Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)"

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

2

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Opgaves 1 3 Oplossingen 11

4

5 Inleiding In deze module worden oefeningen behandeld waarbij de inhoud van verschillende modules gecombineerd moet worden. Ze werden gebaseerd op concrete problemen die voorkomen in eerste-jaarsvakken. 2 Opgaves Oefening 1 Twee heel dunne staven zijn scharnierend verbonden in het punt A en vormen een hoek θ. Tussen deze staven wordt een schijfje geklemd met straal R en centrum O. De afstand a = OA tussen het centrum van het schijfje en het scharnierpunt A van de staven hangt af van de hoek θ zodat we de functie a(θ) kunnen definiëren. (a) Bepaal deze functie O θ A R (b) Bepaal de afgeleide van deze functie. (c) De hoek θ is afhankelijk van de tijd t via de functie θ(t). Op een bepaald ogenblik t = t 0 is θ(t 0 ) = 90 en is de afgeleide van deze functie dθ dt (t 0) = 3. We definiëren de samengestelde functie ã(t) = a(θ(t)). Bepaal dã dt (t 0). Oefening 2 Een pin P beweegt gelijktijdig in een vaste gleuf van de vorm y = a sin bx (met a = 1m en b = 1 rad/m) en een gleuf in een bewegende vertikale staaf AB. De staaf AB beweegt horizontaal met een snelheid dx dt = 3m/s. Bepaal in de getekende stand dy dt (i.e. de y-component van de snelheid van de pin). gebaseerd op G. Van de Perre, Toegepaste Mechanica, 1e jaar burgelijk ingenieur en burgelijk ingenieur architect y P 1/3 B A x

6 18-2 Oefening 3 Een staaf AB van 6 cm lang draait op een cirkelvormige geleider met straal 5 cm. De hoek θ tussen de horizontale en de vector OB verandert in de tijd volgens θ(t) = θ 0 + ωt, met θ 0 en ω constanten. (a) Bepaal θ 0 en ω als je weet dat 2 opeenvolgende tijdstippen waarop θ = 20 gegeven zijn door t = 0 en t = 10. O A ϕ θ B (b) Bepaal de hoek ϕ tussen de vector OA en de horizontale als functie van de tijd. (c) Maak een schets van cos[θ(t)] en cos[ϕ(t)] (zonder gebruik te maken van een grafisch rekentoestel!) (d) Kies de x-as horizontaal. De projectie van de vector AB op x is gegeven door AB x e x. Bepaal AB x (θ). Voor welke hoeken is AB x (θ) maximaal? Op welke tijdstippen wordt dit maximum bereikt? d Oefening 4 Een man (M) en een kind (K) hangen aan een constructie weergegeven in de figuur. De afstand d kan niet veranderen. (a) Als katrol B verschuift van de stand B1 naar stand B2, hoeveel gaat de man dan naar boven. Druk je antwoord uit als functie van de hoek θ en de afstand d van katrol A tot de muur. (b) Geef de lineaire benadering voor deze functie in de buurt van θ = π 6. M A B1 B2 K gebaseerd op G. Van de Perre, Toegepaste Mechanica, 1e jaar burgelijk ingenieur en burgelijk ingenieur architect (2006)

7 18-3 Oefening 5 Maak een schets van de grafiek van volgende vergelijkingen in poolcoördinaten. Gebruik eerst als assen r en θ. Maak daarna een schets in het xy-vlak. (a) r = 2(1 cosθ) (b) r = sin 2θ Oefening 6 Een gas wordt van een druk p = 1 bar tot p = 4 bar gecomprimeerd. Het volume v verandert daarbij van 0,1 m 3 tot 0,05 m 3. Het verband tussen de druk p en het volume v bij deze compressie luidt: pv n = C, met n en C constant. (a) Bepaal de waarde van n en C. (b) Bereken 0,05m 3 0,1m 3 p dv gebaseerd op M. Baelmans en P. Wollants, Thermodynamica, 1e jaar burgelijk ingenieur Oefening 7 Toon aan dat: (a) (b) n 1 i = i=1 n i=1 (n 1)n 2 r i 1 = rn 1 r 1 if r 1 Oefening 8 Bepaal het punt op de rechte y = 2x + 3 dat het dichts bij (4,2) ligt. A. Bultheel, oefeningenbundel lineire algebra, wiskundige analyse, 1e jaar burgelijk ingenieur architect (2007) Oefening 9 Bepaal de punten op de ellips x 2 /4 + +y 2 /9 = 1 die het dichts en het verst van (1, 0) gelegen zijn. Wat is de afstand tussen deze punten en (1, 0)? Oefening 10 Evalueer lim x 0 ( x sin t dt) 2 0 x 0 sin(t2 ) dt, gebruik makend van de regel van de l Hôpital. Motiveer waarom je deze regel hier mag gebruiken. A. Bultheel, oefeningenbundel lineire algebra, wiskundige analyse, 1e jaar burgelijk ingenieur architect (2007)

8 18-4 Oefening 11 Een bal wordt in een kamer schuin naar boven gegooid onder een hoek θ uit het interval [0,π/2] en volgt een parabool gegeven door de vergelijking y = tanθ x x 2 + 1, 6 (met x en y in meter). 10 cos 2 θ Het plafond is 2,6m hoog (y [0; 2, 6] en de kamer is 4m lang (x [0; 4]). (a) Bepaal voor welke hoeken θ de bal tegen het plafond stoot. (b) In welk punt stoot de bal tegen het plafond als θ = π/4 Oefening 12 Beschouw de tafel in onderstaande figuur. Het tafelblad valt samen met de x-as. In de oorsprong (0, 0) ligt een elektrisch geladen balletje met lading 1 Coulomb. Als we een tweede lading met een positieve lading q aanbrengen in het punt (x,y), met x > 0 en y > 0, dan oefent die op de eerste puntlading in (0, 0) een coulombkracht uit met als x-component kq cos θ F x = (1) x 2 + y 2 waarbij θ de hoek is tussen de x-as en het lijnstuk tussen de twee puntladingen, en k een fysische constante. De y-component van de coulombkracht wordt gecompenseerd door de reactiekracht uitgeoefend door de tafel, waardoor we in het vervolg van de oefening enkel de krachtcomponent F x moeten beschouwen. y y (1, u + u) q (1, u) F x θ F x θ x x In plaats van de tweede puntlading, beschouwen we voor deze oefening een verticale geladen staaf met lengte 1, die zich bevindt op het lijnstuk tussen de punten (1, 0) en (1, 1). Deze staaf heeft een totale lading Q die gelijkmatig verdeeld is over de staaf. a) Beschouw een klein stukje staaf tussen de punten (1,u) en (1,u+ u). Veronderstel dat u zo klein is dat het effect benaderd kan worden door het effect van een puntlading

9 18-5 in het punt (1,u). Geef een uitdrukking voor de x-component van de kracht ten gevolge van dit stukje staaf op het balletje in de oorsprong als functie van Q en u. (θ mag niet meer voorkomen in deze uitdrukking) b) Beschouw een verdeling van de staaf in een groot aantal N van dergelijke kleine stukjes. De som van alle bijdragen tot de kracht op het balletje wordt in het limietgeval voor N een integraal. Stel deze integraal op. c) Bereken de waarde van deze integraal. Oefening 13 Los volgend stelsel op waarin a R een parameter is. (Hint: volg de gewone methode en splits in gevallen wanneer een stap afhangt van de waarde van a). Oefening 14 Gegeven: x +ay +z = 1 x +y +z = a x +y +az = 1 f : R R : x x 2,g : R R : x 2 x,h : R R : x cos( π 3 x). Bepaal de reële getallen a, b, en c zodat de functie k = af + bg + ch voldoet aan Oefening 15 Gegeven: met i 2 = 1. Bepaal a, b, r en φ zodat k(1) = 0, k(2) = 1, k(3) = 1. c = 1 + 3i x(t) = Re(ce i5t ) x(t) = a cos(5t) + b sin(5t) en x(t) = r cos(5t + φ). Oefening 16 Bepaal de vergelijking van vlak dat raakt in het punt (3, 2, 1) aan het boloppervlak met middelpunt (1, 0, 2) en straal 3. (Het punt (3, 2, 1) is een punt op het boloppervlak). Oefening 17 Gegeven de functie met voorschrift Bepaal de inverse van f. f : x x als x < 1 x 2 als 1 x 4 8 x als x > 4.

10 18-6 Oefening 18 Bewijs uit het ongerijmde dat je de complexe getallen niet kunt ordenen tot een totaal geordende verzameling, waarbij de orde beperkt tot de reële getallen de gekende orde zou zijn en waarbij de orde op heel C aan volgende eigenschappen zou voldoen. (1) Voor elk tweetal getallen x en y geldt precies één van de volgende mogelijkheden x < y, x = y, x > y men noemt de orde totaal. (2) Voor getallen x, y en z geldt (3) Voor getallen x, y en z geldt (4) Voor getallen x, y en z geldt x < y (x + z < y + z) (x < y z > 0) xz < yz (x < y z < 0) xz > yz (x < y y < z) x < z de orde is transitief. Hint: Je stelt uit het ongerijmde dat C wel kan geordend worden. Vermits i 0 zal omwille van de totale orde (1) moet gelden dat ofwel i < 0, ofwel i > 0. Maak nu gebruik van de andere eigenschappen van de orde, om aan te tonen dat beide onderstellingen leiden tot een contradictie. Oefening 19 Geef door middel van een grafiek of een expliciet functievoorschrift een voorbeeld van een overal gedefinieerde functie f : R R : x f(x) die voldoet aan maar NIET voldoet aan Hint: ( ε > 0 : x a < ε) x = a. ε > 0 : x R : f(x) 2 < ε, x R : ε > 0 : f(x) 2 < ε. Oefening 20 Zoek een voorbeeld van een niet-constante functie f : R R die voldoet aan x R : f(x) = f( x) én y R, x 3 : f(x) = y. Denk in eerste instantie zeker niet in termen van een concreet functievoorschrift, maar interpreteer wat beide uitspraken over f betekenen en probeer zo de grafiek van dergelijke functie te tekenen.

11 18-7 Oefening 21 Zij f : A R R : x f(x) een functie met domein A. Stel dat 2 A. Zeg in eigen woorden wat elk van volgende eisen betekent voor de functie f en haar grafiek. Maak hiertoe gebruik van grafieken om de eigenschap te illustreren of om tegenvoorbeelden te geven. Zoek welke implicaties gelden tussen de uitspraken, je hoeft het niet strikt te bewijzen maar argumenteer telkens je bewering. Als een implicatie tussen twee uitspraken niet geldt, toon dit dan aan door het geven van een concreet tegenvoorbeeld. Leg alle implicaties vast in een schema. (a) ε > 0 : x A \ {2} : f(x) f(2) < ε (b) x A \ {2} : ε > 0 : f(x) f(2) < ε (c) ε > 0 : x A \ {2} : f(x) f(2) < ε (d) x A \ {2} : f(x) = f(2) (e) f is een constante functie. Hint: ( ε > 0 : x a < ε) x = a. Oefening 22 Zij n een natuurlijk getal. Zoek een formule voor de n-de afgeleide van de functie f : R R : x f(x) = x = (1 + x) 1 en bewijs deze per inductie. Opmerking: De 0-de afgeleide van f is f zelf, de n-de afgeleide wordt recursief gedefinieerd als de afgeleide van de (n 1)-ste afgeleide van f. Oefening 23 Voor het berekenen van de n-de afgeleide van de functie f : R R : x xe 2x geldt volgende formule voor alle n N 0 : d n dx n(xe2x ) = (n2 n n x)e 2x Bewijs deze formule door volledige inductie. Oefening 24 Een raam, gevormd onderaan door een rechthoek en bovenaan door een halve cirkel, heeft een opgegeven omtrek l. Voor welke afmetingen van de rechthoek (breedte a en hoogte b) is de totale oppervlakte van het raam maximaal? Bepaal ook de maximale oppervlakte. toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003 b a

12 18-8 Oefening 25 Zij gegeven een afleidbare functie f(x). (a) Als geweten is dat de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)) door de oorsprong gaat, wat is dan het verband tussen a,f(a) en f (a)? (b) Als geweten is dat de normaal op de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)) door de oorsprong gaat, wat is dan het verband tussen a,f(a) en f (a)? (c) Voor welke punten (a,f(a)) van de grafiek van f(x) = x 4 + 6x gaat de raaklijn door de oorsprong? (d) Voor welke punten (a,f(a)) van de grafiek van f(x) = x 2 3 gaat de normaal 2 door de oorsprong? Geef telkens ook de vergelijking van deze rechte. toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003 Oefening 26 De functie f(x) = e kx + ax + b met a,b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a,b en k. ( D (f(x))) 2 + D ( (f(x)) 2) + (f(x)) 2 = (x + 1) 2. Opmerking: Het symbool D staat voor de afgeleide, m.a.w. D(g(x)) = g (x). toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 27 De functie f(x) = (ax + b) e x + c cos x + d sin x met a,b,c en d R heeft een nulpunt bij x = 0 en voldoet aan de vergelijking f (x) f(x) = e x sin x Bepaal a,b,c en d. toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003 Oefening 28 De afgebeelde even functie is van de vorm f(x) = Bgtg ( x 4 + 2ax 2 + b cx 4 + dx 2 + e ). Zij heeft een horizontale asymptoot y = π voor x ± en er geldt ook dat 2 lim x 0 f(x) = π. Gegeven is verder dat 2 een nulpunt is en dat f(x) haar minimale waarde π bereikt voor x = 2. Bereken de parameters a,b,c,d en e en bepaal 2 4

13 18-9 ook de drie andere nulpunten van f(x). Hoeveel buigpunten heeft f(x)? (kijk op de figuur) x 0.5 toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 29 De afgebeelde functie is van de vorm f(x) = ekx + le x + m. ne 2x + p De grafiek gaat door de oorsprong en de raaklijn in de oorsprong staat loodrecht op de rechte met vergelijking y = x. Verder is gegeven dat de functie een horizontale asymptoot y = 2 heeft, zowel voor x + als x. Bepaal de parameters k,l,m,n en p en bereken ook het tweede nulpunt van f(x) x toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003

14 18-10 Oefening 30 Zij f(t) een periodiek tijdssignaal met periode T, dus f(t + T) = f(t), dan noemt men f = 1 T T 0 f(t) dt de gemiddelde waarde van f. We zeggen dat g(t) met ( ) 2πt g(t) = A cos T φ de fundamentele trilling van f is als A 0 en φ ] π,π] de oplossing zijn van het stelsel A cos φ = A sin φ = 2 T 2 T T 0 T 0 f(t) cos 2πt T dt f(t) sin 2πt T dt. Beschouw dan het afgebeelde periodiek signaal met T = 2 zoals op de onderstaande figuur t Bereken de gemiddelde waarde en de fundamentele trilling voor deze f(t). toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 31 Beschouw het gedeelte van de parabool met vergelijking y = ax 2 + b, gelegen boven de x as (a > 0 en b > 0). Een veranderlijke rechthoek kan ingeschreven worden binnen deze parabool zoals afgebeeld op de figuur.

15 18-11 (a) Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte O 1. (b) Bereken voor deze rechthoek ook de resterende oppervlakte O 2 onder de parabool (licht ingekleurd op de figuur) en toon aan dat de verhouding p = O 2 O 1 niet meer afhangt van a of b. Bereken de exacte waarde voor p en vereenvoudig het resultaat (zo weinig mogelijk vierkantswortels)! toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003 Oefening 32 Voor welke waarden van a en b voldoet de functie y(x) = x[a cos(2x) + b sin(2x)] aan de vergelijking y (x) + 4y(x) = sinx cos x. modelvragen toelatingsexamen Oplossingen 1 (a) R sin θ 2 (b) R cos(θ/2) 2 sin 2 (θ/2) (c) 3 2R m/s ( ) 1 4 (a) d cosθ 1 (b) d(0.666θ 0.194) 6 (a) n = 2, C = 0.01 bar m 6. (b) 0.1 bar m 3 8 (2/5 19/5) 9 dichts (2, 0) (afstand =1), verst ( 4/5, 3 21/5) en ( 4/5, 3 21/5) (afstand =3 (30)/5) (a) θ [Bgsin( 2/5),π/2] (b) (1.38,2.6)

16 c) F = kq 2/2 13 Geval a = 1: (x,y,z) = (0, 1, 0) + k(0, 1, 1) met k R willekeurig, Geval a = 1: geen oplossing Geval a 1 en a 1: (x,y,z) = (a 2, 1, ) a+1 a+1 14 a = 1, b = 1, c = x + 2y + z = 8 x(t) = cos(5t) 3 sin(5t) x(t) = 2 cos(5t + 2π 3 ). 17 x f 1 als x < 1 : x x als 1 x 16 x 2 /64 als x > De functiewaarden moeten willekeurig dicht naderen tot 2, maar geen enkele functiewaarde mag gelijk zijn aan 2. Bijvoorbeeld: { x als x 2, f : R R : x f(x) = 3 als x = De functie moet symmetrisch zijn t.o.v. de y-as en constant vanaf x = 3, maar mag geen constante functie zijn over heel R. Bijvoorbeeld { 1 als x < 3, f : R R : x f(x) = 2 als x (c) en (e) zijn equivalent. (b) en (d) zijn equivalent. (e) (b) en (b) (a) zodat ook (e) (a) De andere implicaties zijn niet algemeen geldig, bij specifieke voorbeelden kunnen ze per toeval soms wel kloppen. Maak grafieken van functies die deze implicaties tegenspreken. 22 De formule voor de n-de afgeleide is f (n) (x) = ( 1)n n! (1 + x) (n+1). 24 a = 2l 4 + π, b = l l2, Oppervlakte = 4 + π 8 + 2π 25 (a) f(a) = a f (a) (b) f(a) f (a) = a

17 18-13 (c) (a,f(a)) = ( 3 1, ), ( 3 1, ) (d) (a,f(a)) overeenkomstige vergelijking van de normaal (0, 3) 2 x = 0 (1, 1) 2 y = x 2 ( 1, 1 2 ) y = x 2 26 a = 1, b = 0, k = 1 27 a = 1 3, b = 1 2, c = 1 2, d = a = 5, b = 16, c = 0, d = 2, e = 0 andere nulpunten: 2, 8, 8 aantal buigpunten: 4 29 k = 2, l = 4, m = 3, n = 1 2, p = 3 2 Het tweede nulpunt is ln 3 30 gemiddelde waarde f = 1 4 fundamentele trilling A = 31 (a) hoogte = 2b b 3, breedte = 2 (b) resterende oppervlakte O 2 = 4b 3 π2 + 4 π , φ = Bgtg π b, oppervlakte = 3a 3 b a (1 1 3 ), de vereenvoudigde verhouding p = O 2 O 1 = 3 1 b 3a

18

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 2 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 4 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking

Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Modelvragen ijkingstoets. 1 Redeneren

Modelvragen ijkingstoets. 1 Redeneren Modelvragen ijkingtoets - KU Leuven, Groep W&T - versie 26 juni 2012 1 Modelvragen ijkingstoets Onderstaande vragen staan model voor de ijkingstoets georganiseerd door de groep wetenschap en technologie

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008 Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 11 Minimum-Maimumproblemen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Theoretische achtergrond 1 2 Oefeningen 7 2.1 Basis (A- en B-programma)........................

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 1 juli 013 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 013: algemene feedback In totaal namen 61 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie augustus ) Inhoudsopgave Functies van reële getallen en grafieken Som, verschil, product en quotiënt van reële

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Dag van de wiskunde 22 november 2014

Dag van de wiskunde 22 november 2014 WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie