Omwentelingslichamen

Transcriptie

1 Toepassingen integraalrekening Omwentelingslichamen 1. Enkelvoudige integraal WISNET-HBO update april 9 Q We kennen het integreren als het optellen van allemaal infinitesimaal kleine stukjes. Q Het heeft met het model te maken welke kleine stukjes er opgeteld worden. Q Het optellen van kleine stukjes booglengte om de lengte van een bepaald stuk van een kromme te berekenen. Q Het optellen van strookjes om een oppervlakte te berekenen. Q Het optellen van cirkel-schijven om de inhoud van een cilinder te bepalen. Steeds is er slechts één variabele aan te wijzen: één vrijheidsgraad. Bekijk nu de volgende voorbeelden en probeer de integraal op te stellen. In sommige gevallen kan de integraal ook nog berekend worden met pen en papier, maar anders kan dat met de computer. Het opstellen van de integraal kan echter niet met de computer. Inhoud van omwentelingslichaam wentelen om de x-as Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam als f = voor het interval,. x wordt gewenteld om de x-as

2 .1 grafiek van het model Schijven methode De grafiek is een d-figuur. Als je in het y,z-vlak kijkt zijn het cirkels met straal f. (De y-as loopt in de figuur naar achteren en de z-as loopt naar boven en de x-as naar rechts. In het y,z-vlak maak je dus cirkels die veranderen qua grootte. De straal verloopt met het toenemen van de variabele x. De straal van iedere schijf is steeds f. De oppervlakte van een schijf is π f De dikte van een schijf is dx. De waarde van x loopt van 1 tot. De inhoud van één schijf is dan π f dx. Script van de figuur. De opstelling van de integraal Een grafiek van het wentellichaam in d zie boven om de gedachten te bepalen. Verdeel het lichaam in plakken, loodrecht op de wentel-as (dat is hier de x-as). Vanwege het wentelen zijn alle plakken cirkelvormig. De straal verloopt met het toenemen van de variabele x. De straal van iedere schijf is steeds f = x. De oppervlakte van een schijf is π f en de dikte van een schijf is dx.

3 De inhoud van één schijf is dan π f dx De inhouden van de schijven optellen waarbij de x-waarde loopt van tot geeft: Nu f vervangen door x = x Inhoud = = π f dx π x dx.4 De berekening van de integraal Probeer de berekening eens met pen en papier te doen. De primitieve is gemakkelijk te vinden en daarna en invullen is niet moeilijk. π x dx = 1 π x x = K 1 π x x == 9 π. Met de computer Inhoud van omwentelingslichaam wentelen om y-as: Schijvenmethode Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam als f = verticale-as voor het interval voor x:, 4. x wordt gewenteld om de

4 .1 grafiek van het model Schijven methode Het gaat om de grafiek van f = x Omdat er nu gewenteld wordt om de verticale as (z-as) is het handig om de functie te noemen z = x De grafiek is een d-figuur en het gaat om het gebied dat omsloten wordt door de gewentelde functie als buitenkant met binnenin de wentelas. Als je in het x,y-vlak kijkt (loodrecht op de wentel-as) zijn het cirkels met straal x. In het x,y-vlak maak je dus cirkels die veranderen qua grootte. De straal verloopt met het toenemen van de variabele x. De straal van iedere schijf is steeds x waarbij x toeneemt van tot 4. De oppervlakte van een schijf is π x De dikte van een schijf is dz.. De opstelling van de integraal Een grafiek van het wentellichaam in d zie boven om de gedachten te bepalen. Verdeel het lichaam in plakken, loodrecht op de wentel-as (z-as). Vanwege het wentelen van de functie z = x zijn alle plakken cirkelvormig. De straal verloopt met het toenemen van de variabele x. (De straal van de cirkelschijven wordt naar boven toe steeds groter.) De straal van iedere schijf is steeds x. De oppervlakte van een schijf is π x De dikte van een schijf is dz. De inhoud van één schijf is dan π x dz Je kunt x als variabele aanhouden en dz vervangen door dz = dz dx dx = 1 dx x De inhoud van één schijf wordt dan: π x dz = π x 1 x dx = π x dx De inhouden van de schijven optellen waarbij de x-waarden doorloopt van tot 4 geeft:

