Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Transcriptie

1 Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal. Inhoudsopgave 1 Nav Les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Beweging in plat vlak met centraal punt Vergelijking Ellips Radiale versnelling Laplace naar Newton Afleiden geodeet vergelijking Nav Les 3 en 4: Covariant differentieren en kromming Newtonse metriek en geodeten Covariante afgeleide van een 1-vorm Covariante afgeleide van een algemene tensor Berekenen krommingstensor Geodetische afwijking Getijdekrachten Nav Les 5 en 6: De lege ruimte en tests 10 4 Nav Les 7 en 8: De Veldvergelijkingen 10 1

2 1 Nav Les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Uitwerkingen staan in de slides. 1.1 Beweging in plat vlak met centraal punt We hebben in het platte vlak een centraal punt (denk bijvoorbeeld aan de zon in dat punt) en we willen de beweging van een ander punt (denk aan een planeet) beschrijven met behulp van poolcoördinaten: r = ( r cos ϕ r sin ϕ ) = r ( cos ϕ sin ϕ waarbij r en ϕ functies zijn van t (de tijd). De afgeleiden naar de tijd van deze functies ( dr, dϕ, d2 r en d2 ϕ ) schrijven we, zoals gebruikelijk met punten dt dt dt 2 dt 2 boven de functies: ṙ, ϕ, r en ϕ. Een wild voorbeeld: ( ) ( ) r 1 + t 2 r = = ϕ t Let op: dit natuurlijk niet het voorbeeld van een planeetbaan! Het dient om de algemeenheid van de beschrijving te illustreren. De vector r is een pijl die wijst van de zon naar de planeet. De plaatsvector van de planeet, soms ook voerstraal genoemd. We willen nu in het algemeen de snelheid en de versnelling van het punt berekenen. Dit zijn allebei ook vectoren die aangrijpen bij het punt zelf. In x-y coördinaten is dit: (ẋ ) (ẍ ) r = voor de snelheid en ẏ r = voor de versnelling ÿ maar daar hebben we niet zoveel aan. Nu gaan we snelheid en de versnelling in het algemeen bepalen en we zijn met name geïnteresseerd in de componenten van deze vectoren in de richting van (of tegen de richting in-) de plaatsvector en loodrecht daarop. Dat zegt immers in hoeverre deze vectoren in de richting van het centrale punt wijzen ( (of ) daarvan weg). De eenheidsvector in de richting van de voerstraal cos ϕ is en die schrijven we als e. We kunnen (1) dan dus schrijven als: sin ϕ ) (1) r = r e (2) 2

3 Het voordeel hiervan is dat we, als we gaan differentieren, dat in één keer kunnen doen (productregel toepassen) in plaats van elke component afzonderlijk (zoals bijvoorbeeld ẋ = d x = d (r cos ϕ) = ṙ cos ϕ r sin(ϕ) ϕ). Tenslotte dt dt definïeren we een eenheidvector loodrecht op e als volgt: ( ) sin ϕ e := cos ϕ Een eenvoudig illustratief voorbeeld is: ( ) x r = = y ( ) cos t sin t een cirkelvormige beweging (cirkel met straal 1) rond het centrale punt met een constante hoeksnelheid. In termen van r en ϕ wordt dit: ( ) ( ) r 1 r = = (3) ϕ t en dit voorbeeld is handig om uw resultaten mee te controlen. In het vervolg als er staat bepaal dan bedoelen we schrijf al som van e en e. a. Bepaal e en e ; We kunnen nu (2) twee keer gaan differentieren naar t: b. Bepaal r; en controleer met (3). c. Bepaal r en schrijf dit als a e e + a e, met andere woorden bepaal a e en a ; en controleer weer met (3). d. Laat zien dat de perkenwet geldt dan en slechts dan als de versnelling in de richting van de plaatsvector is (of er juist tegen in). Met ander woorden dat a = 0. a e zullen we de radiale versnelling noemen. 3

