Toegepaste Statistiek, Week 2 1

Transcriptie

1 Toegepate Statitiek, Week 2 1 In Week 1 hebben we verchillende manieren bekeken om n teekproef te karakterieren: Hitogram gemiddelde G n variantie tandaarddeviatie tandaardfout in het gemiddelde Deze begrippen vallen onder de bechrijvende tatitiek. Vervolgen maakten we de MODELLERING van de data al een aelecte teekproef uit een populatie, en eiten (modelleerden) dat de teekproefomvang n voldoende groot i (bij redelijke klokvormige hitogram n 31) OF dat de variabele normaal verdeeld i en leidden een 95%-betrouwbaarheidinterval af voor t populatiegemiddelde. Interpretatie i: het interval bevat 95% van de keren, dat hij bij onafhankelijke experimentdata opgeteld wordt, inderdaad het populatiegemiddelde.

2 Toegepate Statitiek, Week 2 2 We komen zo beweringen tegen van het type L E(G) R Hoe zou je de bewering E(G) µ voor zeker bekend getal µ weerleggen? Conceptueel eenvoudiger i het weerleggen van de bewering E(G) = µ voor zeker bekend getal µ. Voorbeeld: Van de kleine mantelmeeuw, in Nederland bekend al kutvogel, i bekend dat bij volgroeide exemplaren gemiddeld de lengte van de voet 1.75 cm i. In Polen komt de kleine mantelmeeuw ook voor, maar hier voelt hij zich ook goed thui in de boen lang de kut. Het vermoeden rijt dat het hier gaat om een ander ra. We willen bechrijven waarin dit ra zich ondercheidt van de Nederlande mantelmeeuw. Opvatting: Weerleggen door een onderzoek uit te voeren en een uitlag ervan te voorpellen die nogal onwaarchijnlijk i al E(G) = µ. Hoe denk je dat het echt i? Alternatief: In ieder geval ongelijk: E(G) µ Alternatief: Groter: E(G) > µ Alternatief: Kleiner: E(G) < µ

3 Toegepate Statitiek, Week 2 3 Nulhypothee (H 0 ): E(G) = µ ( geen ander ra ) Alternatieve hypothee (H 1 ): E(G) µ ( ondercheidt zich in G ) Uitvoering van onderzoek aan de hand van een aelecte teekproef leidt tot t = G n µ / n = n(gn µ) Al E(G) = µ dan Student-t verdeeld met df=n 1. Du met kan 95% zal gelden voor de optredende t : t df=n 1;p=1 0.95=0.05 t t df=n 1;p=1 0.95=0.05 Du met de kan 0.05 ligt t buiten die grenzen. Dit wordt bechouwd al een kleine kan. Onder de alternatieve hypothee verwacht je echter een getal in de orde van grootte n(e(g) µ)/sd(g). Groot, groter naarmate je grotere teekproefomvang n hebt. Du dan zijn grote waarden voor t juit wel waarchijnlijk.

4 Toegepate Statitiek, Week 2 4 H 0 : E(G) = µ H 1 : E(G) µ Accepteer H 0 al t df=n 1;p=0.05 t t df=n 1;p=0.05 Verwerp H 0 al dit niet zo i. Eigenchap: Al H 0 waar i, dan lecht 5% kan dat hij verworpen wordt. Al H 1 waar i, dan veel grotere kan dat H 0 verworpen wordt. Onbetrouwbaarheiddrempel: 5% Significantieniveau: 5% G n wijkt iginificant af van µ bij ignificantieniveau 5%. Verwerpen van H 0 i een aanwijzing dat H 1 juit i.

5 Toegepate Statitiek, Week 2 5 Practiche apecten: Aanname: G normaal verdeeld Toeting: hitogram heeft mooie klokvorm Al df 30 dan grote teekproefbenadering gebruiken: D.w.z. t behandelen alof normaal verdeeld (df = ). Aanname: G ongeveer normaal verdeeld Toeting: hitogram heeft redelijke klokvorm Beter betekent: aanzienlijke zwakkere aanname, weinig verlie aan onnauwkeurigheid onbetrouwbaarheiddrempel. Wat al onderzoek pa aanleiding gaf tot de pecifieke toeten? Een ander onderzoek zou dan leiden tot andere toeten. Onbetrouwbaarheiddrempel verliet zijn tatitiche betekeni. Uance om dezelfde concluie te trekken al boven.

6 Toegepate Statitiek, Week 2 6 Nieuwe ituatie: Vergelijken van twee populatie. Voorbeeld: Twee populatie. Makrelen in de Noordzee veru de Atlantiche Oceaan. Een populatie, 2 behandelingen. Cavia met tandaard voeding veru nieuwe amentelling. Een populatie, pliting. Mannetje en vrouwtje. Meet in groep I: m meetwaarden G 11,..., G 1m Meet in groep II: n meetwaarden G 21,..., G 2n H 0 : E(G groep I) = E(G groep II) H 1 : E(G groep I) E(G groep II) Voer onderzoek uit: levert G 1, 2 1, G 2, 2 2. Bereken t = G 2 G /m + 2 2/n

7 Toegepate Statitiek, Week 2 7 t = G 2 G /m + 2 2/n Dit heeft helaa niet een bekende verdelingfunktie. Er i wel een goede toeting d.w.z. behoorlijk nauwkeurige onbetr. drempel mit G in groep I normaal verdeeld en ook in groep II Bereken 2 u = 1/m 2 1/m + 2 2/n ; 1 f = u2 /(m 1)+(1 u) 2 /(n 1) Accepteer H 0 al t df=f;p=0.05 t t df=f;p=0.05 en ander H 0 verwerpen. Onbetrouwbaarheiddrempel i (ongeveer) 0.05

8 Toegepate Statitiek, Week 2 8 Practiche apecten: Aanname: G normaal verdeeld in groep I en II Toeting: de twee hitogrammen hebben mooie klokvorm Altijd f m + n 2 en f min(m 1, n 1) Al f 30, du zeker al m 31 èn n 31, dan grote teekproefbenadering D.w.z. t behandelen alof normaal verdeeld (df = ). Aanname: G ongeveer normaal verdeeld in groep I en in groep II Toeting: de twee hitogrammen hebben redelijke klokvorm

9 Toegepate Statitiek, Week 2 9 df = m + n 2 geeft kleinere kritiche t-waarden i haalbaar onder extra aanname: Gelijke variantie: VAR(G groep I) = VAR(G groep II) Bekijk t = G 1 G 2 c 1 m + 1 n 2 c gecombineerde variantie 2 c = (m 1) (n 1) 2 2 m + n 2 t heeft weer een verdelingfunktie! Student-t verdeeld met df = m + n 2. Praktich: Gelijke variantie, ja al dit aannemelijk i en bovendien Voor df 30 kun je weer de grote teekproefbenadering gebruiken, d.w.z. df =, maar de wint i hier twijfelachtig omdat de aanname van gelijke variantie nog teed nodig i. Beter om dan terug te pringen op de voorgaande toeting voor mogelijk ongelijke variantie.

10 Toegepate Statitiek, Week 2 10 Eenzijdig alternatief, eenzijdige toeting: H 0 : E(G) = µ H 1 : E(G) > µ De H 1 -gelovige rekent nu erop dat n(gn µ) t = groot en poitief i. Negatieve waarden van t geen onderteuning van H 1. Gebruik kritiche waarde: Verwerp H 0 al t t df=n 1;p=0.05 2=0.10 Kan om H 0 ten onrechte te verwerpen Du onbetrouwbaarheiddrempel Verwerping H 0 verhoogt het geloof in H 1. Voordeel: kleinere kritiche waarde.

11 Toegepate Statitiek, Week 2 11 Eenzijdig alternatief, eenzijdige toeting: H 0 : E(G) = µ H 1 : E(G) < µ De H 1 -gelovige rekent nu erop dat n(gn µ) t = groot en negatief i. Poitieve waarden van t geen onderteuning van H 1. Gebruik kritiche waarde: Verwerp H 0 al t df=n 1;p=0.05 2=0.10 t Kan om H 0 ten onrechte te verwerpen Du onbetrouwbaarheiddrempel Verwerping H 0 verhoogt het geloof in H 1. Twee teekproeven: H 0 : E(G groep I) = E(G groep II) H 1 : E(G groep I) < E(G groep II) Toeting: G 1 G 2 t = 2 1 /m + 2 2/n Al t < t df=f;p=0.10 dan H 0 verwerpen. Onbetrouwbaarheiddrempel 0.05.