Detectie van gekende signalen in Gaussiaanse ruis

Transcriptie

1 Detecte van geende gnalen n Gauaane ru Bnare detecte n tte Gauaane ru Obervate : r(t) (t;h) + (t) Herbj r(t) ofel het erelj ontvangen gnaal (n dt geval jn (t;h) en (t) reëel, en (t) tte Gauaane ru et pectrale dchthed /), ofel de coplexe ohullende van het ontvangen banddoorlaatgnaal (n dt geval jn (t;h) en (t) coplex; (t) te chrjven al I (t) + j Q (t), aarbj I (t) en Q (t) tattch onafhanelje tte Gauaane ruproceen et pectrale dchthed / voortellen). De anfuncte p(r H) gegeven door p( r H) exp r(t) (t;h) dt Tet Bnare hypotheetet : η < > p( r H) p( r H ) De logarte neen van bede leden ledt tot de volgende tet : l Re < > [ r(t) (t)dt] γ ln( η) + ( ) aarbj (t) (t;h )-(t;h ) en (t;h ) (t) et (t) dt (, ). De groothed telt du de energe voor van (t;h ). De reulterende decegebeden jn afgebeeld n Fg.. Mer op dat het geval η aanledng geeft tot de (equvalente) tet < > r(t) (t;h ) dt r(t) (t;h) dt, odat de correponderende deceljn de ddelloodljn van het ljntu dat de endpunten van de vectoren (H ) en (H ) et elaar verbndt. Ipleentate De bereenng van l an gebeuren door r(t) te correleren et (t), en het reëel deel van de correlate te neen. De correlate gegeven door r(t) (t) dt, en ordt beoen door r(t) te verengvuldgen et (t) en het reultaat te ntegreren over de duur van (t).

2 r(t) aan te leggen aan een flter, aangepat (atched) aan (t), de utgang te beonteren op t, en het reëel deel van de onteraarde te neen. Het atched flter heeft een pulantoord (-t) en een tranferfuncte S (f). Stellen e de utgang van het atched flter voor door (t), dan geldt (t) r(t u) (u) du, odat () gelj aan de correlate van r(t) en (t) : () r( u) (u)du r(u) ( u) du. Wanneer (-t) net nul voor alle t<, het atched flter net cauaal, en du net realeerbaar. Dt problee ordt n de pratj opgelot door r(t) te turen door een flter et pulantoord (T -t), en de utgang te beonteren op t T : tellen e T (t) r(t u) (T u)du r(t T u) ( u) du, dan geldt T (t) (t T ), odat T (T ) (). De vertragng T ordt voldoende groot genoen, odat (T -t) voor t<, en het flter et pulantoord (T -t) realeerbaar. Perforante Bereenng van P F en P M P F Pr[l>γ H ]; P M Pr[l<γ H ] De groothed l Gauaan odat r(t) Gauaan. r geldt : [ l H ] ρ [ l H ] + ρ Var[ l H ] Var[ l H ] Var (t) dt ( aarbj ρ [ (t) (t) dt] + [ Re[ n(t) (t)dt ] ρ ), Re het 'calar produt' van (t) en (t) ( ρ ). Herut volgt : γ [ l H γ + ] d ln η [ l H ] d ln η PF Q + Q PM Q Q, et Var[ l H ] d Var[ l H] d d (t) dt ( ) + ρ de genoreerde adratche ucldche aftand tuen de utgeonden gnalen (t;h ) en (t;h ), en u Q (x) exp du gelj aan het copleent van de cuulateve van de x π Gauaane verdelng et geddelde gelj aan nul en varante gelj aan. De perforante verbetert anneer d toeneet (bj gegeven P M daalt P F bj toeneende d). Mer op dat d enel afhangt van, en ρ, aar net van de pecfee vor van (t) en (t). In het geval van ML detecte geldt η, odat P F P M P Q(d/).

3 3 Optalate van d Door een gechte eue van (t;h ) proberen e d te axaleren. Bj gegeven ρ en geddelde energe ( ( + )/) bepalen e en de d axaleert. Stel α en (-α), et α, odat d ( ρ α( α) ). We beoen de volgende reultaten. Al ρ> ordt d axaal al α of α. De gnalen correponderend et de tee hypotheen jn een gnaal et energe en het nulgnaal (ayetrch bnar). In dt 4 geval beoen e d, ongeacht de (poteve) aarde van ρ. 4 Al ρ (orthogonale gnalen) beoen e d, ongeacht de aarde van α. Al ρ< ordt d axaal al α / : voor bede hypotheen heeft het utgeonden 4 gnaal een energe (yetrch bnar), en beoen e d ( ρ). Over alle 8 ρ< ordt d axaal voor ρ- (antpodale gnalen), at ledt tot d. Herut leden e af dat de bete perforante ordt beoen bj antpodale gnalen. Dee perforante 3dB beter dan bj orthogonale gnalen. Meervoudge detecte n tte Gauaane ru We bechouen het geval van lneare dgtale odulate, aarbj een dataybool M aarden an aanneen. Het utgeonden gnaal (t;h) a(h)p(t), aarbj a(h ) α (,,..., M-). We ondertellen dat het ybool a(h) en de pul p(t) genoreerd jn,.a.. [ a(h) ] en p(t) dt. De logartche anfuncte gegeven door ln p( r H) ( a(h) Re[ a (H)]) aarbj r(t)p (t) dt. De logartche anfuncte (op een van a(h) onafhanelje ter na) o te voren tot ln p( r H) ( a(h) Re[ a (H)u] + u ) a(h) u, et u De ML deceregel bepaalt de hypothee de de anfuncte axaal aat. De ML deceregel ledt tot : H α u α u,,,..., M

4 4 Voor HH de groothed u Gauaan, et geddelde gelj aan a(h ) α. Het reëel en agnar deel van u α jn ongecorreleerd, en hebben een varante gelj aan /( ). De pecfee vor van p(t) heeft du geen effect op de perforante; alleen de aarde van / en de aard van de contellate hebben nvloed op de perforante. Voorbeelden : deceregel voor M-PAM, M-PSK, M-QAM Ipleentate De groothed ordt beoen door r(t) aan te leggen aan een flter dat aangepat aan de enderpul p(t), en de utgang te beonteren op t; dt flter heeft een pulantoord p (-t) en een tranferfuncte P (f). Btfoutprobabltet en veel vooroende perforanteaat bj dgtale councate de btfoutprobabltet (BR), gegeven door BR log (M) M,j n bt (, j) Pr[ H j ]Pr[H j ] aarbj n bt (,j) gelj aan het aantal pote aarn de et α en α j geaoceerde btequente van lengte log (M) van elaar verchllen; uteraard geldt n bt (,). In het geval van Gray-appng verchllen naburge contellatepunten n lecht bt, odat voor voldoend grote / (odat het verarren van een contellatepunt et een net naburg contellatepunt onaarchjnlj ) de benaderng (, j) opgaat voor j. Dt ledt tot P BR, aarbj P Pr[ H] de yboolfoutprobabltet voortelt. Voor M- log (M) PAM en M-QAM an P exact bepaald orden (elf de afonderlje aarchjnljheden Pr[ H j] unnen exact bepaald orden), terjl voor M-PSK een eenvoudge bovengren an gevonden orden (e curu 'Councatetechne'). n bt Trane over parallelle analen (tte ru) Bechou K parallelle analen, en lneare odulate (trane van één enel ybool). Het gnaal aan de utgang van het -de anaal gegeven door r (t) a(h)p (t) (t), voor,,..., K- + De tte ruproceen n de verchllende analen jn ongecorreleerd; de n-fae en adratuurcoponent van (t) hebben een pectrale dchthed, /. De logartche anfuncte gegeven door de o van de logartche anfuncte correponderend et el van de ndvduele gnalen :

5 K ( a(h) Re[ a (H) ]) ln p( r H), et r (t)p (t) dt, en an (op, een contante ter na) ogevord orden tot 5 K ln p( H) K K r a(h) u, et u. De ontvanger vort,,, du een groothed u, de een lneare cobnate van de grootheden. Voor H H geldt : [u H ] α, en het reëel en agnar deel van u - α jn ongecorreleerd en hebben een K varante gelj aan. Men an aantonen dat de utdrung voor u de lneare, cobnate van de grootheden de de lent ogelje varante oplevert onder de retrcte dat [u H ] α, vandaar de benang 'axu rato cobnng' ('rato' laat op de SR van de groothed u, nl. de verhoudng van het (geddeld) adraat van de nuttge ter [u H ] tot het verogen Var[u H ] van de tattche fluctuate van u). Qua perforante een ytee et K parallelle analen du equvalent et een ytee et K lecht anaal, aarbj,. Becht de ender over een gegeven totale energe de over de verchllende analen oet verdeeld orden, dan beoen e de bete perforante (dt beteent de K axale aarde voor ) door alle energe te turen over het anaal et het laagte, K rupectru, en de andere analen onbenut te laten, hetgeen reulteert n.,,n Wanneer het laagte rupectru optreedt n eer dan één anaal, ag de energe op een lleeurge aner over de ubet van 'bete' analen verdeeld orden. K Trane van een dataequente (tte ru) We bechouen de trane van een equente {a } van dataybolen over een anaal et tte ru, aarbj e gebru aen van lneare odulate. Het ontvangen gnaal r(t) gegeven door r(t) (t; a) + (t) a p(t T) + (t) aarbj de dataybolen a et aarchjnljhed /M, en onafhanelj van elaar, een aarde aanneen ut de veraelng {α, α,..., α M- }. en dataequente van K ybolen, de el M aarden unnen aanneen, correpondeert du et één ut M K hypotheen. We ondertellen dat [ a ] en p(t) dt, odat de energe per ybool voortelt; het ybooldebet gelj aan /T. De logartche anfuncte ordt genoteerd al ln p(r a), en gegeven door

6 6 ( ) (t; a) Re[r(t) (t; a)] dt a a g(t T) Re[a ], ln p( r a) aarbj r(t)p (t T) dt en g(t) p (u)p(t + u) dt, et g(). De groothed ordt beoen door r(t) aan te leggen aan een atched flter et pulantoord p(-t), en de utgang te beonteren op tt; g(t) het antoord van het atched flter op de pul p(t). De onteraarde an gechreven orden al a g() a g(t) + (T), aarbj (t) het antoord van het atched ru nuttg ISI flter op (t). Daar alle dataequente even aarchjnlj jn, naleert het ML crteru de foutprobabltet P Pr[ˆ a a]. Volgen het ML crteru de dece â de dataequente de p(r a) axaal aat. Het axaleren van p(r a) ordt beoeljt door de aaneghed van ruteren van de vor a a g(t-t) et. Dee ruteren vallen eg anneer p(t) odang dat g(t) δ,.a.. anneer er geen ISI optreedt n de onteraarde na het atched flter. Dee vooraarde equvalent et p (t)p(t T)dt δ. Reenng houdend et G(f) P(f), an dee vooraarde ogevord orden tot + P f +. T n T Mer op dat aan dee vooraarde onogelj an voldaan orden anneer p(t) een bandbreedte B heeft (P(f) voor f >B) de lener dan /(T) (yqut crteru!). Wanneer er geen ISI optreedt n ordt de logartche anfuncte vereenvoudgd tot ln p( r a) ( a Re[a ]) Daar het -de dataybool a enel nvloed heeft op de -de ter n boventaande o, an ele ter afonderlj geoptaleerd orden : de dece â het contellatepunt α dat het dchtt bj u / gelegen. Dt du deelfde deceregel al bj de trane van één enel ybool. Wanneer er el ISI optreedt n de coplextet van het axaleren van de anfuncte n het algeeen exponenteel n de lengte van de dataequente. Wanneer g(t) tjdbepert, an de axalate gebeuren et behulp van het Vterb-algorte, aarvan de reencoplextet exponenteel toeneet et de duur van g(t). en nder coplexe doch uboptale ethode betaat er n de ISI na het atched flter te elneren (of althan ter te reduceren) et een egalateflter dat ert n dcrete tjd; dee ethode ledt echter tot een verhoogde rubjdrage aan de ngang van de dece-eenhed.

7 7 Wanneer er een draaggolffrequentefout F, een draaggolffaefout θ en een tngfout τ aaneg tuen de ender en de ontvanger, unnen e tellen dat r(t) (t; a) + (t) a p(t T τ) exp(j(πft + θ)) + (t) Wanneer F, θ, en τ geend jn (n ereljhed aat de ontvanger een chattng van dee paraeter) ordt de logartche anfuncte beoen door te herdefnëren al r(t)p (t)dt r(t) exp( j(πft + θ))p (t T τ) dt De bepalng van aangegeven n Fg.. De aaneghed van de paraeter F, θ en τ heeft geen nvloed op de perforante, odat j de tatte van net jgen. Detecte bj trane over een dperef anaal (tte ru) We bechouen de trane van een gnaal (t;h) over een dperef anaal (et tranferfuncte H ch (f)), dat teven tte Gauaane ru (t) toevoegt. Het reulterend ontvangen gnaal r(t) gegeven door r(t) rec (t;h) + (t), aarbj rec (t) het antoord van het flter et tranferfuncte H ch (f) op het utgeonden gnaal (t;h) : S rec (f;h) H ch (f)s(f;h). Dt ytee equvalent et de trane van een gnaal rec (t;h) over een net dperef anaal dat enel tte ru (t) toevoegt. Bj een bnare hypotheetet de perforanteaat d gegeven door d H ch (f ) S(f ) df aarbj S(f) S(f;H ) - S(f;H ) Door de lneare vervorng vanege het anaal d net louter afhanelj van de energe van (t), aar oo van de vor van (t). Bj gegeven an d geaxaleerd orden (et H ch,ax / al aboluut axu) door het verchlgnaal (t) oordeelundg te een. Bj lneare odulate (trane van één enel ybool) de tranferfuncte van het atched flter gegeven door P (f )H ch (f ). Het ontvangen gnaal r(t) ordt aangelegd aan het atched flter, aarvan de utgang ordt beonterd op t. De reulterende onteraarde ordt gechaald, odang dat voor de gechaalde aarde u geldt : [u H ] α. De reële en agnare delen van de rucoponent u-α jn tattch onafhanelj en hebben een varante gelj aan ( H ) ch (f ) P(f ) df. Dee varante an genaleerd orden door gechte eue van p(t), et al aboluut nu H ch,ax Detecte n geleurde Gauaane ru In het geval van geleurde ru turen e het ontvangen gnaal r(t) (t;h) + n(t) door een taend flter et pulantoord h (t) en tranferfuncte H (f), hetgeen ledt tot een gnaal r (t) (t;h) + n (t) et tte ru n (t), aarvan reëel en agnar deel tattch

8 8 onafhanelj jn en een pectrale dchthed hebben de gelj aan. Vervolgen paen e de theore van de detecte n tte ru toe op het gnaal r (t). Bj een bnare hypotheetet tellen e (t) (t;h )-(t;h ) en (t) (t;h )- (t;h ). De perforanteaat d dan gegeven door d S(f ) (t) H dt (f ) df h (t u) (u)h S(f ) df S (f + f ) n (t v) (v)dudvdt (u)q(u v) (v)dudv aarbj Q(t) de nvere Fourer tranfor van Π LP (f)/s n (f+f ). In tegentellng tot het geval van tte ru, heeft net enel de energe aar oo de vor van het verchlgnaal (t) nvloed op de aarde van d. Door gechte eue van (t) an d geaxaleerd orden (et /S n,n al aboluut axu) bj gegeven energe van (t) Bj lneare odulate geldt (t;h) a(h)p(t) (trane van één enel ybool a(h)) en (t;h) a(h)p (t), aarbj p (t) het antoord van het taend flter op de enderpul p(t). De dece gebeurt op ba van de groothed, gegeven door R(f )P (f ) r (t)p (t)dt df. Dee groothed ordt beoen door r(t) aan te leggen Sn (f + f ) aan een atched flter (dat reenng houdt et de geleurde ru) et tranferfuncte P (f)/s n (f+f ), en de utgang te beonteren op t. r geldt a(h)g() +, et g() P (f ) df en P (f) P(f) /S n (f+f ); het reëel en het agnar deel van de rubjdrage jn tattch onafhanelj, en hebben een varante gelj aan P (f ) df. De ML deceregel ledt tot : H α u α u,,,..., M, et u. Voor HH de g() groothed u Gauaan, et geddelde gelj aan a(h ) α. Het reëel en agnar deel van u α jn ongecorreleerd, en hebben een varante gelj aan ( ) P (f ). De aard van de contellate en de aarde van dee varante jn bepalend voor de perforante. Door een gechte eue van p(t) an dee varante genaleerd orden, et S n,n / al aboluut nu.

9 9 Fg. : decegebeden voor bnare hypotheetet Fg. : ontvangertructuur et atched flter, en correcte voor frequente, fae en tng.