Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 6

Transcriptie

1 Drs. J.H. Blankespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 6 HBuitgevers, Baarn Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

2 Uitwerking herhalingsopgaven deel Hoofdstuk 6 (Meervoudige integralen, bol- en cilindercoördinaten) pgave a Laat variëren van tot ; kies een willekeurige maar wel vaste tussen en ; de bijbehorende varieert van tot Korter: en. De andere gebiedsbeschrijving in rechthoekscoördinaten: en ebruikt is: ( ) +, omdat We gaan het gebied nu in poolcoördinaten beschrijven. Het gebied wordt begrensd door de hoeken ϕ en ϕ. Voor een willekeurige, maar vaste waarde van ϕ tussen en varieert de straal r van tot op de ellips. We gaan de vergelijking van de ellips omzetten in poolcoördinaten door te substitueren r r r ( ) cos ϕ+ sin ϕ cos ϕ+ sin ϕ r cos ϕ+ sin ϕ cos ϕ+ sin ϕ r, omdat r cos ϕ+ sin ϕ r cosϕ en rsinϕ : Voor een willekeurige, maar vaste ϕ, loopt de straal r dus van tot De beschrijving van in poolcoördinaten wordt daarmee: ϕ en r. cos ϕ + sin ϕ +. cos ϕ + sin ϕ b De vergelijking van de cirkel + ( ) wordt na het uitwerken van de haakjes: +. De - coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de lijn berekenen we door te substitueren in + + : ( + ) Het is nodig het gebied in twee delen te splitsen voor de beschrijving in rechthoekscoördinaten. We beschrijven het gebied: loopt van tot en voor een, loopt van tot de cirkel. willekeurige, vaste op het interval [ ] Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

3 We lossen op uit ( ) + : ( ) ( ) + ± ± In dit geval is, zodat er geldt: + Vervolgens loopt van tot en voor een willekeurige, vaste op het interval [, ] loopt dan van tot +. Kortweg: en + en + De afleiding van de tweede gebiedsbeschrijving in rechthoekscoördinaten is op overeenkomstige wijze te geven en wordt achterwege gelaten. De beschrijving is: en en We gaan het gebied nu in poolcoördinaten beschrijven. Het gebied wordt begrensd door de hoeken ϕ en ϕ. Voor een willekeurige, maar vaste waarde van ϕ tussen en varieert de st raal r van tot op de cirkel. We gaan de vergelijking v an de cirkel + omzetten in poolcoördinaten door te substitueren + r en rsinϕ : r rsinϕ r( r sinϕ) r r sinϕ Voor een willekeurige, maar vaste ϕ, loopt de straal r dus van tot r sinϕ. De beschrijving van in poolcoördinaten wordt daarmee: ϕ en r sinϕ. pgave a Schets van het gebied: as as Figuur Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

4 Tweede gebiedsbeschrijving: en b Schets van het gebied: as + as Figuur Tweede gebiedsbeschrijving is in twee delen: en - 6 en 6 en pgave a u u ( u v d ) vdu uv v v du v u u ( ) u + u+ u u + u u du u + u + u+ u du u u u u Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

5 b tcos t ddt t cos t d t dt t t ( + ) ( + ) ( + ) ( ) t ( ) ( ) ( ) t sin + t dt t sin t sin t dt ( ) ( ) tsin t dt tsin t dt ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) sin d sin d ( t ) cos( t ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) cos cos cos pgave a We draaien de integratievolgorde om, zie figuur as cos arccos as Figuur Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina 5 van 5

6 arccos cos sin sin e dd e d d e sin [ ] cos sin e cos d e sin dsin d sin sin sin e e e e b We draaien de integratievolgorde om, zie figuur as as as Figuur as Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina 6 van 5

7 + + dd dd gebied is geschetst in figuur 5. as d + dd + d + ( ) + d + pgave 5 a We gaan over op poolcoördinaten ( ) + ( + ) dd ( + ) dd Het gebied volgt uit de integratiegrenzen: Voor een tussen en varieert van tot + + ( ) De laatste uitdrukking is de vergelijking van de cirkel met middelpunt (, ) en straal. Het as Figuur 5 Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina 7 van 5

