Kansfunctie bij observatie van toevalsproces

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Kansfunctie bij observatie van toevalsproces"

Melanie Pieters
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Kanfunctie bij obervatie van toevalproce ignaal in itte Gauiaane rui Ontvang ignaal : r(t) (t;i) + n(t) n(t) : tationaire itte Gauiaane rui et pectrale dichtheid N / I telt de over te drag inforatie (hypothee, paraeter) voor Ozett van proce r(t) naar e vector r, vervolg de kanfunctie r I) bepal ) tuur r(t) door ideaal laagdoorlaatfilter Π (f) et bandbreedte /(T ). Dit leidt tot r (t) (t;i) + n (t) De autocorrelatiefunctie van n (t) i gegev door N in( πu / T ) E[n (t)n (t + u)] T πu / T ) Het ignaal r (t) ordt beonterd aan nelheid /T, zodat aan het beonteringtheorea van hannon i voldaan. De beko onteraard bevatt alle inforatie van r (t), vor de copont van de vector r : r (..., r (-T ), r (), r (T ),...) T, et r (kt ) (kt ) + n (kt ) De onteraard n (kt ) zijn Gauiaan tatitich onafhankelijk et variantie N /(T ). In plaat van r I) zelf, bepal e de kanverhouding r I)/r ), aarbij correpondeert et r(t) n(t), du et r (kt ) n (kt ). Odat r ) e factor i die niet afhangt van de inforatie I, heeft deze noraliatie ge invloed op de deciie- of chattingregel die I probeert te bepal uit r. De reulterde kanverhouding r I)/r ) i gegev door T C exp r (T ) (T ; I) r I) li r ) T C exp r (T ) T exp ( + ) (T ; I)r (T ) (T ; I) ( / aarbij C ( πn T ) ) +. teund op het beonteringtheorea de telling van Parceval beko e : T ( (T ; I)r (T ) + (T ; I) ) ( (t; I)r (t) + (t; I) ) (f; I)R + dt (f; I) df

2 Reking houdd et (f;i)r (f; I)R, geldt (f; I)R + (f; I) df ( (t; I)r(t) + (t; I) ) (f; I)R + 3) Tlotte ordt T voldode klein go, zodat (t;i) (t;i). Wanneer (t;i) bandbeperkt i,.a.. voor alle I geldt (f;i) al f > B, dan voltaat het /T > B te kiez. Wanneer (t;i) niet bandbeperkt i, oet e liietovergang T go ord. E voldode kleine T leidt du tot ( r I) exp r ) ( (t; I)r(t) + (t; I) ) dt p Op e van I onafhankelijke factor na kunn e tell dat r I) exp (t; I)r(t) + (t; I) dt of r I) exp r(t) (t; I) dt Wanneer (t;i) bandbeperkt i, ag r(t) vervang ord door r (t), die beko ordt door r(t) aan te legg aan e (niet noodzakelijk ideaal!) laagdoorlaatfilter et verterking binn de bandbreedte van (t;i). De kanfunctie kan dan ook beko ord (op e van I onafhankelijke factor na) uit onteraard r (T ) (T ), go aan nelheid /T (groter dan teeaal de bandbreedte van het laagdoorlaatfilter), hetge intereant i bij e praktiche ipletatie : T + r I) exp ( (T + ) ; I)r (T ) (T ; I) of T r I) exp ( r ) (T ) (T ; I) (f;i) dt df

3 3 Banddoorlaatignaal in itte Gauiaane rui We noter het uitgezond ontvang ignaal al (t;i) r (t), et (t;i) Re[ (t; I) exjπf t] ] r (t) (t;i) + n(t), aarbij (t;i) de bandbeperkte coplexe ohullde van (t;i) voortelt : (f;i) voor f >B. Op e van I onafhankelijke factor na, i de kanfunctie gegev door r I) exp (t; I)r (t) + (t; I) dt Er geldt (t; I)r (t)dt Re (t; I) ex jπf t)r (t)dt Re (f; I)R )df Enkel de frequtiecopont van R(f+f ) in (-B,B) drag bij tot bovtaande integraal, zodat R ) ag vervang ord door R R ) Π. De correponderde r(t) ordt beko door r (t) te deoduler, telt du de coplexe ohullde van r (t) voor (zie Fig. ). Alzo beko e : (t; I)r (t)dt Re (f; I)Rdf Re (t; I)r(t)dt, ook (t; I)dt (t; I) dt, zodat (op van I onafhankelijke factor na) r I) exp Re[ (t; I)r(t)] + (t; I) dt r I) exp r(t) (t; I) dt Hetzelfde reultaat ordt beko door de kanfunctie te berek in het geval van tee ontvang ignal r I (t) r Q (t), die de in-fae kadratuurcopont van r (t) voortell :, of r I (t) I (t;i) + n I (t) r Q (t) Q (t;i) + n Q (t), aarbij n I (t) n Q (t) tatitich onafhankelijke itte Gauiaane ruiproce zijn et pectrale dichtheid N /. tell e r(t) r I (t) + jr Q (t) (t;i) I (t;i) + j Q (t;i), dan geldt ) r I) exp ri (t) I (t; I) + rqi (t) Q (t; I) dt exp r(t) (t; I) dt Ook hier kan de kanfunctie uitgedrukt ord in ter van de onteraard van r(t) (t), go aan e nelheid /T > B.

4 4 ignaal in gekleurde rui Al aanloop naar het geval van gekleurde rui, ton e eert aan dat optialiteit niet verlor gaat door e okeerbare tranforatie toe te pa op het ontvang ignaal. We bechou drie ontvanger, aarvan de perforantie geet ordt aan de hand van de kotfunctie C (hoe lager C, hoe beter de perforantie). De eerte ontvanger inialieert de kot C over alle ogelijke ontvanger die r(t) oberver. Dit leidt tot C C De teede ontvanger tranforeert eert r(t) naar et behulp van e okeerbare tranforatie T(.), vererkt vervolg zodat de kot C iniaal i over alle ontvanger die oberver. Dit leidt tot C C. De derde ontvanger tranforeert eert r(t) naar via de tranforatie T(.). Vervolg ordt de invere tranforatie T - (.) toegepat op, hetge reulteert in r(t). Tlotte ordt r(t) vererkt zodat de kot C iniaal i over alle ontvanger die r(t) oberver. Deze ontvanger i equivalt et de eerte ontvanger, leidt du tot C C. De teede ontvanger kan niet beter zijn dan de eerte, zodat C C. De derde ontvanger kan niet beter zijn dan de teede, zodat C C. Hieruit volgt dat C C,.a.. het (okeerbar) tranforer van de obervatie de getranforeerde obervatie optiaal vererk leidt tot dezelfde perforantie al het optiaal vererk van de oorpronkelijke obervatie. Dit i logich, odat er bij e okeerbare tranforatie ge inforatie verlor gaat. We zull dit principe nu toepa op het geval van gekleurde rui : e zull het ontvang ignaal (okeerbaar) tranforer, zodat na tranforatie de rui it i. We bechou het ontvang ignaal r(t), et r(t) (t;i) + n(t) aarbij n(t) tationaire Gauiaane gekleurde rui i et verogpectru n (f). We tur r(t) door e 'itakd' filter et tranferfunctie H (f), hetge leidt tot r (t) (t;i) + n (t) aarbij het verogpectru van n (t) gelijk i aan n (f) H (f). Kiez e H n ( de fae van H (f) illekeurig) dan i het verogpectru van n (t) gelijk aan. De invere tranforatie van H (f) i e filter et tranferfunctie /H (f). De kanfunctie r I) ordt dan r I) exp (t; I)r (t) + (t; I) dt of r I) exp r (t) (t; I) dt Gebruik akd van de telling van Parceval beko e

5 ( (t; I) + (t; I) ) dt ( (f;i)r + (f; I) ) (f; I)R + (f; I) n Wanneer (t;i) bandbeperkt i,.a.. (f;i) al f >B, kan bij integratie over f het integratie-interval beperkt ord tot (-B,B). In dit geval zijn du kel de frequtiecopont van n (f) in (-B,B) van belang, zodat de vooraarde n (f) H (f) lecht voor f in (-B,B) oet voldaan zijn. Hieruit leid e af dat er e itakd filter betaat op vooraarde dat n (f) nerg in (-B,B) nul ordt. In de praktijk i er echter teed e (evtueel kleine) hoeveelheid itte (theriche) rui aanezig, aardoor n (f) >, er teed e itakd filter kan gedefinieerd ord. Door te teun op de telling van Parceval kunn e nog tee alternatieve uitdrukking voor de kanfunctie afleid : r I) exp (t; I) + (t; I) (t; I) dt, r I) exp (t; I)r(t) + (t; I) (t; I) dt aarbij (t) ord beko door repectievelijk r(t) (t) aan te legg aan e filter et tranferfunctie H / (f). n De kanfunctie kan eve beko ord aan de hand van de onteraard van de door e laagdoorlaatfilter getuurde ignal (zie Fig. ) : T r I) exp T exp T exp aarbij r ( (T ; I)r, (T ) + (T ; I) ) ( (T ; I) r (T ) + (T ; I) (T ; I) ) ( (T ; I)r (T ) + (T ; I) (T ; I) ), (T ) r (T u)h, (u)du T r (T it )h, (it ) i h, (t) het ipulantoord i van e filter et tranferfunctie H (f)π (f). Gelijkaardige uitdrukking geld voor (T ;I), (T ; I) r (T ), aaruit volgt dat de kanfunctie teed kan berekd ord uit {r (T )} {(T ;I)}. df df 5

6 6 Lat e nu het geval van e banddoorlaatignaal in gekleurde rui bechou : r (t) Re[(t; I) exjπf t] + n(t) De kanfunctie i gegev door r I) exp Re[ (t; I)r (t)] + (t; I) dt exp Re[ (t; I) + (t; I) (t; I)] dt exp Re[ (t; I) + (t; I) (t; I)] dt Hierbij zijn r(t), (t;i), r (t), (t;i), (t; I) de coplexe ohulld van repectievelijk r (t), (t;i), r, (t),, (t;i), (t; I). De ignal r, (t),, (t;i), (t; I) ord beko door r (t) (t;i) aan te legg aan filter et tranferfunctie H, H, aarbij H H, n n E alternatieve anier (gechikt voor praktiche ipletatie) o r (t), (t;i), (t; I) te beko betaat er in eert r (t) (t;i) te deoduler, hetge leidt tot de coplexe ohulld r(t) (t;i), vervolg deze ohulld aan te legg aan de coplexe equivalte laagdoorlaatfilter H eq, (f) H eq die correponder et H, H : H eq, H, ) Π H eq H Uiteraard kan ook hier de kanfunctie uitgedrukt ord in ter van de onteraard r(t ), (T ;I), r (T ), (T ;I), r (T ) (T ; I) ; de onteraard r (T ), (T ;I), r (T ) (T ; I) kunn op hun beurt berekd ord uit de onteraard r(t ) (T ;I) (zie Fig. 3). Operking We hebb hierbov e tochatich proce voorgeteld aan de hand van zijn onteraard, go aan voldode nelheid. Ook andere repretatie zijn ogelijk, leid tot dezelfde uitdrukking van de kanfunctie in ter van r(t) (t;i). Het verband tu e toevalproce x(t) zijn repretatie x i : x(t) x φ (t) x x(t) φ (t) dt, aarbij {φ (t)} e coplete et orthognorale functie voortelt. Repretatie aan de hand van onteraard correpondeert et de keuze φ ( t) t T ), aarbij T ( πt / T) in t), at leidt tot x T x(t ) πt / T. ) Π

7 7 ex j f t) Fig. : banddoorlaatignaal in itte rui : bereking van r(t ),,,, Fig. : ignaal in gekleurde rui : tee berekingijz voor r, (T )

8 8, ex j f t) eq, ex j f t) Fig. 3 : banddoorlaatignaal in gekleurde rui : tee berekingijz voor r (T )

Vergelijkbare documenten

Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie

Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(,