Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.

Transcriptie

1 Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/14161/ A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en is het gedeelte van een vlak die binnen een parabolische cilinder ligt: y + z, met x, y) zodanig dat x + y 1 en y. De oriëntatie van is zodanig opgesteld dat de eenheidsnormaalvector ˆn naar boven z > ) wijst. Parametrisatie van : Het oppervlak kan makkelijk geparametriseerd worden door middel van de variabelen x en y: x x y y rx, y) x î + y ĵ + y)ˆk, met x, y) zodanig dat y 1 x. z y Element ˆn d: ˆn d ± ± x/ x y/ x z/ x x/ y y/ y z/ y 1 1 ±ĵ + ˆk) dx dy. dx dy dx dy Het is duidelijk dat hier moet het + gekozen worden, want de normale eenheidsvector ˆn wijst naar boven het heeft dus een positieve z component). F geëvalueerd op : Fxx, y), yx, y), zx, y)) x î + y ĵ + y )ˆk. F ˆn d x x 8/5. y y x, y, y ), 1, 1)dy dx y 1) dy dx ] y1 x y x 4 ] 1 dx dx

2 Bepaal of de vector veld F gegeven door Fx, y, z) Vraagstuk z ) 1 ĵ + yz + 1) ˆk conservatief is. tel een willekeurige kromme op het xy vlak lopend van punt 1,1,) naar punt 3,1,). Is gesloten? Bereken ook de lijnintegraal ˆ F dr. Geslotenheid : De kromme is niet gesloten, omdat zijn begin- en eindpunten niet overeen met elkaar komen. ontrole padonafhankelijkheid: Een vectorveld is conservatief padonafhankelijk) indien zijn rotatie nul is: F / x / y / z z 1 yz + 1 z z) î + ĵ + ˆk. Het vectorveld is dus conservatief en het kan in twee manieren berekend worden: óf met behulp van een potential φ for F óf direct met behulp van een willekeurig pad. Met behulp van een potentiaal De potentiaal wordt berekend door de volgende vergelijkingen te integreren: x y z, z 1, yz + 1. Hieruit volgt dat φx, y, z) 1 y, z). x Invullen op de tweede vergelijking voor φ leidt tot zodat 1 y, z) y Invullen op de derde vergelijking voor φ leidt tot z 1 1 y, z) yz y + z), φx, y, z) yz y + z). yz + z) yz + 1 z) 1 z) z + 3, met 3 een willekeurige constante.

3 Tot slot en we kunnen dus berekenen ˆ φx, y, z) yz y + z + 3 F dr φ1, 1, ) φ3, 1, ). Direct We kunnen een willekeurig pad gebruiken omdat F conservatief is krachtens F. Het eenvoudigste pad mogelijk lijkt een lijnstuk te zijn dat 1, 1, ) met 3, 1, ) verbindt. Parametrisatie van : ] rt) 1, 1, ) + 3, 1, ) 1, 1, ) t 1 + t, 1, ) 1 + t) î + ĵ, met t : 1 x 1 + t y 1 z. Element dr: dr r t) dt î dt. F geëvalueerd op : Fxt), yt), zt)) zt) ) 1 ĵ + yt)zt) + 1) ˆk F dr ĵ + ˆk. Fxt), yt), zt)) r t) dt Het resultaat is uiteraard hetzelfde als bovenberekend.,, ),, 1)dt dt. 3

4 tel de doorsnijding van de oppervlakken Vraagstuk 3 x + y 1 en x + y + z π. Van bovenaf bekijkt is de kromme georiënteerd tegen de klok in. tel Bereken de lijnintegraal op twee manieren: a) direct; Fx, y, z) x î + y ĵ + x y z ˆk. F dr b) met behulp van een geschikte stelling Gauss of tokes of Green). a) De kromme is duidelijk de doorsnijding van een cilinder rond de z as met straal 1 en het omgekeerde paraboloïde z π x + y ) dus een cirkel. Parametrisatie van : x cost) y sint) z π cos t) + sin t) ) π 1 rt) cost) î + sint) ĵ + π 1)ˆk, met t : π. Element dr: dr r t) dt ) sint) î + cost) ĵ dt. F geëvalueerd op : Fxt), yt), zt)) xt) î + yt) ĵ + x y zˆk cost) î + sint) ĵ + cost) sint)π 1)ˆk. F dr ˆ π ˆ π ˆ π. sin t) Fxt), yt), zt)) r t) dt cost), sint), cost) sint)π 1) ) ) sint), cost), dt sint) cost) dt gebruik substitutie u sint) ] π b) De stelling van tokes is van toepassing want is een gesloten kromme. Deze stelling beweert dat F dr F) ˆn d, met rand). 4

5 Een voor de hand liggende keuze voor is het gedeelte van de paraboolïde boven z π 1. Andere keuzen zijn de gegeven cilinder met bodem) of gezien dat een horizontale cirkel met straal 1 op hoogte π 1 is de schijf met straal 1 en centrum,, π 1). De derde keuze is makkelijkste, we gaan dus met deze werken. F: Parametrisatie van : x r cost) y r sint) z π 1 F / x / y / z x y x y z x z î y z ĵ. rt) r cost) î + r sint) ĵ + π 1) ˆk, met r, t) :, 1], π]. Element ˆn d: ˆn d ± ± ±r ˆk dr dt. x/ r y/ r z/ r x/ t y/ t z/ t cost) sint) r sint) r cost) dr dt dr dt Het is duidelijk dat hier moet het + gekozen worden, want de normale eenheidsvector ˆn wijst naar boven. F dr F) ˆn d ˆ π r dr dt. Natuurlijk leidt de stelling van tokes tot hetzelfde resultaat als bovenstaande direct berekening. 5