TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren! Een niet-grafische rekenmachine is toegestaan.. Bereken x + y dv R met R het gebied boven de kegel z. Bereken de lijnintegraal F dr C x + y en binnen de bol x + y + z. met C de kromme geparameteriseerd door de vectorfunctie r(t) met x y 3 en F(x, y) ( t y x ) r(t) t 3, t. 3. Bepaal xyd met de rand van het gebied begrensd door de cylinder x +z en de vlakken y en x + y. Let op: de rand bestaat uit drie stukken. Voor de vraagstukken kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: Vraagstuk. 5 punten Vraagstuk. punten Vraagstuk 3. 5 punten Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.

2 TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur.. Bereken x + y dv R met R het gebied boven de kegel z x + y en binnen de bol x + y + z. Het gebied wordt beschreven door: z x + y, x + y + z Gecombineerd met de functie x + y die we moeten integreren lijken cylindercoordinatenof bolcoördinatenvoor de hand teliggen. In het gevak van cylindercoördinaten krijgen we: x r cos ϑ, y r sin ϑ, z z met r en ϑ π. Bovendien: dxdydz r dϑdr dz. De ongelijkheden die R beschrijven leveren op: r z, z r Dit levert de grenzen voor z maar we moeten wel oppassen want uit die twee gelijkheden volgt als we ze combineren dat: r r en dit levert op (als we gebruiken dat r ) dat: r en dus r. We vinden: r π r r 3 dϑdzdr De binnenste integraal uitrekenen levert op: r r πr 3 dzdr

3 De volgende integraal uitrekenen levert op: πr 3 ( r r)dr. Nu moeten we even zorgvuldig rekenen: x + y dv R / / πr 3 r dr πr 4 dr π(s ) [ s ds 5 πr5] π(s 3/ s / ) ds π [ ] π( 5 s5/ / 3 s3/ ) π π( ) π ( )π, waarbij we de substitutie s r hebben gebruikt. Als we met bolcoördinaten werken krijgen we: x ρ cos ϑ sin ϕ, y ρ sin ϑ sin ϕ, z ρ cos ϕ met r, ϑ π en ϕ π. Bovendien: dxdydz ρ sin ϕdρdϑdϕ. Voor de grenzen krijgen we: ρ en ρ cos ϕ ρ sin ϕ hetgeen oplevert: We vinden: of ρ ϕ π 4 π/4 π π/4 π (ρ sin ϕ)ρ sin ϕdρdϑdϕ ρ 4 sin 3 ϕdρdϑdϕ De binnenste integraal levert op: π/4 π 5 sin3 ϕdϑdϕ en de volgende integraal resulteert dan in: π/4 π 5 sin3 ϕdϕ

4 De substitutie u cos ϕ levert dan op: en dit geeft: π 5 ( π 5 (u )du 3 + ) ( )π.. Bereken de lijnintegraal F dr C met C de kromme geparameteriseerd door de vectorfunctie r(t) met x y 3 F(x, y) y x en t r(t) t 3, t. We krijgen: F dr C en dit levert op: t 3 t 4 t 4 3t 6 dt t 3t dt [ 5 t5 3 7 t7] Bepaal xyd met de rand van het gebied begrensd door de cylinder x + z en de vlakken y enx + y. Let op: de rand bestaat uit drie stukken. De rand bestaat uit drie stukken: { } x R 3 x + z, y x { } x R 3 y, x + z { } 3 x R 3 y x, x + z xyd xyd + xyd + xyd 3 3

5 Voor het stuk gebruiken we als parametrisatie: x cos ϑ, y y, z sin ϑ. sin ϑ ϑ cos ϑ y en we vinden: ϑ sin ϑ cos ϑ y cos ϑ sin ϑ Dit resulteert in: xyd π cos ϑ π π π π π π y cos ϑ dydϑ [ cos ϑ y cos ϑ] dϑ ( cos ϑ) cos ϑ dϑ cosϑ cos ϑ + cos3 ϑ dϑ cos ϑ dϑ cos(ϑ) dϑ waarbij we gebruikt hebben dat op het gegeven interval cos ϑ en cos 3 ϑ gemiddeld gelijk zijn aan nul en dus hun integraal is ook gelijk aan nul. xyd omdat op we hebben dat xy. Totslotmoetenweover 3 integreren. We gebruiken de parameterisatie x r cos ϑ, y r cos ϑ, z r sin ϑ. r sin ϑ ϑ r sin ϑ r cos ϑ r cos ϑ cos ϑ sin ϑ en we vinden: ϑ sin ϑ cos ϑ y r sin ϑ cos ϑ r r cos ϑ sin ϑ 4

6 Dit resulteert in: π xyd r cos ϑ( r cos ϑ) dϑdr 3 π r cos ϑ r 3 cos ϑ) dϑdr π r cos ϑ r 3 (cos(ϑ) + ) dϑdr π r 3 dr [ 4 π r 4] 4 π Tot slot: xyd xyd + xyd + xyd 3 π + 4 π ( + 4 )π 5