Mathematical Modelling
|
|
|
- Sofie de Veer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date:
2 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen
3 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een hoog plaatjesgehalte, maar dat betekent (juist!) niet dat het gemakkelijk gaat worden
4 4 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een hoog plaatjesgehalte, maar dat betekent (juist!) niet dat het gemakkelijk gaat worden Erger nog: het vereist wat 3D-inzicht...
5 5 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een hoog plaatjesgehalte, maar dat betekent (juist!) niet dat het gemakkelijk gaat worden Erger nog: het vereist wat 3D-inzicht... O ja: ook ik heb (nu al) gemerkt dat er ineens 9 uur in een dag gaan; het rooster op woensdag is aangepast (5/6 6/7)
6 6 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen
7 7 / 94 Huiswerk/werkcollege4 uitwerkingen Deze staan onder uitwerkingenwerkcollege4.pdf hiernaast.
8 8 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen
9 9 / 94 Even opfrissen: definitie integraal
10 10 / 94 Even opfrissen: definitie integraal
11 11 / 94 Even opfrissen: definitie integraal I N k=1 F(x k ) b a N limiet N
12 12 / 94 Integreren (Ch 2.2) Bereken D f (x, y,...) dx dy...
13 13 / 94 Integreren (Ch 2.2) Bereken D f (x, y,...) dx dy... Maak een lijst van afgeleiden van alle functies en kijk of ie in de lijst staat
14 14 / 94 Integreren (Ch 2.2) Bereken D f (x, y,...) dx dy... Maak een lijst van afgeleiden van alle functies en kijk of ie in de lijst staat Partieel integreren: vooralsnog op rechte domeinen
15 15 / 94 Integreren (Ch 2.2) Bereken D f (x, y,...) dx dy... Maak een lijst van afgeleiden van alle functies en kijk of ie in de lijst staat Partieel integreren: vooralsnog op rechte domeinen Substitutie: vooral op mooie ( ronde ) domeinen
16 16 / 94 Integreren (Ch 2.2) Bereken D f (x, y,...) dx dy... Maak een lijst van afgeleiden van alle functies en kijk of ie in de lijst staat Partieel integreren: vooralsnog op rechte domeinen Substitutie: vooral op mooie ( ronde ) domeinen Als alles faalt: computer
17 17 / 94 Bereken Gebruik en integreer van a naar b: b a ofwel b a Partieel integreren (Ch 2.2) b a f (x) dx g (x)h(x) + g(x)h (x) = (g(x)h(x)) b g (x)h(x) dx+ g(x)h (x) dx = a g (x)h(x) dx = b a b a (g(x)h(x)) dx = g(x)h(x) b a g(x)h (x) dx + g(b)h(b) g(a)h(a)
18 Bereken Gebruik en integreer van a naar b: b a ofwel b a Partieel integreren (Ch 2.2) b a f (x) dx g (x)h(x) + g(x)h (x) = (g(x)h(x)) b g (x)h(x) dx+ g(x)h (x) dx = a g (x)h(x) dx = b a b a (g(x)h(x)) dx = g(x)h(x) b a g(x)h (x) dx + g(b)h(b) g(a)h(a) Lijkt alleen te kunnen in 1D of rechthoekige gebieden in 2 of 3D (??) 18 / 94
19 19 / 94 Integreren in meer dimensies (Ch 6) Bereken (voorbeeld: 2D) D f (x, y) dx dy waarbij D een bekend gebied. Voorbeeld: een cirkel rond de oorsprong met straal R.
20 20 / 94 Integreren in meer dimensies (Ch 6) Bereken (voorbeeld: 2D) D f (x, y) dx dy waarbij D een bekend gebied. Voorbeeld: een cirkel rond de oorsprong met straal R. Voor de hand ligt: x = r cos φ, y = r sin φ, r [0, R], φ [0, 2π[
21 21 / 94 Integreren in meer dimensies (Ch 6) Als x = r cos φ, y = r sin φ, r [0, R], φ [0, 2π[ dan is en [ ] [ xr x M = φ cos φ r sin φ = sin φ r cos φ y r y φ J = det M = r(cos 2 φ + sin 2 φ) = r ]
22 22 / 94 Jacobiaan (Ch 6, 10) Je voert een transformatie uit: x 1 (y 1,..., y D ) x 2 (y 1,..., y D )... x D (y 1,..., y D ) Dan: de eerste rij bevat alle afgeleiden van x 1 naar y 1,..., y D De tweede bevat alle afgeleiden van x 2 naar y 1,..., y D etc. en vervolgens is de Jacobiaan gelijk aan det(m).
