Uitwerking notebook tentamen Systeem- en Regeltechniek 1 ( )

Transcriptie

1 Syteem- en regeltechniek (935) /0 Uitwerking notebook tentamen Syteem- en Regeltechniek (935) Opgave 2 juli 202 3:45 7:5 uur a. Beredeneer dat in dit geval de auto met twee vrijheidgraden kan worden bechreven. Stel vrijlichaamdiagram(men) op. Benoem relevante grootheden en geef duidelijk aan hoe optredende krachten en/of momenten in het yteem kunnen worden berekend. Hiervoor mogen zelf gedefinieerde ymbolen worden gebruikt al uit het antwoord blijkt hoe deze zijn uit te drukken in de grootheden die in de opgave zijn gedefinieerd. Let op dat gevraagd wordt om de auto met twee vrijheidgraden te bechrijven. De excitatie door de tetbank van de achterwielen z a (t) i een voorgechreven functie van de tijd voor de onderkant van de veer-demper-combinatie bij de achterwielen. De auto wordt in het algemeen geëxciteerd via de voor- en achterwielen, z v (t) en z a (t) repectievelijk in de figuur van de opgave. De beweging in de auto zal zich dan, gezien de aannamen, in het vlak van de tekening afpelen. Twee voor de hand liggende vrijheidgraden voor de auto zijn dan vertikale tranlatie van het maamiddelpunt m: z rotatie om het maamiddelpunt J: θ maamiddelpunt DOF : z θ z Auto m, J z 2 z v =0 k v d v k a d a z a Voorwielen Weg Achterwielen Figuur : IPM van de auto met twee vrijheidgraden z en θ. Een IPM taat in figuur. Voor de verlenging van de veren en demper hebben we de poitie van de bovenkant van de veren nodig. Voor kleine hoeken θ geldt: voor: z = z θ ż = ż θ achter: z 2 = z +θ ż 2 = ż + θ De VLS-en voor tranlatie en rotatie taan dan in figuur 2. De uitdrukkingen voor de krachten en momenten taan in de figuur. Normering: Maximaal 2 punten. Andere keuze voor de vrijheidgraden zijn ook mogelijk, bv. bovengenoemde z enz 2. De VLS-en worden dan wel latig. Verder mag de zwaartekracht worden meegenomen, maar dan moet het wel correct gebeuren. Koppeling tuen θ enz vergeten kot minten 2 punten, maar vaak i er dan meer fout. Ontbreken van VLS-en kot ook punten (en i vaak het begin van fouten). Voor een -DOF yteem zijn maximaal 4 punten te behalen.

2 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-2/0 z θ m J F ka = k a (z +θ z a ) F da = d a (ż + θ ż a ) F dv = d v (ż θ) F kv = k v (z θ) M ka = F ka M da = F da M dv = F dv M kv = F kv Figuur 2: VLS-en voor tranlatie (link) en rotatie (recht) bij het IPM van figuur. b. Stel een blokchema op vanuit het vrijlichaamdiagram. Neem hierbij de excitatie van de achterwielen z a (t) al ingang. In dit onderdeel en het volgende wordt de invloed van de demper verwaarlood, m.a.w.d v = 0 end a = 0. Het blokchema kan vrij eenvoudig worden getekend door te beginnen met twee maaubytemen voor de maa m en de traagheid J. Verder zijn er twee veren k v en k a en moeten uiteraard de momenten worden berekend. Het reultaat taat in figuur 3. /m /m z F_kv F_ka ka ka kv z_2 z_a z_ z_a kv M_kv M_ka /J /J θ Figuur 3: Blokchema van de auto met twee vrijheidgraden. rechterkant. Er i geen expliciete uitgang gedefinieerd. De ingang z a (t) bevindt zich aan de Normering: Maximaal 2 punten. Voor een -DOF yteem zijn maximaal 4 punten te behalen. c. Pa (gemotiveerd) het blokchema uit opgave b aan al i gegeven dat de VCM wordt aangetuurd met een panningbron U en wordt gekarakterieerd door een motorcontante k m, een elektriche weertand van de poelenr m en een zelfinductie L m. Net al in opgave b hoeven de demper niet gemodelleerd te worden. Nu wordt de panning U al ingang genomen en de auto wordt niet door de tetbank geëxciteerd (du ookz a (t) = 0). Ga er bij de modelvorming vanuit dat de elektriche tijdcontante van het yteem klein i. In woorden: De VCM verzorgt nu een kracht F VCM en die i k m maal de troom I. Al de elektriche tijdcontante klein i, betekent dit dat het effect van de zelfinductie verwaarloobaar i. M.a.w. de weertand i troombepalend I = U R m R m = R m (U k m v ).

3 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-3/0 In deze uitdrukking wordt de back-emf bepaald door de nelheid van de actuator. Aangezien de onderkant in deze opgave til taat (z a = 0 du ook ż a = 0), i deze gelijk aan de nelheid aan de bovenkant van de veer-demper-combinatie in figuur 2, du v 2 = ż 2 = ż + θ. De VCM kracht F VCM werkt analoog aan F da in figuur 2. Net al F da en F ka zal de VCM kracht dan ook voor een moment zorgen. Dat i in het blokchema uit te rekenen door F VCM en F ka bij elkaar op te tellen. Het uiteindelijke blokchema taat in figuur 4. U(t) U UR /Rm /Rm I km km F_VCM /m /m F_ka ka z_2 z F_kv ka kv z_ kv M_kv M_ka /J /J θ km v_2 km Figuur 4: Blokchema van het yteem met 2 vrijheidgraden en een VCM. Normering: Maximaal 0 punten. Let op dat de back-emf op de juite plek zit (2 punten). Opgave 2 a. Kan de regelaar zoal die in de figuur in de opgave i getekend, worden ingedeeld in één van de bekende oorten zoal P, PD, PI, PID, lead, lag, zuivere I-actie, zuivere D-actie, laagdoorlaatfilter of een combinatie hiervan? Motiveer uw antwoord. Het gedeelte van het blokchema dat voor het yteem P() taat, kan worden gechreven al C() = k p (τ+). Hier i een P-actie (k p ) en D-actie (k p τ) te herkennen, du een PD-regelaar. Normering: Maximaal 6 punten. De uitdrukking voor C() verpruten door deze bijvoorbeeld al τ+k p te chrijven, kot minten punt. b. Geef de geloten lu overdracht van referentie r(t) naar uitgangy(t) voor het yteem in de figuur in de opgave.

4 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-4/0 MetC()P() = k p (+τ)/(j 2 +c) i de geloten lu overdracht T() = C()P() +C()P() = k p(+τ)/(j 2 +c) +k p (+τ)/(j 2 +c) = k p τ+k p J 2 +k p τ+c+k p. Verder vereenvoudigen zoal bijvoorbeeld teller en noemer delen door J i facultatief. Normering: Maximaal 7 punten. Een breuk in een breuk laten taan kot minten 2 punten. c. Geef intellingen van de regelaar zodanig dat het yteem net in taat i een referentie ignaal r(t) in de vorm van een cheve inu met een opzettijd van 0.30 te volgen met een maximale fout van 2% na de opzetperiode, du na De fout i hierbij gedefinieerd ten opzichte van de eindwaarde van de uitgang y(t). Bereken de eindfout van het gevonden geloten lu yteem. Aangezien er met een cheve inu wordt gewerkt, paen we de Groenhui formule toe. Er i niet over demping voorgechreven, du we kunnen ζ = 0.75 kiezen, zodat vergelijking (3.37) uit het dictaat toegepat mag worden. Let wel: Er i ook nog een nulpunt in T(), maar dat wordt verwaarlood, aangezien we (zeker in eerte intantie) geen mogelijkheid hebben om dat te verdiconteren. Met de opzet tijd t m = 0.30 en u/h m = 2% = 0.02 geeft vergelijking (3.37) τ 3 G = 0.02/0.06 = 0.33, waarin met τ G de τ uit het dictaat wordt aangegeven om verwarring met de τ uit de regelaar te voorkomen. Hiermee krijgen we achtereenvolgen: τ G = 0.69, T e = τ G t m = 0.2, ω n = 2π T e = 30 rad/. Deze bandbreedte en de gekozen ζ = 0.75 kunnen we realieren met de overdracht T() door de termen in de noemer correct te tunen met (k p +c)/j = ωn 2 k p = ωn 2 J c = = 0.6 k p τ/j = 2ζω n τ = 2ζω n J/k p = Voor de invloed van het nulpunt merken we nog op dat daar bij de reponie op een cheve inu geen vuitregel in het dictaat zijn gegeven. Analoog aan de ettling time bij een tapreponie verwachten we echter dat de invloed op de fout na de opzet tijd relatief klein i. Ret nog de berekening van de eindfout. De tationaire geloten lu verterking i T(0) = k p c+k p = = De (relatieve) eindfout i dan T(0) ofwel zo n %! Normering: Maximaal 9 punten. De juite Groenhui levert 2 punten, bandbreedte en demping 2 punten, intellingen regelaar 3 punten en de eindfout eveneen 2 punten. Merk op dat de verkeerde Groenhui formule (die zonder demping) fout i, omdat de regelaar naar wen demping toevoegt. De formule voor een tapreponie zijn evenmin gechikt om de pecificatie in concrete regelaar intellingen te vertalen. Deze leveren maximaal 4 punten.

5 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-5/0 d. Controleer de werking van het hierboven ontworpen yteem met behulp van MATLAB en/of SI- MULINK en geef zonodig gemotiveerde uggetie voor aanpaingen van de ontworpen regelaar en/of het gebruikte referentieignaal om de fout na 0.30 binnen de 2% van de eindwaarde te houden. Voor het genereren van de cheve inu kan gebruik worden gemaakt van de vertrekte betanden. Let echter op dat in een blokchema geen zuivere differentiator mag worden gebruikt. Het vertrekte SIMULINK model cheveinutet.mdl met bijbehorend cript cheveinu.m i een prima tartpunt voor deze tet. Complicatie i alleen dat de PD-regelaar en ervoyteem P() niet direct zoal getekend in figuur 2 van de opgave ingevoerd kunnen worden vanwege de zuivere differentiator. Dat i echter eenvoudig op te loen door gebruik te maken van de geloten lu overdracht die we in onderdeel b al hebben opgeteld. Het reultaat taat in het bovente deel van figuur 5. Merk op dat de referentie ook in de Scope wordt getoond. Om de reponie van het yteem goed met de referentie te kunnen vergelijken, i een vermenigvuldiging met kp+c k p tationaire verterking van de geloten lu overdracht T() niet gelijk aan één i maar toegevoegd om ervoor te compeneren dat de k p c+k p. Scheve Sinu rad ref +c/kp Gain kp*taud.+kp J. 2+kp*taud.+kp+c PD + ervo theta +c/kp Gain alt kp J. 2+kp*taud.+kp+c PD + ervo alt theta alt Figuur 5: Blokchema om de PD-regelaar te teten. Het bovente yteem i de originele PD-regelaar en in het onderte yteem i het nulpunt in de geloten lu overdrachtfunctie voorkomen. (a) Standaard PD-regelaar (b) Met differentiator in de terugkoppellu en ingezoomd. Figuur 6: Reponie op de cheve inu (met de referentie).

6 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-6/0 Al we deze imulatie uitvoeren, krijgen we de reponie van figuur 6(a). Wat hier gelijk opvalt i de grote overhoot die er voor zorgt dat niet aan de pecificatie wordt voldaan. In het vorige onderdeel hadden we al gecontateerd dat de geloten lu overdrachtfunctie afwijkt van de tandaard tweede orde overdracht door de aanwezigheid van een nulpunt. Hiervan i bekend dat het voor overhoot kan zorgen, du een voor de hand liggende oploing i dit nulpunt verwijderen door het (+τ) deel van de PDregelaar uit de rechtdoorgaande weg te verplaaten naar de lu van de terugkoppeling, net al in figuur 4.5 van het dictaat. Dan wordt de geloten lu overdrachtfunctie: T alt () = k p /(J 2 +c) +k p (+τ)/(j 2 +c) = k p J 2 +k p τ+c+k p. Het geloten lu yteem met deze alternatieve regelaar i opgenomen in het onderte deel van het blokchema in figuur 5. De reponie van dit yteem blijkt nauwelijk nog overhoot te vertonen zoal i te zien in figuur 6(b). Om duidelijk te kunnen controleren of aan de pecificatie wordt voldaan i in deze grafiek ingezoomd rond Dan valt op dat het yteem nog iet te traag i. Een voor de hand liggende aanpak i om de bandbreedte te verhogen door k p te vergroten. Het blijkt echter dat dit lecht weinig helpt. Een betere uggetie i om de opzettijd van de cheve inu iet te verkorten. In figuur 6(b) lezen we af de huidige reponie ca.0.02 te langzaam i. Wanneer de opzettijd nu opt m = 0.28 wordt ingeteld, dan blijkt de reponie voor t = 0.30 binnen de gevraagde 2% van de eindwaarde te zijn en te blijven. Normering: Maximaal 0 punten. Opgave 3 a. Ontwerp met behulp van een Bode diagram een regelaar C() met uitluitend proportionele actie voor dit geloten lu yteem waarmee wordt geprobeerd de gewente bandbreedte in te tellen. Onderzoek de tabiliteit van het ontworpen yteem en toon aan dat met dit ontwerp de gerealieerde relatieve demping kleiner i dan gewent. Voor het ontwerpen van een regelaar gaan we uit van de open lu overdracht P(). Met het MATLAB bode commando kan hier heel eenvoudig een Bode plot van gemaakt worden, zie figuur 7. Voor wie het niet direct wil geloven, kunnen de karakteritieken van deze plot worden gecontroleerd. Let op dat dit optioneel i, want het i niet gevraagd in de opgave. Doen we het toch, dan i het laagfrequente gedrag P(). 07 = 3.5 = db Dat levert in de amplitudeplot een contante waarde van db en een fae van 0 o. Er zijn geen nulpunten, du de omlagpunten liggen bij de polen. Er i een reële pool in 250 en een complex polenpaar. Voor dit laatte i ω 2 n = 2500, du het omlagpunt ligt bij50 rad/. Dan levert het complex polenpaar het eerte omlagpunt. Bij 50 rad/ verandert de helling met 2 en de fae met 80 o. De oplingering in de amplitude grafiek volgt uit de relatieve demping van het polenpaar. Aangezien 2ζω n = 30 i ζ = 0.3. Dat levert een piekje ter hoogte van /2ζ =.7 ofwel 4 db. De omlag van de fae gaat niet abrupt, maar een tuk minder geleidelijk dan bij een eerte orde pool. Dat eerte orde gedrag zien we bij het tweede omlagpunt: Een reële pool, du een extra verandering van de helling met en van de fae met 90 o. Hoogfrequent i het reultaat dan ook een helling van 3 en een fae van 270 o, hetgeen ook klopt met de hoogfrequente benadering voor P(), namelijk P()

7 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-7/0 Terug naar wat wel gevraagd i. Bode Diagram Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/) P() k p P() Figuur 7: Bode plot voor het ontwerp van een proportionele regelaar. Met alleen proportionele actie kunnen we geen invloed op de fae uitoefenen en alleen met de amplitude grafiek in verticale richting chuiven. Voor een bandbreedte van 300 rad/ proberen we de cro-over frequentie op deze waarde te krijgen. De grafiek van het ongecompeneerde yteem gaat bij deze frequentie door 20 db. Met MATLAB kan dit nauwkeuriger al 20.2 db worden berekend. Gebruiken we de afgeronde waarde, dan wordt met C() = 20 db = 0 de gewente bandbreedte bereikt, zie eveneen figuur 7. De fae verandert niet, zodat de faemarge direct in Bode plot van P() bij 300 rad/ kan worden afgelezen. Deze i in elk geval negatief, namelijk PM 0 o. Met MATLAB berekenen we PM = 8 o. Dat komt overeen met een relatieve demping van ζ PM/00 o = 0.08, hetgeen negatief i en uiteraard kleiner i dan gewent. De negatieve demping en de negatieve faemarge geven aan dat het geloten lu yteem intabiel i. Normering: Maximaal punten. Let op dat alle punten van de vraag worden beantwoord. En er kunnen divere minpunten worden verzameld al open en geloten lu overdrachten onjuit worden gebruikt. b. Ontwerp voor C() een lead filter waarmee wel aan de getelde eien voor het geloten lu yteem kan worden voldaan. Gebruik wederom een Bode diagram bij het ontwerp en controleer hiermee de geloten lu tabiliteit van het geloten lu yteem. Een formule voor het lead filter i C() = k p T + αt +. Met het tappenplan vinden we hiervoor: Gezien de gewente bandbreedte mikken we in eerte intantie op een cro-over frequentie op de helft van de gewente bandbreedte ligt, du ω c = 50 rad/.

8 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-8/0 Bij die frequentie i de amplitude van het ongecompeneerde yteem P(jω c ) = 7 db (met dank aan MATLAB). Om deze cro-over frequentie in te tellen moet k p = 7 db= 2.3 zijn. Bij de gewente cro-over frequentie van ω c = 300 rad/ lezen we de ongecompeneerde PM af (zie vorige onderdeel), namelijk PM = 8 o. Voor een gewente relatieve demping van ca. ζ = 0.35 treven we naar een PM = 35 o. Het lead filter moet du voor Φ max = 50 o zorgen al we een extra marge van 7 o nemen. Dan volgt voor α een acceptabele waarde uit α = inφ max +inφ max = 0.3. Dan i T = ω c α = en αt = Bode Diagram Magnitude (db) Phae (deg) P() k p P() C() P() Frequency (rad/) Hiermee i het ontwerp klaar: C() = Figuur 8: Bode plot voor het ontwerp van een lead filter. Het gechette Bode diagram taat in figuur 8. Hierin i eert de grafiek van de abolute waarde opgetild met dek p om de cro-over frequentie initieel op50 rad/ te leggen. De fae verandert hierbij niet. Daarna i het effect van het dynamich deel van het lead filter toegevoegd. Hoogfrequent wordt hierdoor een extra verterking /α = 7.5 aangebracht met omlagpunten bij nulpunt en pool (0 rad/ en 820 rad/). Bijgevolg chuift de cro-over frequentie naar recht en uiteraard wordt ook de faemarge vergroot met de gewente 50 o. In figuur 8 i duidelijk te zien dat de fae- en verterkingmarge poitief zijn (geen verterking groter dan 0 db bij een fae van 80 o ), zodat het yteem met dit lead filter tabiel i. Merk op dat de gewente cro-over frequentie niet helemaal wordt gehaald. Normering: Maximaal punten. c. Gebruik poolbanen om voor het yteem P() een regelaar C() met alleen P-actie te ontwerpen waarmee de maximale bandbreedte wordt gerealieerd al wordt geëit dat het geloten lu yteem tabiel moet zijn.

9 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-9/0 Verifieer tenlotte dat de gevonden regelaar en bandbreedte in overeentemming zijn met wat hiervoor verwacht kon worden op bai van één van de Bode diagrammen uit de eerte onderdelen van deze opgave. Een regelaar met P-actie voegt alleen een verterking k p aan het yteem toe, zodat de open lu polen en nulpunten worden gegeven door P(). Dit yteem heeft geen nulpunten en drie polen. Er i één reële pool in 250 en een complex polenpaar met ω n = 50 rad/ en ζ = 0.3 (zie afleiding in onderdeel a), du in 5±48i. De poolbanen kunnen we nel met MATLAB plotten, maar voor de zekerheid lopen we de tappen na: Regel : Er zijn drie polen en geen nulpunten, du er gaan drie poolbanen naar oneindig. Regel 2: De reële a i (een deel van) een poolbaan link van 250. Regel 3: De aymptoten maken hoeken van60 o,80 o en300 o met de poitieve reële a. Regel 4: Het tartpunt hiervoor i ( )/3 = 427. Regel 5 levert de vertrekhoeken in het complexe polenpaar. Voor de pool 5+48i zijn de bijdragen van de andere polen +90 o en arctan De vertrekhoek i dan = 3o. 80 o 90 o 3 o = 87 o Regel 6 voor mogelijk amenvallende polen levert geen bruikbare reultaten, omdat met de informatie uit de andere regel de poolbanen volgen figuur 9 kunnen worden getekend. 500 Root Locu Imaginary Axi (econd ) Real Axi (econd ) Figuur 9: Poolbanen van P() met alleen P-actie. Voor een tabiel yteem moeten de geloten lu polen natuurlijk allemaal in het linkerhalfvlak liggen. Al k p te groot wordt, i dat niet meer het geval. Het grengeval i al er zuiver imaginaire polen zijn. De ligging van die polen volgt uit de doornijding van de poolbanen en de imaginaire a in figuur 9. Door in de MATLAB plot in te zoomen, kunnen we aflezen dat deze polen gelijk zijn aan ±200i en dat geeft gelijk de maximale bereikbare bandbreedte voor een tabiel yteem met alleen P-actie. Al twee geloten lu polen p en p 2 zuiver imaginair zijn, dan i p +p 2 = 0 en volgt de derde reële pool p 3 uit vergelijking (5.24) open lu polen = geloten lu polen

10 Syteem- en regeltechniek (935) Uitwerking notebook tentamen 2-jul-202-0/0 namelijk p 3 = i 5 48i = 280. Met vergelijking (5.22) i dan de verterking te bepalen al k p = P( 280) = De karakteritieke vergelijking D()+k p N() = 0 ( )( ). 0 7 voor de geloten lu polen van dit yteem met deze k p kan worden gechreven al ofwel = = 0. = 4.4. Het oploen van deze derdegraad vergelijking i niet triviaal, met MATLAB wel mogelijk en eigenlijk niet een zo moeilijk omdat één oploing, namelijk p 3 = 280 al bekend i. Hieruit volgt dat deze vergelijking i te chrijven al (+280)( ) = 0 waaruit de andere (uiteraard zuiver imaginaire) oploingen voor de geloten lu polen p,2 = ± i = ±200i volgen. Hieruit volgt de maximale bandbreedte gelijk aan 200 rad/, hetgeen gelijk i aan de afgelezen waarde. In het Bode diagram van onderdeel a kan deze maximale bandbreedte worden afgelezen in de fae plot, namelijk daar waar die net de 80 o doornijdt. Dat kan in de grafiek worden afgelezen, maar nauwkeuriger met het margin commando worden berekend: wederom 200 rad/. De verterking volgt uit de Bode plot van de abolute waarde. Om de cro-over frequentie namelijk op deze 200 rad/ te krijgen, moet deze met de GM van 3 db worden opgetild hetgeen correpondeert met een verterking van 4.4. Klopt ook du. Normering: Maximaal 2 punten. Verdeling: 7 punten voor het regelaarontwerp met poolbanen en 5 punten voor de vergelijking met het Bode diagram uit