ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

Transcriptie

1 Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld 1 db(t) = 10b(t) schrijven we in de vorm y = 10 y dt SEPARABLE_GEN(p, q, x, y, c) geeft een algemene impliciete oplossing van een vergelijking van de vorm y = p(x) q(y), met p(x) een uitdrukking die y niet bevat en q(y) een uitdrukking die x niet bevat. Om de correcte vorm te bekomen moet men het rechterlid eventueel ontbinden in factoren en/of moet men goniometrische, logaritmische of exponentiële transformaties toepassen. Voer # 1 in, klik op oplossen, kies uitdrukking, onbekenden y, algebraïsch, reëel en klik op oplossen; # 2 en # 3 verschijnen. OF:: voer # 1 in, kies vereenvoudigen, klik op vereenvoudigen Voorbeeld 2 db(t) = 10b(t) met b(0) = dt SEPARABLE(p, q, x, y, x 0, y 0 ) lijkt op SEPARABLE_GEN, maar geeft een specifieke oplossing voor de beginvoorwaarde y = y 0 bij x = x 0. Voer # 4 in, klik op oplossen, kies uitdrukking, onbekenden y, algebraïsch, reëel en klik op oplossen; # 5 en # 6 verschijnen. 1

2 Voorbeeld 3 dp(t) = kp(t) schrijven we in de vorm y = ky dt 2

3 dy De differentiaalvergelijking f 1 (x)g 2 (y) + f 2 (x)g 1 (y) = 0 Voorbeeld 4 dy x 4 y 1 x 4 y xy 3 = 0 schrijven we in de vorm y = y = x 3 xy 3 y 2 Voorbeeld 5 dy 1 y = x schrijven we in de vorm y = x y 3

4 dy De differentiaalvergelijking + p(x)y = q(x) LINEAR1(p, q, x, y, x 0, y 0 ) geeft een expliciete oplossing van de lineare monische differentiaalvergelijking y' + p(x) y = q(x). Een differentiaalvergelijking is monisch als de coëfficiënt van de hoogste-orde afgeleide 1 is. Deze vergelijking moet niet linear zijn in x, maar wel in y en zijn afgeleide. LINEAR1_GEN(p, q, x, y, c) lijkt op LINEAR1, maar geeft een algemene oplossing uitgedrukt in de symbolische constante c. Voorbeeld 6 dy 4y 4 + = 3 is van de bovenstaande vorm met p(x) = en q(x) = 3 x x Voorbeeld 7 dy 2 + y = 6x 3, met y = 2 als x = 1 x 2 In dit geval : p(x) = en q(x) = 6x 3 x 4

5 d 2 y De differentiaalvergelijking = k (k ) 2 DSOLVE2(p, q, r, x, c 1, c 2 ) geeft een expliciete algemene oplossing van de gewone lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde y" + p(x) y' + q(x) y = r(x) uitgedrukt in willekeurige constanten c 1 en c 2. De laatste twee argumenten kunnen weggelaten worden als het variabelen zijn en als men tevreden is met de namen c 1 en c 2. DSOLVE2_BV(p, q, r, x, x 0, y 0, x 2, y 2 ) lijkt op DSOLVE2, maar geeft een specifieke oplossing die voldoet aan de randvoorwaarden y = y 0 bij x = x 0 en y = y 2 bij x = x 2. DSOLVE2_IV(p, q, r, x, x 0, y 0, v 0 ) lijkt op DSOLVE2_BV, maar geeft een specifieke oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarden y = y 0 en y'=v 0 bij x = x 0. Voorbeeld 8 d 2 y(x) = 6, met als bijkomende voorwaarden: 2 dy(x) 1) = 1 als x = 2 2) y(2) = 3 We hebben hier dus: p(x) = 0, q(x) = 0 en r(x) = 6; de voorwaarden leveren: x 0 = 2, y 0 = 3, v 0 = 1 Voer # 23 in, kies vereenvoudigen, klik op vereenvoudigen, # 24 verschijnt. 5

6 Homogene tweede orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Voorbeeld 9 d 2 y dy y = 0 met f(0) = 2 en f (0) = 3 2 We hebben hier dus: p(x) = 5, q(x) = 6 en r(x) = 0; de voorwaarden leveren: x 0 = 0, y 0 = 2, v 0 = 3 Voorbeeld 10 d 2 y dy y = 0 met f(0) = 2 en f (0) = We hebben hier dus: p(x) = 1, q(x) = en r(x) = 0; de voorwaarden leveren: 4 x 1 0 = 0, y 0 = 2, v 0 = 3 Voorbeeld 11 d 2 y dy y = 0 met f(0) = 2 en f (0) = 1 2 d 2 y 1 dy 145 We schrijven de vergelijking in de vorm + y = We hebben hier dus: p(x) =, q(x) = en r(x) = 0; de voorwaarden leveren: 2 16 x 0 = 0, y 0 = 2, v 0 = 1 6

7 Voorbeeld 12 d 2 u(t) d 2 y u(t) = 0 schrijven we in de vorm: y = 0 dt 2 2 We hebben hier dus: p(x) = 0, q(x) = 400 en r(x) = 0. 7

8 Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde HOMOGENEOUS(r, x, y, x 0, y 0 ) geeft een impliciete oplossing van een vergelijking van de vorm y' = r(x, y) als r homogeen is, anders is het resultaat "inapplicable" (niet toepasbaar). Een uitdrukking is homogeen als substitutie van k x voor x en k y voor y in de de uitdrukking een gelijkwaardige uitdrukking oplevert. Homogene uitdrukkingen zijn vaak het quotiënt van twee veeltermen in x en y, waarbij de totale graad (in x en y) van elke term een zelfde constante waarde heeft. HOMOGENEOUS_GEN(r, x, y, c) lijkt op HOMOGENEOUS, maar geeft een algemene oplossing uitgedrukt in de symbolische constante c als r homogeen is. Voorbeeld 13 dy xy (x 2 + y 2 ) = 0 x 2 + y 2 x 2 + y We schrijven de vergelijking in de vorm y = en vinden dus r(x) = 2 xy xy Voorbeeld 14 (x 2 y 2 ) + 2xy y = 0 y 2 x 2 y 2 + x We schrijven de vergelijking in de vorm y = en vinden dus r(x) = 2 2xy 2xy 8