23 Voorbeeld De lol van transformaties is dat integralen gemakkelijker worden. Merk op dat als x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, er geldt dat J = r 2 sin θ en z = r cos θ x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ) + r 2 cos 2 θ = r 2 I = = exp( x 2 y 2 z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 V R 2π π 0 0 = 2π ( cos θ π 0) 0 dx dy dz exp( r 2 ) r 2 sin θ dθ dφ dr r R 0 exp( r 2 )r dr = (r 2 s) = 2π (1 exp( R2 )) = 2π(1 exp( R 2 )) 23 / 94
24 24 / 94 Conclusie Ch. 2, 6, 10 Meerdimensionale integralen:
25 25 / 94 Conclusie Ch. 2, 6, 10 Meerdimensionale integralen: Voor gemakkelijke ( rechte ) domeinen kan alles wat in 1D kan; partieel en substitutie
26 26 / 94 Conclusie Ch. 2, 6, 10 Meerdimensionale integralen: Voor gemakkelijke ( rechte ) domeinen kan alles wat in 1D kan; partieel en substitutie Voor mooie ( ronde ) domeinen kan substitutie ook; (Jacobiaan berekenen)
27 27 / 94 Conclusie Ch. 2, 6, 10 Meerdimensionale integralen: Voor gemakkelijke ( rechte ) domeinen kan alles wat in 1D kan; partieel en substitutie Voor mooie ( ronde ) domeinen kan substitutie ook; (Jacobiaan berekenen) Wat voor woestere domeinen??
28 28 / 94 Conclusie Ch. 2, 6, 10 Meerdimensionale integralen: Voor gemakkelijke ( rechte ) domeinen kan alles wat in 1D kan; partieel en substitutie Voor mooie ( ronde ) domeinen kan substitutie ook; (Jacobiaan berekenen) Wat voor woestere domeinen?? En: willen we niet anderssoortige integralen kunnen?
29 29 / 94 Conclusie Ch. 2, 6, 10 Meerdimensionale integralen: Voor gemakkelijke ( rechte ) domeinen kan alles wat in 1D kan; partieel en substitutie Voor mooie ( ronde ) domeinen kan substitutie ook; (Jacobiaan berekenen) Wat voor woestere domeinen?? En: willen we niet anderssoortige integralen kunnen? Hoofdstuk 11 uit Riley.
30 30 / 94 Even opfrissen: scalaire functies in 2D
31 31 / 94 Even opfrissen: scalaire functies in 2D
32 32 / 94 Complexe functies in 2D: exp(z)
33 33 / 94 Vectorfuncties in 2D (of hoger) Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] en [ u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) ]
34 34 / 94 Vectorfuncties in 2D (of hoger) Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] en [ u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) ] Complexe functie G(z) heeft als argument een vector z = x + iy en resultaat ook u + iv;
35 35 / 94 Vectorfuncties in 2D (of hoger) Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] en [ u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) ] Complexe functie G(z) heeft als argument een vector z = x + iy en resultaat ook u + iv; Teken in elk punt x, y een pijltje in de richting van de vector en neem de lengte van de pijl evenredig aan de lengte van het vectorveld.
36 Vectorfuncties in 2D (of hoger) Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; Complexe functie G(z) heeft als argument een vector z = x + iy en resultaat ook u + iv; (dus: alleen 2D) 36 / 94
37 37 / 94 Vectorfuncties in 2D (of hoger) Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; Complexe functie G(z) heeft als argument een vector z = x + iy en resultaat ook u + iv; (dus: alleen 2D)
38 38 / 94 Lijnintegralen Deze week in dit theater: lijnintegralen en nog meer van dat soort integralen Wellicht helpt het ook bij het vak ECS (kwartiel 2); ik zal de wiskunde benadrukken en in ECS gaat het om de fysica
39 39 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen
40 40 / 94 Een woest domein in R 2
41 41 / 94 Een functie van twee variabelen G is hier enkelvoudig: bij elke x, y één functiewaarde, en niet twee (complex)
42 42 / 94 Een functie van twee variabelen G is hier enkelvoudig: bij elke x, y één functiewaarde, en niet twee (complex)
43 43 / 94 Een functie van twee variabelen G is hier enkelvoudig: bij elke x, y één functiewaarde, en niet twee (complex)
44 44 / 94 Integreren over 2 dimensies De integraal over het domein is gelijk aan het volume dat ingesloten is.
45 45 / 94 Integreren over de rand Wat is de integraal over (een deel van) de rand van het domein?
46 46 / 94 Definitie lijnintegraal Een gewone integraal in R 2 : een integraal over een gebied: dx dy. Antwoord is een getal, ofwel een scalar.
47 47 / 94 Definitie lijnintegraal Een gewone integraal in R 2 : een integraal over een gebied: dx dy. Antwoord is een getal, ofwel een scalar. Een lijn heeft een richting; is dus een vector.
48 48 / 94 Definitie lijnintegraal Een gewone integraal in R 2 : een integraal over een gebied: dx dy. Antwoord is een getal, ofwel een scalar. Een lijn heeft een richting; is dus een vector. De eenvoudigste integraal heeft de vorm: Q = G(x) dx C Integreer een scalar G langs de rand dx en het antwoord (Q ) is dus (?!) een vector
49 49 / 94 Definitie lijnintegraal
50 50 / 94 Definitie lijnintegraal
51 51 / 94 Definitie lijnintegraal
52 52 / 94 Definitie lijnintegraal
53 53 / 94 Definitie lijnintegraal
54 54 / 94 Definitie lijnintegraal
55 55 / 94 Q = C Definitie lijnintegraal N G(x) dx Q G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1
56 Definitie lijnintegraal Q = C G(x) dx Q N G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 In de praktijk: kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: Q = G(x) dx C 56 / 94
57 Definitie lijnintegraal Q = C G(x) dx Q N G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 In de praktijk: kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: Q = G(x) dx C we weten dx = x(t + dt)) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor! 57 / 94
58 Definitie lijnintegraal Q = C G(x) dx Q N G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 In de praktijk: kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: b Q = G(x) dx = G(x(t)) x (t) dt C we weten dx = x(t + dt)) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor! a 58 / 94
59 59 / 94 Q = C G(x) dx Q Definitie lijnintegraal N G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 In de praktijk: kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: b Q = G(x) dx = G(x(t)) x (t) dt C we weten dx = x(t + dt)) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor! Het is dus niets anders dan de substitutieregel gebruiken: bij gewone integralen: f (x) dx f (x(t) x (t) dt a
60 60 / 94 Definitie lijnintegraal Q = C N G(x) dx Q G(x k ) dx limiet N, dx 0 ofwel na parametrizatie Q = k=1 b a G(x(t)) x (t) dt
61 61 / 94 Definitie lijnintegraal Q = C N G(x) dx Q G(x k ) dx limiet N, dx 0 ofwel na parametrizatie Q = k=1 b a G(x(t)) x (t) dt Als je de omgekeerde kant uit integreert:
62 62 / 94 Definitie lijnintegraal Q = C G(x) dx Q ofwel na parametrizatie Q = N G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 b a G(x(t)) x (t) dt Als je de omgekeerde kant uit integreert: alle vectoren draaien om en dus min-teken! Net als gewoon integreren.
63 63 / 94 Definitie lijnintegraal: gesloten contour Q = C N G(x) dx Q G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1
64 64 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn.
65 65 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t ] = 2t e x + 3t e y, met t [ 0, 1 ].
66 66 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t ] = 2t e x + 3t e y, met t [ 0, 1 ]. 2. Neem de afgeleide naar t: x(t) = [ 2t, 3t ] = 2t e x + 3t e y x (t) = 2 e x + 3 e y
67 67 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t ] = 2t e x + 3t e y, met t [ 0, 1 ]. 2. Neem de afgeleide naar t: x(t) = [ 2t, 3t ] = 2t e x + 3t e y x (t) = 2 e x + 3 e y 3. Nu is het invullen en rekenen: 1 I = (2t + (3t) 2 )(2 e x + 3 e y ) dt 0 = (t 2 + 3t 3 )(2 e x + 3 e y ) 1 = 8 e x + 12 e y 0
68 68 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn.
69 69 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2s 2, 3s 2 ] = 2s 2 e x + 3s 2 e y, met s [ 0, 1 ].
70 70 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2s 2, 3s 2 ] = 2s 2 e x + 3s 2 e y, met s [ 0, 1 ]. 2. Als x(s) = [ 2s 2, 3s 2 ] = 2s 2 e x + 3s 2 e y geldt x (s) = 4s e x + 6s e y.
71 71 / 94 Voorbeeld Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R = [ 2, 3 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2s 2, 3s 2 ] = 2s 2 e x + 3s 2 e y, met s [ 0, 1 ]. 2. Als x(s) = [ 2s 2, 3s 2 ] = 2s 2 e x + 3s 2 e y geldt x (s) = 4s e x + 6s e y. 3. Nu is het rekenen: I = (2s 2 + (3s 2 ) 2 ) 2s (2 e x + 3 e y ) ds = (4s s 5 ) (2 e x + 3 e y ) ds 0 = (s 4 + 3s 6 )(2 e x + 3 e y ) 1 = 8 e x + 12 e y 0
72 72 / 94 Viermaal een vijf-minuten-vraag Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R volgens curve (a), (b), (c). Integreer G ook via pad (d): heen via (b) en terug via (c).
73 73 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad a
74 74 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad a 1. Pad: x(t) = [ t, 0 ], t [0, 2].
75 75 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad a 1. Pad: x(t) = [ t, 0 ], t [0, 2]. 2. Afgeleide: x (t) = [ 1, 0 ].
76 76 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad a 1. Pad: x(t) = [ t, 0 ], t [0, 2]. 2. Afgeleide: x (t) = [ 1, 0 ]. 3. Invullen en rekenen: 2 ( I a = t + 0 2) e x dt 0
77 77 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad a 1. Pad: x(t) = [ t, 0 ], t [0, 2]. 2. Afgeleide: x (t) = [ 1, 0 ]. 3. Invullen en rekenen: 2 I a = (t + 0 2) e x dt = t2 0 0 e x = 2e x
78 78 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b
79 79 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b 1. Pad in twee delen: x(t) = [ t, t ], t [0, 1] en x(s) = [ 1, 1 ]+[ s, s ], s [0, 1]
80 80 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b 1. Pad in twee delen: x(t) = [ t, t ], t [0, 1] en x(s) = [ 1, 1 ]+[ s, s ], s [0, 1] 2. Afgeleide nemen: x (t) = e x e y, x (s) = e x + e y
81 81 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b 1. Pad in twee delen: x(t) = [ t, t ], t [0, 1] en x(s) = [ 1, 1 ]+[ s, s ], s [0, 1] 2. Afgeleide nemen: x (t) = e x e y, x (s) = e x + e y
82 82 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b 1. Pad in twee delen: x(t) = [ t, t ], t [0, 1] en x(s) = [ 1, 1 ]+[ s, s ], s [0, 1] 2. Afgeleide nemen: 3. Invullen: 1 0 x (t) = e x e y, x (s) = e x + e y ( t + t 2) (e x e y ) dt ( s (s 1) 2) (e x + e y ) ds
83 83 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b 1. Pad in twee delen: x(t) = [ t, t ], t [0, 1] en x(s) = [ 1, 1 ]+[ s, s ], s [0, 1] 2. Afgeleide nemen: 3. Invullen: 1 0 x (t) = e x e y, x (s) = e x + e y ( t + t 2) (e x e y ) dt + = (e x e y ) 1 0 ( s (s 1) 2) (e x + e y ) ds [ 1 2 t2 + 1 ] 1 [ 3 t3 + (e x + e y ) 2s s2 + 1 ] 1 3 s3 0
84 84 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad b 1. Pad in twee delen: x(t) = [ t, t ], t [0, 1] en x(s) = [ 1, 1 ]+[ s, s ], s [0, 1] 2. Afgeleide nemen: 3. Invullen: 1 0 x (t) = e x e y, x (s) = e x + e y ( t + t 2) (e x e y ) dt + = (e x e y ) 1 [ 1 2 t2 + 1 ] 1 3 t3 + (e x + e y ) 0 = 5 6 (e x e y ) (e x + e y ) = 8 3 e x + e y = I b. 0 ( s (s 1) 2) (e x + e y ) ds [ 2s 1 2 s s3 ] 1 0
85 85 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c
86 86 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 1. Pad: x(t) = [1 cos t, sin t ], t [0, π].
87 87 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 1. Pad: x(t) = [1 cos t, sin t ], t [0, π]. 2. Afgeleide: x (t) = [ sin t, cos t ] = sin t e x + cos t e y.
88 88 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 1. Pad: x(t) = [1 cos t, sin t ], t [0, π]. 2. Afgeleide: x (t) = [ sin t, cos t ] = sin t e x + cos t e y. 3. Invullen: π 0 (1 cos t + sin 2 t)(sin t e x + cos t e y ) dt
89 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 3. Invullen: π 0 (1 cos t + sin 2 t)(sin t e x + cos t e y ) dt 89 / 94
90 90 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 3. Invullen: π (1 cos t + sin 2 t)(sin t e x + cos t e y ) dt 0 Nu is het alleen nog rekenen: in e x (c = cos, s = sin): π [ (1 c + s 2 )s dt = c c2 1 3 s2 c 2 ] π 3 c =
91 91 / 94 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 3. Invullen: π (1 cos t + sin 2 t)(sin t e x + cos t e y ) dt 0 Nu is het alleen nog rekenen: in e x (c = cos, s = sin): π [ (1 c + s 2 )s dt = c c2 1 3 s2 c 2 ] π 3 c = Nu is het alleen nog rekenen: in e y π [ (1 c + s 2 )c dt = s cs t + 1 ] π 3 s3 = π
92 Vijf-minuten-vraag G(x, y) = x + y 2, pad c 3. Invullen: π (1 cos t + sin 2 t)(sin t e x + cos t e y ) dt 0 Nu is het alleen nog rekenen: in e x (c = cos, s = sin): π [ (1 c + s 2 )s dt = c c2 1 3 s2 c 2 ] π 3 c = Nu is het alleen nog rekenen: in e y π [ (1 c + s 2 )c dt = s cs t + 1 ] π 3 s3 = π dus I c = 10 3 e x 1 2 πe y (Hm; kans op rekenfouten 0...) 92 / 94
93 93 / 94 Vijf-minuten-vraag, pad d (d) Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R via (b) en terug via (c).
94 94 / 94 Vijf-minuten-vraag, pad d (d) Gegeven is G(x, y) = x + y 2. Integreer deze langs O naar R via (b) en terug via (c). I d = I b I c = 8 ( 10 3 e x+e y 3 e x 1 ) 2 πe y = 2 3 e x+ ( ) π e y
Mathematical Modelling
1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 27-09-09 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent
Topologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.
Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Vectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Vectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Vectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Mathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Vectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen
0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Mathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Integratie voor meerdere variabelen
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies
1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
college 2: partiële integratie
39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:
Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
tentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Hertentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Do 5 jan :30 16:30
Hertentamen WISN0 Wiskundige Technieken Do 5 jan 207 3:30 6:30 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Verbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36
4 IJkingstoets 08 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen, en 4 is (A) 7 (B) 4 (C) (D) 6 Vraag Beschouw de functie f met voorschrift f(x) = f ( g ( )) gelijk? en g met voorschrift
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
![10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/91/105289633.jpg "10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden")
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Analyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Wiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.
Vectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3
Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Tussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 5-6 ste semester 9 oktober 5 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Geef de definitie van een Cauchy rij. Toon aan dat elke Cauchy rij begrensd is. Toon aan dat een numerieke
Analyse I. f(x)dx + f(x)dx =
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar 1-11 1ste semester, 18 januari 11 Analyse I 1. f en g zijn numerieke functies, f is differentieerbaar in a en g is differentieerbaar
Paragraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel
Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30
Tentamen WISN1 Wiskundige Technieken Ma 6 jan 14 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door
Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Paragraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
![8.1 Rekenen met complexe getallen [1]](/thumbs/57/40136599.jpg "8.1 Rekenen met complexe getallen [1]")
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 6
Drs. J.H. Blankespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 6 HBuitgevers, Baarn Toegepaste
20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8,
UITWERKINGEN TENTAMEN DIFFERENTIËREN EN INTEGREREN 20 OKTOBER 2008. a) f(x) < is equivalt aan < f(x)
Tussentijdse evaluatie Analyse I
1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan
Antwoordmodel VWO wb I. Verschuivend zwaartepunt. Maximumscore 3 3 = 1. d T = ,2 (cm) Maximumscore 4. Dus d T = = Maximumscore 4
Antwoordmodel VWO wb -I Verschuivend zwaartepunt Maximumscore d W = = d T = + 5, (cm) h d T = h + h + 5 h + h + 5 h + Dus d T = = h + h + h + =,5 geeft (bijvoorbeeld met behulp van de GR) h, h 7,7 h +
TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 4 VECTOANALYE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 4 De stelling van Gauss (divergentie-stelling) 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Aanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Tentamen Vectorcalculus voor N (2DN06), dinsdag 24 januari 2006, uur.
TEHNIHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Vectorcalculus voor N (DN6), dinsdag 4 januari 6, 14.-17. uur. 1. Zij R 3 het deel van de grafiek van de functie f gegeven door
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B
Wiskunde B Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 9 99 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk 4 juni de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school op de daartoe verstrekte
TEST JE WISKUNDEKENNIS!
Bewegingswetenschappen Je overweegt Bewegingswetenschappen te gaan studeren. Een goede keus. Het gaat hier immers om een interessante, veelzijdige studie met gezonde arbeidsmarktperspectieven. Je hebt
Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
1 Oppervlakteberekeningen
Oppervlakteberekeningen. Oppervlakte ellips of een deel ervan.. Zonder gebruik te maken van parametervergelijkingen We berekenen de oppervlakte in het eerste kwadrant, achteraf vermenigvuldigen we het
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem