15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]"

Transcriptie

1 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor berekenen met de GR. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken met behulp van differentiëren: Bereken de formule van de afgeleide. De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. 1

2 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie f(x) = 5x Van rechthoek OPQR ligt P op de positieve x-as, Q op de grafiek van f en R op de y-as. Bereken exact de maximale oppervlakte van rechthoek OPQR. Stap 1: Stel: x p = p De oppervlakte van rechthoek OPQR = OP PQ = p f(p) = p 5p De maximale oppervlakte van rechthoek OPQR is te berekenen door het maximum van p 5p te berekenen.

3 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Stap : Differentieer de functie y = p 5p y' [ p]' 5 p p[ 5 p]' 1 5 p p 1 5 p 5 p p 5 p 5 p p 5p 5p 53p 5 p 3

4 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en controleer of de oplossing een maximum is. 53p 5 p 53p 0 3p 5 p Uit de schets blijkt dat er hier sprake is van een maximum. Stap 4: Bereken de maximale oppervlakte van rechthoek OPQR. O(OPQR) = p p

5 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f(x) = sin(x) 1 en g(x) = cos (x) met het domein [0, π] De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Bereken exact voor welke p de lengte L van het lijnstuk AB maximaal is. Stap 1: Stel een formule op voor de lengte L van lijnstuk AB. L = g(p) f(p) = cos (p) (sin(p) 1)) = cos (p) sin(p) + 1 Stap : Differentieer de gevonden functie L. L = 4cos(p) -sin(p) cos(p) = -4sin(p)cos(p) -cos(p) 5

6 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [] Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en controleer of de gevonden oplossing een maximum is. -4sin(p)cos(p) -cos(p) = 0 sin(p)cos(p) = -cos(p) sin(p) = -cos(p) cos(p ½π) = cos(p + π) [sin(a)cos(a) = sin(a)] [sin(a) = cos(a ½π] [-cos(a) = cos(a + π)] p ½π = - p - π + k π 4p = - ½π + k π p = - 1/8π + k ½π p = 3/8π p = 7/8π p ½π = p + π + k π geen oplossing Uit de schets volgt dat er bij p = 7/8π een maximum is. 6

7 15. Optimaliseringsproblemen [1] Voorbeeld: Gegeven: een doos met vierkante bodem (x bij x cm) en een hoogte van h cm. De som van de hoogte en de omtrek van de bodem is 300 cm. Bereken wanneer de inhoud I maximaal is. Stap 1: Schrijf I als functie van x en h: I = x x h = x h Stap : Zoek een verband tussen x en h en druk h uit in x: Hoogte + omtrek bodem = 300 h + 4x = 300 h = 300 4x Stap 3: Schrijf I als functie van x I = x h met h = 300 4x I = x (300 4x) I = 300x 4x 3 7

8 15. Optimaliseringsproblemen [1] Voorbeeld: Gegeven: een doos met vierkante bodem (x bij x cm) en een hoogte van h cm. De som van de hoogte en de omtrek van de bodem is 300 cm. Bereken wanneer de inhoud I maximaal is. Stap 4: Bereken wanneer de inhoud I maximaal is (gebruik de afgeleide): 3 I 300x 4x di dx di dx 600x1x 0 600x1x 0 x(600 1 x) 0 x 0 of x 50 Hieruit volgt dat de inhoud maximaal is bij een x van 50 centimeter en een h van = = 100 centimeter. 8

9 15. Optimaliseringsproblemen [] Voorbeeld: In het plaatje hiernaast zijn een aantal electriciteitskabels getekend (AP, BP en CP). De afstand van P tot de lijn BC wordt gelijkgesteld aan x meter. Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de totale lengte van de kabels minimaal is. Stap 1: Stel een formule op voor de totale lengte van de kabels. Lengte = AP + BP + CP = AP + BP + BP = AP + BP AP = 00 x BP = x 60 Lengte = 00 x + x

10 15. Optimaliseringsproblemen [] Stap : Stel de afgeleide op van de gevonden functie. dl x x 1 1 dx x x Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan 0 en controleer of de gevonden oplossing een minimum is. x 1 0 x 3600 x 1 x 3600 x x x x x 3600 x 100 x 34,64 Uit de schets volgt dat bij 34,64 meter de totale lengte van de electriciteitskabels minimaal is. 10

11 15.3 Trillingen[1] Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 3. Dit is een eenparige cirkelbeweging; x A = 3 cos(t) en y A = 3 sin(t); Op t = 0 is A in het punt (3, 0); De omlooptijd T van A is π seconden, omdat A na π seconden weer terug is in het punt (3,0); Een cirkel is 360 en dus π radialen; Het lijnstuk OA draait over een hoek van π radialen; 11

12 15.3 Trillingen[1] In π seconden draait OA over een hoek van π radialen; De hoeksnelheid ω is de hoek waarover OA gedurende 1 seconde draait; Hoeksnelheid = 1 omlooptijd T Als de hoeksnelheid positief is, draait het punt tegen de wijzers van de klok in; Als de hoeksnelheid negatief is, draait het punt met de wijzers van de klok mee. 1

13 15.3 Trillingen[1] Voorbeeld 1: Het punt R doorloopt met een hoeksnelheid van 6 rad/s de cirkel met middelpunt (3,5) en straal en is op t = 0 in het punt (5,5). De bewegingsvergelijkingen van R zijn: x R (t) = 3 + cos(6t) y R (t) = 5 + sin(6t) Deze formules samen beschrijven de baan van R en noemen we de parametervoorstelling (pv) van de baan van R. Algemeen: x R (t) = a + rcos(ωt) y R (t) = b + rsin(ωt) (a,b) is het middelpunt van de cirkel; r = straal van de cirkel; ω = hoeksnelheid in rad/s. 13

14 15.3 Trillingen[1] Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; P doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt P voert een harmonische trilling uit; Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P van P op de y-as; Een trilling heeft een trillingstijd; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 14

15 15.3 Trillingen[1] Het faseverschil van twee punten is het gedeelte van de trillingstijd dat verstrijkt tussen de tijdstippen dat de punten de evenwichtsstand in dezelfde richting passeren. Voorbeeld 3: Gegeven zijn de harmonisch trillende punten P en Q die beschreven worden door u P = 8 sin (50πt) en u Q = 8 sin (50πt 1/10π) Bereken het faseverschil van de beide punten: De trillingstijd (T) van P en Q is 0,04 c 50 u Q = 8 sin (50πt 1/10π) = 8 sin (50π(t 0,00)) Bij een trillingstijd van 0,04 loopt het punt Q 0,00 voor op het punt P. Het faseverschil is nu gelijk aan 0,00 1 0,

16 15.3 Trillingen[] Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. Een samenstelling van twee harmonische trillingen met gelijke frequenties is weer een harmonische trilling met dezelfde frequentie. Voor het werken met samengestelde trillingen worden de formules van Mollweide gebruikt: sin(a) + sin(b) = sin(½(a + b))cos(½(a b)) sin(a) - sin(b) = sin(½(a - b))cos(½(a + b)) cos(a) + cos(b) = cos(½(a + b))cos(½(a b)) cos(a) + cos(b) = -sin(½(a + b))sin(½(a b)) De formule van een samengestelde trilling waarbij de twee afzonderlijke harmonische trillingen dezelfde frequentie en amplitude hebben is met bovenstaande formules op te stellen. Als de frequenties wel hetzelfde zijn maar de amplitudes niet kan een formule opgesteld worden met de GR. 16

17 15.3 Trillingen[] Voorbeeld 1: Stel de formule op van de samengestelde trilling u = u 1 + u met u 1 = sin(50πt) en u = sin(50π(t 0,01)) u = u 1 + u = sin(50πt) + sin(50π(t 0,01)) = sin(50πt) + sin(50πt ½π) = sin(½(50πt + 50πt ½π)) cos(½(50πt 50πt + ½π)) = sin(50πt ¼π) cos(¼π) = sin(50πt ¼π) ½ = sin(50π(t 1/00)) 17

18 15.3 Trillingen[] Voorbeeld : Gegeven zijn de harmonische trillingen u 1 = 5sin(30πt) en u = 6sin(30πt 0,3π). De samengestelde trilling wordt weergegeven door u = u 1 + u. Stel de formule op van u in de vorm u = b sin(c(t d)). Rond b af op twee decimalen en d op vier decimalen. Stap 1: u 1 en u hebben dezelfde frequentie, dus c = 30πt. Stap : Voer in de GR in: Y1 = 5sin(30πX) + 6sin(30πX 0,3π) De optie maximum geeft X 0,0 en Y 9,81. De amplitude (b) is dus gelijk aan 9,81 Stap 3: De optie zero geeft X 0,0055. Op het tijdstip 0,0055 passeert de grafiek de evenwichtsstand omhoog. (d = 0,0055) De formule van u wordt nu: u = 9,81 sin(30π(t 0,0055)) 18

19 15.3 Trillingen[3] Voorbeeld 1: Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(7x) De periode van y = sin(6x) is 6 De periode van y = sin(7x) is In [0, π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, π] passen precies 7 periodes van y = sin(7x). De getallen 6 en 7 hebben geen gemeenschappelijke deler. 7 De periode van y = sin(6x) + sin(7x) is gelijk aan π. 19

20 15.3 Trillingen[3] Voorbeeld : Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(9x) De periode van y = sin(6x) is 6 De periode van y = sin(9x) is In [0, π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, π] passen precies 9 periodes van y = sin(9x). De getallen 6 en 9 hebben als gemeenschappelijke deler 3. 9 In [0, /3π] passen precies periodes van y = sin(6x). In [0, /3π] passen precies 3 periodes van y = sin(9x). De periode van y = sin(6x) + sin(9x) is gelijk aan /3π. 0

21 15.4 Lissajous-figuren [1] Voorbeeld: De kromme K is gegeven door de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Invullen in een tabel geeft op het interval [0, ½π] de volgende waarden: t 0 ¼ π ½π x 0 ½ 1 y

22 15.4 Lissajous-figuren [1] Voorbeeld: Op deze manier kan de kromme K getekend worden: De hier getekende kromme K heet een Lissajous-figuur. Een Lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen.

23 15.4 Lissajous-figuren [] Voorbeeld: Plot de kromme die hoort bij de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Stap 1: Kies in het MODE menu op de derde regel RADIAN en op de vierde regel PAR. Stap : Vul bij Y= de parametervoorstelling in. 3

24 15.4 Lissajous-figuren [] Voorbeeld: Plot de kromme die hoort bij de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Stap 3: Kies WINDOW en vul de volgende waarden in: Tmin = 0 Tmax = π Xmin = -1.5 Xmax = 1.5 Ymin = -1.5 Ymax = 1.5 Stap 4: Kies ZOOM ZOOM 5: ZSquare ENTER 4

25 15.4 Lissajous-figuren [3] Voorbeeld: 1 x sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = x 1 ysin( t) met -1 x 1. Toon dit aan. y x sin( t) cos(( t )) 4 1 sin( t) cos( t ) 1 sin( t) cos(t1 ) sin( t) sin(t ) sin( t) (sin( t )) 1 sin( t) sin( t) cos(a) = 1- sin (A) sin (A) -1 = - cos(a) -cos(a) = cos(a + π) cos(a) = sin(a + ½π) sin(a + π) = sin(a) 5

26 15.4 Lissajous-figuren [3] Voorbeeld: 1 x sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = x 1 ysin( t) met -1 x 1. Toon dit aan. Een bewegend punt P waarvan de baan beschreven wordt door de bovenstaande parametervoorstelling doorloopt voortdurend de hiernaast getekende parabool tussen (-1, 1) en (1, 1). In de punten (-1, 1) en (1, 1) keert het punt P om. Dit zijn de keerpunten. In deze keerpunten hebben de formules voor x en y uit de parametervoorstelling beide een extreme waarde. 6

27 15.5 Goniometrische modellen [1] Voorbeeld: Van zeshoek ABCDEF is gegeven: AB = DE = 6, BC = CD = EF = FA = 4, AB // DE en CFE = α. Toon aan dat voor de oppervlakte O van de zeshoek geldt: O = 16 sin(α) + 48 sin(α) O(zeshoek) = O( AEF) + O(ABDE) + O( BDC) = O( AEF) + O(ABDE) = ½ AE FP + AB AE EP EP In FPE geldt: sin(α) = dus EP = 4 sin(α) [AE = EP = 8 sin(α)] EF 4 In FPE geldt: cos(α) = Hieruit volgt: O(zeshoek) FP FP EF 4 dus FP = 4 cos(α) = 8 sin(α) 4 cos(α) sin(α) = 3sin(α)cos(α) + 48sin(α) = 16sin(α) + 48sin(α) 7

28 15.5 Goniometrische modellen [] Voorbeeld: De oppervlakte O van de zeshoek is gelijk aan: 16 sin(x) + 48 sin(x). x is hierbij gegeven in radialen. Bereken algebraïsch bij welke hoek de oppervlakte van de zeshoek maximaal is. Stap 1: Bereken de afgeleide van de formule van de oppervlakte O. do 3cos( x) 48cos( x) dx Stap : Stel de afgeleide gelijk aan nul en los de ontstane vergelijking op. 3 cos(x) + 48cos(x) = 0 cos(x) + 3 cos(x) = 0 ( cos (x) 1) + 3 cos(x) = 0 4 cos (x) + 3 cos(x) = 0 8

29 15.5 Goniometrische modellen [] Stap : 4 cos (x) + 3 cos(x) = 0 [cos(x) = p] 4p + 3p = 0 D = = p = of p = 8 8 cos(x) -1,175 of cos(x) 0,45 Geen oplossing x 1,131 + k π of x -1,131 + k π Stap 3: Controleer of de gevonden oplossing een maximum is. Uit een schets van de formule volgt dat er bij 1,131 een maximum is. Stap 4: Bereken de hoek waarbij de oppervlakte maximaal is. De oppervlakte is maximaal bij een hoek van 1,

30 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [1] s(t) =,1t + 3,6t is een tijd-afstandfunctie. De tijd-afstandfunctie geeft op een bepaald tijdstip de afgelegde afstand. s (t) = v(t) = 4,t + 3,6 is een snelheidsfunctie. De snelheidsfunctie geeft op een bepaald tijdstip de snelheid. De snelheidsfunctie is de afgeleide van de tijd-afstandfunctie. Wanneer de snelheidsfunctie bekend is kan de afgelegde afstand in een bepaalde periode berekend worden door deze snelheidsfunctie te primitiveren. Primitiveren van de snelheidsfunctie geeft de tijd-afstandfunctie. 30

31 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [1] Voorbeeld: Gegeven is de snelheidsfunctie v(t) = s (t) = -½t + t + 1. Bereken de afgelegde afstand s op t = 4 als bekend is dat op t = 1 al een afstand van 5 meter is afgelegd. Afgelegde afstand s(1) op t = 1 is 5 meter. Afgelegde afstand van t = 1 tot t = 4 is 4 s '( t ) dt 1 Afgelegde afstand = 4 1 (1) 1 s t t dt t t t ( 4 4 4)

32 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Definitie: Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b a x f ( x) dx x f ( x) dx oppervlakte V f ( x) dx Definitie: Als het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b a b x ( f ( x) g( x)) dx a ( f ( x) g( x)) dx b a b a 3

33 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y = x. Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en wordt ingesloten door de parabool, de y-as en de lijn y = 4. Het zwaartepunt van V is Z. Bereken algebraïsch de coördinaten van Z. Stap 1: Bereken de x-coördinaat van het zwaartepunt. O(V) = x dx 4x x x(4 x ) dx (4 x x ) dx x x (8 4) x z 0 x f ( x) dx OV ( )

34 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Stap : Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt. Voor de x-coördinaat van het zwaartepunt geldt: x z 0 x 0 f ( x) dx f ( x) dx Voor de y-coördinaat van het zwaartepunt geldt: y z 4 0 y xdy 4 0 xdy De x en y worden hier dus als het ware omgedraaid. 34

35 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Stap : Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt. y = x met 0 x geeft x = y met 0 y y xdy y ydy y dy y y O(V) = y z 4 y xdy OV ( ) Stap 3: Geef de coördinaten van het zwaartepunt: Z 3,

36 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: Het lichaam L ontstaat als het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van de functie f, de x-as en de lijnen x = a en x = b om de x-as wentelt. Voor de x-coördinaat van het zwaartepunt Z geldt: x Z b a b xy dx IL ( ) a b xy dx a y dx 36

37 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: De paraboloïde ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van y 9x, de x-as en de y-as te wentelen om de x-as. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van het zwaartepunt Z van de paraboloïde I y dx (9 x) dx [ (9 x x )] ( ) 40 37

38 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: De paraboloïde ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van y 9x, de x-as en de y-as te wentelen om de x-as. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van het zwaartepunt Z van de paraboloïde xy dx x(9 x) dx (9 x x ) dx (4 x x ) ( ) x Z 9 xy dx IL ( ) 38

39 15 Samenvatting Bereken: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Bereken algebraisch: Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken exact: Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken de formule van de afgeleide. Bereken met behulp van differentiëren: De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal r. Dit is een eenparige cirkelbeweging; Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; A doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt A voert een harmonische trilling uit; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 39

40 15 Samenvatting Het faseverschil van twee punten is het gedeelte van de trillingstijd dat verstrijkt tussen de tijdstippen dat de punten de evenwichtsstand in dezelfde richting passeren; Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. Formules van Mollweide: sin(a) + sin(b) = sin(½(a + b))cos(½(a b)) sin(a) - sin(b) = sin(½(a - b))cos(½(a + b)) cos(a) + cos(b) = cos(½(a + b))cos(½(a b)) cos(a) + cos(b) = -sin(½(a + b))sin(½(a b)) De kromme K is gegeven door de parametervoorstelling x sin t( t) y sin( t) De kromme K is een Lissajous-figuur. Dit is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. 40

41 15 Samenvatting Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b x f ( x) dx x f ( x) dx a oppervlakte V f ( x) dx Als het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g is de x-coördinaat van het zwaartepunt: b x z a b Het lichaam L ontstaat als het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van de functie f, de x-as en de lijnen x = a en x = b om de x-as wentelt. Voor de x-coördinaat van het b b zwaartepunt Z geldt: x Z b a b a x ( f ( x) g( x)) dx a ( f ( x) g( x)) dx a xy dx IL ( ) a b xy dx a y dx 41

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 1 van 8 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal omschrijfregels

Nadere informatie

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3 Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl) wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 2 juni 1.0 16.0 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 18

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II Brandstofverbruik Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitwerkingen H10 Integraalrekening

Uitwerkingen H10 Integraalrekening Uitwerkingen H Integraalrekening. De tweede benadering is de beste. a. Onder de grafiek liggen nog witte vlakdelen. Boven de grafiek steken blauwe vlakdelen uit. c. Neem bijvoorbeeld rechthoeken.. Als

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2005-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2005-II Eindeamen wiskunde B vwo 2005-II Twee benaderingen van sin Met domein [0, ] is gegeven de functie f() = sin. De grafiek van f snijdt de -as in en en heeft als top T. Zie figuur. figuur T Gegeven is verder

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur wiskunde B Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 86 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 4 mei 13.30 16.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 18

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-II

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-II Koffiekan Bij het zetten van koffie wordt soms een koffiezetapparaat gebruikt. eze opgave gaat over een koffiezetapparaat waarbij de koffiekan, zonder het handvat en de bovenrand, de vorm heeft van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo II

Eindexamen wiskunde B pilot havo II Mosselen Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij filteren het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 204 tijdvak woensdag 4 mei.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Sinusoïden V_ a A( π, ), B( π, ), C( π, ) en D(π, ) Met de rekenmachine : Y = sinx Y = Met CALC, Intersect of G-Solve, ISCT: c V_ a x,6, x,5 of x,67 Bij een verschuiving van

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 wiskunde B1, Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. it examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

vwo 5 wiskunde B deel 1 de Wageningse Methode

vwo 5 wiskunde B deel 1 de Wageningse Methode vwo 5 wiskunde B deel 1 de Wageningse Methode Copyright 2016 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Peter Kop, Henk Reuling, Daan

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II ppervlakte Gegeven is de functie f ( x) x. De lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt (0, 3). Zie figuur. figuur y k f x 5p Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k. De grafiek

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II Een eponentiële functie De functie f is gegeven door f( ) = e. is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in met de -as. Zie figuur 1. figuur

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld. Windenergie Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

7. Tweedimensionale grafieken

7. Tweedimensionale grafieken 7. Tweedimensionale grafieken 7.1. Grafieken van functies Maxima beschikt over meerdere opdrachten om grafieken te laten tekenen. Grafieken kunnen met wxplotd in de wxmaxima-omgeving ingebed worden (inline).

Nadere informatie