8 We gaan in poolcoördinaten beschrijven. Vrij eenvoudig is in te zien dat ϕ. We zien ook dat voor willekeurige, maar vaste ϕ tussen en de straal r loopt van tot op de cirkel. m de waarde van r op de cirkel te kunnen bepalen, moeten we de cirkel in poolcoördinaten beschrijven. In de vergelijking + substitueren we rsinϕ en + r. Dit geeft: r rsinϕ r( r sinϕ) r r sinϕ Dit betekent dat voor een willekeurige, maar vaste ϕ de straal r loopt van tot sinϕ. De gebiedsbeschrijving in poolcoördinaten is: ϕ en r sinϕ. De berekening van de gevraagde integraal verloopt nu als volgt: sin ϕ ( ) + dd r dd r ϕ sinϕ r sin d ϕ ϕ dϕ We werken sin ϕ om tot een integreerbare uitdrukking: sin ϕ sin ϕ Er volgt: ( ) ( ) cos ( ϕ ) ( cos ϕ cos ϕ) + ( cosϕ ( cosϕ )) + ( cos ϕ cos ϕ) + dd sinϕϕ d ( ) cos ϕ cos ϕ dϕ 8 ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) dϕ cos ϕd ϕ cos ϕd ϕ sin sin 8 Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina 8 van 5

9 b We gaan over op poolcoördinaten d d d d Het gebied volgt uit de integratiegrenzen: Voor een tussen en varieert van tot + as De laatste uitdrukking is de vergelijking van de cirkel met middelpunt (, ) en straal. Het gebied is geschetst in figuur 6 as Figuur 6 Er volgt: d d d d r rdrdϕ ( r ) d( r ) ( r ) d ϕ ( 8) d ϕ 8 [ ϕ] dϕ Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina 9 van 5

10 pgave 6 k + + z is de grafiek van de functie Het vla ( ) z f,. Het lichaam wordt begrensd door de grafiek van f en het gebied in het -vlak volgens figuur 7 as as ( ) ( ) d d Figuur 7 V dd dd d Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

11 pgave 7 Een schets van het gebied is te zien in figuur 8 as + as Figuur 8 [ ] + ( ( + )) ( ) dd dd + d d d ( ) ( ) + 6 Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

12 pgave 8 Een schets van het gebied is te zien in figuur 9 as 9 as Figuur 9 9 I dd dd 9 [ ] d ( ) 5 9 d 5 ( ) Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

13 pgave 9 Een schets van het gebied is te zien in figuur. as as Figuur Er geldt: I ρ r, d d + d d p ( ) ( ) We gaan in poolcoördinaten beschrijven. Vrij eenvoudig is in te zien dat ϕ. We zien ook dat voor willekeurige, maar vaste ϕ tussen en de straal r loopt van tot op de cirkel. m de waarde van r op de cirkel te kunnen bepalen, moeten we de cirkel in poolcoördinaten beschrijven. ( ) De vergelijking van de cirkel + is na het uitwerken van de haakjes te herschrijven tot + In de vergelijking + substitueren we r cosϕ en + r. Dit geeft: r rcosϕ r r cosϕ r r cosϕ ( ) Dit betekent dat voor een willekeurige, maar vaste ϕ de straal r loopt van tot cosϕ. De gebiedsbeschrijving in poolcoördinaten is: ϕ en r cosϕ. De berekening van de gevraagde integraal verloopt nu als volgt: Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

14 cos ϕ 5 ( ) + dd r dd r ϕ cosϕ 6 6 r cos 6 dϕ ϕdϕ Deze laatste integraal is handmatig veel werk, maar het is wel mogelijk. We moeten dan als volgt handelen: 6 cos ϕ cos ϕ ( ) ( + cos ϕ ) ( + cos ϕ+ cos ϕ+ cos ϕ) 8 cos ( cos ) cos cos 8 + ϕ + + ϕ + ϕ ϕ 5 + cos ϕ+ cos ϕ+ ( sin ϕ) cos ϕ cos ϕ+ cos ϕ+ sin ϕcos ϕ 8 Nu is elke term te integreren: Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina van 5

15 6 ( ) + dd cosϕϕ d 5 cos ϕ cos ϕ sin ϕcos ϕ dϕ d cos d cos d sin cos d 6 ϕ+ ϕ ϕ+ ϕ ϕ+ ϕ ϕ ϕ dϕ cos ϕd( ϕ) cos ϕd ( ϕ ) + sin ϕdsin ( ϕ) sin sin sin 8 ϕ+ ϕ+ ϕ+ ϕ 9 pgave ϕ, r en r + z r + pgave ϕ, θ en r cosθ Toegepaste wiskunde, deel Uitwerkingen herhalingsopgaven hoofdstuk 6 Pagina 5 van 5