5 Inhoud = 4 π x dx. De berekening van de integraal Probeer de berekening eens met pen en papier te doen. De primitieve is gemakkelijk te vinden en daarna en 4 invullen is niet moeilijk. 4 π x dx = 1 π x x =4 K 1 π x = π z.1 x = 4 Inhoud van omwentelingslichaam wentelen om y-as: Schillenmethode Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam als f = x wordt gewenteld om de verticale-as voor het interval voor x:, 4. En waarbij nu het volume wordt bedoeld in de vorm van een rechte cilinder met een gat erin. Het gat ontstaat bij het wentelen van de functie f = x om de verticale z-as. 4.1 grafiek van het model Schillenmethode Het gaat om de grafiek van f = x Er wordt gewenteld wordt om de verticale as (z-as) en dan is het handig om de functie te

6 noemen z = x De grafiek is een d-figuur en het gaat om het gebied dat omsloten wordt door een cilinder met cirkelvormig grondvlak en straal 4 en met hoogte. De cilinder heeft een gat dat ontstaat door de functie om de verticale z-as te wentelen. We hanteren nu de schillenmethode (cilindervormige busjes die in elkaar passen). Elke schil heeft dikte dx. De cilindervormige schil heeft als straal van het grondvlak de variabele waarde x De hoogte van deze cilindervormige schil is steeds z = x. De omtrek van deze cilindervormige schil is dan π x. De inhoud van deze schil is dus π x x dx. 4. De opstelling van de integraal Een grafiek van het wentellichaam in d zie boven om de gedachten te bepalen. Vanwege het wentelen van de functie z = x zijn alle schillen cilindervorming met dikte dx. De straal verloopt met het toenemen van de variabele x. (De straal van de grondvlakken van de cilinders wordt steeds groter.) De straal van iedere cilinderschil is steeds x. De hoogte van deze cilindervormige schil is steeds z = x. De omtrek van deze cilindervormige schil is dan π x. De oppervlakte van een cilinderschil is π x x De dikte van een cilinderschil is dx. De inhoud van één cilinderschil is dan π x x dx De inhouden van alle cilinderschillen (busjes) optellen geeft: Inhoud = 4 π x dx 4. De berekening van de integraal Probeer de berekening eens met pen en papier te doen. De primitieve is gemakkelijk te vinden en daarna en 4 invullen is niet moeilijk. 4 π x dx = 4 π x x =4 K 4 π x x = = 18 π

7 4..1 Alternatieve berekening De berekening van het volume van de cilinder met het gat erin had ook gedaan kunnen worden met eerst de berekening van een volledige cilinder met als grondvlak de cirkel met straal 4 en hoogte. Deze inhoud is dan π. Het volume van het gat is reeds in paragraaf.4 uitgerekend ( π) en levert dus de ciliner met gat als volume: πk π = 16 πk π = 18 π Oppervlakte van omwentelingslichamen Bereken de oppervlakte van het omwentelingslichaam als f = x wordt gewenteld om de x- as en waarbij x loopt van tot..1 Opstelling en berekening van de integraal Om de oppervlakte te berekenen van het omwentelingslichaam zoals dat in het vorige voorbeeld is beschreven, verdelen we het weer in cirkelvormige schijven met de snijvlakken loodrecht op de wentelas. De `randstroken' van deze cirkelschijven met straal f hebben een breedte van een stukje booglengte ds en de omtrek is π f.

8 Het stukje booglengte is weer op te stellen, zoals in de les over booglengte is beschreven. De oppervlakte van de 'randstrook' van één cirkelschijf kan beschreven worden door omtrek maal breedte: π f 1 C d dx f dx = π 4 x C1 dx De oppervlakte van alle stroken tesamen waarbij x loopt van tot is dan: π 4 x C1 dx = 4 x C1 6 K x = 4 x C1 6 z 1.6 x =.1.1 Vereenvoudiging van de integrand Om de vereenvoudiging van de integrand in stappen te zien: π f 1 C d dx f dx = π x 1 C 1 x dx = π x 1 C 1 4 x dx = π x C 1 4 dx = π 4 x C1 dx