, B =, C = /3 en D =. Du (zie voorbeeld 3): Y () = = y(t) = 4 3 co t co 2t. 3 Om zoveel mogelijk beginwaardeproblemen te kunnen oploen i het du zaak om van zoveel mogelijk functie de Laplace getranformeerde te kunnen berekenen. We maken daarom een tabel van de meet voorkomende functie en hun Laplace getranformeerden. Zo n tabel vindt u op pagina 32 van het boek. Een dergelijke tabel zal ook bij het tentamen bechikbaar worden geteld, want het i niet de bedoeling om zoveel mogelijk formule uit het hoofd te leren. Laten we de tabel van pagina 32 even doorlopen. De formule, 2, 5 en 6 hebben we reed gezien. Formule 3 kan met behulp van partiële integratie worden gevonden. Voor n =, 2, 3,... geldt L t n } () = e t t n dt = t n de t = tn e t 5 t= + n e t t n dt.

6 Voor > i de tokterm gelijk aan nul. Al we op deze wijze doorgaan, dan vinden we met behulp van voorbeeld : L t n } () = n n e t dt = n! n = n!, n =, 2, 3,.... n+ Formule 4 i een generaliatie van formule 3 die ook voor niet-gehele machten van t geldt, maar hiervoor hebben we de gamma-functie Γ(z) = t z e t dt, Re z > nodig. Aangezien deze functie niet bekend i, zullen we formule 4 overlaan. Dit betekent dat we functie zoal f(t) = t buiten bechouwing zullen laten. Het i echter wel goed om te weten dat het toch mogelijk i voor dergelijke functie de Laplace getranformeerde te berekenen. Zo geldt bijvoorbeeld } e t L () = dt = Γ(/2) π π t t /2 = = en } L t () = e t t dt = Γ(3/2) 3/2 = maar dit behoort niet tot de tentamentof. De formule 7 en 8 zijn weer erg eenvoudig. Immer: inh at = eat e at en evenzo: 2 coh at = eat + e at π 2, = L inh at} () = 2 a 2 + a = + a + a 2 ( a)( + a) = a 2 a 2 2 = L coh at} () = 2 a a = 2 a 2. Ook de formule 9, en zijn eenvoudig af te leiden met behulp van de formule 5, 6 en 3 repectievelijk. Immer (met behulp van voorbeeld 3): L e at co bt } () = e t e at co bt dt = e ( a)t co bt dt = Evenzo vinden we met behulp van formule 5 en formule 3 repectievelijk: L e at in bt } () = b ( a) 2 + b 2 en L t n e at} () = a ( a) 2 + b 2. n! ( a) n+. Ten lotte hebben we formule 8 } L f (n) (t) () = n F () n f()... f (n 2) () f (n ) () voor n =, 2, 3,... al afgeleid. De reterende formule zullen we later afleiden. 6

7 6.3. Stapfunctie. Zoal eerder opgemerkt i het de bedoeling om de Laplace tranformatie te gaan gebruiken voor beginwaardeproblemen die met de conventionele methoden niet (zo gemakkelijk) zijn op te loen. Een voorbeeld van een dergelijk probleem i een beginwaardeprobleem met een dicontinu rechterlid. Om gemakkelijk met dergelijke functie te kunnen werken maken we gebruik van de ééntapfunctie van Heaviide:, t < c u c (t) = c., t c Met behulp van deze eenvoudige (bai) tapfunctie kunnen we allerlei functie met prongdicontinuïteiten bechrijven. We bekijken enkele voorbeelden. Voorbeeld. f(t) = u π (t) 2u 2π (t) + u 3π (t) voor t. Uit de definitie van u c (t) volgt: + =, t < π + =, π t < 2π f(t) = 2 + =, 2π t < 3π 2 + =, t 3π. Voorbeeld 2. De functie t, t < g(t) = 3t + 4t 2, t < 2, t 2 laat zich met behulp van de tapfunctie van Heaviide bechrijven al g(t) = t + u (t)( 4t + 4t 2 ) u 2 (t)( 3t + 4t 2 ). De Laplace getranformeerde van u c (t) laat zich eenvoudig berekenen met behulp van de definitie: L u c (t)} () = e t u c (t) dt = e t dt = e t = e c c, >. c Dit i formule 2 van de tabel op pagina 32. Zoal blijkt uit boventaande voorbeelden komt de tapfunctie u c (t) vaak voor in combinatie met een andere functie. Daarom i het handig om te kijken naar de Laplace getranformeerde van een dergelijk product van twee functie: L u c (t)f(t c)} () = = e t u c (t)f(t c) dt = c e t f(t c) dt e (c+u) f(u) du = e c e u f(u) du = e c L f(t)} (). Al de Laplace getranformeerde van f(t) betaat, dan betaat de Laplace getranformeerde van u c (t)f(t c) du ook. Deze wordt dan bepaald door boventaande formule. Dit i formule 3 van de tabel op pagina 32. 7

8 Voorbeeld 3. Bechouw de functie in t, t < π f(t) = in t + co t, t π. Merk op dat co t = co(t π), zodat f(t) = in t + u π (t) co t = in t u π (t) co(t π). De Laplace getranformeerde van f(t) i du: want F () = L f(t)} () = 2 + e π 2 +, L in t} () = 2 + en L co t} () = 2 +. Voorbeeld 4. Stel dat L f(t)} () = F () = e π 2. Dan volgt: F () = 2 e π t = t, t < π 2 = f(t) = t u π (t)(t π) = t (t π) = π, t π. Al F () = L f(t)} (), dan volgt: L e ct f(t) } () = e t e ct f(t) dt = e ( c)t f(t) dt = F ( c). Al F () = L f(t)} () betaat voor > a, dan betaat L e ct f(t) } () du voor > a+c. Dit i formule 4 van de tabel op pagina 32. Deze formule kan bijvoorbeeld worden gebruikt om formule 9 uit formule 5 af te leiden, zoal we eerder gedaan hebben. Maar de formule kan natuurlijk veel algemener worden toegepat. Merk ook op dat met dit reultaat bijvoorbeeld formule 2 van de tabel uit formule volgt: L } () =, > = L e at} () = a, > a. Voorbeeld 5. Uit het tentamen van mei 2: in t, t < π y (t) + 4y(t) = in t + co t, t π y() =, y () =. Stel Y () = Ly(t)}(), dan volgt 2 Y () y() y () + 4Y () = F (), waarbij F () = Lf(t)}() met in t, t < π f(t) = in t + co t, t π. 8

9 Merk op, dat f(t) = in t u π (t) co(t π) (zie voorbeeld 3) en du F () = 2 + e π 2 +. Met de beginvoorwaarden y() = en y () = volgt nu: en du Y () = ( 2 + 4)Y () = e π ( 2 + )( 2 + 4) e π ( 2 + )( 2 + 4). Met behulp van breukpliting vinden we nu: ( 2 + )( 2 + 4) = 3 [ 2 + ] en du: Y () = [ 3 e π 2 + ] Terugtranformeren geeft ten lotte: y(t) = co 2t + 3 in 2t + 3 in t 3 u π(t) [co(t π) co 2(t π)] Differentiaalvergelijkingen met dicontinue rechterleden. Om te laten zien dat we hier veel voordeel hebben van de Laplace tranformatie laten we een voorbeeld zien die we eert op de conventionele manier oploen en vervolgen met behulp van de Laplace tranformatie. Zie bijvoorbeeld ook de opgaven 32 en 33 van 2.4. Voorbeeld 6. Bechouw het beginwaardeprobleem y 3y + 2y = f(t) met f(t) = y() =, y () =, t < 3, t 3. De karakteritieke vergelijking i: r 2 3r + 2 = (r )(r 2) = = y h (t) = c e t + c 2 e 2t. Een particuliere oploing voor t < 3 i bijvoorbeeld y p (t) = /2. We vinden du y(t) = 2 + c e t + c 2 e 2t voor t < 3 en y(t) = k e t + k 2 e 2t voor t 3. 9

10 De contanten c en c 2 moeten nu zo gekozen worden dat aan de beginvoorwaarden y() = en y () = wordt voldaan en de contanten k en k 2 moeten zo gekozen worden dat de oploing continu i in t = 3. Du: y() = c + c 2 = /2 y () = c + 2c 2 = = c = en c 2 = 2. Vervolgen vinden we: y(3) = /2 + e 3 e 6 /2 y (3) = e 3 e 6 k e 3 + k 2 e 6 = /2 + e 3 e 6 /2 k e 3 + 2k 2 e 6 = e 3 e 6. Hieruit volgt en k e 3 = + e 3 = k = + e 3 k 2 e 6 = 2 2 e6 = k 2 = 2 2 e 6. We vinden du uiteindelijk y(t) = 2 + et 2 e2t voor t < 3 en y(t) = ( + e 3 )e t 2 ( + e 6 )e 2t voor t 3. Dit kan gechreven worden al /2 + e t e 2t /2, t < 3 y(t) = e t e 2t /2 + e t 3 e 2(t 3) /2, t 3. Nu met behulp van de Laplace tranformatie. Stel dat L y(t)} () = Y (), dan volgt 2 Y () y() y () 3 [Y () y()] + 2Y () = F (), waarbij F () = L f(t)} () met f(t) = u 3 (t). Du: F () = e 3. Met behulp van de beginvoorwaarden y() = en y () = vinden we dan oftewel Du: ( )Y () + 3 = e 3 ( )( 2)Y () = 3 + e 3 = Y () = ( )( 2) e 3 ( )( 2). e 3.

11 Met behulp van breukpliting vinden we en du ( )( 2) = A + B + C = A( )( 2) + B( 2) + C( ) = (A + B + C) 2 (3A + 2B + C) + 2A. Hieruit volgt dat A + B + C =, 3A + 2B + C = 3 en 2A = en du: Verder geldt (eveneen via breukpliting): en du A = 2, B = en C = 2. ( )( 2) = D + E + F 2 = D( )( 2) + E( 2) + F ( ) = (D + E + F ) 2 (3D + 2E + F ) + 2D. Hieruit volgt dat D + E + F =, 3D + 2E + F = en 2D = en du: D = 2, E = en F = 2. Du: Hieruit volgt: Y () = e 3 [ y(t) = 2 + et [ 2 e2t u 3 (t) 2 et 3 + ] 2 e2(t 3). ]. Ten lotte kijken we nog even naar formule 9 van de tabel op pagina 32. Zie ook opgave 28 van 6.2. Al F () = L f(t)} () = e t f(t) dt en al we de volgorde van differentiëren en integreren mogen verwielen, dan volgt: F () = e t ( t)f(t) dt = L ( t)f(t)} (). We gaan hier niet in op de voorwaarden waaronder dit i toegetaan. We kunnen dit eenvoudig generalieren tot: F (n) () = L ( t) n f(t)} (), n =,, 2,.... We kunnen deze formule gebruiken om bijvoorbeeld formule 3 van de tabel uit formule af te leiden. Immer, al F () = L } () =, dan geldt: L t n } () = ( ) n F (n) () = ( ) n ( )( 2) ( n) n = n!, n =,, 2,.... n+

12 Om bijvoorbeeld L t in t} () te bepalen maken we gebruik van G() = L in t} () = 2 +. Dan volgt namelijk dat L t in t} () = G () = 2 ( 2 + ) 2. Evenzo, al H() = L co t} () = 2 +, dan volgt dat L t 2 co t } () = H () = d ( ) d ( 2 + ) 2 = d d ( 2 ) + ( 2 + ) 2 = 2(2 + ) 2 2( 2 + ) 2 ( 2 + ) ( 2 + ) 4 = 2( ) ( 2 + ) 3 = 2(2 3) ( 2 + ) 3. 2