Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE

Transcriptie

1 12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA /2007

2 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3 een vast referentie-punt (oorsprong) O, dan kan ieder punt X in E 3 beschreven worden door de vector OX die wijst van O naar X Voor X, Y, en Z in E 3 schrijven we OZ = OX + OY (parallellogram constructie) als het punt Z eindpunt is van de vector OY die aangrijpt in het punt X (kop-staart legging). Als O een ander referentiepunt is dan geldt voor iedere X E 3 dat O X = OX OO. (translatie over OO ). De lengte van OX, notatie OX, is per definitie gelijk aan de afstand van X tot O. We schrijven OZ = a OX als OZ de vector is in de richting van OX voor a > 0 en in tegengestelde richting aan OX voor a < 0 met OZ = a OX. Voor X, Y in E 3 schrijven we α = ( OX, OY ) als α de kleinste hoek is, α [0, π] die de vectoren OX en OY maken in het vlak opgespannen door OX, OY. 1

3 DEFINITIE 2.1 ( OX, OY ) := OX OY cos α, α = ( OX, OY ) heet het inwendig (scalair) product van OX en OY. DEFINITIE 2.2 Het uitwendig (vector) product OX OY is de vector OZ die voldoet aan 1. OZ OX en OZ OY, dus ( OZ, OX) = ( OZ, OY ) = OZ = OX OY sin α, d.i. de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door OX en OY. 3. Als OZ = 0, dan is het drietal in de volgorde OX, OY, OZ rechtsdraaiend. Let op: bovenstaande definities hangen niet af van een vooraf gekozen coördinatisering. 2.2 Scalarvelden Een scalarveld ϕ, gedefinieerd op een deelverzameling D van E 3, voegt aan ieder punt P D een getal ϕ(p ) toe. Door ieder punt P D te identificeren met p = p 1 e 1 +p 2 e 2 + p 3 e 3 na keuze van een driepoot OB1, OB2, OB3 zoals beschreven, kan een scalarveld beschouwd worden als een functie van D R 3 in R. We stappen hierbij over van een coördinaatvrije op een coördinaatafhankelijke beschrijving van ϕ: Voorbeelden. ϕ(p ) = ϕ(p) met P p. ϕ(p ): de temperatuur in P ; ϕ(p ): de luchtdruk in P ; ϕ(p ): de electrische potentiaal in P. 2

4 Voor a R, is de verzameling {P D ϕ(p ) = a} een niveauvlak of een equiscalair- of equipotentiaal oppervlak van ϕ. 2.3 Vectorvelden Een vectorveld kent aan ieder punt van de ruimte een vector toe. Vectorvelden worden gebruikt voor het beschrijven van grootheden die in ieder punt van de ruimte een richting en een grootte hebben. Fysische voorbeelden van vectorvelden zijn: elektrische velden, magnetische velden, stromingsvelden en krachtvelden. Een vectorveld op een drie-dimensionle ruimte wordt vaak, na het kiezen van de juiste coördinatiseringen, voorgesteld door een functie v : R 3 R 3. Dit is niet helemaal correct. Aan ieder punt x = (x, y, z) R 3 wordt een vector v = (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)) R 3 toegevoegd. Echter het vectorveld is pas volledig bekend indien in ieder punt ook de basis bekend is ten opzichte waarvan de vector die in dat punt aanhecht beschouwd moet worden. Een vectorveld v, gedefinieerd op D E 3, voegt aan ieder punt P D een vector v(p ) toe die aangrijpt in het punt P. Voorbeelden. electrisch veld, E(P ) de electrische veldsterkte ter plaatse P ; magnetisch veld, B(P ) de magnetische inductie ter plaatse P ; stromingsveld, v(p ) de snelheid ter plaatse P. euze van een rechthoekig coördinaatsysteem e 1 (P ), e 2 (P ), e 3 (P ) in P D leidt tot een beschrijving van de vorm v(p ) = v 1 (P )e 1 (P ) + v 2 (P )e 2 (P ) + v 3 (P )e 3 (P ). 3

5 iezen we in het referentiepunt O een vaste rechtsdraaiende orthonormale driepoot OB 1, OB2, OB3. Dan kan ieder punt P voorzien worden van dezelfde rechtsdraaiende orthonormale driepoot door OB1, OB2, OB3 te transleren over de vector OP naar het punt P. We schrijven dan, met P p, v(p ) = v(p) = v 1 (p)e 1 + v 2 (p)e 2 + v 3 (p)e 3 of ook wel v(p) = (v 1 (p), v 2 (p), v 3 (p)). Voorbeeld 2.1 Het electrische veld van een puntlading ter grootte q in de oorsprong is gegeven door E(x) = q x x 3, x 0. Het electrisch veld E p van een puntlading ter grootte q in een willekeurig punt p = (p 1, p 2, p 3 ) wordt dan gegeven door E p (x) = q x p x p 3, x p 0. Het electrisch veld E pq van een tweetal puntladingen in resp. de punten p en q wordt gevonden door superpositie E pq (x) = E p (x)+e q (x) = q x p x p 3 + q x q, x p 0, x q 0. x q 3 Voor p = (1, 0, 0) en q = ( 1, 0, 0) is dit veld in het (x, y)-vlak getekend in fig Veldlijnen Zij v een vectorveld op D. Veldlijnen van v zijn gladde krommen waarbij in ieder punt p de veldvector v(p) raakt aan. Gegeven een parametervoorstelling x(t), t [t 0, t b ] van, moet dus gelden dat de raakvector ẋ(t) in x(t) aan dezelfde richting heeft als de vector v(x(t)) die aangrijpt in x(t). Dus ẋ(t) = λ(x(t))v(x(t)), t [t 0, t b ], 4

6 Figuur 2.1: Voorbeeld 2.1. Electrisch veld van twee puntladingen in het (x, y)-vlak. met λ(x(t)) > 0 een snelheidsfactor, die geen invloed heeft op de richting van v en die dus geen invloed op de vorm van heeft en naar eigen inzicht gekozen kan worden. Veldlijnen van v corresponderen dus met de oplossingskrommen van een stelsel differentiaalvergelijkingen ẋ = λ(x)v(x). Het richtingsveld van dit stelsel differentiaalvergelijkingen komt, voor wat betreft de richting, overeen met het vectorveld v. (Denk aan magnetische veldlijnen ijzervijlsel of routebeschrijving met richtingsborden ). Voorbeeld 2.2 Het electrische veld van een puntlading ter grootte q in de oorsprong is gegeven door E(x) = q x x 3, x 0. Voor een veldlijn geldt ẋ = λ(x)e(x). 5

7 Figuur 2.2: Veldlijnen voor het vectorveld in fig ies λ(x) = x 3, x 0. Dit geeft de differentiaalvergelijking q ẋ = x met als oplossing x(t) = e t x(0), t R. We concluderen dat de veldlijnen halfrechten zijn vanuit de oorsprong. 2.5 Potentiaal van een vectorveld Veronderstel D R 3 open en ϕ : D R differentieerbaar op D (dit is in elk punt van D) met continue partiële afgleiden. Dan definieert gradϕ, gradϕ = ϕ x 1 e 1 + ϕ x 2 e 2 + ϕ x 3 e 3 een vectorveld (of gradiëntveld) op D. Omgekeerd kan men zich afvragen of een gegeven vectorveld een gradientveld is. Het is duidelijk dat dit niet voor alle vectorvelden het geval is. 6

8 DEFINITIE 2.3 Als voor een vectorveld v op D geldt v = gradϕ voor zeker differentieerbaar scalarveld ϕ op D dan heet ϕ een potentiaal van v. Omdat gradϕ(a) loodrecht staat op het equipotentiaaloppervlak {x D ϕ(x) = ϕ(a)} voor elke a D, gaan de veldlijnen van een gradiëntveld loodrecht door de equipotentiaal oppervlakken van de bijbehorende potentiaal Figuur 2.3: Equipotentiaallijnen voor het vectorveld uit fig Voorbeeld 2.3 Voor het electrisch veld E = ϕ(x) = 1 1 x. q x, x 0 geldt E = gradϕ voor x 3 De equipotentiaal oppervlakken van ϕ zijn boloppervlakken met middelpunt 0, {x R 3 x = r}, r > 0, en de veldlijnen van E halfrechten {λa λ > 0}, a R 3 \ {0}. Zie Voorbeeld

9 N N!!! N Voorbeeld 2.4 Dipool Beschouw het elektrische veld E van een dipool in de oorsprong met dipoolmoment p = 2tq gericht langs de x 3 -as. Dit veld kan alsvolgt afgeleid worden als een limietgeval voor twee naar elkaar naderende tegengestelde ladingen. J A E C G J A E C G Figuur 2.4: Dipool als limiet van twee tegengestelde ladingen. Het elektrische veld is nu E t (x) = E + t (x) + E t (x) = = q [ x te3 x te 3 x + te ] 3 3 x + te 3 3 = p { 1 2t [ x te3 x te 3 x + te ] } 3 3 x + te 3 3 Met ϕ(x) = 1, kan dit herschreven worden als: x E t (x) = p Dus voor t 0 volgt { } (gradϕ)(x + te3 ) gradϕ(x te 3 ) = p [ ] ϕ(x + te3 ) ϕ(x te grad 3 ) 2t E(x) = lim t 0 E t (x) = 2t p grad ϕ. x 3 Dus dit vectorveld is een gradientveld. 8.

10 2.6 Opgaven Aanvulling Bepaal de veldlijnen van het vectorveld v(x) = (y, x, 0) Bepaal de veldlijnen van het vectorveld v(x) = (y z, z x, x y) De magnetische inductie B tengevolge van een stroom met sterkte I door een oneindig lange draad langs de z-as wordt gegeven door B = µ 0I 2π ( y x 2 + y 2, ) x x 2 + y, 0 2 hierin is µ 0 de permeabiliteit van vacuum. Bepaal de magnetische veldlijnen. ; 2.4. Op IR 3 \{0} is gegeven het veld ( ) x y z u =,, (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2. Bereken een scalaire potentiaal ϕ van u Op IR 3 is gegeven het vectorveld v(x, y, z) = ( y 2 + αz 2, 2xy, y + 2αxz), waarin α een constante is. an men α zodanig kiezen dat v conservatief is? Zo ja, bepaal bij die waarde(n) van α een scalaire potentiaal van v Op het gebied R, gevormd door IR 3 minus de x-as, is het veld v gegeven door ( v(x, y, z) = 1 ) y 2 + z, 2xy 2 (y 2 + z 2 ), 2xz. 2 (y 2 + z 2 ) 2 Toon aan dat het veld v conservatief is op R Bereken een scalaire potentiaal van de volgende vectorvelden: a. v = (sin y y sin x + x, cos x + x cos y + y) ; 9

11 b. v = (2xe y + y, x 2 e y + x 2y) ; c. v = (x + z, y z, x y) Ga na of het volgende vectorveld conservatief is en bepaal, als het conservatief is, de potentiaal. F(x, y, z) = e x2 +y 2 +z 2 (xzi + yzj + xyk) Toon aan dat de volgende vectorvelden niet conservatief zijn: a. v = ( x 2 y, xy 2, 0), b. v = (2xz, x 2 y, 2z x 2 ) Toon aan dat de volgende vectorvelden conservatief zijn en bereken een scalaire potentiaal van deze vectorvelden: a. v = (2xyz 3, x 2 z 3 2y, 3x 2 yz 2 ), b. v = (y 2 z 3 cos x 4x 3 z, 2yz 3 sin x, 3y 2 z 2 sin x x 4 ), ( ) x y c. v =,, 2z. (x 2 + y 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 ) Bereken de volgende lijnintegralen over een kromme : a. xy ds over : y = 1 2 x2, z = 0, 0 x 1; b. c. (x 2 y 2 )ds over : x 2 + y 2 = 1, z = 0; x 2 yz ds over : x = y; 2x 2 + z 2 = 2; x 0, z Gegeven is de kromme met parametervoorstelling x(t) = (cos t, sin t, t 3/2 ). Bereken de lengte van de boog van tussen de punten corresponderend met t = 0 en t = 4. 10

12 2.13. De kromme is gegeven door de vergelijkingen y = arcsin x, z = 1 4 ln 1 + x 1 x. Bereken de booglengte s(x) vanaf het beginpunt 0. Bepaal de eenheidsraakvector t aan in het punt Bereken (v, t)ds in de volgende gevallen: a. v = (xy 2, x 2 y, 0); is de parabool y = x 2, z = 0, met beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt ( 1, 1, 0); b. v = (2xyz 3, x 2 z 3 2y, 3x 2 yz 2 ); wordt gegeven door de vergelijkingen y = x 2, z = x 3, met beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1); c. v = (2xy, x 2 +2yz, 1+y 2 ); is de cirkel x 2 +y 2 = 1, z = 1, met t = ( 1, 0, 0) in het punt (0, 1, 1) De magnetische inductie B tengevolge van een stroom met sterkte I door een oneindig lange draad langs de z-as wordt gegeven door B = µ 0I 2π ( y x 2 + y, x 2 x 2 + y, 0) ; 2 hierin is µ 0 de permeabiliteit van vacuum. Bereken (B, t)ds over de volgende krommen : Bereken a. is de cirkel x 2 + y 2 = a 2, z = 0, in positieve zin doorlopen; b. is een vierkant zodanig doorlopen dat opvolgende hoekpunten zijn (1, 1, 0), a. ( 1, 1, 0), ( 1, 1, 0), (1, 1, 0). (1,0,2π) (1,0,0) z dx + x dy + y dz langs de kromme met parametervoorstelling x(t) = (cos t, sin t, t), 0 t 2π; 11

13 b. (2,3,2) x 2 dx xz dy + y 2 dz langs de rechte die begin- en eindpunt verbindt; c. (1,0,1) (1,0,2) (0,1,0) z y dx + (x2 + y 2 + z 2 )dz langs de kromme in het eerste octant gegeven door x 2 + y 2 = 1, z = 2x; d. (0,0,2) y dx y(x 1)dy +y 2 z dz langs de kromme in het eerste octant gegeven (2,0,0) door x 2 + y 2 + z 2 = 4, (x 1) 2 + y 2 = Bereken (x 3 y 3 )ds, (x 3 y 3 )dx, (x 3 y 3 )dy, over : x 2 + y 2 = 1; z = 0; y 0, met beginpunt (1, 0, 0) en eindpunt ( 1, 0, 0) Bereken (1,1) y dx + (y 2 x)dy langs de krommen met parametervoorstelling: Bereken (0,0) a. x(t) = (t, t), b. x(t) = (t 2, t 3 ), c. x(t) = (t, t α ) met α > 0, d. x(t) = (t, sin πt 2 ). (1,1) (0,0) y dx + x dy langs de krommen uit 3.9. Verklaar waarom de uitkomst dezelfde is voor alle krommen Toon aan dat de volgende integralen onafhankelijk zijn van de gekozen integratieweg en bereken deze integralen: a. (a,b,0) sin ydx + x cos y dy, (0,0,0) 12

14 b. (1,1,1) (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz. (0,0,0) 2.21 Laat een gesloten kromme zijn. Bewijs dat (ϕgradψ, t)ds = (ψgradϕ, t)ds Een deeltje beweegt in het (x, y)-vlak langs een kromme gegeven door de parametervoorstelling x = 2t, y = 4t t 2, met de tijd t als parameter. Op het deeltje werkt een kracht F = v, waarbij v de snelheid van het deeltje is. Bereken de arbeid door F verricht gedurende het tijdsinterval van t = 0 tot t = Bepaal de veldlijnen van het volgende vectorveld gegeven in poolcoórdinaten F = ˆr + θˆθ. 2.7 Antwoorden Aanvulling x 2 y 2 = c 1 z = c hyperbolen. 2 x 2 + y 2 + z 2 = c 1 x + y + z = c cirkels. 2 x 2 + y 2 = c 1 z = c cirkels x 2 + y 2 + z Neen v = grad x y 2 +z a) x sin y + y cos x x y2. b) x 2 e y + xy y 2. c) 1 2 x2 + xz 1 2 y2 yz. 13

15 2.8. Niet conservatief Niet conservatief omdat rot(v) a) x 2 yz 3 y 2. b) y 2 z 3 sin x x 4 z. c) z 2 1 x 2 +y a) 1 15 (1 + 2). b) 0 c) ( ) s(x) = x + ln 1+ x 1 x ; t(0) = 1 (2, 2, 1) a) 1 2 b) 4 13 c) a) µ 0 I b) µ 0 I a) 3π b) 5 3 c) 2 + 3π 2 d) 2 3 π a) 4 3 b) 3π 8 c) 3π a) 1 3 b) 3 20 c) 1 α 1+α d) a) a sin b b) Voor f = ϕψ volgt gradf = ϕgradψ + ψgradϕ De veldlijnen zijn spiralen r = cθ. 14