Mathematical Modelling
|
|
|
- Jozef Lenaerts
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date:
2 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent vectorcomponenten schrijf als Maar: soms F = [ F 1, F 2, F 3 ] x = [ x 1, x 2, x 3 ] = [ x, y, z ] want anders wordt het indexkliederboel
3 3 / 104 Integreren over de rand Wat is de integraal over (een deel van) de rand van het domein?
4 4 / 104 Integreren over de rand Wat is de integraal over (een deel van) de rand van het domein? Maar...
5 5 / 104 Integreren over de rand Wat is de integraal over (een deel van) de rand van het domein? Maar... toegegeven (bedankt vragenstellers) ik heb geen enkel voorbeeld in de 3 delen van Feynman gevonden die dit nodig heeft.
6 Integreren over de rand Wat is de integraal over (een deel van) de rand van het domein? Maar... toegegeven (bedankt vragenstellers) ik heb geen enkel voorbeeld in de 3 delen van Feynman gevonden die dit nodig heeft. Dus! doen we het vanaf nu alleen met vectorvelden! 6 / 104
7 7 / 104 G : R 2 R 2 of G : R 3 R 3 Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] of [ u 1 (x 1, x 2 ), u 2 (x 1, x 2 ) ] dus R 2 R 2
8 8 / 104 G : R 2 R 2 of G : R 3 R 3 Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] of [ u 1 (x 1, x 2 ), u 2 (x 1, x 2 ) ] dus R 2 R 2 en ook [ E 1 (x, y, z), E 2 (x, y, z), E 3 (x, y, z) ] dus R 3 R 3
9 9 / 104 G : R 2 R 2 of G : R 3 R 3 Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] of [ u 1 (x 1, x 2 ), u 2 (x 1, x 2 ) ] dus R 2 R 2 en ook [ E 1 (x, y, z), E 2 (x, y, z), E 3 (x, y, z) ] dus R 3 R 3 maar ook G(z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) dus C C
10 10 / 104 G : R 2 R 2 of G : R 3 R 3 Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] of [ u 1 (x 1, x 2 ), u 2 (x 1, x 2 ) ] dus R 2 R 2 en ook [ E 1 (x, y, z), E 2 (x, y, z), E 3 (x, y, z) ] dus R 3 R 3 maar ook G(z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) dus C C Alleen functies met evenveel componenten als de ruimte waarin ze leven (en dus NIET R 2 R 3!)
11 11 / 104 G : R 2 R 2 of G : C C Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] R 2 en G(z = x+iy) = u(x, y)+iv(x, y) C
12 12 / 104 G : R 2 R 2 of G : C C Krachten, snelheden, versnellingen zijn vectoren; bv. [ u(x, y), v(x, y) ] R 2 en G(z = x+iy) = u(x, y)+iv(x, y) C Teken in elk punt x, y een pijltje in de richting van de vector en neem de lengte van de pijl evenredig aan de lengte van het vectorveld. Voor R 2 R 2 en C C gaat het nog wel.
13 Vectorfuncties in R 2 (of hoger) Krachten, snelheden, versnellingen, elektisch velden, magnetische velden zijn vectoren; Complexe functie G(z) heeft als argument een vector z = x + iy en resultaat ook u + iv; (dus: alleen R 2 ) 13 / 104
14 14 / 104 Definitie lijnintegraal (1). De integraal heeft de vorm: G(x) dx = }{{} C C G(x(t)) x (t) dt }{{}
15 15 / 104 Definitie lijnintegraal (1). De integraal heeft de vorm: G(x) dx = C }{{} scalar vector C G(x(t)) x (t) dt }{{}
16 16 / 104 Definitie lijnintegraal (1). De integraal heeft de vorm: G(x) dx = C }{{} scalar vector C G(x(t)) x (t) dt }{{} scalar vector scalar
17 17 / 104 Definitie lijnintegraal (1). De integraal heeft de vorm: }{{} Q = G(x) dx = C }{{} vector scalar vector C G(x(t)) x (t) dt }{{} scalar vector scalar
18 18 / 104 Definitie lijnintegraal (2.) De integraal heeft de vorm: F(x) dx = }{{} C C F(x(t)) x (t) dt }{{}
19 19 / 104 Definitie lijnintegraal (2.) De integraal heeft de vorm: F(x) dx = C }{{} vector vector C F(x(t)) x (t) dt }{{} vector vector scalar
20 20 / 104 Definitie lijnintegraal (2.) De integraal heeft de vorm: }{{}? = F(x) dx = C }{{}? vector vector C F(x(t)) x (t) dt }{{} vector vector scalar
21 21 / 104 Definitie lijnintegraal (2a.) De integraal heeft de vorm: F(x) dx = C }{{} vector vector C F(x(t)) x (t) dt }{{} vector vector scalar
22 22 / 104 Definitie lijnintegraal (2a.) De integraal heeft de vorm: }{{} R = F(x) dx = C }{{} scalar vector vector C F(x(t)) x (t) dt }{{} vector vector scalar
23 23 / 104 Definitie lijnintegraal (2b.) De integraal heeft de vorm: F(x) dx = C }{{} vector vector C F(x(t)) x (t) dt }{{} vector vector scalar
24 24 / 104 Definitie lijnintegraal (2b.) De integraal heeft de vorm: }{{} S = F(x) dx = C }{{} vector vector vector C F(x(t)) x (t) dt }{{} vector vector scalar
25 25 / 104 Definitie lijnintegraal
26 26 / 104 Definitie lijnintegraal
27 27 / 104 Definitie lijnintegraal
28 28 / 104 Definitie lijnintegraal Q = C G(x) dx Q N G(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 Kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: Q = C G(x) dx = b a G(x(t)) x (t) dt omdat we weten dx = x(t + dt) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor!
29 29 / 104 Definitie lijnintegraal
30 30 / 104 Definitie lijnintegraal
31 31 / 104 Definitie lijnintegraal R = C F(x) dx R N F(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 Kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: R = C F(x) dx omdat we weten dx = x(t + dt) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor!
32 32 / 104 Definitie lijnintegraal R = C F(x) dx R N F(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 Kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: R = C F(x) dx = b a F(x(t)) x (t) dt omdat we weten dx = x(t + dt) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor!
33 33 / 104 Definitie lijnintegraal S = C F(x) dx S N F(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 Kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: S = C F(x) dx omdat we weten dx = x(t + dt) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor!
34 34 / 104 Definitie lijnintegraal S = C F(x) dx S N F(x k ) dx limiet N, dx 0 k=1 Kies een parametrizatie x(t) zodat x(a) en x(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: S = C F(x) dx = b a F(x(t)) x (t) dt omdat we weten dx = x(t + dt) x(t) = x (t) dt + O(dt 2 ); Taylor!
35 35 / 104 Definitie lijnintegraal T = C N f (z) dz T f (z) dz limiet N, dz 0 k=1
36 36 / 104 Definitie lijnintegraal T = C f (z) dz T N f (z) dz limiet N, dz 0 k=1 Kies een parametrizatie z(t) zodat z(a) en z(b) begin en einde zijn en je precies over de curve loopt: T = C f (z) dz = b a f (z(t)) z (t) dt.
37 37 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn.
38 38 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], met t [ 0, 1 ].
39 39 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], met t [ 0, 1 ]. 2. Neem de afgeleide naar t: x (t) = [ 2, 3, 0 ].
40 40 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], met t [ 0, 1 ]. 2. Neem de afgeleide naar t: x (t) = [ 2, 3, 0 ]. 3. Nu is het invullen en rekenen: R = 1 0 [ 2t, 18t 2, 0 ] }{{}}{{} [ 2, 3, 0 ] }{{} F inproduct x dt
41 41 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. 1. Parametrizeer de curve: x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], met t [ 0, 1 ]. 2. Neem de afgeleide naar t: x (t) = [ 2, 3, 0 ]. 3. Nu is het invullen en rekenen: R = = [ 2t, 18t 2, 0 ] }{{}}{{} [ 2, 3, 0 ] }{{} inproduct x F (4t + 54t 2 ) dt = 20 dt
42 42 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn.
43 43 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. Met x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], x (t) = [ 2, 3, 0 ] en t [ 0, 1 ]: det
44 44 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. Met x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], x (t) = [ 2, 3, 0 ] en t [ 0, 1 ]: e 1 e 2 e 3 det
45 45 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. Met x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], x (t) = [ 2, 3, 0 ] en t [ 0, 1 ]: e 1 e 2 e 3 det 2t 18t 2 0 ( F)
46 46 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. Met x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], x (t) = [ 2, 3, 0 ] en t [ 0, 1 ]: e 1 e 2 e 3 det 2t 18t ( x )
47 47 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. Met x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], x (t) = [ 2, 3, 0 ] en t [ 0, 1 ]: e 1 e 2 e 3 det 2t 18t 2 0 = [ 0, 0, 6 36t 2 ] 2 3 0
48 48 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is F(x, y) = [ x, 2y 2, 0 ]. Integreer met in- en uitproduct van O naar [ 2, 3, 0 ] via een rechte lijn. Met x(t) = [ 2t, 3t, 0 ], x (t) = [ 2, 3, 0 ] en t [ 0, 1 ]: e 1 e 2 e 3 det 2t 18t 2 0 = [ 0, 0, 6 36t 2 ] en rekenen: S = 1 0 [ 0, 0, 6 36t 2 ] dt = [ 0, 0, 6 ]
49 49 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is f (z) = 3z 2. Integreer van 0 naar 2 + 3i via een rechte lijn.
50 50 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is f (z) = 3z 2. Integreer van 0 naar 2 + 3i via een rechte lijn. Met z(t) = 2t + 3it = (2 + 3i)t
51 51 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is f (z) = 3z 2. Integreer van 0 naar 2 + 3i via een rechte lijn. Met z(t) = 2t + 3it = (2 + 3i)t, z (t) = 2 + 3i en t [ 0, 1 ]:
52 52 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is f (z) = 3z 2. Integreer van 0 naar 2 + 3i via een rechte lijn. Met z(t) = 2t + 3it = (2 + 3i)t, invullen en rekenen: T = 1 0 z (t) = 2 + 3i en t [ 0, 1 ]: en 3(2 + 3i) 2 t 2 (2 + 3i) dt = (2 + 3i) 3
53 53 / 104 Voorbeelden wiskunde Gegeven is f (z) = 3z 2. Integreer van 0 naar 2 + 3i via een rechte lijn. Met z(t) = 2t + 3it = (2 + 3i)t, invullen en rekenen: z (t) = 2 + 3i en t [ 0, 1 ]: en en T = 1 0 3(2 + 3i) 2 t 2 (2 + 3i) dt = (2 + 3i) 3 (2 + 3i) 2 = i 9 = i (2 + 3i) 3 = ( i)(2 + 3i) = i
54 54 / 104 Even op adem komen We hebben vier soorten lijnintegralen Q = C G(x) dx; R S = C F(x) dx; T = C F(x) dx = C f (z) dz Fysisch stelt de eerste niets voor; de laatste wel maar daar is het nog te vroeg voor We rekenen ze allemaal op identieke manier uit: bla dx b a bla x (t) dt
55 55 / 104 Voorbeelden natuurkunde Gegeven een stroomdraad C R 3 met stroomsterkte I. Er staat een B op dat deeltje. Wat is kracht op de draad?
56 56 / 104 Voorbeelden natuurkunde Een bewegende lading lading q in een B-veld ondervindt een Lorentz-kracht. Deze wordt gegeven door F = qb v = B qv
57 57 / 104 Voorbeelden natuurkunde Een bewegende lading lading q in een B-veld ondervindt een Lorentz-kracht. Deze wordt gegeven door F = qb v = B qv Dus, als we een stukje dx van de draad bekijken is de totale lading maal de snelheid d(qv) = I dx
58 58 / 104 Voorbeelden natuurkunde Een bewegende lading lading q in een B-veld ondervindt een Lorentz-kracht. Deze wordt gegeven door F = qb v = B qv Dus, als we een stukje dx van de draad bekijken is de totale lading maal de snelheid d(qv) = I dx ofwel df = B I dx
59 59 / 104 Voorbeelden natuurkunde Een bewegende lading lading q in een B-veld ondervindt een Lorentz-kracht. Deze wordt gegeven door F = qb v = B qv Dus, als we een stukje dx van de draad bekijken is de totale lading maal de snelheid d(qv) = I dx ofwel df = B I dx F = B I dx = I B dx
60 60 / 104 Voorbeelden natuurkunde Een bewegende lading lading q in een B-veld ondervindt een Lorentz-kracht. Deze wordt gegeven door F = qb v = B qv Dus, als we een stukje dx van de draad bekijken is de totale lading maal de snelheid d(qv) = I dx ofwel df = B I dx F = B I dx = I B dx en die rekenen we (altijd op dezelfde manier) uit met een parametrizatie van de curve: F = I b a B(t) dx (t) dt
61 61 / 104 Voorbeelden natuurkunde Gegeven een deeltje dat langs de kromme C R 2 (of R 3 ) beweegt; er werkt een kracht F op dat deeltje. Wat is arbeid die de kracht verricht?
62 62 / 104 Voorbeelden natuurkunde Gegeven een deeltje dat langs de kromme C R 2 (of R 3 ) beweegt; er werkt een kracht F op dat deeltje. Wat is arbeid die de kracht verricht? x(t) = [ x(t), y(t), z(t) ], F bekend F(x(t)) bekend. Dan tussen t en t + dt de = F(x(t)) x (t) dt + O(dt 2 ) ofwel E = b a F(x(t)) x (t) dt
63 Speciaal geval E = b a F(x(t)) x (t) dt De curve is hier een gesloten kromme; de integraal noemen we dan een contourintegraal. (Afspraak: altijd tegen de klok in.) 63 / 104
64 64 / 104 Een ander speciaal geval E = b a F(x(t)) x (t) dt Als F loodrecht staat op x (t) is het antwoord ook 0!
65 65 / 104 Speciale vector Wat is de belangrijkste vector in de wereld???
66 66 / 104 Speciale vector Wat is de belangrijkste vector in de wereld??? Zonder enige twijfel:
67 67 / 104 Speciale vector Wat is de belangrijkste vector in de wereld??? Zonder enige twijfel: = [ x, y, z ]
68 68 / 104 Speciale vector Wat is de belangrijkste vector in de wereld??? Zonder enige twijfel: = [ x, y, z ] λ = grad λ = [ λ x, λ y, λ z ] u = div u = u 1,x + u 2,y + u 3,z u = rot u = [ u 3,y u 2,z, u 1,z u 3,x, u 2,x u 1,y ]
69 69 / 104 Drie-minuten-vraag Gegeven: en = [ x, y, z ] λ = grad λ = [ λ x, λ y, λ z ] u = div u = u 1,x + u 2,y + u 3,z u = rot u = [ u 3,y u 2,z, u 1,z u 3,x, u 2,x u 1,y ] Bereken ψ(x)
70 70 / 104 Drie-minuten-vraag Gegeven: = [ x, y, z ]
71 71 / 104 Drie-minuten-vraag Gegeven: = [ x, y, z ] ψ(x) = [ ψ x, ψ y, ψ z ] = g
72 72 / 104 Drie-minuten-vraag Gegeven: = [ x, y, z ] ψ(x) = [ ψ x, ψ y, ψ z ] = g en dus ( g) 1 = g zy g yz = ψ zy ψ yz = 0
73 73 / 104 Drie-minuten-vraag Gegeven: = [ x, y, z ] ψ(x) = [ ψ x, ψ y, ψ z ] = g en dus ( g) 1 = g zy g yz = ψ zy ψ yz = 0 ψ(x) = rot grad ψ(x) = 0
74 74 / 104 Inproductregel met R = F dx met F = ψ(x).
75 75 / 104 Inproductregel met R = F dx met F = ψ(x). Als x geparametrizeerd is met t dan R = b a ψ(x) x dt = b a d ψ(x) dt = ψ(b) ψ(a). dt immers d dt ψ(x) = x ψ(x, y) x + ψ(x, y) y y
76 76 / 104 Inproductregel met R = F dx met F = ψ(x). Als x geparametrizeerd is met t dan R = b a ψ(x) x dt = b a d ψ(x) dt = ψ(b) ψ(a). dt immers d dt ψ(x) = x ψ(x, y) x + ψ(x, y) y y Merk op dat R in dit geval niet van het precieze pad x afhangt, alleen begin- en eindpunt! Voorbeeld: conservatieve kracht.
Mathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Topologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Vectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Vectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
Vectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door
Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,
8 College 08/12: Magnetische velden, Wet van Ampere
8 College 08/12: Magnetische velden, Wet van Ampere Enkele opmerkingen: Permanente magneten zijn overal om ons heen. Magnetisme is geassociëerd met bewegende electrische ladingen. Magnetisme: gebaseerd
WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Mathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
Krommen in de ruimte
Krommen in de ruimte z Een ruimtekromme is de baan van een tijd-plaatsfunctie van een bewegend deeltje in de ruimte Na keuze van een rechthoekig assenstelsel Oxyz wordt die functie f gegeven door zijn
x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Vectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
Hoofdstuk 27 Magnetisme. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Hoofdstuk 27 Magnetisme Hoofdstuk 27 Magneten en Magnetische Velden Electrische Stroom Produceert Magnetisch Veld Stroom oefent kracht uit op magneet Magneetveld oefent kracht uit op een Electrische Stroom
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.
Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30
Tentamen WISN1 Wiskundige Technieken Ma 6 jan 14 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk
Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 29/2/2012
Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 9//1 March 6, 1 1 raag 1 Beschouw de volgende kromme in R 3, geparametriseerd als r(t) = ti + (t 1)j + t k. (a) Als de parameter t een tijd aangeeft, bereken dan
1 Het principe van d Alembert
1 Het principe van d Alembert Gegeven een systeem, bestaande uit n deeltjes, elk met plaatscoördinaat r i en massa m i, i {1,, n}. Uit de tweede wet van Newton volgt onmiddellijk: p i F t i + f i, 1.1
Tentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Do 1 feb :00 12:00
Normering Tentamen WISN02 Wiskundige Technieken 2 Do feb 207 9:00 2:00 voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 4 VECTOANALYE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 4 De stelling van Gauss (divergentie-stelling) 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De
Hertentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Do 5 jan :30 16:30
Hertentamen WISN0 Wiskundige Technieken Do 5 jan 207 3:30 6:30 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Vectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Tx D Ax; x.t/ 2 R 2 x D 0 is een evenwichtspunt;
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Continue distributies als stochastische
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
2 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 5 VECTORANALYE 2WA5 2006/2007 Hoofdstuk 5 De stellingen van tokes en Green 5. Inleiding In dit hoofdstuk worden de stellingen van tokes en van Green 2 behandeld.
1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss
7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica
Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006
1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie
Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Vectoranalyse voor TG
college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal Elektrische flux Een cilinder van een niet-geleidend materiaal wordt in een elektrisch veld gezet als geschetst. De totale elektrische flux door het oppervlak van de
Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten
Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35 Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan
1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan We beschouwen eerst een oneindig lange lijnlading met uniforme ladingsdichtheid λ, langs de z-as van ons coördinatenstelsel. 1a Gebruik de wet van Gauss en beredeneer
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen
Mathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Waarom functies met complexe getallen?
Waarom functies met complexe getallen? Joost Hulshof Een essentieel onderdeel van iedere studie wiskunde of natuurkunde is het leren werken met en begrijpen van de basistechnieken voor complexe functies,
Hoofdstuk 13 Magnetische velden. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 13 Magnetische velden Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 13.1 Magnetisme Magneten Z N Z Magnetische veldlijnen: Gaat van N naar Z Als er veel veldlijnen bij elkaar zijn is het
college 2: partiële integratie
39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:
tentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
Tussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 5-6 ste semester 9 oktober 5 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Geef de definitie van een Cauchy rij. Toon aan dat elke Cauchy rij begrensd is. Toon aan dat een numerieke
Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog.
Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14 Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Hoofdstuk 12 Elektrische velden. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 12 Elektrische velden Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 12.1 Elektrische kracht en lading Elektrische krachten F el + + F el F el F el r F el + F el De wet van Coulomb q Q
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 9 April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 9 April 200-900-200 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina staat voor iedere opgave het maximale
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 Januari 2008-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina's. Op pagina 3 staat voor iedere
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)
De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,
Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden
college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section
Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 20 juni :00-12:00. Leg je collegekaart aan de rechterkant van de tafel.
Tentamen Elektriciteit en Magnetisme 1 Woensdag 20 juni 2012 09:00-12:00 Leg je collegekaart aan de rechterkant van de tafel. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Maak elke opgave
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Uitwerking Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HAL 1, 12:30-15:30, 7 nov 2013
Uitwerking Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HAL 1, 12:30-15:30, 7 nov 2013 Vraag 1: Moleculaire Orbitalen (MO) diagram voor N 2 1a. Maak een MO diagram voor N 2, inclusief
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen
FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste
Aanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)
WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.
Paragraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C0 en 8CB9 4 Juli 04-900-00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina 4 staat voor iedere opgave
Het uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Aansluiting VWO WO en Wiskunde D
Aansluiting VWO WO en Wiskunde D Steven Wepster Departement Wiskunde Universiteit Utrecht D-dag 2013 Wie ben ik? lang geleden: een jaartje wi aan onderbouw nu: UD (geschiedenis van de) wiskunde, Utrecht
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa
Extrema van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 005 Les 3 Extrema van functies van meerdere variabelen Bij gewone functies van één variabel hebben we in Wiskunde 1 de vraag behandeld hoe we minima en maxima van
Wiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele
Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = 2 2 1 =
Modulen voor Calculus- en Analysevakken
Modulen voor Calculus- en Analysevakken Versie juni 2005 Deze indeling in modulen is zoveel mogelijk onafhankelijk van enig leerboek. Echter, om de invulling ervan concreet te maken is er aangegeven waar
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst