CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

Transcriptie

1 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

2 college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b a f(x)dx. b a f(x)dx = F (b) F (a) waar F (x) zodanig is dat F (x) = f(x) overal op het interval (a, b). 1

3 2 de primitieve college 1 Dus: gegeven f, zoek F met F = f. Zo n F heet de primitieve of ook wel anti-afgeleide van f. We schrijven F = f = f(x) dx en spreken dan ook wel van de onbepaalde integraal. Let op dat de onbepaalde integraal F = f slechts vast ligt op een constante C na, omdat (F (x) + C) = F (x) voor elke constante C. Voor de bepaalde integraal maakt dat niets uit omdat b a f dx = F (b) F (a) = (F (b) + C) (F (a) + C).

4 3 belangrijke integralen college 1 x n dx = 1 n+1 xn+1 + C, als n 1 1 dx x = ln x + C e x dx = e x + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C

5 4 eerste rekenregels college 1 (f(x) + g(x)) dx = c R c f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx g(x) dx

6 5 voorbeeld college 1 Opgave Bereken 1 0 (3e x + 2 x) dx.

7 6 voorbeeld college 1 Opgave Bereken 1 0 (3e x + 2 x) dx. Oplossing Bepaal F (x) = (3e x + 2 x) dx, zodat het antwoord F (1) F (0) wordt.

8 7 voorbeeld college 1 F (x) = (3e x + 2 x) dx = 3e x dx + 2 x dx = 3 e x dx + 2 x 1 2 dx = 3 e x x C Dus 1 0 (3ex + 2 x) dx is F (1) F (0) = (3 e ) (3 e0 + 0) = 3e 5 3.

9 ander voorbeeld college 1 Opgave Bereken π 0 (3 sin θ + 4 cos θ) dθ. 8

10 ander voorbeeld college 1 Opgave Bereken π 0 (3 sin θ + 4 cos θ) dθ. Oplossing Bepaal G(θ) = (3 sin θ + 4 cos θ) dθ, zodat het antwoord G(π) G(0) wordt. 9

11 10 ander voorbeeld college 1 G(θ) = (3 sin θ + 4 cos θ) dθ = 3 sin θ dθ + 4 cos θ dθ Dus π (3 sin θ + 4 cos θ) dθ is 0 = 3 cos θ + 4 sin θ + C. G(π) G(0) = ( 3 cos π+4 sin π) ( 3 cos 0+4 sin 0) = 3 ( 3) = 6.

12 11 substitutieregel college 1 De substitutieregel luidt: f(g(x)) g (x) dx = F (g(x)), waar F = f.

13 12 substitutieregel college 1 f(g(x)) g (x) dx = F (g(x)), waar F = f. Een vorm om de substitutieregel in te onthouden is: f(g) g dx = F (g), waar g een functie van x is. Je probeert dus te herkennen dat de integrand te schrijven is als de samenstelling van f en g gevolgd door de afgeleide van g. De onbepaalde integraal is dan F (g) waar F de primitieve van f is.

14 substitutieregel: voorbeeld college 1 Regel: f(g) g dx = F (g) waar F = f. Opgave Bereken x 2 sin(x 3 ) dx 13

15 substitutieregel: voorbeeld college 1 Regel: f(g) g dx = F (g) waar F = f. Opgave Bereken x 2 sin(x 3 ) dx Oplossing Herken dat sin(x 3 ) de samenstelling f(g(x)) is van f(x) = sin(x) en g(x) = x 3, en dat x 2 bijna de afgeleide is van g(x)! 14

16 15 substitutieregel: voorbeeld college 1 Eigenlijk is x 2 = 1 3 g (x) als g(x) = x 3. Met f(x) = sin x vinden we dan x 2 sin(x 3 1 ) dx = 3 g (x) sin(g(x)) dx = 1 3 f(g) g dx = 1 3 F (g) = 1 3 ( cos(g)) = 1 3 cos(x3 ). Hier moeten we eigenlijk nog een willekeurige constante C bij optellen.

17 16 substitutieregel college 1 Om in dit voorbeeld te laten zien dat je antwoord correct is, bereken je de afgeleide van het resultaat, en dat is 1 3 d cos(x 3 ) dx = 1 3 ( sin(x3 )) (3x 2 ). Merk op dat je daar in de laatste stap de kettingregel toepast!

18 17 substitutieregel college 1 Met precies dezelfde techniek toon je de correctheid aan van de substitutieregel, namelijk door te laten zien dat de functies links en rechts in f(g(x)) g (x) dx = F (g(x)) dezelfde afgeleide hebben (en dus slechts een constante schelen): df (g(x)) dx = f(g(x)) g (x). Merk op dat je daar in de laatste stap de kettingregel weer toepast: de substitutieregel is een soort omgekeerde kettingregel.

19 meer voorbeelden college 1 Opgave Bereken e sin x cos x dx Oplossing Herken dat cos x de afgeleide is van g(x) = sin x, en dat e sin x de samenstelling is van g(x) met f(x) = e x. De gezochte primitieve is dus F (g(x)) = e sin x. 18

20 19 meer voorbeelden college 1 Opgave Bereken sin(ln t) t dt Oplossing Herken dat 1/t de afgeleide is van ln t, en dus is de gevraagde primitieve cos(ln t).

21 20 meer voorbeelden college 1 Opgave Bereken sin(θ + 4) dθ Oplossing Herken dat 1 de afgeleide is van θ + 4, en dus is de gevraagde primitieve cos(θ + 4). Je zou kunnen zeggen: sin(θ + 4) dθ = sin(θ + 4) d(θ + 4) = sin t dt = cos t = cos(θ + 4) waar we t = θ + 4 hebben gesubstitueerd.

22 21 intuïtieve vorm college 1 Hoewel het niet een echt quotiënt is, zou je kunnen schrijven g (x) = dg(x) dx dus g (x) dx = dg(x) en daarom f(g(x)) g (x) dx = f(g(x)) dg(x) = F (g(x)) waar F de primitieve van f is. We hebben de variabele x vervangen door g(x).

23 22 substitutieregel: drie vormen college 1 We hebben nu de volgende drie formuleringen van de substitutieregel: f(g(x)) g (x) dx = F (g(x)) f(g) g dx = F (g) f(g(x)) dg(x) = F (g(x))

24 23 nog twee voorbeelden college 1 Opgave Bereken sin(x + 4) dx Oplossing Omdat d(x + 4) = dx kunnen we schrijven sin(x + 4) dx = sin(x + 4) d(x + 4) = cos(x + 4) + C.

25 24 nog twee voorbeelden college 1 Opgave Bereken sin(2x) dx Oplossing Omdat d(2x) = 2 dx kunnen we schrijven sin(2x) dx = sin(2x) 1 2 d(2x) = 1 2 cos(2x) + C.

26 25 twee nieuwe regels college 1 Het is duidelijk dat we zo in het algemeen voor elke a R krijgen f(x + a) dx = F (x + a) + C, en voor elke b 0 f(b x) dx = 1 b F (b x) + C, waar natuurlijk weer F (x) een primitieve van f(x) is.

27 26 voorbeeld college 1 Opgave Bereken sin 2 (2x) cos(2x) dx Oplossing Herken de afgeleide cos(2x) van sin(2x), en gebruik dx = 1 2 d(2x): sin 2 (2x) cos(2x) dx = 1 sin 2 (2x) cos(2x) d(2x) 2 = 1 sin 2 (2x) d sin(2x) = u 2 du = 1 6 u3 = 1 6 sin3 (2x).

28 27 substitutieregel: bepaalde integraal college 1 Wat is b a f(g(x)) g (x) dx? Intuïtief: x=b x=a f(g(x)) g (x) dx = = = x=b x=a g(x)=g(b) g(x)=g(a) u=g(b) u=g(a) f(g(x)) dg(x) f(g(x)) dg(x) f(u) du.

29 28 substitutieregel: bepaalde integraal college 1 Wat is b a f(g(x)) g (x) dx? Iets netter: laat F de primitieve van f zijn zodat F (u) = f(u). Dan is volgens de kettingregel (F (g(x)) = f(g(x))g (x) en dus b a f(g(x)) g (x) dx = b a (F (g(x)) dx = F (g(b)) F (g(a)). Maar ook F (g(b)) F (g(a)) = g(b) g(a) F (u) du = g(b) g(a) f(u) du.

30 29 substitutieregel: bepaalde integraal college 1 Conclusie: b a f(g(x)) g (x) dx = g(b) g(a) f(u) du.

31 30 voorbeeld college 1 Opgave Bereken 5 1 x 2x 1 dx.

32 31 voorbeeld college x 2x 1 dx. Oplossing Met 2x 1 = u is x = 1 2 (u + 1) en dx = 1 2 du, 5 1 x 2x 1 dx = = 1 4 = 1 4 = x=1 5 x=1 9 u=1 1 2 (u + 1) u du (u u 1 2 ) du (u u 1 2 ) du ( 2 3 u u ) = 16 3.

33 32 goniometrische identiteiten college 1 Voor alle reële t geldt e it = cos t + i sin t. Bovendien geldt cos 2 t + sin 2 t = 1 en We vinden hieruit en cos 2 t sin 2 t = cos(2t). cos 2 t = 1 2 (cos(2t) + 1), sin 2 t = 1 2 (1 cos(2t)).

34 33 goniometrische identiteiten college 1 Gevolg Voor alle natuurlijke getallen m, n is bepalen. sin m t cos n t dt nu te Opgave Bereken sin 2 t cos 2 t dt.

35 34 goniometrische identiteiten college 1 Opgave Bereken sin 2 t cos 2 t dt. Oplossing sin 2 t cos 2 t dt = 1 4 = 1 4 = 1 4 (1 cos(2t))(cos(2t) + 1) dt (1 cos 2 (2t)) dt sin 2 (2t) dt = (1 cos(4t)) dt = 1 8 t 1 32 sin(4t).

36 35 speciale integralen college 1 Als 1 x 2 in een integraal voorkomt, helpt de substitutie x = sin t, want 1 x2 = 1 sin 2 t = cos 2 t = cos t. Omdat dx dt = d sin t dt vervang je dan dx door cos t dt. = cos t

37 36 voorbeeld speciale integralen college 1 Opgave Bereken 1 1 x 2 dx. Oplossing 1 dx = 1 1 x 2 cos t cos t dt = t = sin 1 x.

38 speciale integralen college 1 Als 1 + x 2 in een integraal voorkomt helpt de substitutie x = tan t, want 1 + x 2 = 1 + tan 2 t = 1 + sin2 t cos 2 t = cos2 t + sin 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t. Omdat dx dt = d tan t dt 1 vervang je dan dx door cos 2 t dt. = 1 cos 2 t 37

39 38 voorbeeld speciale integralen college 1 Opgave Bereken 1 1+x 2 dx. Oplossing x 2 dx = 1 1 cos 2 t 1 cos 2 t dt = t = tan 1 x.