Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking"

Transcriptie

1 Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: /FMHT/14161/ A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt is de kromme georiënteerd tegen de klok in. tel Fx, y, z x î + y ĵ + zˆk. Bereken de lijnintegraal F dr op twee manieren: a direct; b met behulp van een geschikte stelling Gauss of tokes of Green. Uitwerking. a De kromme is heel duidelijk de doorsnijding van een bol rond de oorsprong met straal 4 en het vlak z 1 parallel een het xy vlak. Invullen van de vergelijking z 1 in x + y + z 4 levert x + y 3; samen met z 1 beschrijft deze vergelijking een cirkel rond het punt,, 1, met straal 3, en op het vlak z 1 liggend. Parametrisatie van : x 3 cost y 3 sint z 1 rt 3 cost î + 3 sint ĵ + ˆk, met t : π. Element dr: dr r t dt 3 sint î + 3 cost ĵ dt. F geëvalueerd op : Fxt, yt, zt xt î + yt ĵ + ztˆk 3 cost î + 3 sint ĵ + ˆk.

2 Integraal: F dr. Fxt, yt, zt r t dt 3 cost î + ˆk 3 sint ĵ + 3 sint î + 3 cost ĵ dt 3 cost sint + 3 sint cost dt merk op dat Fxt, yt, zt r t voor alle t! N.B.: Het is geen toeval dat het resultaat gelijk aan nul is. Het vectorveld is gelijk aan de plaatsvector, Fr r, en het is dus loodrecht op de gegeven bol. Aan de andere hand ligt r op de raaklijn van de cirkel en dus ook op het raakvlak van het bol want de cirkel ligt zelf op die bol. Dus, F en r zijn loodrecht op elkaar ofwel F r. b De stelling van tokes is van toepassing want is een gesloten kromme. Deze stelling beweert dat F dr F ˆn d, met rand. Twee voor de hand liggende keuzes voor zijn i de eenheidsschijf rond,, 1 en parallel aan de xy vlak en ii het gedeelte van de gegeven bol met z 1. Het is raadzaam de integrand F te berekenen vóór een keuze voor te maken. F: F / x / y / z x y z î + ĵ + ˆk ˆ. Integraal: Het is duidelijk dat de integraal van over elk oppervlak levert nul op: F dr F ˆn d ˆn d. Natuurlijk leidt de stelling van tokes tot hetzelfde resultaat als bovenstaande direct berekening.

3 Vraagstuk. Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z 1 + z î + xz ĵ + z ˆk en het oppervlak is de rand van de driedimensionele domain ingesloten door de kegels x + y z en x + y z 1. De oriëntatie van is zodanig dat de eenheidsnormaalvector ˆn naar buiten wijst. Uitwerking. De integraal kan op twee manieren berekend worden: i met behulp van de stelling van Gauss want het betreft een gesloten oppervlak en ii direct. Hier worden beide methoden gepresenteerd. In een tentamen hoeft u uiteraard de integraal door maar één methode te berekenen tenzij anders aangegeven! Deze stelling beweert dat F ˆn d Door de stelling van Gauss V F dv, met randv. Hier is V uniek: het is de driedimensionele domain ingesloten door de gegeven kegels. F: F 1 + z x + xz y + z z Integraal: N.B.: maak een schets van de domein. Let op: de eerste kegel heeft zijn apex op de oorsprong en de tweede op,, 1! De gegeven kegels zijn symmetrisch rond de z as; het is dus een goed idee eerst naar z te integreren. F dv dv V V D D D ˆ 1 x +y dz da x +y z 1 x +y da x +y 1 x + y da. Bovenstaande da dx dy dy dx r dr dθ staat voor het oppervlakte element op de xy vlak; D is de projectie van V op hetzelfde vlak. De doorsnijding van de twee kegels is een kromme die gegeven wordt dor de vergelijkingen z x + y en z 1 x + y. 3

4 Dus, z z 1 z z z + 1 z 1 en x + y z 1 4. De projectie van V op het xy vlak is, dus, de schijf { D x, y x + y 1 4 In polcoördinaten wordt de integraal V F dv D ˆ 1/ π 1. }. 1 x + y da r 1 r r dr dθ r dθ 1/ dθ Direct Parametrisatie van : Het oppervlak bestaat uit twee delen: het gedeelte 1 dat tot de kegel z 1 x + y hoort en het gedeelte dat tot de kegel z x + y hoort. De bijbehorende parametrisaties zijn: x r cosθ 1 y r sinθ rr, θ r cosθ î + r sinθ ĵ + 1 r ˆk, met r 1/ en θ π. z 1 r x r cosθ y r sinθ z r Element ˆn d: 1 ˆn d dr dθ ± ˆn d dr dθ ± rr, θ r cosθ î + r sinθ ĵ + r ˆk, met r 1/ en θ π. x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ ± ± cosθ sinθ 1 r sinθ r cosθ cosθ sinθ 1 r sinθ r cosθ ± r cosθ î + r sinθ ĵ + r ˆk, ± r cosθ î r sinθ ĵ + r ˆk. 4

5 De vector die loodrecht op 1 staat en naar buiten wijst heeft een positieve z component; die voor heeft een negatieve z component. Dus, 1 ˆn d r cosθ î + r sinθ ĵ + r ˆk dr dθ, ˆn d r cosθ î + r sinθ ĵ r ˆk dr dθ. F geëvalueerd op : ofwel F op 1 Fxr, θ, yr, θ, zr, θ r î + 1 rr cosθ ĵ + 1 r ˆk, F op Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + r î + r cosθ ĵ + r ˆk, F op 1 Fxr, θ, yr, θ, zr, θ r + r î + r r cosθ ĵ + 1 r ˆk, F op Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + r î + r cosθ ĵ + r ˆk. Integraal: F ˆn d F ˆn d + 1 ˆ 1/ ˆ 1/ + π ˆ 1/ ˆ 1/ π 1. ˆ 1/ F ˆn d r + r r cosθ + r r r cosθ sinθ + 1 rr 1 + r r cosθ + r 3 cosθ sinθ r dr dθ dr dθ 3r r + r 3 cosθ + r cosθ sinθ + r r dr dθ 3r r + r 3 cosθ + r cosθ sinθ + r r dθ dr r r dr want cosθ dθ cosθ sinθ dθ Natuurlijk is dit resultaat precies gelijk aan degene opgeleverde door de stelling van Gauss. 5

6 Vraagstuk 3 a Bepaal of het vectorveld F gegeven door Fx, y, z y î + x ĵ + xyzˆk conservatief is. Bereken de lijnintegraal waarbij de doorsnijding van de oppervlakken F dr, x + y 1 and x z + 1 is. De oriëntatie van is zodanig dat, indien u de kromme van bovenaf bekijkt, hij tegen de klok in georiënteerd is. b Bepaal alle functies g die het vectorveld conservatief maken. Uitwerking. a F e y + x gz î + x e y ĵ + x + 1 ˆk ontrole padonafhankelijkheid: Het gegeven vectorveld is conservatief padonafhankelijk indien zijn rotatie nul is. F / x / y / z y x xyz xzî yzĵ + ˆk ˆ. Het vectorveld is dus niet conservatief. Daarom moet het integraal ook expliciet berekend worden. Dit kan op twee manieren: a met behulp van de stelling van tokes en b direct. Deze stelling beweert dat F dr Door de stelling van tokes F ˆn d, met rand. Een voor de hand liggende optie voor is het gedeelte van het gegeven vlak x z + 1 dat binnen de gegeven cilinder x + y 1 zit. Parametrisatie van : x r cosθ y r sinθ z 1 + x 1 + r cosθ rr, θ r cosθ î + r sinθ ĵ r cosθ ˆk, met r 1 en θ π. 6

7 Element ˆn d: ˆn d dr dθ ± x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ ± cosθ sinθ cosθ r sinθ r cosθ r sinθ ± î + ˆk r, De vector die loodrecht op staat en naar boven rechte hand regel! wijst heeft een positieve z component, en dus ˆn d î + ˆk r dr dθ. F geëvalueerd op : Fxr, θ, yr, θ, zr, θ 1 + r cosθ r cosθ î r cosθ r sinθ ĵ + ˆk. Integraal: F dr ˆ 1 ˆ 1 F ˆn d 1 + r cosθ r cosθ + r dr dθ r r cosθ r 3 cos θ dr dθ cosθ 1 4 cos θ 7π 4. dθ want cos θ 1 + cosθ Direct Parametrisatie van : x cost y sint z 1 + x 1 + cost rt cost î + sint ĵ cost ˆk, met t : π. Element dr: dr r t dt sint î + cost ĵ sint ˆk dt. F geëvalueerd op : Fxt, yt, zt yt î + xt ĵ + xtytzt ˆk sint î + cost ĵ cost sint cost ˆk. 7

8 Integraal: F dr 7π 4. Fxt, yt, zt r t dt sin t + cos t 1 + cost sin t cost dt 1 sin t cost sin t cos t dt 1 sin t cost 1 cos t dt sin t cost + cos t dt sin t cost cos4t dt sin t cost cos4t dt 7 8 t 1 8 sin3 t sin4t π Hier ook is het resultaat hetzelfde als bij tokes. dt want cos t 1 + cost, sin t 1 cost want cos t 1 + cos4t als eerder a ontrole padonafhankelijkheid: Het gegeven vectorveld is conservatief padonafhankelijk indien zijn rotatie nul is. F / x / y / z e y + x gz x e y x + 1 î x x g z ĵ + e y e y ˆk î x 1 g zĵ + ˆk. Het vectorveld is conservatief indien 1 g z, ofwel indien gz z + met een willekeurige constante. 8

Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.

Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking. Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation

Nadere informatie

Topologie in R n 10.1

Topologie in R n 10.1 Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3

Nadere informatie

Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30

Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30 Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een

Nadere informatie

Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30

Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30 Tentamen WISN1 Wiskundige Technieken Ma 6 jan 14 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie

Tentamen Vectorcalculus voor N (2DN06), dinsdag 24 januari 2006, uur.

Tentamen Vectorcalculus voor N (2DN06), dinsdag 24 januari 2006, uur. TEHNIHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Vectorcalculus voor N (DN6), dinsdag 4 januari 6, 14.-17. uur. 1. Zij R 3 het deel van de grafiek van de functie f gegeven door

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is

Nadere informatie

(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door

(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 27-09-09 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent

Nadere informatie

tentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur

tentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde

Nadere informatie

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b

Nadere informatie

Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Do 1 feb :00 12:00

Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Do 1 feb :00 12:00 Normering Tentamen WISN02 Wiskundige Technieken 2 Do feb 207 9:00 2:00 voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

TENTAMEN INFINITESIMAALREKENING 1C

TENTAMEN INFINITESIMAALREKENING 1C TENTAMEN INFINITESIMAALREKENING 1C onderdag 1 maart 1, 14. 17. uur. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Shrijf je naam en studentnummer op elk vel dat je inlevert en op het

Nadere informatie

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 202 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk

Nadere informatie

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Opgaves 1 3 Oplossingen 11 18-1 1 Inleiding In deze module worden

Nadere informatie

1. Langere vraag over de theorie

1. Langere vraag over de theorie 1. Langere vraag over de theorie a) Bereken, vertrekkend van de definitie van capaciteit, de capaciteit van een condensator die bestaat uit twee evenwijdige vlakke platen waarbij de afstand tussen de platen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Krommen in de ruimte

Krommen in de ruimte Krommen in de ruimte z Een ruimtekromme is de baan van een tijd-plaatsfunctie van een bewegend deeltje in de ruimte Na keuze van een rechthoekig assenstelsel Oxyz wordt die functie f gegeven door zijn

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE

Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 5 VECTORANALYE 2WA5 2006/2007 Hoofdstuk 5 De stellingen van tokes en Green 5. Inleiding In dit hoofdstuk worden de stellingen van tokes en van Green 2 behandeld.

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 2 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 2 nov :30 16:30 Tentamen WISN Wiskundige Technieken Ma nov 5 3:3 6:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes. 3pt Grote

Nadere informatie

Antwoordmodel VWO wb I. Verschuivend zwaartepunt. Maximumscore 3 3 = 1. d T = ,2 (cm) Maximumscore 4. Dus d T = = Maximumscore 4

Antwoordmodel VWO wb I. Verschuivend zwaartepunt. Maximumscore 3 3 = 1. d T = ,2 (cm) Maximumscore 4. Dus d T = = Maximumscore 4 Antwoordmodel VWO wb -I Verschuivend zwaartepunt Maximumscore d W = = d T = + 5, (cm) h d T = h + h + 5 h + h + 5 h + Dus d T = = h + h + h + =,5 geeft (bijvoorbeeld met behulp van de GR) h, h 7,7 h +

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde

Nadere informatie

DE AFWIKKELING VAN EEN AFGEKNOTTE KEGEL

DE AFWIKKELING VAN EEN AFGEKNOTTE KEGEL DE AFWIKKELIG VA EE AFGEKOTTE KEGEL F. BRACKX VAKGROEP WISKUDIGE AALYSE UIVERSITEIT GET. PROBLEEMSTELLIG Beschouw de afgeknotte kegel die ontstaat door een rechte circulaire kegel te snijden met een vlak

Nadere informatie

Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE

Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE 12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 4 VECTOANALYE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 4 De stelling van Gauss (divergentie-stelling) 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De

Nadere informatie

Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal Elektrische flux Een cilinder van een niet-geleidend materiaal wordt in een elektrisch veld gezet als geschetst. De totale elektrische flux door het oppervlak van de

Nadere informatie

Integratie voor meerdere variabelen

Integratie voor meerdere variabelen Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,

Nadere informatie

Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN /13 Semester A kwartiel 2

Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN /13 Semester A kwartiel 2 Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN13 2012/13 Semester A kwartiel 2 De actuele versie van deze studiewijzer is te vinden op http://www.win.tue.nl/ gprokert/wijzer2dn13.pdf Doelgroep: tweedejaars Bachelor

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden). Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen

Nadere informatie

Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 29/2/2012

Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 29/2/2012 Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 9//1 March 6, 1 1 raag 1 Beschouw de volgende kromme in R 3, geparametriseerd als r(t) = ti + (t 1)j + t k. (a) Als de parameter t een tijd aangeeft, bereken dan

Nadere informatie

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor

Nadere informatie

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B- vwo -I 4 Antwoordmodel Uit de kust De isoafstandslijn bestaat uit drie lijnstukken en een cirkelboog De lijnstukken hebben lengte 4 x, 4 x en 4 De lengte van de cirkelboog is 4 πx

Nadere informatie

Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE

Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE 12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3

Nadere informatie

Tussentijdse evaluatie Analyse I

Tussentijdse evaluatie Analyse I 1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan

Nadere informatie

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.

Nadere informatie

Beoordelingsmodel wiskunde B1 VWO 2006-I. Sauna. Maximumscore e t = 100. het tijdstip 17:02 uur 1. Maximumscore 4

Beoordelingsmodel wiskunde B1 VWO 2006-I. Sauna. Maximumscore e t = 100. het tijdstip 17:02 uur 1. Maximumscore 4 Beoordelingsmodel wiskunde B VWO 006-I Antwoorden Sauna 0,9 00 0 e t = 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t = 0 0,9 e S () 39, 06

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26 Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =

Nadere informatie

Deeltoets II E&M & juni 2016 Velden en elektromagnetisme

Deeltoets II E&M & juni 2016 Velden en elektromagnetisme E&M Boller, Offerhaus, Dhallé Deeltoets II E&M 201300164 & 201300183 13 juni 2016 Velden en elektromagnetisme Aanwijzingen Voor de toets zijn 2 uren beschikbaar. Vul op alle ingeleverde vellen uw naam

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Eindexamen wiskunde B- vwo 006-I Beoordelingsmodel Sauna 0,9 00 80 e t 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t 80 0,9 e S () 9, 06 het

Nadere informatie

Hertentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Do 5 jan :30 16:30

Hertentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Do 5 jan :30 16:30 Hertentamen WISN0 Wiskundige Technieken Do 5 jan 207 3:30 6:30 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Relevante vragen , eerste examenperiode

Relevante vragen , eerste examenperiode Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende

Nadere informatie

Analyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 20 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Tentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (

Tentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + ( TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton

Nadere informatie

Opgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag

Opgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!

Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)! Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo I

Eindexamen wiskunde B1 vwo I Eindexamen wiskunde B vwo 009 - I Beoordelingsmodel Over een paraool gespannen maximumscore 4 f 'x ( ) = x De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in R is f' () = De raaklijn in R heeft als vergelijking

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002, TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op , 1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

1 Oppervlakteberekeningen

1 Oppervlakteberekeningen Oppervlakteberekeningen. Oppervlakte ellips of een deel ervan.. Zonder gebruik te maken van parametervergelijkingen We berekenen de oppervlakte in het eerste kwadrant, achteraf vermenigvuldigen we het

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Chapter 28 Bronnen van Magnetische Velden. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Chapter 28 Bronnen van Magnetische Velden. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Chapter 28 Bronnen van Magnetische Velden Magnetisch Veld van een Stroomdraad Magneetveld omgekeerd evenredig met afstand tot draad : Constante μ 0 is de permeabiliteit van het vacuum: μ 0 = 4π x 10-7

Nadere informatie

Tentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen

Tentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen Tentamen Wiskundige Technieken Ma 6 nov 207 Uitwerkingen Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Analyse I. 1. Toon aan dat een niet-dalende begrensde rij convergent is.

Analyse I. 1. Toon aan dat een niet-dalende begrensde rij convergent is. ste Bacelor Ingenieurswetenscappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar - ste semester, 7 januari Analyse I. Toon aan dat een niet-dalende begrensde rij convergent is.. Bescouw twee numerieke functies f

Nadere informatie

Omwentelingslichamen

Omwentelingslichamen Toepassingen integraalrekening Omwentelingslichamen 1. Enkelvoudige integraal WISNET-HBO update april 9 Q We kennen het integreren als het optellen van allemaal infinitesimaal kleine stukjes. Q Het heeft

Nadere informatie

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie