d τ (t) dt = 1 voor alle τ 0.

Transcriptie

1 6.5. Impulfunctie. In deze paragraaf kijken we naar verchijnelen waarbij in zeer korte tijd een (grote) kracht op een yteem wordt uitgeoefend. Zo n plotelinge kracht kunnen we bechrijven met behulp van een zogenaamde impulfunctie. Eert definiëren we voor τ > : d τ (t) = Deze functie heeft de eigenchap dat I(τ) := /2τ, τ < t < τ, t τ of t τ. d τ (t) dt = voor alle τ. Vervolgen kijken we naar de limiet voor τ. Duidelijk i dat lim d τ (t) = voor t. τ Maar aangezien I(τ) = voor iedere τ geldt ook lim I(τ) =. τ De functie δ die op deze manier onttaat wordt de Dirac deltafunctie genoemd. Het i echter geen functie, maar een zogenaamde gegeneralieerde functie of ook wel ditributie. De Dirac deltafunctie wordt vatgelegd door de twee eigenchappen : δ(t) = voor t en δ(t) dt =. Deze Dirac deltafunctie doet dient al een bai (eenheid) impulfunctie, die een plotelinge kracht in een (zeer) korte tijd bechrijft. Door met een contante te vermenigvuldigen kan de grootte van de kracht worden weergegeven. In het boventaande wordt de kracht uitgeoefend op tijdtip t =, maar dit i eenvoudig te generalieren naar een tijdtip t = t : δ(t t ) = voor t t en δ(t t ) dt =. We gaan nu de Laplace getranformeerde van de Dirac deltafunctie bepalen. Daarvoor kijken we eert naar de Laplace getranformeerde van de functie d τ (t) en nemen vervolgen de limiet τ. We definiëren : /2τ, t τ < t < t + τ d τ (t t ) =, t t τ of t t + τ voor τ >. We nemen verder aan dat t > en dat τ > zo klein i dat ook t τ >. Dan volgt : L d τ (t t )} () = e t d τ (t t ) dt = +τ e t dt 2τ t τ = 2τ e t t +τ t=t τ = 2τ e t (e τ e τ ) = inh τ e t. τ

2 Nu i : Du : inh τ lim τ τ = lim τ coh τ =. L δ(t t )} () = lim τ L d τ (t t )} () = e t, t >. Dit i formule 7 van de tabel op pagina 34. Al we nu de limiet t nemen vinden we L δ(t)} () = lim t e t =. Op oortgelijke manier i het mogelijk om de integraal van het product van de Dirac deltafunctie met een willekeurige continue functie te definiëren. Er geldt : δ(t t )f(t) dt = lim d τ (t t )f(t) dt. τ Gebruikmakend van de definitie van d τ (t t ) vinden we met behulp van de middelwaardetelling voor integralen : d τ (t t )f(t) dt = +τ f(t) dt = 2τ t τ 2τ 2τ f(t ) = f(t ) voor zekere t met t τ < t < t + τ. Nu geldt dat t t voor τ en du : δ(t t )f(t) dt = f(t ). Voorbeeld. Stel dat f(t) = δ(t π) co t, dan volgt : F () = L f(t)} () = e t f(t) dt = e t δ(t π) co t dt = e π co π = e π. Ondank het feit dat de deltafunctie helemaal geen functie i kunnen we er toch prima mee rekenen. Het telt on in taat om ituatie waarin een grote kracht wordt uitgeoefend gedurende een (zeer) korte tijd (een fractie van een econde) goed te bechrijven en te modelleren. Voorbeeld 2. Bechouw het beginwaardeprobleem y + 4y = δ(t π) Stel dat L y(t)} () = Y (), dan volgt : y() =, y () =. 2 Y () y() y () + 4Y () = e π = ( 2 + 4)Y () = + e π. Du : Y () = e π = y(t) = co 2t + 2 u π(t) in 2(t π). 2

3 Voorbeeld 3. Uit het tentamen van 3 augutu 2 : Bepaal de oploing van het beginwaardeprobleem y (t) 3y (t) + 2y(t) = in t + δ(t π), y() =, y () = 2. Stel Y () = Ly(t)}(), dan volgt : 2 Y () y() y () 3 [Y () y()] + 2Y () = e π. Met de beginvoorwaarden y() = en y () = 2 volgt nu : en du ( )Y () = e π = e π + Y () = Met behulp van breukpliting vinden we nu : en ( )( 2)( 2 + ) + e π ( )( 2) ( )( 2)( 2 + ) = Terugtranformeren geeft tenlotte : ( )( 2) = 2. y(t) = 2 et e2t + [ (3 co t + in t) + u π(t) e 2(t π) e t π]. We zien dat we met behulp van de Laplace tranformatie heel gemakkelijk kunnen rekenen met de Dirac deltafunctie. Randwaardeproblemen zoal in boventaande voorbeelden zijn met conventionele methoden (vrijwel) niet op te loen De convolutie integraal. Vaak i het mogelijk om de Laplace getranformeerde van een onbekende functie te pliten in een product van twee Laplace getranformeerden van bekende functie. Bijvoorbeeld : waarbij H() = ( 2 + )( 2 + 4) = = F () G(), + 4 F () = 2 = L in t} () en G() = + 2 = L co 2t} (). + 4 In dat geval geldt de volgende telling : 3

4 Stelling. Al F () = L f(t)} () en G() = L g(t)} () beide betaan voor > a, dan i F ()G() = H() = L h(t)} (), > a met h(t) = f(t τ)g(τ) dτ = f(τ)g(t τ) dτ. De functie h(t) heet wel de convolutie of het convolutieproduct van de functie f(t) en g(t). Notatie : h = f g of h(t) = (f g)(t). De beide integralen worden wel convolutie integralen genoemd. Bewij. Er geldt du : F () = e u f(u) du en G() = e τ g(τ) dτ. Dan volgt : ( ) ( ) H() = F ()G() = e u f(u) du e τ g(τ) dτ } = g(τ) e (u+τ) f(u) du dτ. τ Gebruik nu de ubtitutie u + τ = t oftewel u = t τ, dan volgt : } } H() = g(τ) e t f(t τ) dt dτ = e t f(t τ)g(τ) dτ dt. De laatte tap wordt verkregen door de volgorde van integratie te verwielen. Zie hiervoor figuur 6.6. op pagina 332 van het boek. Nu geldt du : H() = L h(t)} () met h(t) = f(t τ)g(τ) dτ. Dat deze integraal gelijk i aan de andere integraal i eenvoudig in te zien door een ubtitutie van de vorm τ = t σ. Dan volgt : h(t) = Dit bewijt de telling. f(t τ)g(τ) dτ = t f(σ)g(t σ) dσ = f(σ)g(t σ) dσ. Voor het convolutieproduct zijn de volgende rekenregel eenvoudig na te gaan : f g = g f f (g + g 2 ) = f g + f g 2 (f g) h = f (g h) f = f = Deze eigenchappen lijken veel op de eigenchappen van een gewoon product. Daarom preekt men ook van een convolutieproduct. Hierbij moet wel worden opgemerkt dat niet alle eigenchappen van gewone producten ook opgaan voor convolutieproducten. Zo geldt bijvoorbeeld : (f )(t) = f(τ) dτ = 4 f(τ) dτ

5 en du voor f(t) = co t (f )(t) = co τ dτ = in τ t τ= = in t. Du : (f )(t) f(t). Verder kan f f bet negatief zijn zoal blijkt uit het volgende voorbeeld : al f(t) = in t, dan volgt (f f)(t) = = in τ in(t τ) dτ = 2 [ 4 in(2τ t) 2 τ co t ] t τ= co(2τ t) co t} dτ = 4 in t 2 t co t + 4 in t = 2 in t t co t. 2 Voor bijvoorbeeld t = 3 2 π i dit gelijk aan 2. We keren nu even terug naar het eerte voorbeeld : H() = ( 2 + )( 4 = F () G() met F () = + ) 2 + en G() = Volgen telling geldt du : H() = L h(t)} () met h(t) = op dat bijvoorbeeld ook geldt H() = = h(t) = 2 in(t τ) co 2τ dτ. Merk co(t τ) in 2τ dτ. We kunnen beide reultaten controleren door de integralen verder uit te werken met behulp van goniometriche formule en vervolgen het reulaat te vergelijken met het reultaat dat verkregen wordt via breukpliting : H() = ( 2 + )( 2 + 4) = 3 [ 2 + ] = h(t) = (co t co 2t). 3 Merk op dat het in dit geval (veel) handiger i om gebruik te maken van breukpliting in plaat van het convolutieproduct. Een voorbeeld van een nuttig gebruik van het convolutieproduct i een randwaardeprobleem met een groot aantal verchillende rechterleden. Al al het andere (de coëfficiënten en de beginvoorwaarden) teed hetzelfde i, dan zou men teed opnieuw een oortgelijk probleem moeten oploen. Met behulp van het convolutieproduct kan dat ineen. Voorbeeld 4. Bechouw het beginwaardeprobleem y 5y + 4y = g(t) y() =, y () =, waarbij het rechterlid g(t) onbekend i of veel verchillende gedaanten kan aannemen. Stel dat L y(t)} () = Y (), dan volgt : 2 Y () y() y () 5 [Y () y()] + 4Y () = G() met G() = L g(t)} (). 5

6 Met behulp van de beginvoorwaarden volgt hieruit : ( )Y () = 5 + G() = Y () = 5 ( )( 4) + G() ( )( 4). Breukpliting (ga na!) leidt tot Y () = [ 3 G() ]. 4 Met behulp van het convolutieproduct vinden we dan of y(t) = 4 3 et 3 e4t 3 y(t) = 4 3 et 3 e4t 3 g(τ) e t τ e 4(t τ)} dτ g(t τ) e τ e 4τ } dτ. Hierin kan men vervolgen ieder rechterlid g(t) ubtitueren en het reultaat berekenen. Een ander nuttig gebruik van het convolutieproduct vindt men op het terrein van de (Volterra) integraalvergelijkingen. Zie ook opgave 2. Een Volterra integraalvergelijking heeft de vorm y(t) + K(, t)y() d = g(t), waarbij de onbekende functie y in een integraal voorkomt. Dergelijke integraalvergelijkingen kunnen we oploen met behulp van de Laplace tranformatie al de integraal de vorm van een convolutieproduct heeft, du : K(, t) = k(t ) voor zekere functie k. Enkele voorbeelden : Voorbeeld 5. y(t) + Du : Y () + Y () e t τ y(τ) dτ = in t. Stel L y(t)} () = Y (), dan volgt : = 2 + Y () = 2 + ( + ) Y () = 2 +. = Y () = ( 2 + ) = A + B + C 2 +. Hieruit volgt : = A( 2 + ) + (B + C) = (A + B) 2 + CS + A. Du : A =, B = en C = en du : Y () = = y(t) = + co t + in t. Voorbeeld 6. Uit het tentamen van 23 januari 997 : Bepaal de oploing y(t) van de integraalvergelijking y(t) = in t + co t + 6 y(t τ) in τ dτ.

7 Stel Y () = Ly(t)}(), dan volgt : en du Y () = Y () 2 + ( 2 + )Y () = + + Y () = 2 Y () = + = Y () = 2 +. Terugtranformeren geeft dan : y(t) = t +. Voorbeeld 7. Uit het tentamen van 3 augutu 2 : Bepaal de oploing van het beginwaardeprobleem y (t) = + e t + y(τ) co(t τ) dτ, y() =. Stel Y () = Ly(t)}(), dan volgt : Met de beginvoorwaarde y() = volgt nu : en du Y () y() = Y () 2 +. ( ) 2 Y () = = ( + ) Y () = ( + ) Met behulp van breukpliting vinden we nu : = Y () = (2 + )( ) 4. ( + ) Y () = (2 + )( ) 4 ( + ) = Terugtranformeren geeft tenlotte : y(t) = 3 + t t3 2e t. 7