4051CALC1Y Calculus 1

Transcriptie

1 4051CALC1Y Calculus 1 College oktober

2 Programma Vanmorgen Integrerende factor (8.4) Vanmiddag Populatiemodellen (8.5) 2

3 Herhaling Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dx = f(x) dan geldt y x = f x dx. Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dan geldt dx = g y 1 g y dy = x + c. Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dan geldt dx = g x f(y) 1 f y dy = g x dx. 3

4 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking is van de vorm dy dx + P x y = Q(x) waarbij P(x) en Q(x) gegeven functies van x zijn. Als P(x) en Q(x) constanten zijn, dan is het een scheidbare differentiaal vergelijking. 4

5 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking x dy dx + y = 2x dy dx + y x = 2 dy dx = 2 y x Dit is dus geen scheidbare differentiaal vergelijking. Merk op dat: x dy dx + y = xy + y = xy Dus xy = 2x. Integreren geeft xy = 2x dx = x 2 + c. Hieruit volgt y = x + c x. 5

6 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Een lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking is van de vorm dy + P x y = Q(x) dx waarbij P(x) en Q(x) gegeven functies van x zijn. Deze differentiaal vergelijking kan opgelost worden door een integrerende factor r(x) te vinden waarvoor geldt dat r x y + P x y = r x y. Als deze bestaat dan geldt r x y = r x Q x oftewel r x y = r x Q x dx y x = 1 r x r x Q x dx. 6

7 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Voor de integrerende factor r(x) geldt dat r x y + P x y = r x y. Oftewel r x y + P x y = r x y + r x P x y = r x y + r x y r x P x y = r x y r x P x = r x Dit geeft de scheidbare differentiaal vergelijking dr dx = r P x. 7

8 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Dit geeft de scheidbare differentiaal vergelijking dr dx = r P x. Hiervoor geldt 1 r dr = P(x) dx + c = ln r Dus r(x) = e c e P x dx. Een particuliere oplossing is r x = e P x dx. 8

9 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Dus met r x = e P x dx geldt dat y x = 1 r x Q(x) dx r x een oplossing is voor de differentiaal vergelijking dy dx + P x y = Q x. 9

10 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Met r x = e P x dx geldt dat een oplossing is voor dy dx y x = 1 r x + P x y = Q x. r x Q(x) dx r x dy dx + 3x2 y = 6x 2 = e P x dx = e 3x2 dx = e x3 y x = 1 e x3 e x3 6x 2 dx = e x3 2e u du = e x3 2e u + c = e x3 2e x3 + c = 2 + ce x3 10

11 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Met r x = e P x dx geldt dat een oplossing is voor dy dx y x = 1 r x + P x y = Q x. r x Q(x) dx x dy dx + 5y = 7x2, y 2 = 5 x dy dx + 5y = 7x2 dy dx + 5 x y = 7x r x = e P x dx = e 5 x dx = e 5 ln x = e ln x 5 = x 5 y x = 1 x 5 7x x5 dx = 1 x 5 7x6 dx = 1 x 5 x7 + c = x 2 + c x 5 11

12 Lineaire 1 e orde differentiaal vergelijking Met r x = e P x dx geldt dat een oplossing is voor dy dx y x = 1 r x + P x y = Q x. r x Q(x) dx y 2 x dy dx + 5y = 7x2, y 2 = 5 y x = x 2 + c x 5 = c 2 5 = 4 + c 32 = 5 c 32 y x = x x 5 = 1 c = 32 12

13 Opgaven maken Hoofdstuk 8.4 Opgaven: 1, 2, 5, 13, 20 13

14 Mengsels c: 2 s: 4 c: Een tank van 120 gallon bevat 90 pond zout opgelost in 90 gallon water. Een zoutoplossing van 2 lb/gal stroomt in de tank met een snelheid van 4 gal/min. Het mengsel stroomt uit de tank met een snelheid van 3 gal/min. Hoeveel zout zit er in de tank als deze helemaal vol zit? 90 s: 3 14

15 Mengsels c: 2 s: V t = 90 + t Als x(t) de hoeveelheid zout is op tijdstip t, dan geldt 90 c: 1 s: 3 Δx = 2 lb gal 4gal min x lb Δt V gal 3 gal min = 2 4 Δt 3x 90 + t Δt Δx Δt = 8 3x 90 + t dx dt = 8 3x 90 + t Δt 15

16 Mengsels c: 2 s: dx dt = 8 3x 90 + t, x 0 = 90 dx dt t x = 8 90 c: 1 s: 3 = r t = e 3 90+t dt = e 3 ln 90+t = 90 + t 3 1 x t = 90 + t t 3 dt t t 4 + c = t + c 90 + t 3 16

17 Mengsels c: 2 s: 4 c: c x t = t +, x 0 = t 3 x 0 = c 90 3 = 90 c = 90 c = x t = t t 3 90 s: 3 17

18 Mengsels c: 2 s: x t = t t 3 Hoeveel zout zit er in de tank als deze helemaal vol zit? V t = 90 + t = 120 t = c: 1 s: 3 x 30 =

19 Beweging met weerstand Een bal wordt recht omhoog geschoten vanaf de grond met een snelheid van 160 ft. De snelheid op tijdstip t wordt gegeven door dv s = 32 0,16v. Bepaal het volgende: dt a. De maximale hoogte die de bal bereikt. b. Het tijdstip waarop de maximale hoogte wordt bereikt en het tijdstip waarop de bal weer terug op de grond is. c. De snelheid waarmee de bal de grond raakt. 19

20 Beweging met weerstand Een bal wordt recht omhoog geschoten vanaf de grond met een snelheid van 160 ft. De snelheid op tijdstip t wordt gegeven door dv s = 32 0,16v. Bepaal het volgende: dt a. De maximale hoogte die de bal bereikt dit is het moment waarop de snelheid 0 is. 20

21 Beweging met weerstand dv dt = 32 0,16v, v 0 = 160 Bepaal tijdstip t waarop v t = 0. dv dt + 0,16v = 32 r t = e P t dt = e 0,16dt = e 0,16t v t = e 0,16t 32e 0,16t dt = e 0,16t 200e 0,16t + c = ce 0,16t = e 0,16t v 0 = c = 160 c =

22 Beweging met weerstand dv dt = 32 0,16v, v 0 = 160 Bepaal tijdstip t waarop v t = 0. v t = e 0,16t = 0 360e 0,16t = 200 t = 1 0,16 ln ,67 22

23 Beweging met weerstand v t = e 0,16t Laat de hoogte gegeven worden door y(t). Dan geldt dy dt = v t, y 0 = 0 Dus y t = e 0,16t = 200t 2250e 0,16t + c y 0 = c c =

24 Beweging met weerstand y t = 200t 2250e 0,16t , t 3,67 Dus de maximale hoogte die de bal bereikt is y 3,67 265,27. 24

25 Beweging met weerstand Een bal wordt recht omhoog geschoten vanaf de grond met een snelheid van 160 ft. De snelheid op tijdstip t wordt gegeven door dv s = 32 0,16v. Bepaal het volgende: dt a. De maximale hoogte die de bal bereikt. b. Het tijdstip waarop de maximale hoogte wordt bereikt en het tijdstip waarop de bal weer terug op de grond is y t = 0. y t = 200t 2250e 0,16t Met behulp van rekenmachine volgt dat t 8,24. 25

26 Beweging met weerstand Een bal wordt recht omhoog geschoten vanaf de grond met een snelheid van 160 ft. De snelheid op tijdstip t wordt gegeven door dv s = 32 0,16v. Bepaal het volgende: dt a. De maximale hoogte die de bal bereikt. b. Het tijdstip waarop de maximale hoogte wordt bereikt en het tijdstip waarop de bal weer terug op de grond is. c. De snelheid waarmee de bal de grond raakt dus snelheid op tijdstip 8,24. v t = e 0,16t v 8,24 103,68 26

27 Opgaven maken Hoofdstuk 8.4 Opgaven: 1, 2, 5, 13, 20, 23, 27, 28, 32, 34, 42 27