4 1.2 Vergelijking Ellips Stel we hebben een ellips. Dan hebben we twee brandpunten F 1 en F 2 (stel F 2 is het rechter brandpunt). De ellips is dan de verzameling punten P zodanig dat som van de afstanden van P naar F 1 respectievelijk F 2 constant is (zeg = H). We kunnen de positie van een punt P karakteriseren met poolcoördinaten: r is de afstand tot het brandpunt F 2 en ϕ is de hoek van de lijn van F 2 naar P en de as die naar rechts loopt als je van F 1 naar F 2 gaat (dus ook ϕ = π F 1 F 2 P ). Zie voor dit alles figuur 1. Het is gevoelsmatig Figuur 1: Ellips duidelijk dat als je een bepaarde waarde van ϕ kiest, er precies één punt P is dat op de ellips ligt met deze waarde voor ϕ. De waarde van ϕ zal dus éénduidig de waarde van r bepalen. Met andere woorden: r is een functie van ϕ (r = r(ϕ)). a. Bepaal een formule voor r(ϕ). In deze formule zullen, naast de variabele ϕ de constanten H en Q voorkomen. Hint: pas de cosinus regel toe in F 1 F 2 P. b. Laat zien dat u := 1 r van de vorm A + B cos ϕ is. 4

5 1.3 Radiale versnelling We hebben het gevoel dat als de perkenwet geldt, en de vorm van de baan vastligt (in het bijzonder: een ellips is), dat de baan dan volledig vastligt. Dat betekent dat we de radiale versnelling a e dan zouden moeten kunnen berekenen. Het programma voor de berekening zou er als volgt uit kunnen zien. We hebben in 1.1c een formule voor a e verkegen (namelijk: a e = r r ϕ 2 ). Via de perkenwet (r 2 ϕ = L een constante) kunnen we ϕ steeds elimineren. verder willen we overgaan op ϕ als variable in plaats van de tijd. We hebben immers een verband tussen r en ϕ. We schrijven nu r = dr en dϕ r = d2 r. dϕ 2 Bovendien hebben we in 1.2b gezien dat u := 1 een eenvoudige functie r van ϕ dus het kan een goed idee zijn om over te gaan op u := 1. Er zijn dus r twee sleutelideeën voor de bepaling van a e : 1. Ga over op ϕ in plaats van de tijd; 2. Ga over op u := 1 r in plaats r. a. Bepaal een formule voor a e in termen van L, u, u en u. In de slide hebben we de twee genoemde ideeën toegepast in de volgorde: eerst 2 en toen 1. Andersom werkt ook is is ongeveer even complex. Alhoewel een rechttoe rechtaan berekening is ie best lastig. Dus we verklappen het resultaat vast: a e = L 2 (u + u)u 2. b. Bereken a e voor het geval van een ellips, dus u = A + B cos ϕ. Welke bekende wet ziet u verschijnen? 1.4 Laplace naar Newton Veronderstel dat de vergelijk van Lapace geldt in een omgeving van een centraal punt. Met andere woorden de massadichtheid ρ is daar 0. Maar in een bol om dit centrale punt kan wel massa zijn. We kunnen dan de vergelijking van Laplace 2 φ = 0 oplossen (buiten die bol) met de extra aanname van bolsymmetrie. Dat betekent dat φ een functie is van r alleen. a. Los de vergelijking van Laplace op onder aanname van bolsymmetrie en laat zien dat dit leidt tot de zwaartekrachtsformule van Newton. 5

6 Hint: het bepalen van φ x gaat het soepelst door r2 = x 2 + y 2 + z 2 aan beide zijden naar x te differentiëren. 1.5 Afleiden geodeet vergelijking Bij het toepassen van de Euler-Lagrange vergelijkingen op het algemene lijnelement (L = g µν ẋ µ ẋ ν ) zult u twee belangrijke zaken ontdekken: (1) de algemene geodeet vergelijkingen en (2) de Christoffelsymbolen. a. Schrijf de vergelijking(-en) van Euler-Lagrange op voor de Langrangiaan L. Bedenk dat L een functie is van 2n variabelen x 1,..., x n, ẋ 1,..., ẋ n. Pas op het mogelijk verwarrende gebruik van de notatie ẋ µ. Normaal is dat de afgeleide van x µ naar de parameter (b.v. de tijd t of eigentijd τ), of zoals hier, één van de variabelen. Met andere woorden bij het bepalen van L beschouwt u het als een variabele. Bij het daarna bepalen van d ( L ) ẋ τ dt ẋ τ behandeld u ẋ µ wel degelijk als een afgeleide. Daardoor ontstaat ook ẍ µ. b. Schrijf de vergelijking(-en) die u hebt verkregen in de vorm ẍ τ + = 0. Datgene wat er op de puntjes komt te staan is van de vorm Γ τ µνẋ µ ẋ ν c. Geef een formule voor Γ τ µν in termen van g µν en de afgeleiden daarvan. En, O ja, u hebt ook g µν nodig. 2 Nav Les 3 en 4: Covariant differentieren en kromming Uitwerkingen staan in de slides 2.1 Newtonse metriek en geodeten De Newtonse metriek is een probeersel. Vanuit de roterende schijf in combinatie met het equivantie principe hadden we het vermoeden gekregen, dat klokken op verschillende plekken in de ruimte, in het geval van een zwaartekrachtsveld, met verschillende snelheden kunnen lopen. Als we op één plek 6

7 in de ruimte gaan zitten wordt onze eigentijd τ (dus de snelheid van onze fysieke atoomklok) bepaald door: c 2 dτ 2 = g 00 dt 2 Hierbij is g 00 c 2, maar kan wel van plek tot plek een beetje verschillen, maar is niet afhankelijk van de tijd, dus g 00 = g 00 (x, y, z). Verder nemen we aan dat g ii = 1 en dat g diagonaal is (g µν = 0 als µ ν). We zijn nu benieuwd hoe de geodeten er uit zien onder deze aannames. a. Bepaal de Christoffel symbolen in termen van g 00,i. b. Bepaal hiermee de vergelijkingen voor een geodeet in de vorm ẍ i =... voor i = 1, 2, 3. We nemen aan dat de geodeet de wereldlijn van een voorwerp is dat met een snelheid beweegt die veel kleiner is dan de lichtsnelheid. Dit betekent dat ẋ 0 1. Verder is φ de klassieke Newton gravitatie potentiaal (in het geval van een centrale massa M, b.v. zon of aarde: φ = GM r ). c. Vergelijk het resulaat van onderdeel b (met ẋ 0 1) met de klassieke vergelijking F = m a en bedenk dat F = m φ en trek een conclusie over het verband tussen g 00 en φ. 2.2 Covariante afgeleide van een 1-vorm Gegeven is dat de covariante afgeleide van een vectorveld V µ ;ν gegeven wordt door: V µ ;ν := V µ,ν + Γ µ λν V λ (4) a. Bepaal hoe we de covariante afgeleide van een 1-vormveld a µ zouden moeten definieren. Gebruik hierbij de volgende eisen/eigenschappen: 1. Voor een scalar veld f geldt: f ;µ = f,µ 2. De productregel moet gelden voor covariant differentieren Hint: beschouw een willekeurig vectorveld V µ en bedenk dat a µ V µ een scalarveld is. 7

8 2.3 Covariante afgeleide van een algemene tensor We hebben nu al gezien hoe we vectorvelden covariant kunnen differentieren. We gaan nu kijken ( ) hoe het bij een tensor in het algemeen werkt. We beginnen 1 dan met een -tensorveld S 1 α β. a. Bepaal hoe we de covariante afgeleide van S α β zouden moeten definieren. Doe dit door te kijken naar het speciale geval dat dit een product is (S α β = V α T β ) en pas hierop de productregel toe. 2.4 Berekenen krommingstensor We hebben nu rekenregels voor het covariant (absoluut) differentieren van tensoren, bij voorbeeld: S µ ν;α = S µ ν,α + Γ µ ατs τ ν Γ τ ναs µ τ (5) Zie ook (4). Als V α een vectorveld is dan kunnen we dat twee keer covariant differentieren. Bijvoorbeeld eerst naar µ en daarna naar ν. We krijgen dan het (1,2) tensorveld V α ;µ;ν. Bij gewoon partieel differentieren geldt de regel 2 f = 2 f x y van Leibnitz:. Met andere woorden, dan geldt het voor differentieren naar x en y de volgorde niet uitmaakt. Men kan zich afvragen of dit y x voor het covariant diffenrentieren naar x µ en x ν ook zo is: V α ;µ;ν = V α ;ν;µ? In het algemeen is dit niet het geval en dat is dan een indicatie dat de ruimte gekromd is. Daarom gaan we V α ;µ;ν V α ;ν;µ maar eens berekenen. a. Laat zien dat V α ;µ;ν V α ;ν;µ geschreven kan worden als R α βµν V β, waarbij R α βµν een uitdrukking is in Christoffel symbolen Γ... Hint: bereken eerst V α ;µ;ν. Merk op dat dit in principe op twee manieren kan: 1. Eerst V α ;µ opschrijven, in feite gewoon (4), en die uitdrukking covariant differentieren naar x ν. 2. Eerst V α ;µ =: S α µ als een eenheid beschouwen en die covariant differentieren naar x ν, dus in feite (5) eerst toepassen. Probeert u zelf eens uit welke de handigste is. Het is wel belangrijk om op te letten welke termen symmetrisch worden in µ en ν. Die vallen immers weg bij het berekenen van V α ;µ;ν V α ;ν;µ. 8

9 2.5 Geodetische afwijking Stel we hebben een afbeelding die aan twee getallen w en t een punt in de ruimte toevoegd. Deze ruimte heeft een metriek. We kunnen daar dus covariant differentieren. Als er coördinaten (x 1,..., x n ) zijn gekozen, dan is elke x µ dus te zien als een functie van de variabelen w en t: x µ (w, t). Verder nemen we aan dat als we w vasthouden dan is de kromme t x µ (w, t) een geodeet. We hebben dus een familie van naburige geodeten. Dan zijn dus t x µ (w, t) en t x µ (w + dw, t) twee geodeten die vlak naast elkaar lopen. Als we nu definiëren: W µ := w x µ dan is W µ een vectorveld langs zo n geodeet die als het ware naar de naburige geodeet wijst. Nu blijkt dat als de ruimte plat is, dan kan W µ wel veranderen, maar deze verandering is lineair. Daarmee bedoelen we dat als we definiëren: dan geldt: A µ := D t W µ D t A µ = D 2 t W µ = 0 Met andere woorden: in een platte ruimte is de tweede afgeleide van W µ langs een geodeet gelijk aan nul. In een gekromde ruimte zal dit niet zo zijn. a. Laat T µ het raakvectorveld langs zo n geodeet zijn, dus T µ := t x µ. Bereken nu een uitdrukking voor D 2 t W µ in termen van W µ, T µ en de de krommingstensor R α βγδ. We hebben in de slides in plaats van T µ de notatie V µ gebruikt. Eigenlijk is T µ logischer. Het immers de afgeleide naar t: T µ := t x µ. Aanwijzingen: 1. De covariante afgeleide langs een kromme wordt genoteerd met D t V µ = V µ ;νẋ ν. Als we nu (4) gebruiken, dan hebben we dus: D t V µ = V µ ;νẋ ν = (V µ,ν+γ µ λν V λ )ẋ ν = V µ,νẋ ν +Γ µ λν V λ ẋ ν = t V µ +Γ µ λν V λ ẋ ν 2. We hebben t W µ = w T µ, immers t W µ = t w x µ = w t x µ = w T µ. 9

10 2.6 Getijdekrachten 3 Nav Les 5 en 6: De lege ruimte en tests Uitwerkingen staan in de slides ================ Hier wordt nog aan gewerkt 4 Nav Les 7 en 8: De Veldvergelijkingen Uitwerkingen staan in de slides ================ Hier wordt nog aan gewerkt 10